| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О нетривиальной разрешимости одной системы нелинейных интегральных уравнений на всей прямой Х. А. Хачатрянab, А. С. Петросянcb a Ереванский государственный университет b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова c Национальный аграрный университет Армении
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9348e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеРассмотрим следующую систему нелинейных интегральных уравнений на множестве R:=(−∞,+∞): относительно искомой измеримой и ограниченной вектор-функции φ(x)=(φ1(x),…,φn(x))⊤ (⊤ – знак транспонирования). В системе (1.1) {μj(u)}nj=1, {λij(u)}n×ni,j=1 – измеримые функции на множестве R+:=[0,+∞) и удовлетворяют следующим условиям:a) существуют числа εj∈(0,1), j=1,…,n, такие, что b) λij(u)⩾1, u∈R+, i,j=1,…,n, lim, j=1,\dots, n; c) 1-\mu_j\in L_1(0,+\infty)\cap C(\mathbb{R}^+), \lambda_{ij}-1\in L_1(0,+\infty), \lambda_{ij}(t)=\lambda_{ji}(t), t\in\mathbb{R}, i,j=1,\dots, n. Элементы матриц-функции K(x):=(K_{ij}(x))_{i,j=1}^{n\times n} определены на множестве \mathbb{R} и удовлетворяют следующим ограничениям: A) K_{ij}(x)>0, K_{ij}(x)=K_{ji}(x), K_{ij}(-u)=K_{ij}(u), x\in\mathbb{R}, u\in \mathbb{R}^+, i,j=1,\dots, n; B) K_{ij}(x) монотонно убывает по x на множестве \mathbb{R}^+, i,j=1,\dots, n; C) K_{ij}\in L_1(\mathbb{R})\cap M(\mathbb{R}), r(A)=1, где r(A) – спектральный радиус матрицы A:=\bigl(\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x)\, dx\bigr)_{i,j=1}^{n\times n}, т. е. наибольшее абсолютное значение собственных значений матрицы A, а M(\mathbb{R}) – пространство существенно ограниченных функций на множестве \mathbb{R}. По теореме Перрона–Фробениуса [1] существует вектор \eta:=(\eta_1, \dots, \eta_n)^\top с положительными координатами \eta_j, j=1,\dots,n, такой, что где
\begin{equation}
a_{ij}:= \int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x)\, dx,\qquad i,j=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{1.3}
Введем обозначение
\begin{equation}
\eta_j^*:= \frac{\eta_j}{\min_{1\leqslant i\leqslant n}\{\eta_i\}},\qquad j=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{1.4}
Относительно нелинейностей \{Q_i(u)\}_{i=1}^n (см. рис. 1 ) предположим выполнение следующих условий: 1) Q_i(u) монотонно возрастает по u на множестве \mathbb{R}, i=1,\dots,n; 2) Q_i\in C(\mathbb{R}), Q_i(-u)=-Q_i(u), u\in \mathbb{R}^+, i=1,\dots,n; 3) Q_i(u) – выпуклая вниз функция на множестве \mathbb{R}^+, i=1,\dots,n; 4) число \eta_j^* является неподвижной точкой отображения y=Q_j(u), т. е. Q_j(\eta_j^*)=\eta_j^*, j=1,\dots,n; 5) уравнение Q_j(u)=\varepsilon^2 u имеет положительный корень \xi_j^*, j=1,\dots,n, где \varepsilon:= \min \{\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n\}\in (0,1). Исследование системы (1.1), кроме теоретического интереса, представляет также прикладной интерес в различных направлениях естествознания. В частности, такие системы нелинейных интегральных уравнений возникают в динамической теории p-адических открыто-замкнутых струн, в математической теории пространственно-временного (географического) распространения эпидемии, в кинетической теории газов, в теории переноса излучения в спектральных линиях (см. [2]–[9]). В том частном случае, когда \lambda_{ij}\equiv1 и \mu_j\equiv1, i,j=1,\dots,n, система (1.1) достаточно подробно исследована в работе [10]. Указанная работа в основном посвящена вопросам существования знакопеременного ограниченного и монотонного решения, а также изучению асимптотического поведения построенного решения в \pm\infty. Соответствующее скалярное интегральное уравнение (n=1) при различных ограничениях на ядро и на нелинейность изучено в работах [2]–[7] и [10]–[14]. В настоящей работе при условиях a)–c), A)–C), 1)–5) мы займемся вопросами существования ограниченного решения системы (1.1) и исследования его асимптотического поведения на \pm\infty. В частности, будет доказано, что система (1.1) имеет неотрицательное нетривиальное и ограниченное решение, причем \eta_j^*-\varphi_j\in L_1^0(\mathbb{R}), j=1,\dots,n, где L_1^0(\mathbb{R}) – пространство суммируемых функций по Лебегу на множестве \mathbb{R}, имеющих нулевой предел на \pm\infty. В конце работы приведем конкретные прикладные примеры функций \{\mu _j (u)\}_{j=1}^n, \{\lambda_{ij}(u)\}_{i,j=1}^{n\times n}, \{K_{ij}(x)\}_{i,j=1}^{n\times n} и \{Q _i (u)\}_{i=1}^n для иллюстрации важности полученных результатов. § 2. Обозначения и вспомогательные фактыНаряду с системой (1.1) рассмотрим вспомогательную систему нелинейных интегральных уравнений с суммарно-разностным ядром на полуоси
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q_i(\psi_i(x))=\sum_{j=1}^n\mu_j(x)\int_{0}^\infty (K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))\psi_j(t)\, dt, \\ i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}^+, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.1}
относительно искомой вектор-функции \psi(x)=(\psi_1(x),\dots,\psi_n(x))^\top. Для системы (2.1) введем последовательные приближения
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q_i(\psi_i^{(m+1)}(x))=\sum_{j=1}^n\mu_j(x)\int_{0}^\infty (K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))\psi_j^{(m)}(t)\, dt, \\ \psi_i^{(0)}(x)=\eta_i^*,\quad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}^+,\quad m=0,1,\dots\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.2}
Индукцией легко можно доказать, что
\begin{equation}
\psi_i^{(m)}(x)\geqslant0,\quad \psi_i^{(m)}\in C(\mathbb{R}^+),\quad x\in \mathbb{R}^+, \quad i=1,\dots,n,\quad m=0,1,\dots,
\end{equation}
\tag{2.3}
\begin{equation}
\psi_i^{(m)}(x)\text{ монотонно убывают по } m,\qquad i=1,\dots,n,\quad x\in \mathbb{R}^+.
\end{equation}
\tag{2.4}
Из результатов работы [10] следует, что имеет место оценка снизу
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sum_{j=1}^n \eta_j^*\int_{0}^\infty (K_{ij}(x-t)-K_{ij}(x+t))(1-e^{-p^* t})\, dt\geqslant \eta_i^*\varepsilon_i (1-e^{-p^* x}), \\ x\in \mathbb{R}^+,\quad i=1,\dots,n, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.5}
где p^*=\min \{p_1,\dots, p_n\}, а числа \{p_i\}_{i=1}^n единственным образом определяются из следующих характеристических уравнений:
\begin{equation}
\sum_{j=1}^n\eta_j^*\int_{0}^\infty K_{ij}(t)e^{-pt}\, dt= \frac{\varepsilon_i\eta_i^*}{2},\qquad i=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{2.6}
Используя оценку (2.5) и свойство выпуклости вниз функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n на множестве \mathbb{R}^+, для последовательных приближений \{\psi_i^{(m)}(x)\}_{m=0}^\infty, i=1,\dots,n, индукцией по m несложно доказать следующую оценку снизу:
\begin{equation}
\psi_i^{(m)}(x)\,{\geqslant} \min_{1\leqslant j\leqslant n}\biggl( \frac{\xi_j^*}{\eta_j^*} \biggr)\eta_i^* (1-e^{-p^* x}),\qquad x\,{\in}\, \mathbb{R}^+,\quad i\,{=}\,1,\dots,n,\quad m\,{=}\,0,1,\dots\,.
\end{equation}
\tag{2.7}
Из полученных выше свойств (2.3), (2.4) и (2.7) следует, что последовательность непрерывных вектор-функций \psi^{(m)}(x)=(\psi_1^{(m)}(x),\dots, \psi_n^{(m)}(x))^\top, m=0,1,\dots, имеет поточечный предел, когда m\to \infty: \lim_{m\to \infty}\psi^{(m)}(x)=\psi(x), x\in\mathbb{R}^+, причем предельная вектор-функция \psi(x)=(\psi_1(x),\dots, \psi_n(x))^\top согласно теореме Б. Леви (см. [15]) удовлетворяет системе (2.1). Из (2.4) и (2.7) для предельной вектор-функции \psi(x) следует также двойная оценка
\begin{equation}
\min_{1\leqslant j\leqslant n}\biggl( \frac{\xi_j^*}{\eta_j^*} \biggr)\eta_i^* (1-e^{-p^* x})\leqslant \psi_i(x)\leqslant \eta_i^*,\qquad x\in \mathbb{R}^+,\quad i=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{2.8}
Используя технику, разработанную в работе [10], и проводя рассуждения, аналогичные приведенным в [10], можно доказать, что Учитывая неравенство (2.8), условия c), C), 1), 2) и тот факт, что свертка суммируемой и ограниченной функций является непрерывной функцией (см. [16]), из (2.1) получаем также, что Следовательно, сходимость последовательности вектор-функций \{\psi_{m}(x)\}_{m=0}^\infty к \psi(x)=(\psi_1(x),\dots, \psi_n(x))^\top равномерна на каждом компакте из \mathbb{R}^+. Прямой проверкой можно убедиться, что функции
\begin{equation}
f_i(x)= \begin{cases} \psi_i(x), &\text{если }x\in \mathbb{R}^+, \\ -\psi_i(-x), &\text{если }x\in (-\infty,0), \end{cases} \qquad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{2.11}
удовлетворяют следующей системе нелинейных интегральных уравнений на всей прямой:
\begin{equation}
Q_i(f_i(x))=\sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{\mathbb{R}} K_{ij}(x-t) f_j(t)\, dt,\qquad i=1,\dots,n,\quad x\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{2.12}
Из (2.8)–(2.11) непосредственно следует, что
\begin{equation}
f_i(-x)=-f_i(x),\qquad x\in \mathbb{R}^+,\quad f_i\in C(\mathbb{R}),\quad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{2.13}
\begin{equation}
\min_{1\leqslant j\leqslant n}\biggl( \frac{\xi_j^*}{\eta_j^*} \biggr)\eta_i^* (1-e^{-p^* x})\leqslant f_i(x)\leqslant \eta_i^*,\qquad x\in \mathbb{R}^+,\quad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{2.14}
\begin{equation}
\eta_i^*\pm f_i\in L_1(\mathbb{R}^{\mp}),\qquad \mathbb{R}^-:=\mathbb{R}\setminus\mathbb{R}^+, \quad i=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{2.15}
Введем обозначение
\begin{equation}
b_{ij}:=2\sup_{x\in\mathbb{R}}(K_{ij}(x))\int_0^\infty (\lambda_{ij}(t)-1)\, dt,\qquad i,j=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{2.16}
Рассмотрим вспомогательную систему нелинейных алгебраических уравнений
\begin{equation}
Q_i(\xi_i)= \sum_{j=1}^n (a_{ij}+b_{ij})\xi_j,\qquad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{2.17}
относительно искомого вектора \xi:=(\xi_1,\dots,\xi_n)^\top, где a_{ij} и b_{ij}, i,j=1,\dots,n, задаются согласно (1.3) и (2.16) соответственно. Наша ближайшая цель – доказать существование и единственность решения системы (2.17). Имеет место следующая лемма. Лемма 1. Пусть элементы матрицы A=(a_{ij})_{i,j=1}^{n\times n} положительны, причем r(A)=1, а элементы матрицы B=(b_{ij})_{i,j=1}^{n\times n} неотрицательны. Тогда, если функции \{Q_i(u)\}_{i=1}^n удовлетворяют условиям 1)–5), то система (2.17) обладает покомпонентно положительным решением \xi:=(\xi_1,\dots,\xi_n)^\top. Более того, \xi_i\geqslant \eta_i^*, i=1,\dots,n. Доказательство. Введем последовательные приближения
\begin{equation}
Q_i(\xi_i^{(p+1)})= \sum_{j=1}^n (a_{ij}+b_{ij})\xi_j^{(p)},\qquad i=1,\dots,n, \quad \xi_i^{(0)}=\eta_i^*,\quad p=0,1,\dots\,.
\end{equation}
\tag{2.18}
Сперва индукцией по p докажем, что Учитывая равенство (1.2), неотрицательность элементов матрицы B, монотонность функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n по u и соотношения 4), из (2.18) будем иметь
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &Q_i(\xi_i^{(1)})= \sum_{j=1}^n (a_{ij}+b_{ij})\eta_j^*\geqslant \sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^*=\eta_i^*=Q_i(\eta_i^*) \\ &\qquad \Longrightarrow \quad \xi_i^{(1)}\geqslant \eta_i^*=\xi_i^{(0)},\qquad i=1,\dots,n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Предполагая, что \xi_i^{(p)}\geqslant \xi_i^{(p-1)}, i=1,\dots,n, при некотором натуральном p, из (2.18) с учетом положительности элементов матрицы A+B и монотонности функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n получаем, что \xi_i^{(p+1)}\geqslant \xi_i^{(p)}. Теперь докажем, что существует число c>1 такое, что
\begin{equation}
\xi_i^{(p)}\leqslant c\eta_i^*,\qquad i=1,\dots,n,\quad p=0,1,\dots\,.
\end{equation}
\tag{2.20}
С этой целью сперва рассмотрим следующие характеристические функции на множестве [1,+\infty):
\begin{equation}
\chi_i(u):=\frac{Q_i(u\eta_i^*)}{u\eta_i^*}-1-\frac{\alpha_i}{\eta_i^*},\qquad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{2.21}
где
\begin{equation}
\alpha_i:= \sum_{j=1}^n b_{ij}\eta_j^*,\qquad i=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{2.22}
Заметим, что из условия 4) следует, что \chi_i(1)=-\alpha_i/\eta_i^*<0, i=1,\dots, n. С другой стороны, в силу выпуклости вниз и монотонности функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n на множестве \mathbb{R}^+ можем утверждать, что
\begin{equation}
\chi_i(u)\uparrow \text{ по } u \text{ на } [1,+\infty),\qquad i=1,\dots, n,
\end{equation}
\tag{2.23}
Следовательно, при каждом i\in \{1,\dots, n\} существует число c_i>1 такое, что \chi_i(c_i)=0. Обозначим через c:=\max\{c_1,\dots,c_n\}. Тогда, учитывая (2.23) и (2.24), будем иметь
\begin{equation}
\frac{Q_i(c\eta_i^*)}{c\eta_i^*}\geqslant \frac{Q_i(c_i\eta_i^*)}{c_i\eta_i^*}=1+\frac{\alpha_i}{\eta_i^*},\qquad i=1,\dots, n.
\end{equation}
\tag{2.25}
Ниже, используя (2.25), перейдем к доказательству оценки (2.20). При p=0 неравенство (2.20) сразу следует из определения нулевого приближения с учетом того, что c\geqslant c_i>1, i=1,\dots, n. Предположим, что \xi_i^{(p)}\leqslant c\eta_i^*, i=1,\dots, n, при некотором p\in \mathbb{N}. Тогда в силу (2.25) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_i(\xi_i^{(p+1)}) &\leqslant c\biggl(\sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^*+ \sum_{j=1}^n b_{ij}\eta_j^*\biggr) \\ &=c(\eta_i^*+\alpha_i)= c\eta_i^*\biggl(1+\frac{\alpha_i}{\eta_i^*}\biggr)\leqslant Q_i(c\eta_i^*),\qquad i=1,\dots, n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Из последнего неравенства сразу следует, что \xi_i^{(p+1)}\leqslant c\eta_i^*, i=1,\dots, n, ибо Q_i(u)\uparrow по u на \mathbb{R}, i=1,\dots, n.
Итак, последовательность векторов \xi^{(p)}:=(\xi_1^{(p)}, \dots, \xi_n^{(p)})^\top, p=0,1,\dots, имеет предел, когда p\to \infty: \lim_{p\to \infty}\xi_i^{(p)}=\xi_i, i=1,\dots,n, причем в силу непрерывности функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n предельный вектор является решением системы (2.17) и \xi_i\in [\eta_i^*, c\eta_i^*], i=1,\dots,n. Лемма 1 доказана. Имеет место также следующее утверждение о единственности решения системы (2.17). Лемма 2. При условиях леммы 1, если матрица A+B симметрична, то система (2.17) не может иметь более одного решения в классе векторов Доказательство. Предположим обратное: пусть система (2.17) обладает двумя решениями \xi, \widetilde{\xi}\in \mathfrak{M}. Тогда в силу положительности элементов матрицы A+B из (2.17) будем иметь
\begin{equation}
|Q_i(\xi_i)-Q_i(\widetilde{\xi}_i)|\leqslant \sum_{j=1}^n (a_{ij}+b_{ij})|\xi_j-\widetilde{\xi}_j|, \qquad i=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{2.26}
где \xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)^\top, \widetilde{\xi}=(\widetilde{\xi}_1,\dots,\widetilde{\xi}_n)^\top. Умножим обе части каждого из неравенств (2.26) на соответствующее \xi_i и все полученные неравенства просуммируем по i=1,\dots,n. Тогда, учитывая симметричность матрицы A+B, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{i=1}^n \xi_i |Q_i(\xi_i)-Q_i(\widetilde{\xi}_i)| &\leqslant \sum_{i=1}^n \xi_i \sum_{j=1}^n (a_{ij}+b_{ij})|\xi_j-\widetilde{\xi}_j| \\ &=\sum_{j=1}^n |\xi_j-\widetilde{\xi}_j|\sum_{i=1}^n (a_{ij}+b_{ij})\xi_i =\sum_{j=1}^n |\xi_j-\widetilde{\xi}_j| Q_j(\xi_j) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
или
\begin{equation*}
J:=\sum_{i=1}^n \bigl(\xi_i |Q_i(\xi_i)-Q_i(\widetilde{\xi}_i)|-|\xi_i-\widetilde{\xi}_i| Q_i(\xi_i)\bigr)\leqslant 0.
\end{equation*}
\notag
Непосредственно из свойств 1)–5) вытекает, что
\begin{equation}
J=\sum_{i\in\mathcal{P}} (\xi_i |Q_i(\xi_i)-Q_i(\widetilde{\xi}_i)|-|\xi_i-\widetilde{\xi}_i| Q_i(\xi_i))\leqslant0,
\end{equation}
\tag{2.27}
где
\begin{equation}
\mathcal{P}:=\bigl\{i\in \{ 1,\dots,n\}\colon \xi_i\neq0,\, \xi_i\neq\widetilde{\xi}_i\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.28}
Согласно определению множества \mathcal{P} неравенство (2.27) можно переписать в следующем виде:
\begin{equation}
\sum_{i\in\mathcal{P}}\xi_i |\xi_i-\widetilde{\xi}_i| \biggl(\frac{|Q_i(\xi_i)-Q_i(\widetilde{\xi}_i)|}{|\xi_i-\widetilde{\xi}_i|} -\frac{Q_i(\xi_i)}{\xi_i} \biggr)\leqslant 0.
\end{equation}
\tag{2.29}
На основании выпуклости вниз функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n на множестве \mathbb{R}^+ можно утверждать, что для всех i\in\mathcal{P} имеет место строгое неравенство
\begin{equation}
\frac{|Q_i(\xi_i)-Q_i(\widetilde{\xi}_i)|}{|\xi_i-\widetilde{\xi}_i|}>\frac{Q_i(\xi_i)}{\xi_i}.
\end{equation}
\tag{2.30}
Поэтому ввиду (2.29) и (2.30) приходим к противоречию. Следовательно, лемма 2 доказана. § 3. О разрешимости системы (1.1)В настоящем параграфе мы перейдем к изучению вопроса существования нетривиального неотрицательного и ограниченного решения исходной системы (1.1). Отметим, что доказанные вспомогательные леммы 1 и 2, а также свойства (2.13)–(2.15) играют важную роль в достижении нашей цели – нахождении решения системы (2.12). Имеет место следующая теорема. Теорема 1. Пусть выполняются условия a)–c), A)–C) и 1)–5). Тогда система интегральных уравнений (1.1) имеет неотрицательное нетривиальное и ограниченное решение. Доказательство. Для системы (1.1) рассмотрим следующие последовательные приближения:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q_i(\varphi_i^{(p+1)}(x))=\sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\lambda_{ij}(|t|)\varphi_j^{(p)}(t)\, dt, \\ \varphi_i^{(0)}(x)=\xi_i,\quad x\in \mathbb{R},\quad i=1,\dots, n,\quad p=0,1,\dots, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.1}
где числа \{\xi_i\}_{i=1}^n единственным образом определяются из системы нелинейных алгебраических уравнений (2.17) (см. леммы 1 и 2).
Индукцией по p докажем, что i) \varphi_i^{(p)}(x)\downarrow по p, i=1,\dots, n, x\in \mathbb{R}, ii) \varphi_i^{(p)}(x)\geqslant |f_i(x)|, i=1,\dots, n, p=0,1,\dots, x\in \mathbb{R}, где f(x)=(f_1(x),\dots, f_n(x))^\top – решение вспомогательной системы нелинейных интегральных уравнений (2.12), обладающее свойствами (2.13)–(2.15). Сперва докажем, что
\begin{equation*}
|f_i(x)|\leqslant \varphi_i^{(1)}(x)\leqslant \xi_i,\qquad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
Действительно, учитывая (1.2), (2.16), условия a)–c), а также леммы 1 и 2, из (3.1) будем иметь
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_i(\varphi_i^{(1)}(x)) &\leqslant \sum_{j=1}^n\xi_j\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\lambda_{ij}(|t|)\, dt \\ &= \sum_{j=1}^n\xi_j\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)(\lambda_{ij}(|t|)-1)\, dt+ \sum_{j=1}^n\xi_j\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\, dt \\ &\leqslant \sum_{j=1}^n\xi_j \sup_{x\in \mathbb{R}}(K_{ij}(x)) \int_{-\infty}^\infty (\lambda_{ij}(|t|)-1)\, dt+ \sum_{j=1}^n a_{ij}\xi_j \\ &= \sum_{j=1}^n\xi_j \biggl(2\sup_{x\in \mathbb{R}}(K_{ij}(x)) \int_{0}^\infty (\lambda_{ij}(t)-1)\, dt +a_{ij} \biggr) \\ &=\sum_{j=1}^n(a_{ij}+b_{ij})\xi_j=Q_i(\xi_i),\qquad i=1,\dots, n, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
откуда в силу монотонности функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n получаем, что
\begin{equation*}
\varphi_i^{(1)}(x)\leqslant \xi_i=\varphi_i^{(0)}(x),\qquad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
Из леммы 1 и свойств (2.13), (2.14) сразу следует, что \xi_i\geqslant |f_i(x)|, i=1,\dots, n, x\in \mathbb{R}.
Снова используя условия a)–c), соотношения (2.12), монотонность и нечетность функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n, из (3.1) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &Q_i(\varphi_i^{(1)}(x)) \geqslant \sum_{j=1}^n\mu_j(|x|) \xi_j\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\, dt \\ &\qquad\geqslant \sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)|f_j(t)|dt \geqslant \sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\biggl|\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)f_j(t)\, dt\biggr| \\ &\qquad\geqslant \biggl|\sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)f_j(t)\, dt\biggr| = |Q_i(f_i(x))|=Q_i(|f_i(x)|) \\ &\qquad\Longrightarrow\quad \varphi_i^{(1)}(x)\geqslant |f_i(x)|,\qquad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Предполагая, что \varphi_i^{(p)}(x)\leqslant \varphi_i^{(p-1)}(x), \varphi_i^{(p)}(x)\geqslant |f_i(x)|, i=1,\dots, n, x\in \mathbb{R}, при некотором p\in \mathbb{N}, учитывая монотонность и нечетность функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n, а также положительность ядер K_{ij}(x), i,j=1,\dots, n, аналогичными рассуждениями (как выше) из (3.1) получим, что
\begin{equation*}
\varphi_i^{(p+1)}(x)\leqslant \varphi_i^{(p)}(x),\quad \varphi_i^{(p+1)}(x)\geqslant |f_i(x)|,\qquad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
Используя непрерывность функций \{\mu_j(u)\}_{j=1}^n, \{Q_j(u)\}_{j=1}^n, условие 1), а также тот факт, что свертка суммируемых и ограниченных функций является непрерывной функцией, индукцией по p несложно доказать, что \varphi_i^{(p)}\in C(\mathbb{R}), i=1,\dots, n, p=0,1,\dots . Таким образом, из i) и ii) заключаем, что последовательность непрерывных вектор-функций \varphi^{(p)}(x)=(\varphi_1^{(p)}(x),\dots, \varphi_n^{(p)}(x))^\top, p=0,1,\dots, имеет поточечный предел, когда p\to \infty: \lim_{p\to \infty}\varphi_i^{(p)}(x)=\varphi_i(x), i=1,\dots, n, x\in \mathbb{R}. Согласно теореме Б. Леви предельная вектор-функция \varphi(x)=(\varphi_1(x),\dots, \varphi_n(x))^\top удовлетворяет системе (1.1). Из свойств i), ii) следует также, что
\begin{equation}
|f_i(x)|\leqslant \varphi_i(x)\leqslant \xi_i,\qquad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{3.2}
С учетом (2.13)–(2.15) из (3.2) получаем \varphi_i(x)\geqslant0, \varphi_i(x)\not\equiv0, i=1,\dots, n, x\in \mathbb{R}. Итак, теорема 1 полностью доказана. § 4. Асимптотическое поведение решения на \pm \inftyПусть \varphi(x)=(\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x))^\top – любое решение системы (1.1), удовлетворяющее следующему двойному неравенству:
\begin{equation}
\min_{1\leqslant j\leqslant n}\biggl(\frac{\xi_j^*}{\eta_j^*}\biggr)\eta_i^*(1-e^{-p^*|x|})\leqslant \varphi_i(x)\leqslant \xi_i,\qquad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{4.1}
Существование такого решения следует из теоремы 1. Ниже докажем, что тогда \eta_i^*-\varphi_i\in L_1(\mathbb{R}), i=1,\dots, n. Справедлива следующая теорема. Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1. Тогда для любого решения \varphi(x)=(\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x))^\top системы (1.1), удовлетворяющего двойному неравенству (4.1), имеет место интегральная асимптотика \eta_i^*-\varphi_i\in L_1(\mathbb{R}), i=1,\dots, n. Доказательство. Для начала заметим, что \varphi_i\in C(\mathbb{R}), i=1,\dots,n. Действительно, эти включения следуют из непрерывности свертки суммируемых и ограниченных функций с учетом того, что \mu_j\in C(\mathbb{R}^+), Q_j\in C(\mathbb{R}) и Q_j(u)\uparrow по u на \mathbb{R}, j=1,\dots,n.
Учитывая соотношение (1.2), теперь оценим следующую разность:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\eta_i^*-Q_i(\varphi_i(x))|=\biggl|\sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^*-\sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\lambda_{ij}(|t|)\varphi_j(t)\, dt\biggr| \\ &\qquad =\biggl|\sum_{j=1}^n\biggl(\eta_j^*\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\, dt- \mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\lambda_{ij}(|t|)\varphi_j(t)\, dt\biggr)\biggr| \\ &\qquad =\biggl|\sum_{j=1}^n \eta_j^*\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\, dt+\sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^*(1-\mu_j(|x|)) \\ &\qquad \qquad -\sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\lambda_{ij}(|t|)\varphi_j(t)\, dt\biggr| \\ &\qquad\leqslant \sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^*(1-\mu_j(|x|))+ \biggl| \sum_{j=1}^n \eta_j^*\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\, dt \\ &\qquad\qquad -\sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)\varphi_j(t)\, dt \\ &\qquad\qquad- \sum_{j=1}^n\mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)(\lambda_{ij}(|t|)-1)\varphi_j(t)\, dt\biggr| \\ &\qquad\leqslant \sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^*(1-\mu_j(|x|))+ \sum_{j=1}^n\xi_j\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)(\lambda_{ij}(|t|)-1)\, dt \\ &\qquad\qquad+ \biggl|\sum_{j=1}^n \mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t) (\eta_j^*-\varphi_j(t))\, dt\biggr| \\ &\qquad\leqslant \sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^*(1-\mu_j(|x|))+ \sum_{j=1}^n\xi_j\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)(\lambda_{ij}(|t|)-1)\, dt \\ &\qquad\qquad+ \sum_{j=1}^n \mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t) |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt \\ &\qquad=g_i(x)+\sum_{j=1}^n \mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t) |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt, \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation}
\begin{gathered} \, g_i(x):=\sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^*(1-\mu_j(|x|))+ \sum_{j=1}^n\xi_j\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t)(\lambda_{ij}(|t|)-1)\, dt, \\ i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
Из условий c) и C) по теореме Фубини (см. [15]) получаем, что Итак, мы получили следующую оценку сверху:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |\eta_i^*-Q_i(\varphi_i(x))|\leqslant g_i(x)+\sum_{j=1}^n \mu_j(|x|)\int_{-\infty}^\infty K_{ij}(x-t) |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt, \\ i=1,\dots, n,\quad x\in \mathbb{R}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.4}
Пусть R>1 – произвольное число. Введем измеримые множества
\begin{equation}
\begin{aligned} \, E_R^i &:=\{x\in [1,R]\colon \varphi_i(x)\leqslant \eta_i^*\}, \\ \widetilde{E}_R^i &:=\{x\in [1,R]\colon \varphi_i(x)> \eta_i^*\}, \end{aligned} \qquad i=1,\dots, n,
\end{equation}
\tag{4.5}
где \varphi(x)=(\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x))^\top – решение системы (1.1), удовлетворяющее оценке (4.1).
Проинтегрируем обе части неравенства (4.4) по x в пределах от 1 до R. Тогда, учитывая (4.1) и следующие легко проверяемые оценки для \{\varphi_i(x)\}_{i=1}^n (вытекающие из выпуклости вниз функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n на \mathbb{R}^+ и из левой части неравенства (4.1)): \bullet для x\in E_R^i
\begin{equation*}
\eta_i^*-Q_i(\varphi_i(x))\geqslant \alpha_i(\eta_i^*-\varphi_i(x)),
\end{equation*}
\notag
\bullet для x\in \widetilde{E}_R^i
\begin{equation*}
Q_i(\varphi_i(x))-\eta_i^*\geqslant \beta_i(\varphi_i(x)-\eta_i^*),\quad i=1,\dots, n,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_i:= \frac{\eta_i^*-Q_i(\omega_i)}{\eta_i^*-\omega_i},\qquad \omega_i:=\min_{1\leqslant j\leqslant n}\biggl(\frac{\xi_j^*}{\eta_j^*}\biggr)\eta_i^*(1-e^{-p^*}), \\ \beta_i:=\frac{2(\eta_i^*-Q_i(\eta_i^*/2))}{\eta_i^*},\qquad i=1,\dots, n, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
из (4.4) получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\alpha_i\int_{E_R^i}\bigl(\eta_i^*-\varphi_i(x)\bigr)\, dx+ \beta_i\int_{\widetilde{E}_R^i}\bigl(\varphi_i(x)-\eta_i^*\bigr)\, dx \\ &\ \leqslant \int_{E_R^i}\bigl(\eta_i^*-Q_i(\varphi_i(x))\bigr)\, dx+ \int_{\widetilde{E}_R^i}\bigl(Q_i(\varphi_i(x))-\eta_i^*\bigr)\, dx =\int_1^R|\eta_i^*-Q_i(\varphi_i(x))|\, dx \\ &\ \leqslant \int_1^R g_i(x)\, dx+ \sum_{j=1}^n \int_1^R \int_{-\infty}^{\infty} K_{ij}(x-t)|\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt\, dx \\ &\ \leqslant \int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j) \int_1^R \int_{-\infty}^1 K_{ij}(x-t)\, dt\, dx \\ &\ \qquad+\sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j) \int_1^R \int_R^{\infty} K_{ij}(x-t)\, dt\, dx \\ &\ \qquad + \sum_{j=1}^n \int_1^R \int_1^R K_{ij}(x-t)|\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt\, dx \\ &\ \leqslant \int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j) \int_1^R \int_{x-1}^{\infty} K_{ij}(y)\, dy\, dx \\ &\ \qquad + \sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j) \int_1^R \int_{-\infty}^{x-R} K_{ij}(y)\, dy\, dx \\ &\ \qquad+\sum_{j=1}^n \int_1^R |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} K_{ij}(x-t)\, dx\biggr)\, dt \\ &\ \leqslant \int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j) \int_1^\infty \int_{x-1}^{\infty} K_{ij}(y)\, dy\, dx \\ &\ \qquad + \sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j) \int_0^R \int_{-\infty}^{x-R} K_{ij}(y)\, dy\, dx + \sum_{j=1}^n a_{ij} \int_1^R |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt \\ &\ =\int_1^\infty g_i(x)\, dx+\sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j)\int_0^\infty xK_{ij}(x)\, dx \\ &\ \qquad +\sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j)\int_{-R}^0\int_{-\infty}^x K_{ij}(z)\, dz\, dx+ \sum_{j=1}^n a_{ij} \int_1^R |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt \\ &\ \leqslant \int_1^\infty g_i(x)\, dx+\sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j)\int_0^\infty xK_{ij}(x)\, dx \\ &\ \qquad + \sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j)\int_{-\infty}^0 \int_{-\infty}^x K_{ij}(z)\, dz \, dx + \sum_{j=1}^n a_{ij} \int_1^R |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt \\ &\ =\int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{j=1}^n (\eta_j^*+\xi_j)\int_{-\infty}^{\infty} |x|K_{ij}(x)\, dx \\ &\ \qquad + \sum_{j=1}^n a_{ij} \int_1^R |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt,\qquad i=1,\dots,n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Итак, мы получили следующее неравенство:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\alpha_i\int_{E_R^i}(\eta_i^*-\varphi_i(x))\, dx+ \beta_i\int_{\widetilde{E}_R^i}(\varphi_i(x)-\eta_i^*)\, dx \nonumber \\ &\ \leqslant \int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{j=1}^n m_{ij}(\eta_j^*+\xi_j) +\sum_{j=1}^n a_{ij} \int_1^R |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt,\qquad i=1,\dots,n, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
где m_{ij}:= \int_{-\infty}^{\infty} |x|K_{ij}(x)\, dx,\quad i,j=1,\dots,n.
Умножим обе части каждого из неравенств (4.6) на соответствующее \eta_i^* и просуммируем по всем i=1,\dots,n. Тогда, учитывая симметричность матрицы A и соотношение (1.2), получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^n \eta_i^* \biggl( \alpha_i\int_{E_R^i}(\eta_i^*-\varphi_i(x))\, dx+ \beta_i\int_{\widetilde{E}_R^i}(\varphi_i(x)-\eta_i^*)\, dx \biggr) \\ &\leqslant \sum_{i=1}^n \eta_i^*\int_1^\infty g_i(x)\, dx\,{+} \sum_{i=1}^n \eta_i^*\sum_{j=1}^n m_{ij}(\eta_j^*\,{+}\,\xi_j)\,{+}\sum_{j=1}^n \int_1^R |\eta_j^*\,{-}\,\varphi_j(t)|\, dt \biggl(\sum_{i=1}^n a_{ji}\eta_i^*\biggr) \\ &=\sum_{i=1}^n \eta_i^*\int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{i=1}^n \eta_i^*\sum_{j=1}^n m_{ij}(\eta_j^*+\xi_j)+\sum_{j=1}^n \eta_j^* \int_1^R |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
из которого сразу следует, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{i=1}^n \eta_i^* \biggl( (\alpha_i-1)\int_{E_R^i}(\eta_i^*-\varphi_i(x))\, dx+ (\beta_i-1)\int_{\widetilde{E}_R^i}(\varphi_i(x)-\eta_i^*)\, dx \biggr) \nonumber \\ &\qquad\leqslant \sum_{i=1}^n \eta_i^*\int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{i=1}^n \eta_i^*\sum_{j=1}^n m_{ij}(\eta_j^*+\xi_j). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
Учитывая выпуклость вниз функций \{Q_i(u)\}_{i=1}^n на \mathbb{R}^+, будем иметь
\begin{equation*}
\alpha_i-1=\frac{\omega_i-Q_i(\omega_i)}{\eta_i^*-\omega_i}>0,\quad \beta_i-1=\frac{\eta_i^*-2Q_i(\eta_i^*/2)}{\eta_i^*}>0,\qquad i=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, из (4.7) приходим к оценке
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n \eta_i^* \int_1^R |\eta_i^*-\varphi_i(x)|\, dx\leqslant \frac{\sum_{i=1}^n \eta_i^*\int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{i=1}^n \eta_i^*\sum_{j=1}^n m_{ij}(\eta_j^*+\xi_j)}{\min\{\min_{1\leqslant i\leqslant n}(\alpha_i-1), \min_{1\leqslant i\leqslant n}(\beta_i-1)\}}.
\end{equation}
\tag{4.8}
Так как \eta_i^*\geqslant 1, i=1,\dots,n, то из (4.8), в частности, получаем, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_1^R |\eta_i^*-\varphi_i(x)|\, dx \nonumber \\ &\ \leqslant \frac{\sum_{i=1}^n \eta_i^*\int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{i=1}^n \eta_i^*\sum_{j=1}^n m_{ij}(\eta_j^*+\xi_j)}{\min\{\min_{1\leqslant i\leqslant n}(\alpha_i-1), \min_{1\leqslant i\leqslant n}(\beta_i-1)\}},\qquad i=1,\dots,n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
В (4.9) устремляя число R\to +\infty получаем, что \eta_i^*-\varphi_i\in L_1(1,+\infty) и
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_1^\infty |\eta_i^*-\varphi_i(x)|\, dx \\ &\ \leqslant \frac{\sum_{i=1}^n \eta_i^*\int_1^\infty g_i(x)\, dx+ \sum_{i=1}^n \eta_i^*\sum_{j=1}^n m_{ij}(\eta_j^*+\xi_j)}{\min\{\min_{1\leqslant i\leqslant n}(\alpha_i-1), \min_{1\leqslant i\leqslant n}(\beta_i-1)\}},\qquad i=1,\dots,n. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Аналогичными рассуждениями можно доказать, что \eta_i^*-\varphi_i\in L_1(-\infty,-1), i=1,\dots,n. Так как \varphi_i\in C(\mathbb{R}), то \eta_i^*-\varphi_i\in L_1(-1,1), i=1,\dots,n. Таким образом, \eta_i^*-\varphi_i\in L_1(\mathbb{R}), i=1,\dots,n. Теорема 2 доказана. Замечание 2. Несложно убедиться, что
\begin{equation}
\lim_{x\to \pm\infty}\varphi_i(x)=\eta_i^*,\qquad i=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{4.10}
Действительно, во-первых, в силу известного предельного соотношения в операции свертки (см. [17]) будем иметь
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lim_{x\to \pm\infty}g_i(x) &=\sum_{j=1}^n a_{ij}\eta_j^* \lim_{x\to \pm\infty}(1-\mu_j(|x|)) \nonumber \\ &\qquad +\sum_{j=1}^n \xi_j\lim_{x\to \pm\infty} \int_{-\infty}^{\infty} K_{ij}(x-t)(\lambda_{ij}(|t|)-1)\, dt \nonumber \\ &=\sum_{j=1}^n a_{ij} \xi_j\lim_{t\to \pm\infty}(\lambda_{ij}(|t|)-1)=0,\qquad i=1,\dots,n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.11}
Во-вторых, как известно (см. [18]), если f, g\in L_1(\mathbb{R})\cap M(\mathbb{R}), то существует
\begin{equation}
\lim_{x\to \pm\infty}(f*g)(x)=\lim_{x\to \pm\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x-t)g(t)\, dt=0.
\end{equation}
\tag{4.12}
Используя (4.12), результат теоремы 2, с учетом условия C) и оценки (4.1) получаем, что существует
\begin{equation*}
\lim_{x\to \pm\infty}\sum_{j=1}^n \mu_j(|x|)\int_{-\infty}^{\infty} K_{ij}(x-t) |\eta_j^*-\varphi_j(t)|\, dt=0,\qquad i=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, \lim_{x\to\pm\infty}|\eta_i^*-Q_i(\varphi_i(x))|\,{=}\,0, i\,{=}\,1,\dots,n. Так как Q_i(\eta_i^*)\,{=}\,\eta_i^*, Q_i\in C(\mathbb{R}), Q_i(u)\uparrow по u на \mathbb{R}, i=1,\dots,n, то из последнего предельного соотношения получаем, что \lim_{x\to\pm\infty}\varphi_i(x)=\eta_i^*, i=1,\dots,n. Замечание 3. К сожалению, вопрос единственности решения системы (1.1) в классе ограниченных функций на множестве \mathbb{R} до сих пор остается открытым. § 5. ПримерыВ последнем параграфе настоящей работы приведем конкретные примеры прикладного характера функций \{K_{ij}(x)\}_{i,j=1}^{n\times n}, \{\mu_{j}(t)\}_{j=1}^{n}, \{\lambda_{ij}(t)\}_{i,j=1}^{n\times n} и \{Q_{i}(u)\}_{i=1}^{n}, удовлетворяющих всем условиям доказанных утверждений. Примеры ядер \{K_{ij}(x)\}_{i,j=1}^{n\times n}. В динамической теории p-адических открыто-замкнутых струн для скалярного поля тахионов и в математической теории пространственно-временного распространения пандемии система (1.1) встречается с конкретными представлениями ядер \{K_{ij}(x)\}_{i,j=1}^{n\times n} вида (см. [2]–[6])
\begin{equation}
K_{ij}(x)=\frac{a_{ij}}{\sqrt{\pi\delta}}\, e^{-x^2/\delta},\qquad x\in \mathbb{R},\quad i,j=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{5.1}
где \delta>0 – произвольный числовой параметр, а a_{ij}>0 – элементы матрицы A с единичным спектральным радиусом. В кинетической теории газов и в теории переноса излучения ядра \{K_{ij}(x)\}_{i,j=1}^{n\times n} имеют следующую структуру (см. [7]–[9]):
\begin{equation}
K_{ij}(x)=\int_a^b e^{-|x|s}G_{ij}(s)\, ds,\qquad x\in \mathbb{R},\quad i,j=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{5.2}
где \{G_{ij}(s)\}_{i,j=1}^{n\times n} – непрерывные и положительные функции на интервале [a,b), 0<a<b\leqslant+\infty, причем спектральный радиус матрицы
\begin{equation*}
G:=\biggl(2\int_a^b \frac{G_{ij}(s)}{s}\, ds\biggr)_{i,j=1}^{n\times n}
\end{equation*}
\notag
равен единице и G_{ij}(s)=G_{ji}(s), s\in[a,b). Несложно проверить, что условия A)–C) для ядер (5.1) и (5.2) автоматически выполняются. Примеры функций \{\mu_{i}(t)\}_{i=1}^{n}. Примерами функций \{\mu_{i}(t)\}_{i=1}^{n} могут служить следующие функции: \mathrm{p}_1) \mu_{i}(t)=1-(1-\varepsilon_i)e^{-t}, t\in\mathbb{R}^+, i=1,\dots,n; \mathrm{p}_2) \mu_{i}(t)=1-(1-\varepsilon_i)e^{-t^2/\delta}, \delta>0, t\in\mathbb{R}^+, i=1,\dots,n, где \varepsilon_i\in(0,1) – некоторые числовые параметры. Отметим, что примеры \mathrm{p}_1) встречаются в приложениях кинетической теории газов и теории переноса, а примеры \mathrm{p}_2) – математической биологии. Примеры функций \{\lambda_{ij}(t)\}_{i,j=1}^{n\times n}. Приведем также примеры сингулярных в нуле функций \{\lambda_{ij}(t)\}_{i,j=1}^{n\times n}: \mathrm{q}_1) \lambda_{ij}(t)=1+(d_{ij}/\sqrt{t})e^{-t}, i,j=1,\dots,n, t>0, где d_{ij}=d_{ji}>0 – произвольные параметры; \mathrm{q}_2) \lambda_{ij}(t)=1+(c_{ij}/t^\alpha)e^{-t^2}, i,j=1,\dots,n, t>0, где c_{ij}=c_{ji}>0, \alpha\in(0,1) – числовые параметры. Для полноты изложения в конце приведем также несколько прикладных примеров нелинейностей \{Q_{i}(u)\}_{i=1}^{n}. Примеры функций \{Q_{i}(u)\}_{i=1}^{n}. В математической эпидемиологии часто встречаются следующие конкретные представления нелинейностей \{Q_{i}(u)\}_{i=1}^{n} (см. [5], [6]):
\begin{equation*}
Q_j^{-1}(u)= \begin{cases} \gamma_j(1-e^{-u}), &u\geqslant0, \\ \gamma_j(e^u-1), &u<0, \end{cases} \qquad j=1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
где Q_j^{-1} – обратная функция к функции Q_j, а \gamma_j>1 – числовые параметры, причем неравенства \gamma_j>1 в данной теории называются пороговым условием и представляют собой критические значения числа инфицированных, выше которых эпидемию невозможно остановить без серьезного медицинского вмешательства. Заметим также, что неравенства \gamma_j>1, j=1,\dots,n, гарантируют выполнение условий 1)–5). В теории p-адических открыто-замкнутых струн и в кинетической теории газов нелинейности \{Q_{i}(u)\}_{i=1}^{n} имеют следующие виды: \mathrm{r}_1) Q_i(u)=\delta_i u^p, u\in \mathbb{R}, j=1,\dots,n, где \delta_i>0 – числовые параметры, а p>2 – произвольное нечетное число; \mathrm{r}_2) Q_i(u)=q_iu^p/(\eta_i^*)^{p-1}+(1-q_i)u, u\in \mathbb{R}, i=1,\dots,n, где q_i\in (0,1] – параметры, а числа \{\eta_i^*\}_{i=1}^n определяются из (1.2)–(1.4). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KhaPet23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|