В. В. Рыжиков, “Спектры самоподобных эргодических действий”, Матем. заметки, 113:2 (2023), 273–282; Math. Notes, 113:2 (2023), 274

Processing math: 100%

Математические заметки

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математические заметки, 2023, том 113, выпуск 2, страницы 273–282
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13500 (Mi mzm13500)

Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)

Спектры самоподобных эргодических действий

В. В. Рыжиков

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

PDF полного текста (504 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (3)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13500

Аннотация: В заметке рассматриваются самоподобные конструкции преобразований, сохраняющих сигма-конечную меру, изучаются их свойства и спектры индуцированных гауссовских и пуассоновских динамических систем. Ортогональный оператор, отвечающий такому преобразованию, обладает следующим свойством: некоторая его степень является нетривиальной прямой суммой операторов, изоморфных исходному. Получены следующие результаты. Для любого подмножества

$M$ натурального ряда в классе пуассоновских надстроек реализованы наборы спектральных кратностей вида

$M\cup\{\infty\}$ . Предъявлен гауссовский поток

$S_t$ такой, что автоморфизмы

$S_{p^{n}}$ обладают набором спектральных кратностей

$\{1,\infty\}$ , если

$n\leqslant 0$ , и наборами кратностей

$\{p^n,\infty\}$ при

$n> 0$ . Получен гауссовский поток

$T_t$ такой, что автоморфизмы

$T_{p^{n}}$ обладают различными спектральными типами при

$n\leqslant 0$ , но все автоморфизмы

$T_{p^{n}}$ ,

$n>0$ , попарно изоморфны между собой.
Библиография: 12 названий.

Ключевые слова: сохраняющие меру преобразования, самоподобные конструкции, слабое замыкание, спектр, изоморфизм эргодических систем.

Поступило: 20.03.2022
Исправленный вариант: 05.09.2022

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 2, Pages 274–281
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010303

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 517.9

PACS: 517.9

1. Введение

Преобразования ранга 1 находят разнообразные приложения в эргодической теории. Например, в связи с известными в спектральной теории динамических систем проблемами Колмогорова и Рохлина были указаны явные конструкции перемешивающих преобразований ранга 1, тензорный квадрат которых обладает однородным непростым спектром, а спектральные меры этих преобразований не обладают групповым свойством [1]. Для ответа на вопрос М. И. Гордина о существовании преобразования с простым сингулярным спектром и эргодической гомоклинической группой также привлекались преобразования ранга 1, см. [2]. Действия ранга 1 применялись в решении задачи В. Бергельсона о сосуществовании жестких и перемешивающих последовательностей для сохраняющего меру $\mathbb{Z}$ -действия [3] и задачи В. И. Оселедца о сингулярных и абсолютно непрерывных распределениях случайной величины вида $\xi(x)+a\xi(y)$ в зависимости от параметра $a$ (см. [4]). Настоящая заметка посвящена самоподобным конструкциям ранга 1 и их приложениям к спектральной теории гауссовских и пуассоновских надстроек.

Ортогональная группа $O(\infty)$ , действуя на пространстве $\mathbb{R}^\infty$ , сохраняет гауссовскую меру $\gamma^\infty$ на $\mathbb{R}^\infty$ . Всякой подгруппе группы $O(\infty)$ отвечает сохраняющее меру действие на пространстве $(\mathbb{R}^\infty,\gamma^\infty)$ . В частности, ортогональный поток и ортогональный оператор в $\mathbb{R}^\infty$ (или в изоморфном ему вещественном гильбертовом пространстве) индуцируют гауссовский поток и гауссовский автоморфизм. Пуассоновские системы появляются благодаря действию группы автоморфизмов пространства с сигма-конечной мерой на конфигурационном пространстве с вероятностной мерой Пуассона (см., например, [3], [5], [6]). Таким образом, с обратимым сохраняющим меру преобразованием $T$ пространства с сигма-конечной мерой ассоциированы два замечательных объекта: гауссовский автоморфизм $G(T)$ и пуассоновская надстройка $P(T)$ . Нам в дальнейшем понадобится следующий факт: операторы $G(T)$ и $P(T)$ изоморфны оператору $\exp(T)=\bigoplus_{n=0}^{\infty}T^{\odot n}$ , где $T^{\odot 0}$ – одномерный тождественный оператор, $T^{\odot n}$ – симметрическая тензорная $n$ -степень оператора $T$ .

Предположим, что унитарные операторы $T_i$ , $i \in\mathbb{N}$ , имеют простой спектр и попарно дизъюнктны, т.е. их спектральные меры взаимно сингулярны. Обозначим через ${\mathbf m} T$ прямую сумму $m$ копий оператора $T$ . Если всевозможные тензорные произведения $T_{i_1}\otimes\dots\otimes T_{i_k}$ , $i_m\in \mathbb{N}$ (произведения из не менее двух операторов), дизъюнктны с $T_i$ , $i\in \mathbb{N}$ , и имеют счетнократный спектр, то $M\cup\{\infty\}$ является множеством спектральных кратностей оператора

$\begin{equation*} \exp\biggl(\,\bigoplus_{m\in M}{\mathbf m}T_{m}\biggr). \end{equation*} \notag$

Мы предъявим семейство $T_i$ , $i\in \mathbb{N}$ , самоподобных преобразований, которые как операторы будут удовлетворять описанным выше свойствам (преобразования и индуцировнные ими операторы в статье обозначаются одинаково). Это приводит к следующему результату.

Теорема 1. Для любого подмножества $M$ натурального ряда найдется пуасcоновская надстройка, обладающая набором спектральных кратностей $M\cup\{\infty\}$ .

Задача реализации заданных наборов спектральных кратностей для эргодических автоморфизмов в общем случае не решена. Например, неизвестно, существуют ли эргодические автоморфизмы вероятностного пространства с наборами спектральных кратностей вида $\{m,m+1\}$ при $m>2$ . Отметим, что были реализованы всевозможные наборы, содержащие 1 или 2 (см. [7] и обзоры [8], [9]).

Унитарный оператор c простым спектром (иначе говоря, с кратностью спектра, равной 1) эквивалентен оператору умножения на переменную $z$ , $|z|=1$ , действующему в пространстве $L_2(\mathbf{T},\sigma)$ . Здесь $\sigma$ – борелевская мера на единичной окружности $\mathbf{T}=\{ t: |t|=1\}$ , которую называют спектральной мерой оператора. Если $\sigma$ симметрична относительно инволюции $z\to\overline z$ , то соответствующий оператор умножения сохраняет вещественное подпространство в $L^2$ , состоящее из функций, удовлетворяющих условию $f(\overline z)=\overline{f(z)}$ , и является в нем ортогональным. Таким образом, симметричной мере отвечает ортогональный оператор, а ему – гауссовский автоморфизм.

Пусть для унитарного оператора $T$ с простым спектром для некоторого натурального $p>1$ степень $T^p$ подобна оператору $\bigoplus_{i=1}^p T$ . Назовем такой оператор $p$ -самоподобным, а его спектральную меру назовем $p$ -мерой. В п. 3 будет показано, что $p$ -мера квазиинвариантна относительно стандартного действия полициклической группы

$\begin{equation*} C_p=\biggl\{\exp\biggl(\frac{2\pi i k}{p^n}\biggr): k\in \mathbb{Z},\, n\in \mathbb{N}\biggr\} \end{equation*} \notag$

на группе

$\mathbf{T}$ . Располагая части

$p$ -мер на прямой

$\mathbb{R}$ , можно конструировать потоки в группе

$O(\infty)$ , которые в свою очередь индуцируют гауссовские потоки. Благодаря этому подходу, будет доказано следующее утверждение.

Теорема 2. Найдется гауссовский поток $S_t$ такой, что автоморфизмы $S_{p^{n}}$ обладают набором спектральных кратностей $\{1,\infty\}$ для всех $n\leqslant 0$ и наборами кратностей $\{p^n,\infty\}$ при $n>0$ .

Для некоторого гауссовского потока $T_t$ автоморфизмы $T_{p^{n}}$ , $n\leqslant 0$ , обладают различными спектральными типами, но автоморфизмы $T_{p^{n}}$ , $n>0$ , попарно изоморфны между собой.

Замечание. Отметим, что С. В. Тихонов, используя результаты [10], привел пример негауссовского потока $T_t$ , для которого $T_{1/2}$ не изоморфен $T_{1}$ , но $T_{1}$ изоморфен $T_{2}$ (см. [11]). Типичный автоморфизм вероятностного пространства вкладывается в континуум неизоморфных потоков [10], и этим он похож на гауссовские автоморфизмы с простым спектром, так как последние также включаются в континуальное множество спектрально неизоморфных потоков.

2. Самоподобные конструкции и их свойства

Конструкция преобразования ранга 1 (см., например, в [1]) определяется параметрами $h_1\geqslant 1$ , $r_j\geqslant 2$ и наборами

$\begin{equation*} \overline s_j=(s_j(1),s_j(2),\dots,s_j(r_j)), \qquad s_j(i)\geqslant 0. \end{equation*} \notag$

Пусть

$h_1=h$ ,

$r_j=r$ , положив

$h_{j+1}=p^j h$ и

$\begin{equation*} \overline s_j=(s(1)h_j,s(2)h_j,\dots,s(r)h_j), \end{equation*} \notag$

мы задаем параметры самоподобной конструкции с коэффициентом подобия

$p=r+s(1)+s(2)+\cdots+s(r)$ .

Конструкция типа $(h,p$ ). Для удобства читателя ниже дано полное описание конструкции $T$ для параметров

$\begin{equation*} h_1=h, \qquad r=2, \qquad s(1)=1, \qquad s(2)=p-3. \end{equation*} \notag$

Унитарный оператор, отвечающий такой конструкции, будет

$p$ -самоподобным. Выбор параметров

$s(1)=1$ ,

$s(2)=p-3$ не играет особой роли, он связан с тем, что в [12] была подробно рассмотрена такая конструкция

$T$ при

$p=8$ ,

$h=1$ , описаны все ее слабые пределы и последовательности степеней преобразования, которые обеспечивают эти пределы. Случай

$p>8$ совершенно аналогичен случаю

$p=8$ . Этим мы воспользуемся позже.

Фиксируем $h>0$ и $p>3$ . Преобразование $T$ и его фазовое пространство $X$ строятся индуктивно. Пусть на шаге $j\geqslant 1$ определен набор из $h_j$ непересекающихся интервалов одинаковой длины:

$\begin{equation*} E_j,\qquad TE_j,\qquad T^2E_j,\qquad\dots,\qquad T^{ h_j-1}E_j. \end{equation*} \notag$

Такой набор называют башней высоты

$h_j$ . По построению преобразование

$T$ на интервалах

$E_j,\dots,T^{ h_j-2}E_j$ является обычным переносом.

Основание башни $E_j$ разбиваем на два интервала $E_j^1$ , $E_j^2$ одинаковой меры. Башня разбивается на две колонны: первая состоит из интервалов

$\begin{equation*} E_j^1,\qquad TE_j^1,\qquad T^2E_j^1,\qquad\dots,\qquad T^{ h_j-1}E_j^1, \end{equation*} \notag$

а вторая – из интервалов

$\begin{equation*} E_j^2,\qquad TE_j^2,\qquad T^2E_j^2,\qquad\dots,\qquad T^{ h_j-1}E_j^2. \end{equation*} \notag$

Добавляем

$h_j$ новых интервалов

$\begin{equation*} T^{h_j}E_{j}^1,\qquad T^{h_j+1}E_{j}^1,\qquad\dots,\qquad T^{2h_{j}-1}E_{j}^1 \end{equation*} \notag$

над первой колонной и добавляем

$(p-3)h_j$ интервалов

$\begin{equation*} T^{h_j}E_{j}^2,\qquad T^{h_j+1}E_{j}^2,\qquad\dots,\qquad T^{(p-2)h_{j}-1}E_{j}^2 \end{equation*} \notag$

над второй колонной. Отметим, что по построению все добавленные интервалы не пересекаются со старыми. Положив

$\begin{equation*} T^{ 2h_j}E_j^1 =E_j^2, \qquad E_{j+1}= E_j^1, \end{equation*} \notag$

получаем башню этапа

$j+1$ , состоящую из

$h_{j+1}=ph_j$ этажей

$\begin{equation*} E_{j+1},\qquad TE_{j+1},\qquad T^2 E_{j+1},\qquad\dots,\qquad T^{h_{j+1}-1}E_{j+1}. \end{equation*} \notag$

Преобразование

$T$ действует на этой башне как обычный перенос интервалов, но пока мы не определили его на последнем интервале. Доопределяя преобразование, мы не меняем того, что было задано на предыдущих этапах. Продолжая построение до бесконечности, получим обратимое преобразование

$T$ множества

$\begin{equation*} X=\bigcup_j\,\bigcup_{i=0}^{h_{j}-1} T^{i}E_{j}, \end{equation*} \notag$

сохраняющее меру Лебега. Известно, что такое преобразование эргодично и имеет простой спектр (как и все преобразования ранга 1).

Самоподобие. Замечаем, что множество

$\begin{equation*} \widetilde X=\bigcup_j\,\bigcup_{i=0}^{h_{j}-1} T^{pi}E_{j+1} \end{equation*} \notag$

инвариантно относительно степени

$T^p$ . Мера

$\mu$ имеет

$p$ эргодических компонент относительно преобразования

$T^p$ ; эти компоненты сосредоточены на непересекающихся

$T^p$ -инвариантных множествах

$\widetilde X, T\widetilde X,\dots,T^{p-1}\widetilde X$ . Ограничение степени

$T^p$ на любое из множеств

$T^k\widetilde X$ подобно преобразованию

$T$ . Подобие между

$T^p|\widetilde X$ и

$T$ осуществляется отображением, которое увеличивает меру в

$p$ раз, сопоставляя интервалу

$T^{pi}E_{j+1}$ интервал

$T^iE_j$ при

$0\leqslant i<h_j$ . Можно сказать, что на

$\widetilde X$ преобразование

$T^p$ устроено точно так, как

$T$ устроено на

$X$ , только теперь роль интервалов

$T^iE_j$ играют интервалы

$T^{pi}E_{j+1}$ . Оператор

$T$ обладает

$p$ -самоподобием и другими свойствами, которые рассмотрены ниже.

Теорема 3. Пусть $T$ – преобразованиe типа $(m,p)$ , а числа $q\ne q'$ взаимно просты с $p$ . Тогда степени $T^q$ и $T^{q'}$ имеют простые взаимно сингулярные спектры.

Теорема 4. Пусть $S$ , $T$ являются преобразованиями типов $(m,p)$ и $(n,p)$ соответственно, причем $m$ , $n$ , $p$ взаимно просты. Тогда $S$ , $T$ при $p\geqslant 8$ обладают следующими свойствами:

ненулевые слабые пределы степеней оператора $S$ (аналогично для $T$ ) имеют вид $(1/2^m)S^s$ , где $m=1,2,\dots$ , $s\in\mathbb{Z}$ ; если $S^{n_i}\to (1/2^m)S^s$ и $n_i\to\infty$ , то для всех больших $i$ выполнено
$\begin{equation*} n_i=h_{j_1(i)}\pm h_{j_2(i)}\pm\cdots \pm h_{j_m(i)}-s, \qquad j_1(i)> j_2(i)>\cdots > j_m(i)\to\infty; \end{equation*} \notag$
преобразования $S$ и $T$ спектрально дизъюнктны;
cпектральная мера преобразования $S$ сингулярна и квазиинвариантна относительно действия группы $C_p$ на $\mathbf{T}$ ;
спектры произведений $T\otimes T$ и $T\otimes S$ счетнократны.

3. Доказательства теорем

Доказательство теоремы 4. (1) Для конструкции типа $(1,8)$ утверждение (1) установлено в [12]. Общий случай доказывается совершенно аналогично.

(2) Пусть для некоторого ограниченного оператора $J$ выполнено $SJ=JT$ , тогда $S^{n}J=JT^{n}$ . Если $S^{n_k}\to (1/2)I$ , $n_k>0$ , то из пункта (1) вытекает, что для всех больших $k$ имеет место равенство $n_k=h_{j_k}=mp^{j_k}$ . Получаем слабо сходящиеся последовательности

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{2} S^{n_k}J&\to \frac{1}{2} J, &\qquad JT^{n_k}&\to \frac{1}{2} J, \\ S^{mp^{j_k}}J&\to \frac{1}{2} J, &\qquad JT^{mp^{j_k}}&\to \frac{1}{2} J. \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

Операторы вида

$(1/2)T^s$ не могут быть предельными точками для множества операторов

$T^{mp^{j_k}}$ , так как они являются предельными точками только для множеств, содержащих операторы

$T^{np^{j_k}+s}$ , но множества

$\{mp^{j}\colon j\in\mathbb{N}\}$ и

$\{np^{i}+s:i\in\mathbb{N}\}$ имеют лишь конечные пересечения в силу того, что

$m$ ,

$n$ ,

$p$ взаимно просты. Таким образом, слабыми предельными точками операторов

$T^{mp^{j_k}}$ могут быть только нулевой оператор и операторы вида

$(1/2^n)T^s$ при

$n>1$ . Но из

$JT^{mp^{j_k}}\to (1/2)J$ очевидным образом вытекает

$J=0$ . Отсутствие ненулевого сплетающего оператора для

$S$ и

$T$ означает, что последние спектрально дизъюнктны.

(3) Слабый предел $S^{h_j}\to (1/2)I$ обеспечивает сингулярность спектральной меры $\sigma$ , так как иначе нашелся бы ненулевой вектор $f$ такой, что $S^{h_j}f\to 0$ , а это невозможно. Спектр $S$ простой, так как $S$ является преобразованием ранга 1, а спектр $S^p$ однородный кратности $p$ . Это означает, что на дугах

$\begin{equation*} I_k=\biggl[\frac{2\pi(k-1)}{p}\,,\frac{2\pi k}{p}\biggr), \qquad k=1,\dots,p, \end{equation*} \notag$

ограничение меры

$\sigma|_{I_k}$ при отображении

$z^p\colon \mathbf{T}\to\mathbf{T}$ переходит в меру, эквивалентную мере

$\sigma$ . Тогда ограничения меры

$\sigma$ на дуги

$[2\pi (k-1)/p^2,2\pi k/p^2)$ также подобны мере

$\sigma$ . Получаем окончательно, что отображение

$z^{p^n}$ осуществляет подобие всех ограничений меры

$\sigma$ на дугах

$[2\pi(k-1)/p^n,2\pi k/p^n)$ ,

$k\in \mathbb{N}$ , с мерой

$\sigma$ на окружности

$\mathbf{T}$ . Таким образом, поворот окружности

$\mathbf{T}$ на угол

$2\pi k/p^n$ ,

$k\in \mathbb{N}$ , переводит меру

$\sigma$ в эквивалентную ей. Это означает квазиинвариантность

$\sigma$ относительно действий полиициклической группы

$C_p$ .

(4) Мера $\sigma_S\times\sigma_T$ (и мера $\sigma_S\times\sigma_S$ ) на двумерном торе квазиинвариантна относительно группы сдвигов на векторы вида $(2\pi k/p^n,-2\pi k/p^n)$ . Это означает, что мера $\sigma\times\sigma$ проектируется на диагональ $\{(z,z): z\in \mathbf{T}\}$ в торе с бесконечной кратностью, так как соответствующие условные меры на слоях, ортогональных диагонали, не могут быть конечной суммой точечных мер. Следовательно, спектр тензорных произведений $p$ -самоподобных операторов является счетнократным. Теорема 4 доказана.

Доказательство теоремы 3. Пусть $T$ – преобразованиe типа $(h,p)$ . Известно, что $T^1$ как преобразование ранга 1 имеет простой спектр. Покажем, что при $r\perp hp$ (нет общего делителя) степень $T^r$ также имеет простой спектр. Рассмотрим последовательность $rn_i=hp^{i} +s$ , $n_i\to\infty$ , такую, что $|s|<r$ . Если $s=p^ks'$ , разделим выражения в равенстве $rn_i=p^{i}+s$ на $p^k$ . Таким образом, считаем, что $s$ не делится на $p$ , $s\ne 1$ так как $T^1$ имеет простой спектр. Поскольку

$\begin{equation*} (T^r)^{n_i}\to \frac{1}{2} T^{-s}, \end{equation*} \notag$

простота спектра

$T^s$ влечет за собой однократность спектра степени

$T^r$ (вытекает из того, что циклический вектор для

$T^s$ является циклическим для

$T^r$ ). В предположении, что

$T^r$ имеет непростой спектр, мы показали, что при

$s\perp p$ степень

$T^s$ также имеет непростой спектр для меньшей степени. Теперь применяем наше рассуждение для

$T^s$ : найдем

$s'$ такое, что

$1<|s'|<s$ , а степень

$T^{s'}$ также имеет непростой спектр, и т.д. Следовательно, предположение неверно, а преобразование

$T^r$ имеет простой спектр.

Покажем, что $T^q$ и $T^r$ при $q\perp r$ не имеют ненулевых сплетений. Предположим, что $T^qJ=JT^r$ и $J\ne 0$ . Рассмотрим последовательность вида $qn_i=hp^{i}-k_i$ , где $|k_i|<q$ . Далее рассматриваем только такие $i$ , для которых $k_i=k$ . Имеем

$\begin{equation*} T^{qn_i} J=JT^{rn_i},\qquad \frac{T^kJ}{2}=JP,\qquad \frac{\|J\|}{2}=\|JP\|, \end{equation*} \notag$

где

$P$ – слабая предельная точка для степеней

$T^{rn_i}$ . Условие

$\|JP\|=\|J\|/2$ означает, что

$P=T^mJ/2$ (другие слабые пределы не подходят). Тогда, сравнивая

$rn_i=hp^{j_i}-m$ с

$qn_i=hp^{i}-k$ , получаем

$q=p^{n}r$ для некоторого целого

$n\ne 0$ . Так как

$q\perp p$ и

$q\perp r$ , получаем противоречие. Следовательно,

$J=0$ .

Доказательство теоремы 1. Пусть $p_m$ , $m\in M$ , являются различными нечетными простыми числами, через $T_m$ обозначим преобразование типа $(p_m,8)$ . Покажем, что $M\cup\{\infty\}$ есть множество спектральных кратностей оператора

$\begin{equation*} \exp\biggl(\,\bigoplus_{m\in M}{\mathbf m}T_{m}\biggr)=1\oplus \biggl(\,\bigoplus_{m\in M}{\mathbf m}T_{m}\biggr)\oplus Q, \end{equation*} \notag$

где

$Q$ обозначает оператор

$\begin{equation*} \biggl(\,\bigoplus_{m\in M}{\mathbf m}T_{m}\biggr)^{\odot 2}\oplus \biggl(\,\bigoplus_{m\in M}{\mathbf m}T_{m}\biggr)^{\odot 3} \oplus\cdots\,. \end{equation*} \notag$

Замечаем, что

$Q$ имеет счетнократный спектр в силу пункта (4) теоремы 3. Спектры операторов

$T_m$ взаимно сингулярны со спектром оператора

$Q$ . Действительно, степени операторов

$T_m$ имеют предельную точку вида

$(1/2)I$ , причем нормы всех слабых пределов не превосходят

$1/2$ . Оператор

$Q$ не может иметь нетривиальное сплетение с

$T_m$ , покажем это. Пусть

$T_mJ=JQ$ , тогда

$T_m^nJ=JQ^n$ . Переходя к слабым пределам вида

$T_m^{n_k}\to I/2$ , получим

$J/2=J R$ , где

$R$ – слабый предел степеней оператора

$Q$ . Но нормы слабых пределов

$Q^n$ не превосходят

$1/4$ . Имеем

$\|J\|/2 \leqslant \|J\|/4$ , следовательно,

$J=0$ . Таким образом,

$T_m$ не имеют нетривиальных сплетений с оператором

$Q$ .

Набор спектральных кратностей оператора $P_1=\bigoplus_{m\in M}{\mathbf m} T_{m}$ есть $M$ , что вытекает из пункта (2) теоремы 3 (пользуемся тем, что операторы $T_{m}$ попарно дизъюнктны). Кратность 1, которая возникает из-за тождественного оператора на пространстве констант, по традиции не учитывается. Спектральный тип оператора $P_1$ дизъюнктен со спектром оператора $Q$ . Получили, что $M\cup\{\infty\}$ является набором спектральных кратностей оператора $\exp(P_1)$ , что и требовалось. Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. a) Рассмотрим унитарный поток $U_t\colon L_2(\mathbb{R},\sigma_1)\to L_2(\mathbb{R},\sigma_1)$ , заданный формулой $U_tf(u)=e^{itu}f(u)$ , где симметричная мера $\sigma_1$ совпадает с мерой $\sigma$ при отождествлении окружности $\mathbf{T}$ с полуинтервалом $[-\pi/2,\pi/2)$ посредством функции $\arg(z)$ . Обозначим через $O_t$ ортогональный поток, являющийся ограничением потока $U_t$ на пространство четных функций из $L_2(\mathbb{R},\sigma_1)$ . Гауссовский поток $S_t=\exp(O_t)$ обладает искомыми свойствами. Это вытекает из того, что $O_{p^n}$ имеет простой спектр при $n\leqslant 0$ и однородный кратности $p^n$ при $n>0$ . Симметрические тензорные степени оператора $O_t$ имеют счетнократные спектры, взаимно сингулярные со спектром $O_t$ (следствие пункта (4) теоремы 3).

Операторы $O_{p^{n}}$ дизъюнктны со своими симметрическими тензорными степенями, которые обладают счетнократными спектрами. Действительно, слабое замыкание потока $O_t$ содержит оператор $I/2$ , а у симметрических тензорных степеней $O_t^{\odot n}$ при $n>1$ слабые пределы имеют норму не больше $1/4$ . Сказанное влечет за собой следующее свойство:

$\begin{equation} O_t^{\odot n}\quad\text{дизъюнктны с }O_s\quad \text{при } 0<s,t. \end{equation} \tag{⁎}$

Поток

$S_t$ обладает нужным свойством, так как кратность спектра операторов

$O_{p^{n}}$ равна

$p^{n}$ при

$n\geqslant 0$ , а спектр степеней

$O_t^{\odot n}$ при

$n>1$ имеет бесконечную кратность. Таким образом, автоморфизмы

$S_{p^n}=\exp(O_{p^{n}})$ при

$n>0$ обладают набором спектральных кратностей

$\{p^n,\infty\}$ .

b) Рассмотрим бесконечную тензорную степень $T_t$ потока $S_t=\exp(O_t)$ . Автоморфизмы $T_t$ для разных $t$ при $0<t\leqslant 1$ обладают разными спектральными типами. Различие обеспечивают компоненты $\sigma_t$ – меры, подобные мере $\sigma_1$ , с носителем на дуге $[-\pi t/2,\pi t/2]$ . Мы учитываем тот факт, что меры $\sigma_t$ в силу свойства (⁎) взаимно сингулярны со сверточными степенями мер $\sigma_s$ .

Для всех $n\geqslant 0$ , автоморфизмы $T_{p^{n}}$ имеют одинаковый счетнократный спектр и попарно изоморфны между собой, что вытекает из $p$ -самоподобия оператора $O_1$ . Теорема 2 доказана.

4. Самоподобные конструкции потоков

Поток ранга 1 задается параметрами $h_1,w>0$ , $h_1,w\in\mathbb{R}$ , последовательностью натуральных чисел $r_j>1$ и векторами

$\begin{equation*} \overline s_j=(s_j(1), s_j(2),\dots,s_j(r_j)), \qquad s_j(i)\in \mathbb{R}^+. \end{equation*} \notag$

На этапе

$j$ построена башня

$X_j$ , которая отождествляются с прямоугольниками высоты

$h_j$ и ширины

$w$ . (На самом деле множество

$X_j$ является объединением набора прямоугольников, но для удобства башня

$X_j$ по определенным ниже правилам отождествляется с некоторым прямоугольником.) Башня разрезается на

$r_j$ колонн (одинаковые прямоугольники высоты

$h_j$ ). Над колоннами надстраиваются прямоугольники высотой

$s_j(i)$ (их ширина равна ширине колонн), затем верх надстроенной

$i$ -й колонны склеивается с низом

$i+1$ колонны. В результате мы получаем башню этапа

$j+1$ , которую отождествляем теперь с прямоугольником высоты

$h_{j+1}=rh_j+\sum_{i=1}^r s_j(i)$ ширины

$w/r_1r_2\dots r_j$ . Движение точки под действием потока в башне есть движение вверх с постоянной скоростью. При достижении верхней границы башни этапа

$j$ движение точки рассматривается в башне этапа

$j+1$ и так далее. Объединение всех башен является фазовым пространством построенного потока.

Самоподобный поток. Фиксируем $h_1=h>0$ , натуральное число $r\geqslant 2$ и набор действительных чисел $s(1),\dots,s(r)\geqslant 0$ . На этапе $j$ имеем $r_j=r$ , $h_j=h\gamma^{j-1}$ , где коэффициент подобия

$\begin{equation*} \gamma= r+s(1)+\cdots+s(r),\qquad s_j(i)=s(i)h\gamma^{j-1}. \end{equation*} \notag$

Рассмотрим простейшую

$\gamma$ -самоподобную конструкцию потока

$T_t$ с параметрами

$h_1=1$ ,

$w=1$ ,

$r_j=2$ ,

$\overline s_j=(0,(\gamma-2)h_j)$ , где

$\gamma>2$ ,

$h_{j+1}=\gamma^j h$ . Подобие потоков

$T_t$ и

$T_{\gamma t}$ устанавливается следующим образом.

Фазовое пространство $X$ является объединением башен $X_j$ , причем башня $X_{j+1}$ в $\gamma$ раз выше и в 2 раза уже башни $X_j$ .

Конструкция потока ранга 1 является частным случаем специального потока над одометром. В нашем случае – над 2-одометром $R$ , который кратко можно определить так: $R$ первую половину отрезка $[0,w]$ сдвигает на $w/2$ , а преобразование $R^2$ на отрезках $[0,w/2]$ и $[w/2,w]$ подобно действию $R$ на $[0,w]$ . (Отметим, что 2-одометр является 2-самоподобным преобразованием пространства с конечной мерой.)

Чтобы наглядно продемонстрировать самоподобие потока, фазовое пространство $X$ представим одновременно как части плоскости, изображенные слева и справа на рис. 1. Правая часть ассоциируется с объединением $\bigcup_{j=1}^\infty X_{j+1}$ , а левая – с $\bigcup_{j=1}^\infty \widehat X_{j}$ . Напомним, что движение точки под действием потока происходит вертикально вверх с постоянной скоростью. При достижении точкой $(u,v)$ верхней границы она продолжает движение над точкой $(Ru,0)$ (напомним, что при построении конструкции мы склеили верх первой колонны с основанием второй колонны). Таким образом, мы имеем два специальных представления нашего потока (левое и правое). Они изображены на рис. 1 для $\gamma\approx 2.2$ .

Рис. 1.

Подобие $\Phi$ , заданное отображением $\Phi(u,v)=(2u,v/\gamma)$ , сопрягает поток $T_t$ с потоком $T_{\gamma t}$ : $T_{t}=\Phi T_{\gamma t}\Phi^{-1}$ .

Гауссовская надстройка над $\gamma$ -самоподобным потоком пополняет коллекцию потоков, самоподобных в смысле работы [11]. Пуассоновская надстройка наследует спектральное самоподобие.

5. Замечания и вопросы

Если унитарный поток $U_t$ обладает простым сингулярным спектром, можно показать, что для почти всех $t$ операторы $U_t$ имеют простой спектр. Рассматриваемый нами самоподобный поток $T_t$ имеет сингулярный спектр, так как сверточные степени спектральной меры потока взаимно сингулярны. Последнее вытекает из наличия слабого предела $T_{\gamma^n}\to I/2$ . Спектр потока ранга 1 простой. Неизвесно, является ли простым спектр автоморфизма $T_1$ в случае иррационального $\gamma$ .

Если $\gamma$ является целым числом, то спектр $T_1$ сингулярный и счетнократный. Несложно доказать следующее

Утверждение. Пуассоновская надстройка $P(T_t)$ для рациональных $t$ имеет счетнократный спектр, но для почти всех $t$ набор спектральных кратностей автоморфизма $P(T_t)$ содержит 1.

Если дробные части последовательности $\gamma^n$ имеют предельную иррациональную точку $\alpha$ , то $T_1$ имеет простой спектр, что обеспечивается возникающими в этом случае нетривиальными слабыми пределами вида

$\begin{equation*} \frac{T_{\{k\alpha\}}}{2^k}\,, \qquad k=1,2,\dots\,. \end{equation*} \notag$

Действительно, в этом случае циклический вектор для потока является циклическим вектором для преобразования

$T_1$ .

Интересная нерешенная задача о спектральной кратности преобразования $T_1$ возникает в случае, когда $\gamma$ является числом Пизо (Pisot number), т.е. расстояние от $\gamma^n$ до множества $\mathbb{N}$ стремится к 0. В этом случае мы не можем применить предыдущие соображения, так как оказываемся в ситуации, асимптотически близкой к случаю целого $\gamma$ .

Задача исследования спектрального типа и спектральной кратности тензорных произведений вида $T_t\otimes T_{at}$ в зависимости от $\gamma\in (2,+\infty)$ и $a\in [1,+\infty)$ также представляет определенный интерес, особенно для значений $\gamma\in (2,3]$ .

При $\gamma>3$ спектральные свойства потока поддаются анализу, так как слабые пределы последовательностей $T_{t_i}$ при $t_i\to\infty$ “квантуются”: ненулевые пределы имеют имеют вид $(1/2^n)T_s$ , $n\in \mathbb{N}$ , $s\in\mathbb{R}$ . При этом мы знаем, каким именно последовательностям $t_i\to\infty$ отвечает указанный слабый предел. Отметим любопытный эффект при $\gamma>3$ : произведение $T_{2t}\otimes T_{3t}$ является диссипативным потоком, следовательно, оно имеет лебеговский спектр.

В силу самоподобия и наличия нетривиальных слабых пределов при $\gamma=3$ потоки $T_{2t}\otimes T_{(3-\varepsilon_n)t}$ обладают сингулярным спектром для некоторых рациональных $\varepsilon_n$ , причем $\varepsilon_n\to 0$ . Возникает вопрос: является ли спектр произведения $T_{2t}\otimes T_{3t}$ лебеговским при $\gamma=3$ ?

Автор благодарит рецензента за ряд полезных замечаний.



СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	В. В. Рыжиков, “О сохраняющих меру преобразованиях ранга один”, Тр. ММО, 81, № 2, МЦНМО, М., 2020, 281–318
2.	В. В. Рыжиков, “Эргодические гомоклинические группы, сидоновские конструкции и пуассоновские надстройки”, Тр. ММО, 75, № 1, МЦНМО, М., 2014, 93–103
3.	В. В. Рыжиков, “Множества перемешивания для жестких преобразований”, Матем. заметки, 110:4 (2021), 576–583
4.	В. В. Рыжиков, “Абсолютная непрерывность и сингулярность спектра потоков $T_t\otimes T_{at}$ ”, Функц. анализ и его прил., 56:3 (2022), 88–92
5.	И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин, Эргодическая теория, Наука, М., 1980
6.	Ю. А. Неретин, Категории симметрий и бесконечномерные группы, УРСС, М., 1998
7.	O. N. Ageev, “On spectral invariants in modern ergodic theory”, In Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 2, Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, 1641–1653
8.	A. I. Danilenko, “A survey on spectral multiplicities of ergodic actions”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 33:1 (2013), 81–117
9.	A. Kanigowski, M. Lemańczyk, “Spectral theory of dynamical systems”, Encyclopedia of Complexity and Systems Science, ed. R. Meyers, Springer, Berlin, 2020
10.	А. М. Степин, A. М. Еременко, “Неединственность включения в поток и обширность централизатора для типичного сохраняющего меру преобразования”, Матем. сб., 195:12 (2004), 95–108
11.	A. I. Danilenko, V. V. Ryzhikov, “On self-similarities of ergodic flows”, Proc. London Math. Soc. (3), 104:3 (2012), 431–454
12.	А. Ю. Кушнир, В. В. Рыжиков, “Слабые замыкания эргодических действий”, Матем. заметки, 100:6 (2016), 847–854

Образец цитирования: В. В. Рыжиков, “Спектры самоподобных эргодических действий”, Матем. заметки, 113:2 (2023), 273–282; Math. Notes, 113:2 (2023), 274–281

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Ryz23}

\by В.~В.~Рыжиков

\paper Спектры самоподобных эргодических действий

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 113

\issue 2

\pages 273--282

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13500}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13500}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4563368}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2023

\vol 113

\issue 2

\pages 274--281

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623010303}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85185104113}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/mzm13500

https://doi.org/10.4213/mzm13500

https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i2/p273

Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:

В. В. Рыжиков, “Жесткие пуассоновские надстройки без корней”, Матем. заметки, 117:1 (2025), 146–150
В. В. Рыжиков, Ж.-П. Тувено, “Квазиподобие, энтропия и дизъюнктность эргодических действий”, Функц. анализ и его прил., 58:1 (2024), 117–124 ; Valerii Ryzhikov, Jean-Paul Thouvenot, “Quasi-similarity, entropy and disjointness of ergodic actions”, Funct. Anal. Appl., 58:1 (2024), 90–96
В. В. Рыжиков, “Полиномиальная жесткость и спектр сидоновских автоморфизмов”, Матем. сб., 215:7 (2024), 138–152 ; V. V. Ryzhikov, “Polynomial rigidity and the spectra of Sidon automorphisms”, Sb. Math., 215:7 (2024), 993–1006

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	252
PDF полного текста:	32
HTML русской версии:	170
Список литературы:	50
Первая страница:	3

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Введение

2. Самоподобные конструкции и их свойства

3. Доказательства теорем

4. Самоподобные конструкции потоков

5. Замечания и вопросы

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ