| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Равномерная сходимость синус-рядов с дробно-монотонными коэффициентами М. И. Дьяченкоab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462309002X 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеОдним из наиболее изучаемых классов тригонометрических рядов являются ряды с монотонными коэффициентами. В последнее время в этом направлении появился ряд весьма интересных работ. В частности, следует упомянуть [1]–[3]. Одним из хорошо известных результатов для таких рядов является следующая теорема Чанди и Джолиффа [4]: Теорема A. Пусть коэффициенты синус-ряда монотонно убывают. Тогда для его равномерной сходимости на [−π,π] необходимо и достаточно, чтобы nan→0 при n→∞.Этот результат позднее неоднократно обобщался. Следует упомянуть работу Тихонова [5], в которой результат теоремы A был распространен на случай обобщенно монотонных коэффициентов. В работе [6] было установлено, что теорема A остается справедливой и в случае, когда последовательность {an}∞n=1 такова, что для некоторых p>1, C>0 и ν>1 при любом натуральном n имеем Другой путь обобщения понятия монотонности коэффициентов состоит в следующем. Определение 1. Пусть −∞<α<∞. Числами Чезаро {Aαn}∞n=0 называются коэффициенты разложения при x∈(0,1).Известны следующие свойства этих чисел (см. [7; с. 130–131]):
Если задана числовая последовательность a={an}∞n=0 и действительное α, то будем обозначать через при n=0,1,… в том случае, когда такая сумма существует, например, если α>0 и последовательность a ограничена.Определение 2. Пусть α>0 и a – последовательность действительных чисел. Тогда скажем, что a∈Mα, если lim и {\Delta}^{\alpha} ({\mathbf a})_n \geqslant 0 при n=0,1,\dots . Из определения 2 вытекает, что класс M_0 совпадает с классом стремящихся к нулю последовательностей неотрицательных чисел, M_1 – класс стремящихся к нулю монотонно невозрастающих последовательностей и т.д. Кроме того, в [8; лемма 1, б)] автором было установлено, что при \alpha > \beta\geqslant 0 справедливо включение M_{\alpha} \subset M_{\beta}. Последовательности из класса M_{\alpha} будем также называть \alpha-монотонными. Основной результат данной статье нижеследующий. Теорема 1. Пусть \alpha \in (0,1), коэффициенты ряда (1) принадлежат классу M_{\alpha} и n a_n \to 0 при n \to \infty. Тогда ряд (1) равномерно сходится. Разумеется, результат верен и при \alpha >1, но в этом случае он сразу вытекает из вложения классов M_{\alpha}. Мы, также, установим, что при \alpha=0 теорема перестает быть верной. В отличие от теоремы A, теорема 1 не является критерием. Справедливо такое утверждение. Утверждение 1. Пусть \alpha \in (0,1), ряд (1) сходится равномерно и его коэффициенты принадлежат классу M_{\alpha}. Тогда n^{\alpha} a_n \to 0 при n \to \infty. При этом утверждение 1 является окончательным в своих терминах, поскольку имеет место такой результат. Утверждение 2. Пусть \alpha \in (0,1) и положительная функция g(x) \to 0 при x \to \infty. Тогда найдется равномерно сходящийся ряд (1), коэффициенты которого принадлежат классу M_{\alpha} и для некоторой монотонно возрастающей последовательности натуральных чисел \{n_k\}_{k=1}^{\infty} удовлетворяют условию a_{n_k} n_k^{\alpha} \geqslant g(n_k) при всех k. Отметим, что для косинус-рядов с неотрицательными коэффициентами критерий равномерной сходимости очевидно имеет вид Вопрос об интегрируемости суммы косинус-ряда является гораздо более интересным. Колмогоровым [9] был установлен такой результат. Теорема B. Пусть коэффициенты косинус-ряда принадлежат классу M_2, т.е. выпуклы и стремятся к нулю. Тогда сумма этого ряда принадлежит L(0,\pi).Ниже будет показано, что утверждение теоремы B остается справедливым и для \alpha-монотонных коэффициентов с \alpha>1. Пример, показывающий, что для коэффициентов из класса M_1 результат перестает быть верным, был построен в статье Балашова и Теляковского [10; следствие 4]. Всюду ниже через C будем обозначать абсолютные постоянные, не обязательно одинаковые в различных случаях, через C(\alpha) – постоянные, зависящие только от \alpha и т.д. 2. Вспомогательные утвержденияНам понадобится ряд вспомогательных результатов. Первый из них принадлежит Андерсену [11]. Лемма A (обобщение леммы Абеля). Если \{b_k\}_{k=0}^n и \{c_k\}_{k=0}^n – два набора чисел, то при любом \gamma справедливо равенство Автором были установлены такие результаты [8; леммы 1 и 2, (2)]. Лемма B. Пусть для чисел \alpha, \gamma и последовательности {\mathbf a} выполнено одно из нижеследующих условий:
Лемма C. Пусть \alpha \in (1,2) и последовательность {\mathbf a} \in M_{\alpha}. Тогда при x\in (0,\pi) имеем
\begin{equation*}
\frac{a_o}{2}+\sum_{k=1}^n a_k \cos kx=\sum_{k=0}^n {\mathbf K}_k^{\alpha}(x){{\Delta}^{\alpha}({\mathbf a})}_k+o(1)
\end{equation*}
\notag
при n \to \infty, где Алферовой и автором [12] была получена Теорема C. Пусть 0<\alpha <1 и {\mathbf a}=\{a_n\}_{n=0}^{\infty} – \alpha-монотонная последовательность. Тогда при любом n \geqslant 1 при всех 0 \leqslant k \leqslant n-1 выполняется неравенство a_k \geqslant a_n \cdot A_{n-k}^{\alpha-1}, причем данный результат является окончательным. Для дальнейшего будет нужна и такая лемма. Лемма 1. Пусть \alpha \in (0,1), натуральное m \geqslant 1 и натуральное n\geqslant m. Тогда, если
\begin{equation*}
F_{m,n}^{\alpha}(x)=\sum_{l=m}^n A_{n-l}^{\alpha-1}\sin lx,
\end{equation*}
\notag
то при x \in (0,\pi] выполняется оценка |F_{m,n}^{\alpha}(x)|\leqslant C(\alpha) x^{-\alpha}. Доказательство. Заметим, что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |F_{m,n}^{\alpha}(x)|&=\biggl|\operatorname{Im}\biggl(\,\sum_{l=m}^n A_{n-l}^{\alpha-1} e^{ilx}\biggr)\biggr| \leqslant \biggl|\sum_{l=m}^n A_{n-l}^{\alpha-1} e^{ilx}\biggr| \\ &=\biggl|\sum_{l=m}^n A_{n-l}^{\alpha-1} e^{i(l-m)x}\biggr|= \biggl|\sum_{\nu=0}^{n-m}A_{n-m-\nu}^{\alpha-1} e^{i\nu x}\biggr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Теперь утверждение леммы 1 вытекает из оценок, приведенных в книге Зигмунда [7; с. 157–160]. 3. Доказательство основных результатовПри любом натуральном n и при любом x \in (0,\pi] разобьем частичную сумму ряда (1) на две следующим образом:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_n (x) \equiv \sum_{r=1}^n a_r \sin rx&= \sum_{r=1}^{\min(n,[\pi/x])} a_r \sin rx+ \sum_{r=\min (n,[\pi/x])+1}^n a_r \sin rx \nonumber \\ &\equiv S_{n,1} (x) + S_{n,2} (x) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2}
(здесь и далее: если в сумме верхний предел меньше нижнего, то считаем ее равной нулю). Пусть \varepsilon >0. Фиксируем n_0 так, что na_n<\varepsilon при n \geqslant n_0. Тогда при m> n \geqslant n_0 имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|S_{m,1}(x)-S_{n,1}(x)\|_C &=\max_{x \in [\pi/m,\pi/(n+1)]}\biggl| \sum_{r=n+1}^{[\pi/x]} a_r \sin rx\biggr| \nonumber +\max_{x\in[0,\pi/m]}\biggl|\sum_{r=n+1}^m a_r\sin rx\biggr| \\ &\leqslant \max_{x \in [\pi/m,\pi/(n+1)]} \varepsilon x \biggl[\frac{\pi}{x}\biggr] +\max_{x \in [0,\pi/m]} \varepsilon x m \leqslant 2\pi\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
Обозначим через r(x,n)=\min (n,[\pi/x])+1. По лемме A при всех n и x имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_{n,2}(x)&=\sum_{r=r(x,n)}^n \biggl(\,\sum_{l=r(x,n)}^r A_{r-l}^{\alpha-1} \sin lx \biggr) \cdot \biggl(\,\sum_{k=r}^n A_{k-r}^{-\alpha-1} a_k\biggr) \nonumber \\ &=\sum_{r=r(x,n)}^n F_{r(x,n),r}^{\alpha}(x) {\Delta}^{\alpha} (a)_r-\sum_{r=r(x,n)}^n F_{r(x,n),r}^{\alpha} (x) \sum_{q=n+1}^{\infty} A_{q-r}^{-\alpha -1} a_q \nonumber \\ &\equiv L(x,n)-\sigma(n;x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
Согласно лемме 1 при любом n и при x\in [\pi/n,\pi] имеем
\begin{equation*}
|F_{r(x,n),r}^{\alpha}(x)| \leqslant \frac{C(\alpha)}{x^{\alpha}}\,,
\end{equation*}
\notag
откуда
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\sigma (n;x)\|_C&=\max_{x \in [\pi/n,\pi]} \biggl|\sum_{r=r(x,n)}^n F_{r(x,n),r}^{\alpha}(x) \sum_{q=n+1}^{\infty} A_{q-r}^{-\alpha-1} a_q\biggr| \\ &\leqslant \max_{x \in [\pi/n,\pi]}\frac{C(\alpha)}{x^{\alpha}} \sum_{q=n+1}^{\infty} a_q\sum_{r=1}^n(q-r)^{-\alpha-1} \leqslant C(\alpha) n^{\alpha}\sum_{q=n+1}^{\infty} a_q(q-n)^{-\alpha} \\ &\leqslant C(\alpha) n^{\alpha}\varepsilon\biggl(\frac{1}{n} \sum_{q=n+1}^{2n}(q-n)^{-\alpha}+ \sum_{q=2n}^{\infty}(q-n)^{-\alpha-1}\biggr) \\ &\leqslant C(\alpha)n^{\alpha}\varepsilon n^{-\alpha}= C(\alpha)\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом,
\begin{equation}
\|\sigma(n;x)\|_C \to 0 \qquad \text{при} \qquad n \to \infty.
\end{equation}
\tag{5}
Заметим также, что L(x,n)=0 при x \in (0,\pi/n] и
\begin{equation*}
L(x,n)=\sum_{r=[\pi/x]+1}^n F_{[\pi/x]+1,r}^{\alpha}(x) {\Delta}^{\alpha}(a)_r
\end{equation*}
\notag
при x \in (\pi/n,\pi]. Тогда при m> n \geqslant n_0 имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|S_{m,1}(x)-S_{n,1}(x)\|_C \leqslant \max_{x \in [\pi/m,\pi/(n+1)]}\biggl|\sum_{r=[\pi/x]+1}^m F_{[\pi/x]+1,r}^{\alpha}(x){{\Delta}^{\alpha}(a)}_r\biggr| \nonumber \\ &\qquad\qquad+\max_{x \in [\pi/(n+1),\pi]}\biggl|\sum_{r=n+1}^m F_{[\pi/x]+1,r}^{\alpha}(x){\Delta}^{\alpha} (a)_r\biggr|+ |\sigma (m;x)|+|\sigma(n;x)| \nonumber \\ &\qquad\equiv J_1+J_2+|\sigma(m;x)|+|\sigma(n;x)|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
Затем, по лемме B при n \leqslant k \leqslant m имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {(k+1)}^{\alpha} \sum_{r=k+1}^{\infty}{\Delta}^{\alpha}(a)_r&= {(k+1)}^{\alpha}{{\Delta}^{-1}({\Delta}^{\alpha}(a))}_{k+1} = {(k+1)}^{\alpha} {{\Delta}^{\alpha -1} (a)}_{k+1} \\ &= {(k+1)}^{\alpha} \sum_{r=k+1}^{\infty} A^{-\alpha}_{r- k-1}a_r \leqslant {(k+1)}^{\alpha} C(\alpha) \varepsilon \sum_{r=k+1}^{\infty} \frac{{(r-k)}^{-\alpha}}{r} \\ &\leqslant C(\alpha) \varepsilon (k+1)^{\alpha}{(k+1)}^{-\alpha}= C(\alpha)\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Но тогда
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_1 &\leqslant \max_{x \in [\pi/m,\pi/(n+1)]} \frac{C(\alpha )}{x^{\alpha}} \sum_{r=[\pi/x]+1}^{\infty}{\Delta}^{\alpha}(a)_r \nonumber \\ &\leqslant Y \equiv C(\alpha){\pi}^{-\alpha} \max_{n \leqslant k \leqslant m}(k+1)^{\alpha} \sum_{r=k+1}^{\infty}{\Delta}^{\alpha}(a)_r \leqslant C(\alpha)\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
Аналогично,
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_2 &\leqslant \max_{x \in [\pi/(n+1),\pi ]} \frac{C(\alpha)}{x^{\alpha}}\sum_{r=n+1}^{\infty} {\Delta}^{\alpha}(a)_r \nonumber \\ &\leqslant C(\alpha){\pi}^{-\alpha}{(n+1)}^{\alpha} \sum_{r=n+1}^{\infty}{\Delta}^{\alpha} (a)_r \leqslant Y \leqslant C(\alpha)\varepsilon . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
Теперь утверждение теоремы 1 следует из формул (2)–(8). Приведем пример, показывающий, что для синус-рядов с коэффициентами из класса M_0, т.е. с неотрицательными коэффициентами, результат теоремы 1 перестает быть верным. В самом деле, рассмотрим ряд Ясно, что na_n \to 0 при n\to \infty. В то же время, частичные суммы ряда (9) в точке x=\pi/2
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^N \frac{1}{n \ln (n+1)}\sin(4n+1)\frac{\pi}{2}= \sum_{n=1}^N \frac{1}{n \ln (n+1)} \to \infty
\end{equation*}
\notag
при n\to \infty, что исключает равномерную сходимость. Перейдем к доказательству утверждения 1. Если ряд (1) сходится равномерно и S_n (x) – его частичные суммы, то S_n(\pi/(2n)) \to 0 при n \to \infty. Но (см. теорему C)
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_n\biggl(\frac{\pi}{2n}\biggr)&= \sum_{k=1}^n a_k\sin\frac{\pi k}{2n} \geqslant \frac{\sqrt{2}}{2} \sum_{k=[n/2]+1}^n a_k \\ &\geqslant C(\alpha )a_n \sum_{k=[n/2]+1}^n(n-k+1)^{\alpha-1} \geqslant C(\alpha)n^{\alpha} a_n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда и вытекает требуемый результат. Перейдем к доказательству утверждения 2. Не ограничивая общности, можно считать, что функция g(x) монотонно убывает на [1,\infty). Выберем возрастающую последовательность натуральных чисел \{n_k\}_{k=1}^{\infty} так, чтобы n_{k+1} > 2n_k и g(n_k)< 2^{-k} при всех k. Положим
\begin{equation*}
b_r=\begin{cases} n_k^{-\alpha} \sqrt{g(n_k)} & \text{при}\ r=n_k, \ k=1,2,\dots; \\ 0 & \text{при остальных} \ r \end{cases}
\end{equation*}
\notag
и a_l={\Delta}^{-\alpha}({\mathbf b})_l при l=0,1,\dots . Существование чисел a_l очевидно из определения последовательности \{b_r\}_{r=0}^{\infty}. Согласно лемме C, в) имеем {\Delta}^{\alpha}({\mathbf a})_l=b_l \geqslant 0 при всех l. Отсюда последовательность \{a_l\}_{l=0}^{\infty} \in M_{\alpha}. Далее,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{l=1}^{\infty}|a_l|&=\sum_{l=1}^{\infty} a_l= \sum_{l=1}^{\infty}\,\sum_{m=l}^{\infty}A_{m-l}^{\alpha-1}b_m =\sum_{l=1}^{\infty}\,\sum_{k\colon n_k \geqslant l} A_{n_k-l}^{\alpha -1} b_{n_k} \\ &=\sum_{k=1}^{\infty}b_{n_k} \sum_{l=1}^{n_k} A_{n_k -l}^{\alpha-1} \leqslant C(\alpha)\sum_{k=1}^{\infty} b_{n_k} \sum_{l=1}^{n_k} {(n_k -l +1)}^{\alpha -1} \\ &\leqslant C(\alpha)\sum_{k=1}^{\infty} b_{n_k} n_k^{\alpha} =C(\alpha)\sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{g(n_k)} < \infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, ряд равномерно сходится и имеет \alpha-монотонные коэффициенты. При этом, поскольку a_{n_k} \geqslant b_{n_k} при всех k, имеем a_{n_k}n_k^{\alpha} \geqslant b_{n_k}n_k^{\alpha}= \sqrt{g(n_k)} \geqslant g(n_k) при всех k. Требуемый пример построен. В заключение установим дополнение к теореме Колмогорова. В книге Зигмунда [7; с. 157] доказаны следующие оценки функций (см. лемму C) {\mathbf K}_k^{\alpha}(x): |{\mathbf K}_k^{\alpha}(x)| \leqslant C(\alpha) n^{\alpha} при всех x и |{\mathbf K}_k^{\alpha}(x)| \leqslant C(\alpha)x^{-\alpha} при x\in (0,\pi). Но тогда (см. лемму B, п. б)
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} |{\mathbf K}_k^{\alpha}(x)| {\Delta}^{\alpha} ({\mathbf a})_k \,dx= \sum_{k=0}^{\infty} \int_0^{\pi}|{\mathbf K}_k^{\alpha}(x)|\, dx {\Delta}^{\alpha} ({\mathbf a})_k \leqslant C(\alpha) \sum_{k=0}^{\infty} k^{\alpha-1} {\Delta}^{\alpha} ({\mathbf a})_k \\ &\qquad\leqslant C(\alpha)\sum_{k=0}^{\infty} A_k^{\alpha-1} {\Delta}^{\alpha}({\mathbf a})_k =C(\alpha){\Delta}^{-\alpha}({\Delta}^{\alpha} ({\mathbf a}))_0=C(\alpha) a_0 < \infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Принимая во внимание результат леммы C, получаем, что сумма ряда интегрируема по Лебегу на (0,\pi).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dya23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|