Аннотация:
Рассматривается система сингулярных интегральных уравнений с монотонной и выпуклой нелинейностью на всей числовой прямой. Данная система имеет приложения во многих направлениях естествознания. В частности, такие системы встречаются в теории p-адических открыто-замкнутых струн, в математической теории пространственно-временного распространения эпидемии в рамках известной модели Дикмана–Капера, в кинетической теории газов, в теории переноса излучения. Доказывается теорема существования нетривиального и ограниченного решения. Исследуется также асимптотическое поведение построенного решения на ±∞. Приводятся конкретные примеры нелинейностей и ядерных функций, имеющих прикладной характер.
Библиография: 18 наименований.
относительно искомой измеримой и ограниченной вектор-функции φ(x)=(φ1(x),…,φn(x))⊤ (⊤ – знак транспонирования). В системе (1.1){μj(u)}nj=1, {λij(u)}n×ni,j=1 – измеримые функции на множестве R+:=[0,+∞) и удовлетворяют следующим условиям:
a) существуют числа εj∈(0,1), j=1,…,n, такие, что
0<εj⩽μj(u)⩽1,μj(u)≢1,u∈R+,j=1,…,n;
b) λij(u)⩾1, u∈R+, i,j=1,…,n, lim, j=1,\dots, n;
c) 1-\mu_j\in L_1(0,+\infty)\cap C(\mathbb{R}^+), \lambda_{ij}-1\in L_1(0,+\infty), \lambda_{ij}(t)=\lambda_{ji}(t), t\in\mathbb{R}, i,j=1,\dots, n.
Элементы матриц-функции K(x):=(K_{ij}(x))_{i,j=1}^{n\times n} определены на множестве \mathbb{R} и удовлетворяют следующим ограничениям:
A) K_{ij}(x)>0, K_{ij}(x)=K_{ji}(x), K_{ij}(-u)=K_{ij}(u), x\in\mathbb{R}, u\in \mathbb{R}^+, i,j=1,\dots, n;
B) K_{ij}(x) монотонно убывает по x на множестве \mathbb{R}^+, i,j=1,\dots, n;
C) K_{ij}\in L_1(\mathbb{R})\cap M(\mathbb{R}), r(A)=1, где r(A) – спектральный радиус матрицы A:=\bigl(\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x)\, dx\bigr)_{i,j=1}^{n\times n}, т. е. наибольшее абсолютное значение собственных значений матрицы A, а M(\mathbb{R}) – пространство существенно ограниченных функций на множестве \mathbb{R}.
По теореме Перрона–Фробениуса [1] существует вектор \eta:=(\eta_1, \dots, \eta_n)^\top с положительными координатами \eta_j, j=1,\dots,n, такой, что
Исследование системы (1.1), кроме теоретического интереса, представляет также прикладной интерес в различных направлениях естествознания. В частности, такие системы нелинейных интегральных уравнений возникают в динамической теории p-адических открыто-замкнутых струн, в математической теории пространственно-временного (географического) распространения эпидемии, в кинетической теории газов, в теории переноса излучения в спектральных линиях (см. [2]–[9]).
В том частном случае, когда \lambda_{ij}\equiv1 и \mu_j\equiv1, i,j=1,\dots,n, система (1.1) достаточно подробно исследована в работе [10]. Указанная работа в основном посвящена вопросам существования знакопеременного ограниченного и монотонного решения, а также изучению асимптотического поведения построенного решения в \pm\infty.
Соответствующее скалярное интегральное уравнение (n=1) при различных ограничениях на ядро и на нелинейность изучено в работах [2]–[7] и [10]–[14].
В настоящей работе при условиях a)–c), A)–C), 1)–5) мы займемся вопросами существования ограниченного решения системы (1.1) и исследования его асимптотического поведения на \pm\infty. В частности, будет доказано, что система (1.1) имеет неотрицательное нетривиальное и ограниченное решение, причем \eta_j^*-\varphi_j\in L_1^0(\mathbb{R}), j=1,\dots,n, где L_1^0(\mathbb{R}) – пространство суммируемых функций по Лебегу на множестве \mathbb{R}, имеющих нулевой предел на \pm\infty. В конце работы приведем конкретные прикладные примеры функций \{\mu _j (u)\}_{j=1}^n, \{\lambda_{ij}(u)\}_{i,j=1}^{n\times n}, \{K_{ij}(x)\}_{i,j=1}^{n\times n} и \{Q _i (u)\}_{i=1}^n для иллюстрации важности полученных результатов.
§ 2. Обозначения и вспомогательные факты
Наряду с системой (1.1) рассмотрим вспомогательную систему нелинейных интегральных уравнений с суммарно-разностным ядром на полуоси
Используя оценку (2.5) и свойство выпуклости вниз функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n на множестве \mathbb{R}^+, для последовательных приближений \{\psi_i^{(m)}(x)\}_{m=0}^\infty, i=1,\dots,n, индукцией по m несложно доказать следующую оценку снизу:
Из полученных выше свойств (2.3), (2.4) и (2.7) следует, что последовательность непрерывных вектор-функций \psi^{(m)}(x)=(\psi_1^{(m)}(x),\dots, \psi_n^{(m)}(x))^\top, m=0,1,\dots, имеет поточечный предел, когда m\to \infty: \lim_{m\to \infty}\psi^{(m)}(x)=\psi(x), x\in\mathbb{R}^+, причем предельная вектор-функция \psi(x)=(\psi_1(x),\dots, \psi_n(x))^\top согласно теореме Б. Леви (см. [15]) удовлетворяет системе (2.1). Из (2.4) и (2.7) для предельной вектор-функции \psi(x) следует также двойная оценка
Учитывая неравенство (2.8), условия c), C), 1), 2) и тот факт, что свертка суммируемой и ограниченной функций является непрерывной функцией (см. [16]), из (2.1) получаем также, что
Следовательно, сходимость последовательности вектор-функций \{\psi_{m}(x)\}_{m=0}^\infty к \psi(x)=(\psi_1(x),\dots, \psi_n(x))^\top равномерна на каждом компакте из \mathbb{R}^+.
относительно искомого вектора \xi:=(\xi_1,\dots,\xi_n)^\top, где a_{ij} и b_{ij}, i,j=1,\dots,n, задаются согласно (1.3) и (2.16) соответственно.
Наша ближайшая цель – доказать существование и единственность решения системы (2.17).
Имеет место следующая лемма.
Лемма 1. Пусть элементы матрицы A=(a_{ij})_{i,j=1}^{n\times n} положительны, причем r(A)=1, а элементы матрицы B=(b_{ij})_{i,j=1}^{n\times n} неотрицательны. Тогда, если функции \{Q_i(u)\}_{i=1}^n удовлетворяют условиям 1)–5), то система (2.17) обладает покомпонентно положительным решением \xi:=(\xi_1,\dots,\xi_n)^\top. Более того, \xi_i\geqslant \eta_i^*, i=1,\dots,n.
Предполагая, что \xi_i^{(p)}\geqslant \xi_i^{(p-1)}, i=1,\dots,n, при некотором натуральном p, из (2.18) с учетом положительности элементов матрицы A+B и монотонности функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n получаем, что \xi_i^{(p+1)}\geqslant \xi_i^{(p)}. Теперь докажем, что существует число c>1 такое, что
Заметим, что из условия 4) следует, что \chi_i(1)=-\alpha_i/\eta_i^*<0, i=1,\dots, n. С другой стороны, в силу выпуклости вниз и монотонности функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n на множестве \mathbb{R}^+ можем утверждать, что
\begin{equation}
\chi_i(u)\uparrow \text{ по } u \text{ на } [1,+\infty),\qquad i=1,\dots, n,
\end{equation}
\tag{2.23}
\begin{equation}
\chi_i(+\infty)=+\infty,\qquad i=1,\dots, n.
\end{equation}
\tag{2.24}
Следовательно, при каждом i\in \{1,\dots, n\} существует число c_i>1 такое, что \chi_i(c_i)=0. Обозначим через c:=\max\{c_1,\dots,c_n\}. Тогда, учитывая (2.23) и (2.24), будем иметь
\begin{equation}
\frac{Q_i(c\eta_i^*)}{c\eta_i^*}\geqslant \frac{Q_i(c_i\eta_i^*)}{c_i\eta_i^*}=1+\frac{\alpha_i}{\eta_i^*},\qquad i=1,\dots, n.
\end{equation}
\tag{2.25}
Ниже, используя (2.25), перейдем к доказательству оценки (2.20). При p=0 неравенство (2.20) сразу следует из определения нулевого приближения с учетом того, что c\geqslant c_i>1, i=1,\dots, n. Предположим, что \xi_i^{(p)}\leqslant c\eta_i^*, i=1,\dots, n, при некотором p\in \mathbb{N}. Тогда в силу (2.25) имеем
Из последнего неравенства сразу следует, что \xi_i^{(p+1)}\leqslant c\eta_i^*, i=1,\dots, n, ибо Q_i(u)\uparrow по u на \mathbb{R}, i=1,\dots, n.
Итак, последовательность векторов \xi^{(p)}:=(\xi_1^{(p)}, \dots, \xi_n^{(p)})^\top, p=0,1,\dots, имеет предел, когда p\to \infty: \lim_{p\to \infty}\xi_i^{(p)}=\xi_i, i=1,\dots,n, причем в силу непрерывности функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n предельный вектор является решением системы (2.17) и \xi_i\in [\eta_i^*, c\eta_i^*], i=1,\dots,n. Лемма 1 доказана.
Имеет место также следующее утверждение о единственности решения системы (2.17).
Лемма 2. При условиях леммы 1, если матрица A+B симметрична, то система (2.17) не может иметь более одного решения в классе векторов
Доказательство. Предположим обратное: пусть система (2.17) обладает двумя решениями \xi, \widetilde{\xi}\in \mathfrak{M}. Тогда в силу положительности элементов матрицы A+B из (2.17) будем иметь
где \xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)^\top, \widetilde{\xi}=(\widetilde{\xi}_1,\dots,\widetilde{\xi}_n)^\top. Умножим обе части каждого из неравенств (2.26) на соответствующее \xi_i и все полученные неравенства просуммируем по i=1,\dots,n. Тогда, учитывая симметричность матрицы A+B, получаем
На основании выпуклости вниз функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n на множестве \mathbb{R}^+ можно утверждать, что для всех i\in\mathcal{P} имеет место строгое неравенство
В настоящем параграфе мы перейдем к изучению вопроса существования нетривиального неотрицательного и ограниченного решения исходной системы (1.1). Отметим, что доказанные вспомогательные леммы 1 и 2, а также свойства (2.13)–(2.15) играют важную роль в достижении нашей цели – нахождении решения системы (2.12).
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть выполняются условия a)–c), A)–C) и 1)–5). Тогда система интегральных уравнений (1.1) имеет неотрицательное нетривиальное и ограниченное решение.
Доказательство. Для системы (1.1) рассмотрим следующие последовательные приближения:
Предполагая, что \varphi_i^{(p)}(x)\leqslant \varphi_i^{(p-1)}(x), \varphi_i^{(p)}(x)\geqslant |f_i(x)|, i=1,\dots, n, x\in \mathbb{R}, при некотором p\in \mathbb{N}, учитывая монотонность и нечетность функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n, а также положительность ядер K_{ij}(x), i,j=1,\dots, n, аналогичными рассуждениями (как выше) из (3.1) получим, что
Используя непрерывность функций \{\mu_j(u)\}_{j=1}^n, \{Q_j(u)\}_{j=1}^n, условие 1), а также тот факт, что свертка суммируемых и ограниченных функций является непрерывной функцией, индукцией по p несложно доказать, что \varphi_i^{(p)}\in C(\mathbb{R}), i=1,\dots, n, p=0,1,\dots . Таким образом, из i) и ii) заключаем, что последовательность непрерывных вектор-функций \varphi^{(p)}(x)=(\varphi_1^{(p)}(x),\dots, \varphi_n^{(p)}(x))^\top, p=0,1,\dots, имеет поточечный предел, когда p\to \infty: \lim_{p\to \infty}\varphi_i^{(p)}(x)=\varphi_i(x), i=1,\dots, n, x\in \mathbb{R}. Согласно теореме Б. Леви предельная вектор-функция \varphi(x)=(\varphi_1(x),\dots, \varphi_n(x))^\top удовлетворяет системе (1.1). Из свойств i), ii) следует также, что
С учетом (2.13)–(2.15) из (3.2) получаем \varphi_i(x)\geqslant0, \varphi_i(x)\not\equiv0, i=1,\dots, n, x\in \mathbb{R}. Итак, теорема 1 полностью доказана.
Замечание 1. На основании (2.14) из оценки (3.2) получаем также, что
Существование такого решения следует из теоремы 1.
Ниже докажем, что тогда \eta_i^*-\varphi_i\in L_1(\mathbb{R}), i=1,\dots, n.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1. Тогда для любого решения \varphi(x)=(\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x))^\top системы (1.1), удовлетворяющего двойному неравенству (4.1), имеет место интегральная асимптотика \eta_i^*-\varphi_i\in L_1(\mathbb{R}), i=1,\dots, n.
Доказательство. Для начала заметим, что \varphi_i\in C(\mathbb{R}), i=1,\dots,n. Действительно, эти включения следуют из непрерывности свертки суммируемых и ограниченных функций с учетом того, что \mu_j\in C(\mathbb{R}^+), Q_j\in C(\mathbb{R}) и Q_j(u)\uparrow по u на \mathbb{R}, j=1,\dots,n.
Учитывая соотношение (1.2), теперь оценим следующую разность:
где \varphi(x)=(\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x))^\top – решение системы (1.1), удовлетворяющее оценке (4.1).
Проинтегрируем обе части неравенства (4.4) по x в пределах от 1 до R. Тогда, учитывая (4.1) и следующие легко проверяемые оценки для \{\varphi_i(x)\}_{i=1}^n (вытекающие из выпуклости вниз функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n на \mathbb{R}^+ и из левой части неравенства (4.1)):
где m_{ij}:= \int_{-\infty}^{\infty} |x|K_{ij}(x)\, dx,\quad i,j=1,\dots,n.
Умножим обе части каждого из неравенств (4.6) на соответствующее \eta_i^* и просуммируем по всем i=1,\dots,n. Тогда, учитывая симметричность матрицы A и соотношение (1.2), получим
Аналогичными рассуждениями можно доказать, что \eta_i^*-\varphi_i\in L_1(-\infty,-1), i=1,\dots,n. Так как \varphi_i\in C(\mathbb{R}), то \eta_i^*-\varphi_i\in L_1(-1,1), i=1,\dots,n. Таким образом, \eta_i^*-\varphi_i\in L_1(\mathbb{R}), i=1,\dots,n. Теорема 2 доказана.
Следовательно, \lim_{x\to\pm\infty}|\eta_i^*-Q_i(\varphi_i(x))|\,{=}\,0, i\,{=}\,1,\dots,n. Так как Q_i(\eta_i^*)\,{=}\,\eta_i^*, Q_i\in C(\mathbb{R}), Q_i(u)\uparrow по u на \mathbb{R}, i=1,\dots,n, то из последнего предельного соотношения получаем, что \lim_{x\to\pm\infty}\varphi_i(x)=\eta_i^*, i=1,\dots,n.
Замечание 3. К сожалению, вопрос единственности решения системы (1.1) в классе ограниченных функций на множестве \mathbb{R} до сих пор остается открытым.
§ 5. Примеры
В последнем параграфе настоящей работы приведем конкретные примеры прикладного характера функций \{K_{ij}(x)\}_{i,j=1}^{n\times n}, \{\mu_{j}(t)\}_{j=1}^{n}, \{\lambda_{ij}(t)\}_{i,j=1}^{n\times n} и \{Q_{i}(u)\}_{i=1}^{n}, удовлетворяющих всем условиям доказанных утверждений.
Примеры ядер\{K_{ij}(x)\}_{i,j=1}^{n\times n}. В динамической теории p-адических открыто-замкнутых струн для скалярного поля тахионов и в математической теории пространственно-временного распространения пандемии система (1.1) встречается с конкретными представлениями ядер \{K_{ij}(x)\}_{i,j=1}^{n\times n} вида (см. [2]–[6])
где \{G_{ij}(s)\}_{i,j=1}^{n\times n} – непрерывные и положительные функции на интервале [a,b), 0<a<b\leqslant+\infty, причем спектральный радиус матрицы
\mathrm{p}_2)\mu_{i}(t)=1-(1-\varepsilon_i)e^{-t^2/\delta}, \delta>0, t\in\mathbb{R}^+, i=1,\dots,n, где \varepsilon_i\in(0,1) – некоторые числовые параметры.
Отметим, что примеры \mathrm{p}_1) встречаются в приложениях кинетической теории газов и теории переноса, а примеры \mathrm{p}_2) – математической биологии.
Примеры функций\{\lambda_{ij}(t)\}_{i,j=1}^{n\times n}. Приведем также примеры сингулярных в нуле функций \{\lambda_{ij}(t)\}_{i,j=1}^{n\times n}:
\mathrm{q}_1)\lambda_{ij}(t)=1+(d_{ij}/\sqrt{t})e^{-t}, i,j=1,\dots,n, t>0, где d_{ij}=d_{ji}>0 – произвольные параметры;
\mathrm{q}_2)\lambda_{ij}(t)=1+(c_{ij}/t^\alpha)e^{-t^2}, i,j=1,\dots,n, t>0, где c_{ij}=c_{ji}>0, \alpha\in(0,1) – числовые параметры.
Для полноты изложения в конце приведем также несколько прикладных примеров нелинейностей \{Q_{i}(u)\}_{i=1}^{n}.
Примеры функций\{Q_{i}(u)\}_{i=1}^{n}. В математической эпидемиологии часто встречаются следующие конкретные представления нелинейностей \{Q_{i}(u)\}_{i=1}^{n} (см. [5], [6]):
где Q_j^{-1} – обратная функция к функции Q_j, а \gamma_j>1 – числовые параметры, причем неравенства \gamma_j>1 в данной теории называются пороговым условием и представляют собой критические значения числа инфицированных, выше которых эпидемию невозможно остановить без серьезного медицинского вмешательства. Заметим также, что неравенства \gamma_j>1, j=1,\dots,n, гарантируют выполнение условий 1)–5).
В теории p-адических открыто-замкнутых струн и в кинетической теории газов нелинейности \{Q_{i}(u)\}_{i=1}^{n} имеют следующие виды:
\mathrm{r}_1)Q_i(u)=\delta_i u^p, u\in \mathbb{R}, j=1,\dots,n, где \delta_i>0 – числовые параметры, а p>2 – произвольное нечетное число;
\mathrm{r}_2)Q_i(u)=q_iu^p/(\eta_i^*)^{p-1}+(1-q_i)u, u\in \mathbb{R}, i=1,\dots,n, где q_i\in (0,1] – параметры, а числа \{\eta_i^*\}_{i=1}^n определяются из (1.2)–(1.4).
Список литературы
1.
П. Ланкастер, Теория матриц, Наука, М., 1978, 280 с. ; пер. с англ.: P. Lancaster, Theory of matrices, Academic Press, New York–London, 1969, xii+316 с.
2.
В. С. Владимиров, Я. И. Волович, “О нелинейном уравнении динамики в теории p-адической струны”, ТМФ, 138:3 (2004), 355–368; англ. пер.: V. S. Vladimirov, Ya. I. Volovich, “Nonlinear dynamics equation in p-adic string theory”, Theoret. and Math. Phys., 138:3 (2004), 297–309
3.
В. С. Владимиров, “О решениях p-адических струнных уравнений”, ТМФ, 167:2 (2011), 163–170; англ. пер.: V. S. Vladimirov, “Solutions of p-adic string equations”, Theoret. and Math. Phys., 167:2 (2011), 539–546
4.
Х. А. Хачатрян, “О разрешимости одной граничной задачи в p-адической теории струн”, Тр. ММО, 79, № 1, МЦНМО, М., 2018, 117–132; англ. пер.: Kh. A. Khachatryan, “On the solvability of a boundary value problem in p-adic string theory”, Trans. Moscow Math. Soc., 2018, 101–115
5.
O. Diekmann, H. G. Kaper, “On the bounded solutions of a nonlinear convolution equation”, Nonlinear Anal., 2:6 (1978), 721–737
6.
O. Diekmann, “Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection”, J. Math. Biol., 6:2 (1978), 109–130
7.
А. Х. Хачатрян, Х. А. Хачатрян, “О разрешимости нелинейного модельного уравнения Больцмана в задаче плоской ударной волны”, ТМФ, 189:2 (2016), 239–255; англ. пер.: A. Kh. Khachatryan, Kh. A. Khachatryan, “Solvability of a nonlinear model Boltzmann equation in the problem of a plane shock wave”, Theoret. and Math. Phys., 189:2 (2016), 1609–1623
8.
C. Cercignani, The Boltzmann equation and its applications, Appl. Math. Sci., 67, Springer-Verlag, New-York, 1988, xii+455 pp.
9.
Н. Б. Енгибарян, “Об одной задаче нелинейного переноса излучения”, Астрофизика, 2:1 (1966), 31–36; англ. пер.: N. B. Engibaryan, “On a problem in nonlinear radiative transfer”, Astrophysics, 2:1 (1966), 12–14
10.
Х. А. Хачатрян, “О разрешимости одной системы нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна на прямой”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 19:2 (2019), 164–181
11.
O. Diekmann, “Run for your life. A note on the asymptotic speed of propagation of an epidemic”, J. Differential Equations, 33:1 (1979), 58–73
12.
Х. А. Хачатрян, “О разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений в теории p-адической струны”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 172–193; англ. пер.: Kh. A. Khachatryan, “On the solubility of certain classes of non-linear integral equations in p-adic string theory”, Izv. Math., 82:2 (2018), 407–427
13.
Х. А. Хачатрян, “Существование и единственность решения одной граничной задачи для интегрального уравнения свертки с монотонной нелинейностью”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:4 (2020), 198–207; англ. пер.: Kh. A. Khachatryan, “Existence and uniqueness of solution of a certain boundary-value problem for a convolution integral equation with monotone non-linearity”, Izv. Math., 84:4 (2020), 807–815
14.
Kh. A. Khachatryan, H. S. Petrosyan, “Integral equations on the whole line with monotone nonlinearity and difference kernel”, J. Math. Sci. (N.Y.), 255:6 (2021), 790–804
15.
А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, 5-е изд., Наука, М., 1981, 544 с. ; англ. пер. 2-го изд.: A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Introductory real analysis, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1970, xii+403 с.
16.
У. Рудин, Функциональный анализ, Мир, М., 1975, 443 с. ; пер. с англ.: W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill Series in Higher Mathematics, McGraw-Hill Book Co., New York–Düsseldorf–Johannesburg, 1973, xiii+397 с.
17.
Н. Б. Енгибарян, “Консервативные системы интегральных уравнений свертки на полупрямой и всей прямой”, Матем. сб., 193:6 (2002), 61–82; англ. пер.: N. B. Engibaryan, “Conservative systems of integral convolution equations on the half-line and the entire line”, Sb. Math., 193:6 (2002), 847–867
18.
Л. Г. Арабаджян, А. С. Хачатрян, “Об одном классе интегральных уравнений типа свертки”, Матем. сб., 198:7 (2007), 45–62; англ. пер.: L. G. Arabadzhyan, A. S. Khachatryan, “A class of integral equations of convolution type”, Sb. Math., 198:7 (2007), 949–966
Образец цитирования:
Х. А. Хачатрян, А. С. Петросян, “О нетривиальной разрешимости одной системы нелинейных интегральных уравнений на всей прямой”, Изв. РАН. Сер. матем., 87:5 (2023), 215–231; Izv. Math., 87:5 (2023), 1062–1077
\RBibitem{KhaPet23}
\by Х.~А.~Хачатрян, А.~С.~Петросян
\paper О~нетривиальной разрешимости одной системы нелинейных интегральных уравнений на всей прямой
\jour Изв. РАН. Сер. матем.
\yr 2023
\vol 87
\issue 5
\pages 215--231
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im9348}
\crossref{https://doi.org/10.4213/im9348}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4666687}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1527.45004}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023IzMat..87.1062K}
\transl
\jour Izv. Math.
\yr 2023
\vol 87
\issue 5
\pages 1062--1077
\crossref{https://doi.org/10.4213/im9348e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001101882800012}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85177190766}
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/im9348
https://doi.org/10.4213/im9348
https://www.mathnet.ru/rus/im/v87/i5/p215
Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
A. Kh. Khachatryan, Kh. A. Khachatryan, H. S. Petrosyan, “Solvability of a system of nonlinear integral equations on the entire line”, Complex Variables and Elliptic Equations, 2025, 1