| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Сильная сходимость аттракторов системы реакции–диффузии с быстро осциллирующими членами в ортотропной пористой среде К. А. Бекмаганбетовab, В. В. Чепыжовc, Г. А. Чечкинde a Казахстанский филиал Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, г. Нур-Султан b Институт математики и математического моделирования Министерства образования и науки Республики Казахстан, г. Алматы c Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва d Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, г. Москва e Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук, г. Уфа
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9163e 
Реферативные базы данных:
     ВведениеВ настоящей работе изучается поведение аттракторов начально-краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений в перфорированных областях, зависящих от малого параметра, при стремлении параметра к нулю. При этом в отличие от работы [1] удается доказать сильную сходимость аттракторов. Задачи в перфорированных областях в последние годы привлекают большое внимание специалистов (см., например, [2]–[7]). Были изучены периодические, локально периодические, почти периодические, а также случайные структуры. Здесь упомянем работы [8]–[14], где можно также ознакомиться с подробной библиографией. Мы изучаем сильную сходимость и предельное поведение аттракторов при стремлении малого параметра, характеризующего в частности и перфорацию, к нулю. Для изучения этого явления используем методы усреднения (см., например, [2], [9], [10], [12], [14]–[16]), а также тонкие методы анализа траекторных и глобальных аттракторов. Отметим несколько работ по усреднению аттракторов, которые появились в последнее время (см. [17]–[19]). В [17] и [19] изучалось усреднение аттракторов скалярных эволюционных уравнений с диссипацией в периодически перфорированной области. Аттракторы описывают поведение решений диссипативных нелинейных эволюционных уравнений при стремлении времени к бесконечности, а также характеризуют устойчивость и неустойчивость предельных структур соответствующих динамических систем (см., например, монографии [20]–[22] и ссылки в них). Нас интересует асимптотическое поведение траекторных и глобальных аттракторов системы уравнений реакции–диффузии с быстро осциллирующими членами в перфорированной области, которые описывают поведение ортотропных сред. Принцип усреднения Боголюбова [23] был использован в первых работах [24]–[26] об усреднении аттракторов эволюционных уравнений с быстро осциллирующими членами. Усреднение глобальных аттракторов для параболических уравнений с осциллирующими параметрами рассматривалось в [21], [27]–[30]. Некоторые вопросы, связанные с усреднением однородных глобальных аттракторов для диссипативных волновых уравнений, были рассмотрены в [31]–[34] при наличии быстрых колебаний по времени и в [21], [35]–[37], когда имеются быстрые колебания по пространственным переменным. Аналогичные задачи для автономных и неавтономных двумерных уравнений Навье–Стокса были изучены в [21], [36], [38], [39]. Статьи [39]–[43] посвящены изучению дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих сингулярные осциллирующие члены. Диссипативные системы уравнений в частных производных и теория траекторных аттракторов для них были разработаны и описаны в [21], [44], [45]. В случае неединственности решений этот подход особенно эффективен, как в случае, когда теорема единственности соответствующей исходной задачи еще не доказана (например, для неоднородной трехмерной системы уравнений Навье–Стокса) или не имеет места (для системы уравнений реакции–диффузии, рассматриваемой в настоящей статье). В статье доказывается, что траекторный аттрактор Aε системы уравнений реакции–диффузии в перфорированной области сильно сходится при ε→0 к траекторному аттрактору ¯A усредненной системы уравнений в соответствующем функциональном пространстве. Здесь ε также характеризует диаметр полостей и расстояние между ними в перфорированной среде. В § 1 определяются основные понятия и формулируются теоремы о траекторных аттракторах автономных эволюционных уравнений. В § 2 определяется геометрическая структура перфорированной области, формулируется задача для изучения и описываются необходимые функциональные пространства. В § 3 строятся траекторные аттракторы системы реакции–диффузии в сильной топологии при фиксированном параметре ε. Параграф 4 посвящен изучению усреднения аттракторов автономной системы уравнений реакции–диффузии с быстро осциллирующими членами в перфорированной области, а также демонстрируется появление “странного члена” (потенциала) в усредненной системе уравнений (о появлении “странного члена” см. пионерские работы [2], [3]). § 1. Траекторные аттракторы эволюционных уравненийВ этом параграфе излагается общая схема построения траекторных аттракторов автономных эволюционных уравнений. Рассматривается абстрактное автономное эволюционное уравнение Предполагается заданным нелинейный оператор A(⋅):E1→E0, где E1, E0 – банаховы пространства и E1⊆E0. Например, A(u)=λΔu−af(u)+g (см. § 2).Мы будем исследовать решения u(s) уравнения (1) в целом как функции переменной s∈R+. Здесь s≡t обозначает переменную времени. Множество решений (1) будем называть пространством траекторий K+ уравнения (1). Опишем пространство траекторий K+ более подробно. Прежде всего рассмотрим решения u(s) уравнения (1), определенные на фиксированном отрезке времени [t1,t2] из R. Изучим решения уравнения (1), принадлежащие некоторому банаховому пространству Ft1,t2, которое зависит от t1 и t2. Пространство Ft1,t2 состоит из функций f(s),s∈[t1,t2], таких, что f(s)∈E для почти всех s∈[t1,t2], где E – банахово пространство. Предполагаем, что E1⊆E⊆E0. Например, пространством Ft1,t2 может быть пространство C([t1,t2];E) или пространство Lp(t1,t2;E), p∈[1,∞], или пересечение пространств такого вида (см. § 2). Предположим, что Πt1,t2Fτ1,τ2⊆Ft1,t2 и где [t1,t2]⊆[τ1,τ2] и Πt1,t2 обозначает оператор сужения на отрезок [t1,t2]. Постоянная C(t1,t2,τ1,τ2) не зависит от функции f. Обычно рассматривается однородный случай пространств, когда C(t1,t2,τ1,τ2)=C(t2−t1,τ2−τ1).Пусть S(h) для h∈R обозначает оператор сдвига Очевидно, если аргумент s функции f(⋅) принадлежит отрезку [t1,t2], то аргумент s функции S(h)f(⋅) будет принадлежать отрезку [t1−h,t2−h] для h∈R. Предположим, что отображение S(h) является изоморфизмом из Ft1,t2 в Ft1−h,t2−h и Это предположение вполне естественно, например, для однородных по времени пространств.Предполагается, что если f(s)∈Ft1,t2, то A(f(s))∈Dt1,t2, где Dt1,t2 – некоторое более широкое, чем Ft1,t2 банахово пространство, Ft1,t2⊆Dt1,t2. Производная ∂f(t)/∂t понимается как обобщенная функция со значениями в E0, ∂f/∂t∈D′((t1,t2);E0). Предполагается также, что Dt1,t2⊆D′((t1,t2);E0) для всех (t1,t2)⊂R. Функция u(s)∈Ft1,t2 называется решением уравнения (1) в пространстве Ft1,t2 (на интервале (t1,t2)), если выполняется равенство ∂u(s)/∂t=A(u(s)) в смысле обобщенных функций в пространстве D′((t1,t2);E0). Определим также пространство Например, если Ft1,t2=C([t1,t2];E), то Floc+=C(R+;E), а если Ft1,t2=Lp(t1,t2;E), то Floc+=Llocp(R+;E).Функция u(s)∈Floc+ называется решением уравнения (1) в Floc+, если Πt1,t2u(s)∈Ft1,t2 и функция Πt1,t2u(s) является решением уравнения (1) для любого отрезка времени [t1,t2]⊂R+. Пусть K+ – некоторое множество решений уравнения (1), принадлежащих Floc+, которое не обязательно является множеством всех решений этого уравнения, принадлежащих Floc+. Элементы множества K+ называются траекториями, а само пространство K+ – пространством траекторий уравнения (1). Предполагается, что пространство траекторий K+ является трансляционно-инвариантным в следующем смысле: если u(s)∈K+, то u(h+s)∈K+ для любого h⩾0. Это условие является естественным свойством решений автономного уравнения в однородном пространстве. Рассмотрим теперь операторы сдвигов S(h) в Floc+: Ясно, что множество отображений {S(h),h⩾0} образует полугруппу в Floc+: S(h1)S(h2)=S(h1+h2) при h1,h2⩾0 и S(0)=Id – тождественное отображение. Заменим переменную h на переменную времени t. Полугруппа {S(t),t⩾0} называется полугруппой сдвигов. В силу сделанного предположения трансляционной инвариантности полугруппа сдвигов отображает пространство траекторий K+ на себя: Изучаются свойства притяжения полугруппы сдвигов {S(t)}, действующей на пространстве траекторий K+⊂Floc+ при t→+∞. Определим некоторую топологию в пространстве Floc+. Пусть ρt1,t2(⋅,⋅) – какая-то метрика определенная на пространстве Ft1,t2 для всех отрезков [t1,t2]⊂R. По аналогии с (2) и (3) предположим, что
ρt1,t2(Πt1,t2f,Πt1,t2g)⩽D(t1,t2,τ1,τ2)ρτ1,τ2(f,g)∀f,g∈Fτ1,τ2, [t1,t2]⊆[τ1,τ2],ρt1−h,t2−h(S(h)f,S(h)g)=ρt1,t2(f,g)∀f,g∈Ft1,t2,[t1,t2]⊂R,h∈R.
Для однородных пространств обычно коэффициент D(t1,t2,τ1,τ2)=D(t2−t1,τ2−τ1). Обозначим через Θt1,t2 соответствующее метрическое пространство на Ft1,t2. Например, ρt1,t2 может быть метрикой, порожденной нормой ‖⋅‖Ft1,t2 банахова пространства Ft1,t2. В приложениях также бывает, что метрика ρt1,t2 порождает топологию Θt1,t2 более слабую, чем топология сильной сходимости банахова пространства Ft1,t2. Обозначим через Θloc+ пространство Floc+, снабженное топологией локальной сходимости на Θt1,t2 при любом [t1,t2]⊂R+. Точнее, по определению последовательность функций {fk(s)}⊂Floc+ сходится к функции f(s)∈Floc+ при k→∞ в Θloc+, если ρt1,t2(Πt1,t2fk,Πt1,t2f)→0 при k→∞ для любого отрезка [t1,t2]⊂R+. Нетрудно доказать, что топология Θloc+ метризуема, например, с помощью метрики Фреше В случае, когда все метрические пространства Θt1,t2 полны, очевидно, что метрическое пространство Θloc+ также является полным. Заметим, что полугруппа сдвигов {S(t)} непрерывна в топологии Θloc+. Это непосредственно вытекает из определения топологического пространства Θloc+. Определим также следующее банахово пространство: где нормаНапример, если \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}=C(\mathbb{R}_+;E), то пространство \mathcal{F}_+^{\mathrm b}=C^{\mathrm b}(\mathbb{R}_+;E) с нормой \| f\|_{\mathcal{F}_+^{\mathrm b}}=\sup_{h\geqslant 0}\| f(h)\|_{E}, а если \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}=L_{p}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;E), то \mathcal{F}_+^{\mathrm b}=L_{p}^{\mathrm b}(\mathbb{R}_+;E) с нормой \| f\|_{\mathcal{F}_+^{\mathrm b}}=\bigl( \sup_{h\geqslant 0}\int_{h}^{h+1}\| f(s)\|_{E}^{p}\, ds\bigr)^{1/p}. Отметим, что \mathcal{F}_+^{\mathrm b}\subseteq \Theta_+^{\mathrm{loc}}. Банахово пространство \mathcal{F}_+^{\mathrm b} необходимо для определения ограниченных множеств в пространстве траекторий \mathcal{K}^+. При построении траекторного аттрактора в \mathcal{K}^+ мы не рассматриваем соответствующую равномерную метрику банахова пространства \mathcal{F}_+^{\mathrm b} при определении притяжения к аттрактору. Вместо этого мы используем метрику локальной сходимости \Theta_+^{\mathrm{loc}}, которая существенно слабее. Будем предполагать, что \mathcal{K}^+\subseteq \mathcal{F}_+^{\mathrm b}, т. е. любая траектория u(s)\in \mathcal{K}^+ уравнения (1) имеет конечную норму (8). Сформулируем определения притягивающего множества и траекторного аттрактора полугруппы сдвигов \{S(t)\}, действующей на \mathcal{K}^+. Определение 1.1. Множество \mathcal{P}\subseteq \Theta_+^{\mathrm{loc}} называется притягивающим множеством полугруппы сдвигов \{S(t)\}, действующей на \mathcal{K}^+, в топологии \Theta_+^{\mathrm{loc}}, если для любого ограниченного в \mathcal{F}_+^{\mathrm b} множества \mathcal{B}\subseteq \mathcal{K}^+ множество \mathcal{P} притягивает S(t)\mathcal{B} при t\to +\infty в топологии \Theta_+^{\mathrm{loc}}, т. е. для любой \varepsilon-окрестности O_{\varepsilon}(\mathcal{P}) в \Theta_+^{\mathrm{loc}} существует t_1\geqslant 0 такое, что S(t)\mathcal{B}\subseteq O_{\varepsilon}(\mathcal{P}) при любом t\geqslant t_1. Свойство притяжения \mathcal{P} можно сформулировать в следующей эквивалентной форме: для любого множества \mathcal{B}\subseteq \mathcal{K}^+ ограниченного в \mathcal{F}_+^{\mathrm b} и для любого M>0
\begin{equation*}
\operatorname{dist}_{\Theta_{0,M}}\bigl(\Pi_{0,M}S(t)\mathcal{B},\Pi_{0,M}\mathcal{P}\bigr)\to 0,\qquad t\to +\infty,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\operatorname{dist}_{\mathcal{M}}(X,Y):=\sup_{x\in X} \operatorname{dist}_{\mathcal{M}}(x,Y)=\sup_{x\in X} \inf_{y\in Y}\rho_{\mathcal{M}}(x,y)
\end{equation*}
\notag
обозначает (несимметричное) полурасстояние по Хаусдорфу от множества X до множества Y в метрическом пространстве \mathcal{M}. Определение 1.2 (см. [21]). Множество \mathfrak{A}\subseteq \mathcal{K}^+ называется траекторным аттрактором полугруппы сдвигов \{S(t)\} на \mathcal{K}^+ в топологии \Theta_+^{\mathrm{loc}}, если (i) \mathfrak{A} ограничено в \mathcal{F}_+^{\mathrm b} и компактно в \Theta_+^{\mathrm{loc}}; (ii) множество \mathfrak{A} строго инвариантно относительно полугруппы сдвигов: S(t)\mathfrak{A}=\mathfrak{A} при всех t\geqslant 0; (iii) \mathfrak{A} является притягивающим множеством полугруппы сдвигов \{S(t)\} для \mathcal{K}^+ в топологии \Theta_+^{\mathrm{loc}}, т. е. для любого M>0 Замечание 1.1. Используя терминологию из [20], можно сказать, что траекторный аттрактор \mathfrak{A} является глобальным (\mathcal{F}_+^{\mathrm b},\Theta_+^{\mathrm{loc}})-аттрактором полугруппы сдвигов \{S(t)\}, действующей на \mathcal{K}^+, т. е. \mathfrak{A} притягивает S(t)\mathcal{B} при t\to +\infty в топологии \Theta_+^{\mathrm{loc}}, где \mathcal{B} – любое ограниченное (в \mathcal{F}_+^{\mathrm b}) множество из \mathcal{K}^+: Сформулируем основные теоремы о существовании и структуре траекторного аттрактора уравнения (1). Теорема 1.1 (см. [20], [21], [44]). Пусть пространство траекторий \mathcal{K}^+, соответствующее уравнению (1), удовлетворяет условию (5). Предполагается, что полугруппа сдвигов \{S(t)\} имеет притягивающее множество \mathcal{P}\subseteq\mathcal{K}^+, которое ограничено в \mathcal{F}_+^{\mathrm b} и компактно в \Theta_+^{\mathrm{loc}}. Тогда полугруппа сдвигов \{S(t),\,t\geqslant 0\}, действующая на \mathcal{K}^+, имеет траекторный аттрактор \mathfrak{A}\subseteq \mathcal{P}. Множество \mathfrak{A} ограничено в \mathcal{F}_+^{\mathrm b} и компактно в \Theta_+^{\mathrm{loc}}. Опишем структуру траекторного аттрактора \mathfrak{A} уравнения (1) в терминах полных траекторий этого уравнения. Рассмотрим уравнение (1) на всей числовой оси времени Мы уже определили пространство траекторий \mathcal{K}^+ уравнения (9) на \mathbb{R}_+. Теперь распространим это определение на всю ось \mathbb{R}. Если функция f(s), s\in\mathbb{R}, задана на всей оси времени, то сдвиги S(h)f(s)=f(s+h) также определены при отрицательных h. Функция u(s), s\in \mathbb{R}, называется полной траекторией уравнения (9), если \Pi_+u(s+h)\in \mathcal{K}^+ при любом h\in \mathbb{R}. Здесь \Pi_+=\Pi_{0,\infty} обозначает оператор ограничения на полуось \mathbb{R}_+.Мы ввели пространства \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}},\mathcal{F}_+^{\mathrm b} и \Theta_+^{\mathrm{loc}}. Аналогичным образом определяются пространства \mathcal{F}^{\mathrm{loc}}, \mathcal{F}^{\mathrm b} и \Theta^{\mathrm{loc}}:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{F}^{\mathrm{loc}} &:=\{f(s),\, s\in \mathbb{R}\mid \Pi_{t_1,t_2}f(s)\in \mathcal{F}_{t_1,t_2}\ \forall\, [t_1,t_2]\subseteq \mathbb{R}\}; \\ \mathcal{F}^{\mathrm b} &:=\{f(s)\in \mathcal{F}^{\mathrm{loc}}\mid \| f\|_{\mathcal{F}^{\mathrm b}}<+\infty \}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation}
\| f\|_{\mathcal{F}^{\mathrm b}}:=\sup_{h\in \mathbb{R}}\| \Pi_{0,1}f(h+s)\|_{\mathcal{F}_{0,1}}.
\end{equation}
\tag{10}
Топологическое пространство \Theta^{\mathrm{loc}} совпадает (как множество) с \mathcal{F}^{\mathrm{loc}}, и по определению f_k(s)\to f(s) (k\to \infty) в \Theta^{\mathrm{loc}}, если \Pi_{t_1,t_2}f_k(s)\to \Pi_{t_1,t_2}f(s) (k\to \infty) в \Theta_{t_1,t_2} при любом [t_1,t_2]\subseteq \mathbb{R}. Ясно, что \Theta^{\mathrm{loc}} является метрическим пространством также, как и \Theta_+^{\mathrm{loc}}. Определение 1.3. Ядро \mathcal{K} в пространстве \mathcal{F}^{\mathrm b} уравнения (9) есть объединение всех полных траекторий u(s), s\in\mathbb{R}, уравнения (9), ограниченных в \mathcal{F}^{\mathrm b} по норме (10): Теорема 1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Тогда Множество \mathcal{K} компактно в \Theta^{\mathrm{loc}} и ограничено в \mathcal{F}^{\mathrm b}.Полное доказательство приведено в [21], [44]. При доказательстве того, что некоторый шар из \mathcal{F}_+^{\mathrm b} является компактным в \Theta_+^{\mathrm{loc}}, нами будет использоваться лемма 1.1. Пусть E_0 и E_1 – банаховы пространства такие, что E_1\subset E_0. Рассмотрим банаховы пространства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_{p_1,p_0}(0,M;E_1,E_0)&=\{\psi(s),\, s\in 0,M\mid \psi(\,{\cdot}\,)\in L_{p_1}(0,M;E_1), \\ &\qquad\qquad\psi'(\,{\cdot}\,)\in L_{p_0}(0,M;E_0)\}, \\ W_{\infty,p_0}(0,M;E_1,E_0)&=\{\psi(s),\, s\in 0,M\mid \psi(\,{\cdot}\,)\in L_{\infty}(0,M;E_1), \\ &\qquad\qquad\psi'(\,{\cdot}\,)\in L_{p_0}(0,M;E_0)\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
(где p_1\geqslant 1 и p_0>1), с нормами
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \| \psi \|_{W_{p_1,p_0}}& :=\biggl( \int_0^M\| \psi (s)\|_{E_1}^{p_1}\, ds\biggr)^{1/p_1} +\biggl( \int_0^M\| \psi'(s)\|_{E_0}^{p_0}\, ds\biggr)^{1/p_0}, \\ \| \psi \|_{W_{\infty,p_0}}& :=\operatorname{ess\,sup} \{\|\psi(s)\|_{E_1}\mid s\in [0,M]\} +\biggl( \int_0^M\| \psi'(s)\|_{E_0}^{p_0}\, ds\biggr)^{1/p_0}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Лемма 1.1 (Обэна–Лионса–Симона, см. [46]). Предположим, что E_1\Subset E\subset E_0. Тогда следующие вложения компактны: В следующих параграфах будут изучаться системы уравнений реакции–диффузии и их траекторные аттракторы, зависящие от малого параметра \varepsilon >0. Определение 1.4. Будем говорить, что траекторные аттракторы \mathfrak{A}_{\varepsilon} сходятся к траекторному аттрактору \overline{\mathfrak{A}} при \varepsilon\to 0 в топологическом пространстве \Theta_+^{\mathrm{loc}}, если для любой окрестности \mathcal{O}(\mathfrak{A}) в \Theta_+^{\mathrm{loc}} найдется \varepsilon_1\geqslant 0 такое, что \mathfrak{A}_{\varepsilon}\subseteq \mathcal{O}(\overline{\mathfrak{A}}) при любом \varepsilon<\varepsilon_1, т. е. для любого M>0 § 2. Обозначения и постановка задачиПусть \Omega – ограниченная область в \mathbb{R}^n, n\geqslant 3, содержащая точку 0, с кусочно гладкой границей \partial\Omega. Пусть G_0 – область, принадлежащая Y=(-1/2, 1/2)^n, такая, что \overline{G}_0 является компактом диффеоморфным шару. Пусть \delta>0 и Z – некоторое множество, введем следующее обозначение: \delta Z=\{x\colon \delta^{-1}x\in Z\}. Предположим, что \varepsilon>0 достаточно мало, чтобы Для j\in\mathbb{Z}^n определим
\begin{equation*}
P^j_\varepsilon=\varepsilon j, \qquad Y^j_\varepsilon=P^j_\varepsilon+\varepsilon Y, \qquad G^j_\varepsilon=P^j_\varepsilon+\varepsilon^{n/{(n-2)}}G_0.
\end{equation*}
\notag
Определим область \widetilde{\Omega}_\varepsilon=\{x\in\Omega\colon \rho(x, \partial\Omega)>\sqrt{n}\,\varepsilon\} и множество допустимых индексов
\begin{equation*}
\Upsilon_\varepsilon=\bigl\{j\in\mathbb{Z}^n\colon G^j_\varepsilon \cap \overline{\widetilde{\Omega}}_\varepsilon\neq\varnothing\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Заметим, что |\Upsilon_\varepsilon|\cong d\varepsilon^{-n}, где d>0 – некоторая постоянная. Рассмотрим область
\begin{equation*}
{\Omega}_\varepsilon=\Omega\setminus\overline{G}_\varepsilon,\quad \text{где}\quad G_\varepsilon=\bigcup_{j\in \Upsilon_\varepsilon} G^j_\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
Введем следующие обозначения для цилиндрических областей:
\begin{equation*}
Q_\varepsilon=\Omega_\varepsilon\times (0,+\infty), \qquad Q=\Omega\times(0,+\infty).
\end{equation*}
\notag
Мы будем изучать асимптотическое поведение траекторных аттракторов следующей начально-краевой задачи:
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial t} =\lambda\Delta u_\varepsilon- a\biggl(x, \frac x\varepsilon\biggr)f(u_\varepsilon) +g\biggl(x, \frac x\varepsilon\biggr), &\quad x&\in \Omega_\varepsilon, \\ &\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial \nu} +\varepsilon^{n/(n-2)} B^j_\varepsilon(x) u_\varepsilon =0, &\quad x&\in \partial G^j_\varepsilon,\ j\in \Upsilon_\varepsilon,\ t\in(0,+\infty), \\ &u_\varepsilon =0, &\quad x&\in \partial\Omega, \\ &u_\varepsilon= U(x), &\quad x&\in\Omega_\varepsilon,\ t=0, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{13}
где u_\varepsilon(x,t)=(u^1_\varepsilon,\dots, u^N_\varepsilon)^\top – неизвестная вектор-функция, f=(f^1,\dots, f^N)^\top – известная нелинейная функция, g=(g^1,\dots,g^N)^\top – известная функция правых частей, и \lambda – матрица размерности N\times N с постоянными коэффициентами, имеющая положительную симметричную часть: (\lambda+\lambda^{\top})/2 \geqslant \beta I (здесь \beta>0, а I – единичная матрица порядка N), \nu – вектор единичной внешней нормали к границам областей G^j_\varepsilon. Функция a(x,y)\in C(\overline{\Omega} \times \mathbb{R}^n) такая, что 0<a_0 \le a(x,y) \le A_0 с некоторыми постоянными a_0, A_0. Предполагается, что функция a_\varepsilon(x)=a(x,x/\varepsilon) имеет среднее \overline{a}(x) при \varepsilon \to 0+ в пространстве L_{\infty,*w}(\Omega), т. е.
\begin{equation}
\int_{\Omega}a\biggl(x, \frac x\varepsilon\biggr)\varphi(x)\, dx \to \int_{\Omega}\overline{a}(x)\varphi(x)\, dx,\qquad \varepsilon \to 0+,
\end{equation}
\tag{14}
для любой функции \varphi\in L_1(\Omega). Для вектор-функции g(x,y) предполагается, что при любом \varepsilon>0 функции g^i_\varepsilon(x)=g^i(x,x/\varepsilon)\in H^{-1}(\Omega) и имеют средние \overline{g}^{\,i}(x) в пространстве V'=H^{-1}(\Omega) при \varepsilon \to 0+, т. е.
\begin{equation*}
g^i\biggl(x, \frac x\varepsilon\biggr) \rightharpoondown \overline{g}^{\,i}(x) \qquad (\varepsilon \to 0+) \quad \text{слабо в }V'
\end{equation*}
\notag
или
\begin{equation}
\int_{\Omega}g^i\biggl(x, \frac x\varepsilon\biggr) \varphi(x)\, dx\to\int_{\Omega}\overline{g}^{\,i}(x)\varphi(x)\, dx,\qquad \varepsilon \to 0+,
\end{equation}
\tag{15}
для любой функции \varphi\in V=H_0^1(\Omega) и для всех i=1,\dots, N. Из условия (15) следует, что нормы функций g^i_\varepsilon(x) равномерно ограничены по \varepsilon в пространстве V':
\begin{equation}
\|g^i_\varepsilon(x)\|_{-1}\leqslant M_0\quad \forall\, \varepsilon\in (0,1].
\end{equation}
\tag{16}
В граничных условиях (13) матрица B_\varepsilon^j(x) является диагональной, причем на ее диагонали стоят ограниченные элементы
\begin{equation*}
b^{11}\biggl(x, \frac{x-P^j_\varepsilon}{\varepsilon^{n/(n-2)}}\biggr),\ \dots,\ b^{NN}\biggl(x, \frac{x-P^j_\varepsilon}{\varepsilon^{n/(n-2)}}\biggr),\qquad j\in \Upsilon_\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
где b^{kk}(x,y)\in C(\Omega \times \mathbb{R}^n) – 1-периодические по y функции такие, что с некоторыми постоянными b_0, B_0 для всех k=1, \dots, N. Обозначим также вектор
\begin{equation*}
\overline B(x,y):=\bigl(b^{11}(x,y), \dots, b^{NN}(x,y)\bigr)^\top,
\end{equation*}
\notag
а диагональную матрицу с элементами b^{11}(x,y), \dots,b^{NN}(x,y) обозначим через B(x,y). Предполагается, что вектор-функция f(v) \in C(\mathbb{R}^N;\mathbb{R}^N) удовлетворяет следующим неравенствам:
\begin{equation}
\sum_{i=1}^N|f^i(v)|^{p_i/{(p_i-1)}}\leqslant C_0\biggl(\sum_{i=1}^N|v^i|^{p_i}+1\biggr),\qquad 2\leqslant p_1\leqslant \dots \leqslant p_{N-1}\leqslant p_{N},
\end{equation}
\tag{18}
\begin{equation}
\sum_{i=1}^N\gamma_i|v^i|^{p_i}-C\leqslant \sum_{i=1}^N f^i(v)v^i\quad \forall\, v\in \mathbb{R}^N,
\end{equation}
\tag{19}
где \gamma_i>0 для всех i=1, \dots, N. Неравенство (18) связано с тем, что в реальных системах уравнений реакции–диффузии функции f^i(u) являются многочленами с возможно различными степенями. Неравенство (19) называется условием диссипативности для системы уравнений реакции–диффузии (13). В простом модельном случае p_i\equiv p для всех i=1, \dots, N, условия (18) и (19) сводятся к следующим неравенствам:
\begin{equation}
|f(v)| \leqslant C_0(|v|^{p-1}+1),\quad \gamma |v|^p-C\leqslant f(v)v\qquad \forall\, v\in \mathbb{R}^N.
\end{equation}
\tag{20}
Заметим, что выполнение условия Липшица для функции f(v) относительно переменной v не предполагается. Замечание 2.1. Излагаемыми методами можно также исследовать системы, у которых нелинейные члены имеют вид \sum_{j=1}^m a_j(x,x/\varepsilon) f_j(u), где a_j – матрицы, элементы которых допускают усреднения, а f_j(u) – векторы-многочлены по u, которые удовлетворяют условиям вида (18), (19). Для краткости мы изучим случай m=1 и a_1(x,x/\varepsilon) =a(x,x/\varepsilon) I, где I – единичная матрица. Рассмотрим некоторые примеры функций, удовлетворяющих условиям усредняемости (14) и (15). Обоснование можно найти в работе [36]. Пример 2.1. Пусть функция a(x,y)\in C(\overline{\Omega} \times \mathbb{R}^n) является периодической по каждому аргументу y_k, k=1,\dots,n, с периодом 1. Тогда свойство (14), очевидно, выполнено для функции a(x, x/\varepsilon), причем среднее где \mathbb{T}^{n}=\mathbb{R}^{n}\ (\operatorname{mod} 1) – n-мерный тор.Пусть вектор-функция g(x,y)\in C(\mathbb{R}^n;H^{-1}(\Omega)) также является 1-периодической со значениями в H^{-1}(\Omega) по каждому аргументу y_k, k=1,\dots,n. Свойство (15) выполнено для g(x, x/\varepsilon) со средним Пример 2.2. Пусть функции a(x,y) и g(x,y) являются квазипериодическими в соответствующих пространствах, что, к примеру, для a(x,y) означает существование непрерывной функции
\begin{equation*}
A(x,\xi_{11},\dots,\xi_{1k_1},\dots,\xi_{n1},\dots,\xi_{nk_n})\in C(\overline{\Omega }\times \mathbb{T}^{k_1}\times \dots \times \mathbb{T}^{k_n}),
\end{equation*}
\notag
которая является 1-периодической по каждому аргументу \xi_{ij} и такая, что
\begin{equation}
a(x,y_1,\dots,y_n)=A(x,\alpha_{11}y_1,\dots,\alpha_{1k_1}y_1,\dots,\alpha_{n1}y_n,\dots, \alpha_{nk_n}y_n)\quad\forall\, y\in \mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{21}
где \{\alpha_{ij}\}_{j=1,\dots,k_i}^{i=1,\dots,n} – некоторые рационально независимые вещественные числа. Аналогичные формулы должны выполняться для компонентов вектор-функции g(x,y). Средняя функция \overline{a}(x) получается усреднением функции A(x,\,\cdot\,) по всем торам \mathbb{T}^{k_1}\times \dots \times\mathbb{T}^{k_n}: Множество \overline{\Omega }\times \mathbb{T}^{k_1}\times \dots \times \mathbb{T}^{k_n} компактно. Поэтому функция a(x,y) – равномерно непрерывна по x:
\begin{equation}
|a(x_1,y)-a(x_2,y)|\leqslant \alpha (|x_1-x_2|)\quad\forall\, x_1,x_2\in \overline{\Omega},\quad \forall\, y\in \mathbb{R}^n,
\end{equation}
\tag{23}
где \alpha (s)\to 0 (s\to 0+) и \alpha (s) не зависит от y. Пример 2.3. Рассмотрим функцию a(x,y)\in C_b(\overline{\Omega} \times \mathbb{R}^n), удовлетворяющую условию (23). Пусть также функция a(x,y) является почти периодической по y в смысле Бора, т. е. существуют квазипериодические функции a_N(x,y)\in C_b(\overline{\Omega}\times \mathbb{R}^n) (см. (21)), которые удовлетворяют (23) с одной и той же функцией \alpha(s), и такие, что
\begin{equation*}
\lim_{N\to \infty }\| a(x,y)-a_N(x,y)\|_{C_b(\overline{\Omega}\times \mathbb{R}^n)}=0
\end{equation*}
\notag
(см. [47]). При выполнении перечисленных условий функция a(x,x/\varepsilon) имеет среднее \overline a(x) в L_{\infty,*w}(\Omega) при \varepsilon \to 0+, где \overline a(x)=\lim_{N\to \infty}\overline a_N(x) и \overline a_N(x) – средние функции a_N(x,z) в L_{\infty,*w}(\Omega) (см. (22)). Аналогично строятся примеры вектор-функций g(x,y), являющихся почти периодическими функциями со значениями в H^{-1}(\Omega), для которых функция g(x,x/\varepsilon) допускает усреднение по \varepsilon. Отметим, что во всех рассмотренных примерах допускаются вектор-функции
\begin{equation*}
g\biggl(x, \frac x\varepsilon\biggr)=G_0\biggl( x,\frac x\varepsilon \biggr) +\sum_{i=1}^n\partial_{x_i}G_i\biggl( x,\frac x\varepsilon \biggr),
\end{equation*}
\notag
где G_i(x,y)\in C(\mathbb{R}^n;L_2(\Omega)) являются периодическими, квазипериодическими или почти периодическими функциями со значениями в пространстве L_2(\Omega) и имеют средние \overline G_i(x)\in L_2(\Omega), i=0,1,\dots,n. Следовательно, возможен неограниченный рост L_2(\Omega)-норм функций
\begin{equation*}
\partial_{x_i}G_i\biggl( x,\frac x\varepsilon \biggr) =G_{ix_i}\biggl( x,\frac x\varepsilon \biggr) +\frac 1\varepsilon\, G_{iy_i}\biggl( x,\frac x\varepsilon \biggr)\quad \text{при}\quad \varepsilon \to 0{+}.
\end{equation*}
\notag
Эти функции ограничены лишь в пространстве H^{-1}(\Omega). Введем обозначения для пространств \mathbf{H}:=[L_2(\Omega)]^N, \mathbf{H_\varepsilon}:=[L_2(\Omega_\varepsilon)]^N, \mathbf{V}:=[H_0^1(\Omega)]^N, \mathbf{V}_\varepsilon:=[H^1(\Omega_\varepsilon;\partial\Omega)]^N – множество вектор-функций из [H^1(\Omega_\varepsilon)]^N с нулевым следом на \partial\Omega. Нормы в этих пространствах определяются соответственно
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \| v\|^2 &:=\int_{\Omega}\sum_{i=1}^N|v^i(x)|^2\, dx, &\qquad \|v\|^2_\varepsilon &:=\int_{\Omega_\varepsilon}\sum_{i=1}^N|v^i(x)|^2\, dx, \\ \| v\|_1^2 &:=\int_{\Omega}\sum_{i=1}^N|\nabla v^i(x)|^2\, dx, &\qquad \|v\|_{1\varepsilon}^2 &:=\int_{\Omega_\varepsilon}\sum_{i=1}^N|\nabla v^i(x)|^2\, dx. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
Обозначим \mathbf{V}':=[H^{-1}(\Omega)]^N – двойственное пространство к пространству \mathbf{V}, и \mathbf{V}'_\varepsilon – двойственное пространство к \mathbf{V}_\varepsilon. Пусть q_i=p_i/{(p_i-1)} для всех i=1,\dots, N. Будем использовать следующие векторные обозначения: \mathbf{p}=(p_1, \dots,p_N) и \mathbf{q}=(q_1, \dots, q_N), а также определим пространства
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf{L}_\mathbf{p} :=L_{p_1}(\Omega)\times\dots\times L_{p_N}(\Omega), \qquad \mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon}:=L_{p_1}(\Omega_\varepsilon)\times\dots\times L_{p_N}(\Omega_\varepsilon), \\ \begin{aligned} \, \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{L}_{\mathbf{p}}) &:=L_{p_1}(\mathbb{R}_+;L_{p_1}(\Omega))\times\dots\times L_{p_N}(\mathbb{R}_+;L_{p_N}(\Omega)), \\ \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon}) &:=L_{p_1}(\mathbb{R}_+;L_{p_1}(\Omega_\varepsilon))\times\dots\times L_{p_N}(\mathbb{R}_+;L_{p_N}(\Omega_\varepsilon)). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Как и в [21], [48], будем исследовать слабые решения начально-краевой задачи (13)
\begin{equation*}
u_\varepsilon(x,t)\in \mathbf{L}_\infty^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H}_\varepsilon) \cap \mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V}_\varepsilon)\cap \mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon}),
\end{equation*}
\notag
которые удовлетворяют задаче (13) в смысле обобщенных функций, т. е. имеет место интегральное тождество
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-\int_{Q_\varepsilon} u_\varepsilon \cdot\frac{\partial\psi}{\partial t} \, dx\, dt+ \int_{Q_\varepsilon} \lambda\nabla u_\varepsilon \cdot\nabla \psi\, dx\, dt+ \int_{Q_\varepsilon} a_\varepsilon(x) f(u_\varepsilon)\cdot\psi\, dx\,dt \nonumber \\ &\qquad+\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_\varepsilon} \int_0^{+\infty} \int_{\partial G^j_\varepsilon} B^j_\varepsilon (x) u_\varepsilon \cdot\psi\, d\omega\, dt =\int_{Q_\varepsilon} g_\varepsilon(x)\cdot\psi\, dx\, dt \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
для любых функций \psi\in \mathbf{C}_0^\infty(\mathbb{R}_+;\mathbf{V}_\varepsilon\cap \mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon}). Здесь y_1\cdot y_2 означает скалярное произведение векторов y_1, y_2\in\mathbb{R}^N. Через d\omega обозначается элемент (n-1)-мерного объема на границах \partial G^j_\varepsilon. Если u_\varepsilon(x,t)\in \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(0,M;\mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon}), то из условия (18) следует, что f(u(x,t))\in \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(0,M;\mathbf{L}_{\mathbf{q},\varepsilon}). В то же время, если u_\varepsilon(x,t)\in \mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V}_\varepsilon), то \lambda\Delta u_\varepsilon(x,t)+g_\varepsilon(x) \in \mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V}'_\varepsilon). Поэтому для произвольного слабого решения u_\varepsilon(x,s) задачи (13) имеем
\begin{equation*}
\frac{\partial u_\varepsilon(x,t)}{\partial t}\in \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(0,M;\mathbf{L}_{\mathbf{q}, \varepsilon})+\mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V}'_\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
Из теоремы вложения Соболева следует, что
\begin{equation*}
\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(0,M;\mathbf{L}_{\mathbf{q},\varepsilon}) +\mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V}'_\varepsilon)\subset \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(0,M;\mathbf{H}^{-\mathbf{r}}_\varepsilon),
\end{equation*}
\notag
где пространство \mathbf{H}^{-\mathbf{r}}_\varepsilon:=H^{-r_1}(\Omega_\varepsilon)\times\dots\times H^{-r_N}(\Omega_\varepsilon), \mathbf{r}=(r_1,\dots,r_N), и показатели r_i=\max \{1,n(1/{q_i}-1/2)\} при i=1,\dots, N. Здесь H^{-r}(\Omega_\varepsilon) обозначает пространство, сопряженное к пространству Соболева H^{r}(\Omega_\varepsilon) с показателем r>0 в перфорированной области \Omega_\varepsilon. Следовательно, для любого слабого решения u_\varepsilon(x,t) задачи (13) ее производная по времени \partial u_\varepsilon(x,t)/\partial t\in \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(0,M;\mathbf{H}^{-\mathbf{r}}_\varepsilon). Замечание 2.2. Существование слабого решения u(x,t) задачи (13) для любой начальной функции U\in \mathbf{H}_\varepsilon и фиксированного \varepsilon доказывается стандартным способом (см., например, [20], [48]). Это решение может быть не единственным, поскольку функция f(v) удовлетворяет лишь условиям (18), (19) и для нее не предполагается выполнение условия Липшица относительно v. Следующая лемма доказывается аналогично [21; предложение XV.3.1]. Лемма 2.1. Пусть u_{\varepsilon}(x,t)\in \mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V}_{\varepsilon})\cap \mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon }) – слабое решение задачи (13). Тогда (i) u_\varepsilon\in \mathbf{C}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H}_{\varepsilon}); (ii) функция \| u_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,,t)\|^2 является абсолютно непрерывной на \mathbb{R}_+, и более того
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{2}\, \frac{d}{dt}\| u_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,,t)\|^2+\int_{\Omega_{\varepsilon}} \lambda \nabla u_{\varepsilon}(x,t)\cdot \nabla u_{\varepsilon}(x,t)\, dx +\int_{\Omega_{\varepsilon}}a_\varepsilon(x)f(u_{\varepsilon}(x,t))\cdot u_{\varepsilon}(x,t)\,dx \notag \\ &\qquad+\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in \Upsilon_{\varepsilon}}\int_{\partial G_{\varepsilon}^j}B_{\varepsilon}^j(x)u_{\varepsilon}(x,t)\cdot u_{\varepsilon}(x,t)\, d\omega =\int_{\Omega_{\varepsilon}}g_\varepsilon(x)\cdot u_\varepsilon (x,t)\, dx \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
для почти всех t\in \mathbb{R}_+. В неравенстве (25) интегралы по границам областей G_{\varepsilon}^j являются неотрицательными в силу условия (17), поэтому, проинтегрировав это дифференциальное неравенство по времени, получаем, что любое слабое решение u(t) задачи (13) удовлетворяет следующим неравенствам:
\begin{equation}
\| u_{\varepsilon}(t)\|^2\leqslant \| u_{\varepsilon}(0)\|^2e^{-\lambda_1\beta t}+R_1^2,
\end{equation}
\tag{26}
\begin{equation}
\begin{split} &\beta \int_t^{t+1}\| u_{\varepsilon}(s)\|_1^2\, ds+2a_0\sum_{i=1}^{N}\gamma_i\int_t^{t+1} \|u^i_{\varepsilon}(s)\|_{L_{p_i}(\Omega_\varepsilon)}^{p_i}\, ds \\ &\qquad+2B_0\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in \Upsilon_{\varepsilon}}\int_t^{t+1} \|u_{\varepsilon}(s)\|_{\mathbf{L}_2(\partial G_{\varepsilon}^j)}^2\, ds \leqslant \|u_{\varepsilon}(t)\|^2+R_2^2, \end{split}
\end{equation}
\tag{27}
где \lambda_1 – это первое собственное значение оператора -\Delta с нулевыми граничными условиями. Положительные величины R_1 и R_2 зависят от числа M_0 (см. (16)) и не зависят от u_{\varepsilon}(0) и \varepsilon. Подробный вывод приведен в [21].
§ 3. Построение траекторного аттрактора системы реакции–диффузии в перфорированной областиВ этом параграфе будет построен траекторный аттрактор системы реакции–диффузии (13) в перфорированной области при фиксированном \varepsilon. В дальнейшем мы будем опускать индекс \varepsilon в обозначениях решений системы (13) и функциональных пространств там, где это не вызывает разночтения. Теперь применим схему, описанную в § 1, для построения траекторного аттрактора задачи (13), которая имеет вид (1), если мы положим E_1=\mathbf{L}_{\mathbf{p}}\cap \mathbf{V}, E_0=\mathbf{H}^{-\mathbf{r}}, E=\mathbf{H} и A(u)=\lambda\Delta u-a(\,{\cdot}\,)f(u)+g(\,{\cdot}\,). При описании пространства траекторий \mathcal{K}_{\varepsilon}^+ для задачи (13) будем следовать общей схеме § 1 и определим банаховы пространства для каждого отрезка [t_1,t_2]\in \mathbb{R}:
\begin{equation}
\mathcal{F}_{t_1,t_2}:=\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(t_1,t_2;\mathbf{L}_p)\cap \mathbf{L}_2(t_1,t_2;\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\infty }(t_1,t_2; \mathbf{H})\cap \biggl\{ v \biggm| \frac{\partial v}{\partial t}\in \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(t_1,t_2;\mathbf{H}^{-\mathbf{r}})\biggr\}
\end{equation}
\tag{28}
с нормой
\begin{equation}
\| v\|_{\mathcal{F}_{t_1,t_2}}:=\| v\|_{\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(t_1,t_2; \mathbf{L}_{\mathbf{p}})} +\| v\|_{\mathbf{L}_2(t_1,t_2;\mathbf{V})}+ \|v\|_{\mathbf{L}_{\infty }(0,M;\mathbf{H})}+\biggl\| \frac{\partial v}{\partial t}\biggr\|_{\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(t_1,t_2;\mathbf{H}^{-\mathbf{r}})}.
\end{equation}
\tag{29}
Очевидно, что условие (2) выполняется для нормы (29), а полугруппа сдвигов \{S(h)\} удовлетворяет (3). Положив \mathcal{D}_{t_1,t_2}=\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(t_1,t_2;\mathbf{H}^{-\mathbf{r}}), получаем, что \mathcal{F}_{t_1,t_2}\subseteq \mathcal{D}_{t_1,t_2}, а если u(s)\in \mathcal{F}_{t_1,t_2}, то A(u(s))\in \mathcal{D}_{t_1,t_2}. Далее можно рассматривать слабые решения задачи (13) как решение системы уравнений из общей схемы § 1. Определив пространство (4), получаем, что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}} &=\mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+; \mathbf{L}_{\mathbf{p}})\cap \mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\infty }^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H})\,{\cap} \biggl\{ v \biggm| \frac{\partial v}{\partial t}\in \mathbf{L}^{\mathrm{loc}}_{\mathbf{q}} (\mathbb{R}_+;\mathbf{H}^{-\mathbf{r}})\biggr\}, \\ \mathcal{F}_{\varepsilon,+}^{\mathrm{loc}}&=\mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+; \mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon})\,{\cap}\, \mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V_\varepsilon})\,{\cap}\, \mathbf{L}_{\infty }^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H_\varepsilon})\,{\cap} \biggl\{ v \biggm| \frac{\partial v}{\partial t}\,{\in}\, \mathbf{L}^{\mathrm{loc}}_{\mathbf{q}} (\mathbb{R}_+;\mathbf{H_\varepsilon}^{-\mathbf{r}})\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Обозначим через \mathcal{K}_\varepsilon^+ множество всех слабых решений задачи (13). Напомним, что для любой функции U\in \mathbf{H} существует хотя бы одна траектория u(\,{\cdot}\,)\in \mathcal{K}_{\varepsilon}^+ такая, что u(0)=U(x). Следовательно, пространство траекторий \mathcal{K}_{\varepsilon}^+ задачи (13) не пусто и достаточно велико. Ясно, что \mathcal{K}_{\varepsilon}^+\subset \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}} и пространство траекторий \mathcal{K}_{\varepsilon}^+ является трансляционно-инвариантным, т. е. если u(s)\in \mathcal{K}_{\varepsilon}^+, то и u(h+s)\in \mathcal{K}_{\varepsilon}^+ для любых h\geqslant 0. Следовательно,
\begin{equation*}
S(h)\mathcal{K}_{\varepsilon}^+\subseteq \mathcal{K}_{\varepsilon}^+\quad \forall\, h\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
Далее, используя норму пространства \mathbf{L}_2(t_1,t_2;\mathbf{H}), определим метрики \rho_{t_1,t_2}(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,) в пространствах \mathcal{F}_{t_1,t_2} следующим образом:
\begin{equation*}
\rho_{t_1,t_2}(u,v)=\biggl( \int_{t_1}^{t_2}\| u(s)-v(s)\|^2\, ds\biggr)^{1/2}\quad \forall\, u(\,{\cdot}\,),v(\,{\cdot}\,)\in \mathcal{F}_{t_1,t_2}.
\end{equation*}
\notag
Эти метрики порождают топологию \Theta_+^{\mathrm{loc}} в пространстве \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}} (соответственно \Theta_{\varepsilon,+}^{\mathrm{loc}} в \mathcal{F}_{\varepsilon,+}^{\mathrm{loc}}). Напомним, что последовательность \{v_k\}\subset\mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}} сходится к функции v\in \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}} при k\to \infty в \Theta_+^{\mathrm{loc}}, если \|v_k(\,{\cdot}\,)-v(\,{\cdot}\,)\|_{\mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{H})}\to 0 (k\to \infty) для любого M>0. Топология \Theta_+^{\mathrm{loc}} метризуема (см. (6)), и соответствующее метрическое пространство является полным. Мы рассматриваем топологию в пространстве траекторий \mathcal{K}_{\varepsilon}^+ задачи (13). Полугруппа сдвигов \{S(t)\}, действующая на \mathcal{K}_{\varepsilon}^+, непрерывна в рассматриваемой топологии \Theta_+^{\mathrm{loc}}. Следуя общей схеме § 1, определим ограниченные множества в \mathcal{K}_{\varepsilon}^+, используя банаховы пространства \mathcal{F}_+^{\mathrm b} (см. (7)). Ясно, что
\begin{equation}
\mathcal{F}_+^{\mathrm b}=\mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm b}(\mathbb{R}_+; \mathbf{L}_{\mathbf{p}})\cap \mathbf{L}_2^{\mathrm b}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\infty }(\mathbb{R}_+;\mathbf{H})\cap \biggl\{ v \biggm| \frac{\partial v}{\partial t}\in \mathbf{L}^{\mathrm b}_{\mathbf{q}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H}^{-\mathbf{r}})\biggr\}
\end{equation}
\tag{30}
и \mathcal{F}_+^{\mathrm b} – подпространство пространства \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}. Рассмотрим полугруппу сдвигов \{S(t)\} на \mathcal{K}_{\varepsilon}^+, S(t)\colon \mathcal{K}_{\varepsilon}^+\to \mathcal{K}_{\varepsilon}^+, t\geqslant 0. Из неравенств (26) и (27) вытекает следующее утверждение. Утверждение 3.1. Пространство траекторий \mathcal{K}_{\varepsilon}^+ принадлежит \mathcal{F}_+^{\mathrm b}, и для любой траектории u(\,{\cdot}\,)\in \mathcal{K}_{\varepsilon}^+ выполнены неравенства
\begin{equation}
\| S(t)u(\,{\cdot}\,)\|_{\mathcal{F}_+^{\mathrm b}}^2\leqslant C_2\| u(0)\|^2e^{-\sigma t}+R_3^2,
\end{equation}
\tag{31}
\begin{equation}
\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in \Upsilon_{\varepsilon}}\int_t^{t+1}\int_{\partial G_{\varepsilon}^j}B_{\varepsilon}^j(x)u(x,s)\cdot u(x,t)\, d\omega\, ds \leqslant C_3\|u(0)\|^2e^{-\sigma t}\,{+}\,R_4^2\quad \forall\, t\,{\geqslant}\, 0,
\end{equation}
\tag{32}
где \sigma =\beta \lambda_1, и числа R_3, R_4 определяются по R_1, R_2. Они не зависят от u(0) и \varepsilon . Подробное доказательство неравенства (31) приведено в [21], а неравенство (32) следует непосредственно из (25), аналогично (27). Из неравенства (31) заключаем, что шар
\begin{equation*}
\mathcal{B}_0=\{ u\in \mathcal{F}_+^{\mathrm b}\mid \| u(\,{\cdot}\,)\|_{\mathcal{F}_+^{\mathrm b}}\leqslant 2R_3\}
\end{equation*}
\notag
является поглощающим множеством для полугруппы сдвигов \{S(t)\} на \mathcal{K}_{\varepsilon}^+, т. е. для любого множества \mathcal{B}\subset \mathcal{K}_{\varepsilon}^+, ограниченного в \mathcal{F}_+^{\mathrm b}, найдется такое число t_1=t_1(\mathcal{B}), что S(t)\mathcal{B}\subseteq \mathcal{B}_0 при всех t\geqslant t_1. Рассмотрим множество
\begin{equation*}
\mathcal{P}_{\varepsilon}=\mathcal{B}_0\cap \mathcal{K}_{\varepsilon}^+.
\end{equation*}
\notag
Множество \mathcal{P}_{\varepsilon}\subseteq\mathcal{K}_{\varepsilon}^+ также является поглощающим, т. е.
\begin{equation*}
S(t)\mathcal{P}_{\varepsilon}\subseteq \mathcal{P}_{\varepsilon}\quad \forall\, t\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
причем \mathcal{P}_{\varepsilon} равномерно (по \varepsilon ) ограничено в пространстве \mathcal{F}_+^{\mathrm b}. С помощью леммы 1.1, в которой следует положить E_1=\mathbf{V}, E_0=\mathbf{H}^{-\mathbf{r}}, E=\mathbf{H} и p_1=2, p_0=q_{N}, получаем следующее утверждение. Утверждение 3.2. Множество \mathcal{P}_{\varepsilon} компактно в топологии \Theta_+^{\mathrm{loc}} и равномерно ограничено в норме \mathcal{F}_+^{\mathrm b}. Пусть \mathcal{K}_{\varepsilon} означает ядро задачи (13), которое состоит из всех слабых решений u(s), s\in \mathbb{R}, ограниченных в пространстве
\begin{equation*}
\mathcal{F}^{\mathrm b}=\mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm b}(\mathbb{R}; \mathbf{L}_{\mathbf{p}})\cap \mathbf{L}_2^{\mathrm b}(\mathbb{R};\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\infty }(\mathbb{R};\mathbf{H})\cap \biggl\{ v \biggm| \frac{\partial v}{\partial t}\in \mathbf{L}^{\mathrm b}_{\mathbf{q}}(\mathbb{R};\mathbf{H}^{-\mathbf{r}})\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Воспользовавшись утверждениями 3.1 и 3.2, применяем теоремы 1.1 и 1.2. Утверждение 3.3. При выполнении условий (18), (19) задача (13) имеет траекторные аттракторы \mathfrak{A}_\varepsilon в топологическом пространстве \Theta_+^{\mathrm{loc}}. Множество \mathfrak{A}_\varepsilon равномерно (по \varepsilon \in (0,1)) ограничено в \mathcal{F}_+^{\mathrm b} и компактно в \Theta_+^{\mathrm{loc}}. Более того, ядро \mathcal{K}_\varepsilon – непусто и равномерно (по \varepsilon \in (0,1)) ограничено в \mathcal{F}^{\mathrm b}. Напомним, что пространства \mathcal{F}^{\mathrm b}_+ и \Theta^{\mathrm{loc}}_+ зависят от \varepsilon.Отметим, что
\begin{equation}
\mathfrak{A}_\varepsilon \subset \mathcal{B}_0\quad \forall\, \varepsilon \in (0,1).
\end{equation}
\tag{33}
Далее покажем, что траекторный аттрактор {\mathfrak{A}}_{\varepsilon} в “слабой” топологии \Theta_+^{\mathrm{loc}}=\mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H}) является также траекторным аттрактором в сильной топологии, порожденной пространствами \mathcal{F}_{t_1,t_2}. Обозначим через \Theta_+^{s,\mathrm{loc}} топологию в \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}}, которая порождена сходимостью в метрических пространствах \mathcal{F}_{t_1,t_2}. Таким образом, по определению последовательность \{v_k\}\subset \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}} сходится к v\in \mathcal{F}_+^{\mathrm{loc}} при k\to \infty в \Theta_+^{s,\mathrm{loc}}, если \|v_k(\,{\cdot}\,)-v(\,{\cdot}\,)\|_{\mathcal{F}_{t_1,t_2}}\to 0 для любого (t_1,t_2)\subset\mathbb{R}_+ (см. (29)). Введенная топология, очевидно, является метризуемой. Теорема 3.1. Траекторный аттрактор {\mathfrak{A}}_{\varepsilon} компактен в топологии \Theta_+^{s,\mathrm{loc}} и притягивает ограниченные множества траекторий из \mathcal{K}_{\varepsilon}^+ в этой топологии, т. е. {\mathfrak{A}}_{\varepsilon} является траекторным аттрактором в сильной топологии \Theta_+^{s,\mathrm{loc}}. Доказательство. Зафиксируем \varepsilon >0. Поскольку множество \mathcal{P}_{\varepsilon} является поглощающим, достаточно установить, что множество S(1)\mathcal{P}_{\varepsilon} компактно в сильной топологии пространства \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(0,M;\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega))\cap \mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V}) при любом M>0. Заметим, что \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(0,M;\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega)) =\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [0,M]).
Необходимо проверить, что любая последовательность \{u_k(t)\}\subset \mathcal{P}_{\varepsilon} имеет сильно сходящуюся подпоследовательность в пространстве \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [1,M])\cap \mathbf{L}_2(1,M;\mathbf{V}) при каждом M>0. Множество \mathcal{P}_{\varepsilon} ограничено в пространстве \mathcal{F}_+^{\mathrm b}. Следовательно, \{u_k(t)\} ограничено в пространствах \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [0,M]) и \mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V}). Переходя к подпоследовательности, которую мы обозначаем опять \{u_k(t)\}, можно считать, что u_k(\,{\cdot}\,)\rightharpoondown \widehat{u}(\,{\cdot}\,) при k\to \infty слабо в пространствах \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [0,M]) и \mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V}), где \widehat{u}(t) – это некоторое решение системы (13), которое принадлежит \mathcal{P}_{\varepsilon}. Из леммы Лионса–Маженеса (см., [49], [50]) следует, что u_k(t)\rightharpoondown \widehat{u}(t) слабо в \mathbf{H} при каждом t\in [0,M]. Кроме того, из классической теоремы вложения следует, что u_k(\,{\cdot}\,)\to \widehat{u}(\,{\cdot}\,) сильно в пространстве \mathbf{L}_2(\Omega\times [0,M]), и u_k(x,t)\to \widehat{u}(x,t) при почти всех (x,t)\in \Omega\times [0,M]. Заметим, из неравенства (32) вытекает, что последовательность \{u_k(t)\} ограничена в пространстве \mathbf{L}_2(\partial G_{\varepsilon}^j\times [0,M]) при каждом j\in\Upsilon_{\varepsilon}. Поэтому, переходя еще раз к подпоследовательности, можно также считать, что u_k(\,{\cdot}\,)\rightharpoondown \widehat{u}(\,{\cdot}\,) при k\to \infty слабо в пространстве \mathbf{L}_2(\partial G_{\varepsilon}^j\times [0,M]) при каждом j\in\Upsilon_{\varepsilon}. Напомним факт из функционального анализа: если последовательность \chi_k\rightharpoondown \widehat{\chi} слабо в банаховом пространстве X, то
\begin{equation*}
\| \widehat{\chi}\|_{X}\leqslant \liminf_{k\to \infty}\| \chi_k\|_{X}
\end{equation*}
\notag
(см., например, [51]). Следовательно, для слабо сходящейся последовательности траекторий \{u_k(\,{\cdot}\,)\} получаем следующие предельные соотношения:
\begin{equation}
\| \widehat{u}(M)\| \leqslant \liminf_{k\to \infty} \| u_k(M)\|,
\end{equation}
\tag{34}
\begin{equation}
\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla \widehat{u}\cdot \nabla \widehat{u}\,dx\, ds \leqslant \liminf_{k\to \infty}\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla u_k\cdot \nabla u_k\,dx\, ds,
\end{equation}
\tag{35}
\begin{equation}
\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon}(x)|\widehat{u}^{\,i}|^{p_i}\,dx\, ds \leqslant \liminf_{k\to \infty}\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon }(x)|u_k^i|^{p_i}\,dx\, ds,\qquad i=1,\dots,N,
\end{equation}
\tag{36}
\begin{equation}
\int_0^M\int_{\partial G_{\varepsilon}^j}sB_{\varepsilon}^j(x)\widehat{u}\cdot \widehat{u}\, d\omega\, ds \leqslant\liminf_{k\to \infty}\int_0^M\int_{\partial G_{\varepsilon}^j}sB_{\varepsilon}^j(x)u_k\cdot u_k\,d\omega\, ds, \qquad j\in\Upsilon_{\varepsilon},
\end{equation}
\tag{37}
где для краткости обозначено u_k=u_k(x,s) и \widehat{u}=\widehat{u}(x,s). Нормы в (35)–(37) соответствуют взвешенным пространствам \mathbf{L}_{2,s}(0,M;\mathbf{V}), \mathbf{L}_{\mathbf{p},sa_{\varepsilon}(x)}(\Omega\times [0,M]) и \mathbf{L}_{2,sB_{\varepsilon}^j(x)}(\partial G_{\varepsilon}^j\times [0,M]) с весами s, sa_{\varepsilon}(x) и sB_{\varepsilon}^j(x) соответственно. Кроме того, квадратичная форма \lambda y\cdot y при y\in \mathbb{R}^{N} эквивалентна стандартной норме вектора y в \mathbb{R}^{N}, поскольку матрица \lambda имеет положительную симметричную часть. Следовательно, квадратичная форма \int_{\Omega}\lambda\nabla v(x)\cdot \nabla v(x)\, dx эквивалентна норме функции v(\,{\cdot}\,) в пространстве \mathbf{V}.
Отметим также, что слабая сходимость u_k(\,{\cdot}\,)\rightharpoondown \widehat{u}(\,{\cdot}\,) имеет место во взвешенных пространствах \mathbf{L}_{2,s}(0,M;\mathbf{V}), \mathbf{L}_{\mathbf{p},sa_{\varepsilon}(x)}(\Omega\times [0,M]) и \mathbf{L}_{2,sB_{\varepsilon}^j(x)}(\partial G_{\varepsilon}^j\times [0,M]). Рассмотрим непрерывную скалярную функцию
\begin{equation*}
F(v)=\sum_{i=1}^{N}f^i(v)v^i-\sum_{i=1}^{N}\gamma_i|v^i|^{p_i},\qquad v\in \mathbb{R}^{N}.
\end{equation*}
\notag
Тогда sa_{\varepsilon}(x) F(u_k(x,s))\to sa_{\varepsilon}(x) F(\widehat{u}(x,s)) при k\to \infty для почти всех (x,t)\in \Omega\times [0,M], поскольку функция F(v) непрерывна. Утверждается, что
\begin{equation}
\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon}(x) F(\widehat{u}(x,t))\, dx\, ds\leqslant \liminf_{k\to \infty}\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon }(x) F(u_k(x,t))\, dx\, ds.
\end{equation}
\tag{38}
Доказательство этого неравенства использует неравенства F(v)+C_1\geqslant 0, a_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,)\geqslant 0 (см. (19), (17)), сходимость последовательности \{u_k(x,s)\} при почти всех (x,s)\in \Omega\times [0,M], а также лемму Фату об оценке сверху интеграла от предельной функции через нижний предел интегралов от сходящейся последовательности неотрицательных функций (см., например, [51]).
Напомним, что слабые решения u_k(\,{\cdot}\,) и \widehat{u}(\,{\cdot}\,) системы (13) удовлетворяют дифференциальному тождеству (25). Умножая это тождество на t, интегрируя результат по [0,M] и используя определение функции F(\,{\cdot}\,), получаем следующие тождества:
\begin{equation}
\frac{1}{2}\| u_k(M)\|^2+\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla u_k\cdot \nabla u_k\,dx\, ds +\sum_{i=1}^{N}\gamma_i\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon}(x)|u_k^i|^{p_i}\,dx\,ds \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad+\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon}(x) F(u_k)\,dx\, ds+ \varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon}}\int_0^M\int_{\partial G_{\varepsilon}^j}sB_{\varepsilon}^j(x)u_k\cdot u_k\,d\omega\, ds \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
=\frac{1}{2}\int_0^M\int_{\Omega}|u_k|^2\, dx\, ds +\int_0^M\int_{\Omega}g_{\varepsilon}(x)\cdot u_k\,dx\, ds,
\end{equation}
\tag{39}
\begin{equation}
\frac{1}{2}\| \widehat{u}(M)\|^2+\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla \widehat{u} \cdot \nabla \widehat{u}\,dx\, ds +\sum_{i=1}^{N}\gamma_i\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon}(x) |\widehat{u}^{\,i}|^{p_i}\,dx\, ds \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad+\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon}(x) F(\widehat{u})\,dx\, ds +\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon}}\int_0^M\int_{\partial G_{\varepsilon}^j}sB_{\varepsilon}^j(x)\widehat{u}\cdot \widehat{u}\,d\omega\, ds \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
=\frac{1}{2}\int_0^M\int_{\Omega}|\widehat{u}|^2\,dx\, ds +\int_0^M\int_{\Omega}g_{\varepsilon}(x)\cdot \widehat{u}\,dx\, ds.
\end{equation}
\tag{40}
Напомним, что u_k(\,{\cdot}\,)\to \widehat{u}(\,{\cdot}\,) сильно в пространстве \mathbf{L}_2(\Omega\times [0,M]). Следовательно, правая часть уравнения (39) стремится к правой части уравнения (40). Значит, и левая часть (39) также стремится к левой части (40). Тогда из неравенств (34)–(38) вытекает, что каждая из пяти числовых последовательностей, образующих сумму в левой части равенства (39), имеет предел при k\to\infty , который совпадает с соответствующей величиной, которая стоит в левой части равенства (40). В частности,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lim_{k\to \infty }\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla u_k\cdot \nabla u_k\, dx\, ds &=\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla \widehat{u}\cdot \nabla \widehat{u}\,dx \,ds, \\ \lim_{k\to \infty }\int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon}(x)|u_k^i|^{p_i}\, dx\, ds &= \int_0^M\int_{\Omega}sa_{\varepsilon}(x)|\widehat{u}^{\,i}|^{p_i}\,dx\, ds,\qquad i=1,\dots,N. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Известно, что в равномерно выпуклом банаховом пространстве X слабая сходимость \chi_k\rightharpoondown \widehat{\chi} элементов и сходимость их норм \| \chi_k\|_{X}\to \| \widehat{\chi}\|_{X} влечет сильную сходимость \| \chi_k-\widehat{\chi}\|_{X}\to 0 при k\to \infty (это утверждение следует из теоремы Мазура, см. [51]). Взвешенные пространства \mathbf{L}_{2,s}(0,M;\mathbf{V}) и \mathbf{L}_{\mathbf{p},sa_{\varepsilon}(x)}(\Omega\times [0,M]) являются равномерно выпуклыми. Следовательно, слабая сходимость последовательностей функций u_k^i(\,{\cdot}\,) к функции \widehat{u}(\,{\cdot}\,) и сходимость их норм в пространстве \mathbf{L}_{2,s}(0,M;\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\mathbf{p},sa_{\varepsilon}(x)}(\Omega\times [0,M]) влечет сильную сходимость функций u_k(\,{\cdot}\,)\to \widehat{u}(\,{\cdot}\,) в пространстве \mathbf{L}_{2,s}(1,M;\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\mathbf{p},sa_{\varepsilon}(x)}(\Omega\times [1,M]), которая эквивалентна сильной сходимости в пространстве \mathbf{L}_2(1,M;\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [1,M]) (без весов). Мы доказали компактность множества S(1)\mathcal{P}_{\varepsilon} в сильной топологии пространства \mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega))\cap \mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V}). Компактность соответствующего множества производных \partial_tu(\,{\cdot}\,) в сильной топологии пространства \mathcal{L}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+) :=\mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V}') +\mathbf{L}_{\mathbf{q}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(\Omega)) следует непосредственно из уравнения (13) и из непрерывности оператора Немыцкого u\,{\mapsto}\,f(u), который в силу (18) действует из \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\,{\times}\, [0,M]) в \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(\Omega\,{\times}\, [0,M]) (см. [52]), и, значит, a_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,)f(u_k(x,s))\to a_{\varepsilon}(\,{\cdot}\,) f(\widehat{u}(\,{\cdot}\,)) сильно в \mathbf{L}_{\mathbf{q}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(\Omega)). Вместе с этим очевидно, что \lambda\nabla u_k(\,{\cdot}\,)\to \lambda\nabla \widehat{u}(\,{\cdot}\,) сильно в \mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V}'). Значит, из уравнения (13) заключаем, что \partial_tu_k(\,{\cdot}\,)\to \partial_t\widehat{u}(\,{\cdot}\,) сильно в \mathcal{L}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+). Осталось заметить, что множество \mathcal{P}_{\varepsilon} принадлежит пространству C^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H}) (этот факт следует из дифференциального тождества (25)), и множество S(1)\mathcal{P}_{\varepsilon} компактно в C^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H}). Последнее утверждение вытекает из непрерывности вложения
\begin{equation*}
\mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(0,M;\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega)) \cap \{ \partial_tv\in \mathcal{L}(0,M)\} \subset C([0,M];\mathbf{H}),
\end{equation*}
\notag
которое доказано, например, в [21]. Этим завершается доказательство теоремы 3.1. § 4. Усреднение аттракторов в задаче для уравнений реакции–диффузии в перфорированной областиВ этом параграфе изучается предельное поведение траекторных аттракторов {\mathfrak{A}}_{\varepsilon} для уравнений реакции–диффузии (13) при \varepsilon \to 0+ и их сходимость к траекторному аттрактору соответствующего усредненного уравнения. В предельном уравнении возникает некоторый дополнительный “странный член” (потенциал). Чтобы его определить, рассмотрим следующую задачу:
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &-\Delta_y v=0, &\qquad &y\in \mathbb{R}^n\setminus G_0, \\ &\frac{\partial v}{\partial \nu_y} + B(x, y) v =\overline{B}(x, y), &\qquad &y\in \partial G_0, \\ &v\to 0, &\qquad &|y|\to \infty, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{41}
где матрица B(x,y) и вектор \overline B(x,y) были определены выше. В этой задаче переменная x играет роль медленного параметра. Определим предельный потенциал по формуле
\begin{equation}
V^{kk}(x)=\int_{\partial G_0}\frac{\partial}{\partial \nu_y}v^k(x,y)\,d\omega_y, \qquad k=1, \dots, N.
\end{equation}
\tag{42}
Усредненная (предельная) задача для рассматриваемой системы реакции–диффузии имеет вид
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &\frac{\partial u}{\partial t} =\lambda\Delta u-\overline{a}(x)f(u)-V(x)u +\overline{g}(x), &\qquad &x\in \Omega, \\ &u =0, &\qquad &x\in \partial\Omega, \\ &u= U(x), &\qquad &t=0, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{43}
где V(x) – диагональная матрица с элементами V^{kk}(x), k=1,\dots, N. Средние функции \overline{a}(x) и \overline{g}(x) определены в формулах (14) и (15). Следующая лемма аналогична лемме 2.1. Лемма 4.1. Пусть u(x,t)\in \mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{V})\cap \mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{L}_{\mathbf{p}}) – слабое решение задачи (43). Тогда (i) u\in \mathbf{C}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H}); (ii) функция \| u(\,{\cdot}\,,t)\|^2 является абсолютно непрерывной на \mathbb{R}_+, и, более того,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\| u(\,{\cdot}\,,t)\|^2 +\int_{\Omega}\lambda\nabla u(x,t)\cdot \nabla u(x,t)\, dx +\int_{\Omega}\overline a(x)f(u(x,t))\cdot u(x,t)\, dx \\ &\qquad+\int_{\Omega}V(x)u(x,t)\cdot u(x,t)\,dx=\int_{\Omega}\overline g(x)\cdot u(x,t)\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Для предельной системы выполнены утверждения 3.1–3.3, а также теорема 3.1 в соответствующих пространствах \mathcal{F}^{\mathrm{loc}}_+ и \Theta^{s,\mathrm{loc}}_+ в области \Omega без перфорации. Задача (43) имеет траекторный аттрактор \overline{\mathfrak{A}} в пространстве траекторий \overline{\mathcal{K}}^{\,+}, соответствующем задаче (43), причем где \overline{\mathcal{K}} – ядро задачи (43) в пространстве \mathcal{F}^{\mathrm b} (в области \Omega без перфорации).Сформулируем теорему об усреднении траекторных аттракторов систем реакции–диффузии в перфорированных областях и с быстрой осцилляцией коэффициентов в слабой топологии. Теорема 4.1. В топологическом пространстве \Theta_+^{\mathrm{loc}} справедливо предельное соотношение Кроме того,Замечание 4.1. Функции из множеств \mathfrak{A}_\varepsilon и \mathcal{K}_\varepsilon заданы на перфорированных областях \Omega_{\varepsilon}. Однако все эти функции допускают такое продолжение внутрь отверстий, что нормы продолженных функций в пространствах \mathbf{H}, \mathbf{V} и \mathbf{L}_{\mathbf{p}} (определенных без перфорации) совпадают с соответствующими нормами в перфорированных пространствах \mathbf{H}_{\varepsilon}, \mathbf{V}_{\varepsilon} и \mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon}. Поэтому в теореме 4.1 все расстояния измеряются в пространствах без перфорации с учетом продолжения внутрь отверстий. Доказательство теоремы 4.1. Ясно, что (45) влечет (44). Поэтому достаточно доказать (45), т. е. показать, что для любой окрестности \mathcal{O}(\overline{\mathcal{K}}) в \Theta^{\mathrm{loc}} найдется число \varepsilon_1=\varepsilon_1(\mathcal{O})>0 такое, что
\begin{equation}
\mathcal{K}_\varepsilon\subset \mathcal{O}(\overline{\mathcal{K}})\quad \text{для всех}\quad \varepsilon<\varepsilon_1.
\end{equation}
\tag{46}
Проведем доказательство от противного. Предположим, что (46) неверно. Тогда найдется окрестность \mathcal{O}'(\overline{\mathcal{K}}) в \Theta^{\mathrm{loc}}, последовательности \varepsilon_k\to 0+ (k\to \infty ) и u_{\varepsilon_k}(\,{\cdot}\,)=u_{\varepsilon_k}(s)\in \mathcal{K}_{\varepsilon_k} такие, что
\begin{equation}
u_{\varepsilon_k}\notin \mathcal{O}'(\overline{\mathcal{K}})\quad\text{для всех}\quad k\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{47}
Функции u_{\varepsilon_k}(s), s\in \mathbb{R}, удовлетворяют уравнениям
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &\frac{\partial u_{\varepsilon_k}}{\partial t} =\lambda \Delta u_{\varepsilon_k} -a_{\varepsilon_k}(x)f(u_{\varepsilon_k}) +g_{\varepsilon_k}(x), &\qquad x&\in \Omega_{\varepsilon_k}, \\ &\frac{\partial u_{\varepsilon_k}}{\partial \nu} +\varepsilon_k^{n/(n-2)} B^j_{\varepsilon_k}(x) u_{\varepsilon_k} =0, &\qquad x&\in \partial G^j_{\varepsilon_k},\, j\in \Upsilon_{\varepsilon_k}, \\ &u_{\varepsilon_k} =0, &\qquad x&\in \partial\Omega, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{48}
на всей оси времени t\in \mathbb{R}.
Чтобы получить равномерную по \varepsilon оценку решения, воспользуемся следующими леммами (см. [53; гл. III, § 5] и [54] соответственно).
\begin{equation}
W(f,g) = \int_{\Omega_\varepsilon}\nabla f\, \nabla g \, dx+\int_{\Omega_\varepsilon} qfg \, dx+ \int_{\partial \Omega_\varepsilon} r fg \, d\omega
\end{equation}
\tag{49}
является билинейной формой на \mathbf{V}_\varepsilon, и пусть q(x)\geqslant0 и r(x)\geqslant 0 (q\not\equiv0 или r\not\equiv0). Тогда билинейная форма W(f,g) задает скалярное произведение на \mathbf{V}_\varepsilon, которое эквивалентно скалярному произведению В утверждении 3.3 доказано, что ядра \mathcal{K}_{\varepsilon} равномерно ограничены (по \varepsilon) в пространстве \mathcal{F}^{\mathrm b} (см. (33)). Следовательно, последовательность \{u_{\varepsilon_k}(s)\} ограничена в \mathcal{F}^{\mathrm b}, т. е.
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \| u_{\varepsilon_k}\|_{\mathcal{F}^{\mathrm b}} &=\sup_{t\in \mathbb{R}}\| u_{\varepsilon_k}(t)\| +\sup_{t\in \mathbb{R}}\biggl(\int_t^{t+1}\| u_{\varepsilon_k}(s)\|_1^2\, ds\biggr)^{1/2} +\sup_{t\in \mathbb{R}}\|u_{\varepsilon_k}(s)\|_{\mathbf{L}_{\mathbf{p}}(t, t+1; \mathbf{L}_{\mathbf{p}})} \nonumber \\ &\qquad +\sup_{t\in \mathbb{R}}\biggl\| \frac{\partial u_{\varepsilon_k}}{\partial t}(s)\biggr\|_{\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(t, t+1;\mathbf{H}^{-\mathbf{r}})}\leqslant C\quad \forall\, k\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{50}
Следовательно, найдется подпоследовательность \{u_{\varepsilon_k'}(s)\}\subset \{u_{\varepsilon_k}(s)\} такая, что
\begin{equation}
u_{\varepsilon_k}(s)\to \overline u(s)\quad\text{при}\quad k\to \infty \text{ в } \Theta^{\mathrm{loc}},
\end{equation}
\tag{51}
где \overline u(s)\in \mathcal{F}^{\mathrm b} и \overline u(s) удовлетворяет (50) с той же константой C. Из (50) получаем, что u_{\varepsilon_k}(s)\rightharpoonup \overline u(s) (k\to\infty ) слабо в \mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R};\mathbf{V}), слабо в \mathbf{L}_{\mathbf{p}}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R};\mathbf{L}_{\mathbf{p}}), *-слабо в \mathbf{L}_{\infty }^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H}) и \partial u_{\varepsilon_k}(s)/\partial t\rightharpoonup \partial \overline u(s)/\partial t (k\to \infty ) слабо в \mathbf{L}_{\mathbf{q},w}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R};\mathbf{H}^{-\mathbf{r}}). Утверждается, что \overline u(s)\in\overline{\mathcal{K}}. Уже доказано, что \| \overline u\|_{\mathcal{F}^{\mathrm b}}\leqslant C. Осталось проверить, что \overline u(s) является слабым решением (43). Используя (50) и (15), получаем
\begin{equation}
\frac{\partial u_{\varepsilon_k}}{\partial t}-\lambda\Delta u_{\varepsilon_k} -g_{\varepsilon_k}(x) \to \frac{\partial \overline u}{\partial t}-\lambda\Delta \overline u- \overline{g}(x) \quad \text{при}\quad k\to \infty
\end{equation}
\tag{52}
в пространстве D'(\mathbb{R};\mathbf{H}^{-\mathbf{r}}_\varepsilon), потому что оператор производной непрерывен в пространстве обобщенных функций. Докажем, что
\begin{equation}
a\biggl( x,\frac x{\varepsilon_k}\biggr) f(u_{\varepsilon_k})\rightharpoondown \overline a(x) f(\overline u\,)\quad \text{при}\quad k\to \infty
\end{equation}
\tag{53}
слабо в \mathbf{L}_{\mathbf{q},w}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R};\mathbf{L}_{\mathbf{q}}). Зафиксируем произвольное число M>0. Последовательность \{u_{\varepsilon_k}(s)\} ограничена в \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(-M,M; \mathbf{L}_{\mathbf{p},\varepsilon}) (см. (50)). Тогда в силу (18) последовательность \{f(u_{\varepsilon_k}(s))\} ограничена в \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(-M,M; \mathbf{L}_{\mathbf{q},\varepsilon}). Поскольку \{u_{\varepsilon_k}(s)\} ограничена в \mathbf{L}_2(-M,M; \mathbf{V}_\varepsilon) и \{\partial_tu_{\varepsilon_k}(s)\} ограничена в \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(-M,M; \mathbf{H}^{-\mathbf{r}}_\varepsilon), можно предполагать, что u_{\varepsilon_k}(s)\to \overline u(s) при k\to \infty сильно в \mathbf{L}_2(-M,M; \mathbf{L}_2) =\mathbf{L}_2(\Omega \times\,]{-}M,M[\,) и, следовательно,
\begin{equation*}
u_{\varepsilon_k}(x,s)\to \overline u(x,s)\quad\text{ при }k\to \infty\text{ для почти всех } (x,s)\in \Omega \times\, ]{-}M,M[.
\end{equation*}
\notag
Так как функция f(v) непрерывна по v\in \mathbb R, заключаем
\begin{equation}
f(u_{\varepsilon_k}(x,s))\to f(\overline u(x,s))\quad\text{при }k\to \infty \text{ для почти всех } (x,s)\in \Omega \times\, ]{-}M,M[.
\end{equation}
\tag{54}
Имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &a\biggl( x,\frac x{\varepsilon_k}\biggr) f(u_{\varepsilon_k})-\overline a(x) f(\overline u\,) \nonumber \\ &\qquad= a\biggl( x,\frac x{\varepsilon_k}\biggr) \bigl( f(u_{\varepsilon_k})-f(\overline u\,)\bigr)+\biggl( a\biggl( x,\frac x{\varepsilon_k}\biggr) -\overline a(x) \biggr) f(\overline u\,). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{55}
Покажем, что оба слагаемых в правой части (55) сходятся к нулю при k\to \infty слабо в \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(-M,M; \mathbf{L}_{\mathbf{q}}) =\mathbf{L}_{\mathbf{q}}(\Omega\times\, ]{-}M,M[). Во-первых, последовательность a(x,x/\varepsilon_k) (f(u_{\varepsilon_k})-f(\overline u\,)) стремится к нулю при k\to \infty для почти всех (x,s)\in \Omega \times\, ]{-}M,M[ (см. (54)), и она ограничена в \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(\Omega\times\, ]{-}M,M[\,) (см. (17)). Применяя [50; гл. 1, § 1, лемма 1.3], заключаем, что
\begin{equation*}
a\biggl( x,\frac x{\varepsilon_k}\biggr) \bigl( f(u_{\varepsilon_k})-f(\overline u\,)\bigr) \rightharpoondown 0\quad\text{при}\quad k\to \infty
\end{equation*}
\notag
слабо в \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(\Omega \times ]{-}M,M[). Во-вторых, последовательность (a(x,x/\varepsilon_k)- \overline a(x)) f(\overline u\,) также сходится к нулю при k\to \infty слабо в \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(\Omega \times\, ]{-}M,M[\,), потому что по условию a(x,x/\varepsilon_k) \rightharpoondown \overline a(x) при k\to \infty *-слабо в \mathbf{L}_{\infty,*w}(-M,M; \mathbf{L}_2) и f(\overline u\,)\in \mathbf{L}_{\mathbf{q}}(\Omega \times\, ]{-}M,M[). Тем самым, (53) доказано. Следуя [55] и [56], можно доказать лемму 4.4. Лемма 4.4. Для любой функции \varphi \in \mathbf{H}_\varepsilon и для всех t справедливо неравенство
\begin{equation}
\biggl|\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_\varepsilon} \int_{\partial G^j_\varepsilon} B^j_\varepsilon(x) \varphi\, d\omega- \int_{\Omega}V(x)\overline \varphi\, dx\biggr|\le M\varepsilon \|\varphi\|_{\mathbf{H}_\varepsilon},
\end{equation}
\tag{56}
и для любой функции \psi\in \mathcal{F}^{\mathrm b} при \varepsilon\to0 справедливо предельное соотношение
\begin{equation}
\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_\varepsilon} \int_{\partial G^j_\varepsilon} B^j_\varepsilon(x) u_\varepsilon\psi\, d\omega\to \int_{\Omega}V(x)\overline u \psi\, dx,
\end{equation}
\tag{57}
здесь V(x) определяется по формуле (42), а постоянная M не зависит от \varepsilon. Доказательство. Доказательство неравенства (56) проводится по той же схеме, что и в [56; лемма 2, неравенство (21)]. Умножаем уравнение задачи (41) на функцию \varphi \in \mathbf{H}_\varepsilon и интегрируем по частям в области \Omega_\varepsilon. Вычтем и прибавим в полученное равенство слагаемое \int_{\Omega}V(x)\overline \varphi\, dx. Далее, переносим в левую часть равенства разность
\begin{equation*}
\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_\varepsilon} \int_{\partial G^j_\varepsilon} B^j_\varepsilon(x) \varphi\, d\omega- \int_{\Omega}V(x)\overline \varphi\, dx
\end{equation*}
\notag
и оцениваем ее по модулю, таким образом получая оценку (56).
Для доказательства сходимости (57), прежде всего, подставив u_\varepsilon в качестве тестовой функции в (24), можно получить равномерную ограниченность
\begin{equation*}
\|\nabla u_\varepsilon\|_{\mathbf{H}_\varepsilon}\le K, \qquad \sum_{j\in\Upsilon_\varepsilon} \int_{\partial G^j_\varepsilon} B^j_\varepsilon u_\varepsilon \psi\, d\omega \le K\varepsilon^{-n/(n-2)},
\end{equation*}
\notag
где постоянная K не зависит от \varepsilon.
Рассмотрим семейство операторов продолжения таких, что P_\varepsilon v = v почти всюду в \Omega_\varepsilon и
\begin{equation*}
\|\nabla P_\varepsilon v\|_{\mathbf{H}} \le \|\nabla v\|_{\mathbf{H}_\varepsilon}\quad \text{для любой функции } v\in \mathbf{V}_\varepsilon
\end{equation*}
\notag
(подробности построения таких операторов см. в [11]).
Имея в виду предыдущее неравенство и оценку (50), заключаем, что последовательность \widetilde u_\varepsilon = P_\varepsilon u_\varepsilon является ограниченной в \mathbf{V}. Следовательно, она слабо сходится в \mathbf{V}. Тогда существует функция u\in\mathbf{V} такая, что
\begin{equation*}
\widetilde u_\varepsilon\rightharpoonup u \quad \text{в }\mathbf{V}\text{ при } \varepsilon\to0.
\end{equation*}
\notag
Далее будем использовать запись u_\varepsilon вместо \widetilde u_\varepsilon.
Обозначим T^j_r=\{ x\in \mathbb{R}^n \colon |x-P_\varepsilon^j|\le r\}. Рассмотрим следующую вспомогательную функцию v_\varepsilon^j, удовлетворяющую задаче
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &\Delta v_\varepsilon^j=0, &\qquad x&\in T^j_{\varepsilon/4}\setminus \overline{G^j_\varepsilon}, \\ &\frac{\partial v_\varepsilon^j}{\partial \nu}+\varepsilon^{n/(n-2)}B_\varepsilon^j(x) v_\varepsilon^j=\varepsilon^{n/(n-2)}\overline{B}_\varepsilon^j(x), &\qquad x&\in \partial G_\varepsilon^j, \\ &v_\varepsilon^j=0, &\qquad x&\in \partial T^j_{\varepsilon/4}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{58}
Несложно показать, что
\begin{equation*}
\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in \Upsilon_\varepsilon}\int_{\partial G_\varepsilon^j} B_\varepsilon^j(x) u_\varepsilon \phi\, d\omega=- \sum_{j\in \Upsilon_\varepsilon} \int_{\partial T^j_{\varepsilon/4}} \frac{\partial v_\varepsilon^j}{\partial\nu}\, u_\varepsilon \phi\, d\omega.
\end{equation*}
\notag
Таким образом установлено, что
\begin{equation}
\mathcal{V}_\varepsilon(x)= \begin{cases} v_\varepsilon^j(x), &x\in T^j_{\varepsilon/4}\setminus \overline{G^j_\varepsilon},\ j\in \Upsilon_\varepsilon, \\ 0, & x\in \mathbb{R}^n\setminus \overline{T^j_{\varepsilon/4}}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{59}
В [55] доказывается, что
\begin{equation*}
\|\mathcal{V}_\varepsilon\|^2_{\mathbf{V}_\varepsilon}\le K\varepsilon^2
\end{equation*}
\notag
и
\begin{equation*}
\widetilde {\mathcal{V}}_\varepsilon\rightharpoonup 0 \quad\text{слабо в }\mathbf{V}, \qquad \widetilde {\mathcal{V}}_\varepsilon\to 0 \quad\text{сильно в }\mathbf{H}\quad\text{при}\quad \varepsilon\to0,
\end{equation*}
\notag
где \widetilde {\mathcal{V}}_\varepsilon=P_\varepsilon \mathcal{V}_\varepsilon.
С помощью [55; леммы 4.1, 4.2] получаем, что
\begin{equation}
\biggl|\sum_{j\in \Upsilon_\varepsilon}\int_{\partial T^j_{\varepsilon/4}} \frac{\partial v_\varepsilon^j}{\partial\nu}\, h_\varepsilon\, d\omega+\int_{\Omega}V(x) h\, dx\biggr|\to 0
\end{equation}
\tag{60}
при \varepsilon\to0 для функций h_\varepsilon, h\in \mathbf{V}, таких, что h_\varepsilon\rightharpoonup h в \mathbf{V}.
Наконец, из (60) получается сходимость (57). Лемма 4.4 доказана. Используя (52), (53) и (57), переходя к пределу в уравнении задачи (48) при k\to \infty в пространстве D'(\mathbb{R}_+; \mathbf{H}^{-\mathbf{r}}), получаем, что функция \overline u(x,s) удовлетворяет уравнениям
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &\frac{\partial \overline u}{\partial t} =\lambda \Delta \overline u -\overline{a}(x)f(\overline u\,)-V(x)\overline u +\overline{g}(x), &\qquad x&\in \Omega, \\ &\overline u =0, &\qquad x&\in \partial\Omega. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{61}
Следовательно, \overline u\in \overline{\mathcal{K}}. Выше было доказано, что u_{\varepsilon_k}(s)\to \overline u(s) при k\to\infty в \Theta^{\mathrm{loc}}. Из условия u_{\varepsilon_k}(s)\notin \mathcal{O}'(\overline{\mathcal{K}}) следует, что \overline u\notin \mathcal{O}'(\overline{\mathcal{K}}) и, тем более, \overline u\notin \overline{\mathcal{K}}. Получено противоречие. Теорема 4.1 доказана. Используя компактные включения (11) и (12), можно усилить сходимость (44). Следствие 4.1. Для каждого 0<\delta \leqslant 1 и для любого M>0 Для доказательства (62) и (63) повторим доказательство теоремы 4.1, заменяя топологию \Theta^{\mathrm{loc}} на \mathbf{L}_2^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H}^{1-\delta }) или \mathbf{C}^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}_+;\mathbf{H}^{-\delta }). Возникает естественный вопрос: верны ли предельные соотношения (62) и (63) при \delta=0? Ответ будет утвердительным при некоторых дополнительных условиях. Для простоты мы будем предполагать, что коэффициент a_{\varepsilon}(x) не зависит от \varepsilon, т. е. функция a(x,y)=a(x) не зависит от быстрой переменной y. Кроме того, для функции g_\varepsilon(x) вместо (15) необходимо потребовать более сильное условие усреднения: при любом \varepsilon>0 функции g^i_\varepsilon(x)=g^i(x,x/\varepsilon)\in L_2(\Omega) и имеют средние \overline{g}^{\,i}(x) в пространстве L_2(\Omega) при \varepsilon \to 0+, т. е.
\begin{equation}
\int_{\Omega}g^i\biggl(x,\frac{x}{\varepsilon}\biggr)\varphi(x)\, dx\to \int_{\Omega}\overline{g}^{\,i}(x)\varphi(x)\, dx, \qquad \varepsilon \to 0+,
\end{equation}
\tag{64}
для любой функции \varphi\in L_2(\Omega) и для всех i=1,\dots, N. Для доказательства нам потребуется следующее утверждение, аналогичное лемме 4.4. Лемма 4.5. При выполнении условий леммы 4.4 имеет место предельное соотношение
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\varepsilon_k^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon_k}} \int_0^M\int_{\partial G_{\varepsilon_k }^j}sB_{\varepsilon_k}^j(x)u_{\varepsilon_k}(x,s)\cdot u_{\varepsilon_k}(x,s)\,d\omega\, ds \nonumber \\ &\qquad\to \int_0^M\int_{\Omega}sV(x) \overline{u}(x,s)\cdot \overline{u}(x,s)\,dx\,ds \end{aligned}
\end{equation}
\tag{65}
при \varepsilon_k\to 0+, и последовательность полных траекторий u_{\varepsilon_k}(x,s)\in \mathcal{K}_{\varepsilon_k} удовлетворяет условиям (50) и (51). Замечание 4.2. Отметим, что при доказательстве основной теоремы 4.2 сходимость (65) можно заменить на более слабое неравенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_0^M\int_{\Omega}sV(x) \overline{u}(x,s)\cdot \overline{u}(x,s)\,dx\, ds \notag \\ &\qquad\leqslant \liminf_{k\to \infty} \varepsilon_k^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon_k}} \int_0^M\int_{\partial G_{\varepsilon_k }^j}sB_{\varepsilon_k}^j(x)u_{\varepsilon_k}(x,s)\cdot u_{\varepsilon_k}(x,s)\,d\omega\, ds, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{66}
которое и будем использовать в дальнейшем. Доказательство леммы 4.5. Оценим разность, вычтя и добавив соответствующие члены. Имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl|\varepsilon_k^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon_k}} \int_0^M\int_{\partial G_{\varepsilon_k }^j}sB_{\varepsilon_k}^j(x)u_{\varepsilon_k}(x,s)\cdot u_{\varepsilon_k}(x,s) \,d\omega\, ds \nonumber \\ &\qquad\qquad-\int_0^M\int_{\Omega}sV(x) \overline{u}(x,s)\cdot \overline{u}(x,s)\,dx\, ds \biggr| \nonumber \\ &\qquad\le\biggl|\varepsilon_k^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon_k}} \int_0^M\int_{\partial G_{\varepsilon_k }^j}sB_{\varepsilon_k}^j(x)u_{\varepsilon_k}(x,s)\cdot u_{\varepsilon_k}(x,s)\,d\omega\, ds \nonumber \\ &\qquad\qquad-\varepsilon_k^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon_k}}\int_0^M \int_{\partial G_{\varepsilon_k }^j}sB_{\varepsilon_k}^j(x)\overline{u}(x,s)\cdot u_{\varepsilon_k}(x,s)\,d\omega\, ds\biggr| \nonumber \\ &\qquad+\biggl|\varepsilon_k^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon_k}}\int_0^M \int_{\partial G_{\varepsilon_k }^j}sB_{\varepsilon_k}^j(x)\overline{u}(x,s)\cdot u_{\varepsilon_k}(x,s)\,d\omega\, ds \nonumber \\ &\qquad\qquad-\int_0^M\int_{\Omega}sV(x) \overline{u}(x,s)\cdot u_{\varepsilon_k}(x,s)\,dx\, ds \biggr| \nonumber \\ &\qquad+\biggl|\int_0^M\int_{\Omega}sV(x) \overline{u}(x,s)\cdot u_{\varepsilon_k}(x,s)\,dx\, ds \nonumber \\ &\qquad\qquad- \int_0^M\int_{\Omega}sV(x) \overline{u}(x,s)\cdot \overline{u}(x,s)\,dx\, ds \biggr|= I_1+ I_2+ I_3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{67}
Применяя неравенство Коши–Буняковского к слагаемым I_1 и I_3, имея в виду сильную сходимость u_{\varepsilon_k}(x,s)\to \overline{u}(x,s) в \mathbf{L}_2(\Omega\times [0,M]), показываем, что I_1\to0 и I_3\to0 при \varepsilon_k\to 0+. Оставшееся слагаемое I_2 стремится к нулю по предыдущей лемме 4.4. Лемма 4.5 доказана. Сформулируем основную теорему о сходимости траекторных аттракторов системы (13) в сильной топологии \Theta_+^{s,\mathrm{loc}}, в которой построены траекторные аттракторы при фиксированном \varepsilon (теорема 3.1). Теорема 4.2. Предположим, что коэффициент a=a(x) не зависит от \varepsilon, а функция g_{\varepsilon}(x) удовлетворяет условию (64). Тогда имеет место следующая сходимость в сильной топологии \Theta_+^{s,\mathrm{loc}}: Кроме того, Доказательство. Повторяя рассуждения из доказательства утверждения 4.1, строим ограниченную в \mathcal{F}^{\mathrm b} последовательность \{u_{\varepsilon_k}(s),\, s\in \mathbb{R}\} полных траекторий систем (13), которые сходятся в топологии \Theta^{\mathrm{loc}} при \varepsilon_k\to 0+ к функции \overline{u}(s), которая является ограниченной полной траекторией предельной (усредненной) системы (43).
Утверждается, что u_{\varepsilon_k}(s) сходится к \overline{u}(s) в сильной топологии \Theta_+^{s,\mathrm{loc}}. Чтобы проверить это, воспользуемся методом энергетических тождеств из доказательства теоремы 3.1. Достаточно проверить, что последовательность \{u_{\varepsilon_k}(s)\} имеет подпоследовательность, которая сильно сходится к \overline{u}(s) в пространстве \mathbf{L}_{\mathbf{p} }(\Omega\times [-M+1,M])\cap \mathbf{L}_2(-M+1,M;\mathbf{V}) при каждом M>0. Для любого фиксированного M, сдвигая время назад на s=-M+s', можно предположить, что функции \{u_{\varepsilon_k}(s')\} и \overline{u}(s') определены на интервале [0,M'], M'=2M, и мы ищем подпоследовательность, которая сильно сходится в \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [1,M'])\cap \mathbf{L}_2(1,M';\mathbf{V}). Для краткости будем опускать штрих в s' и M'. Поскольку \{u_{\varepsilon_k}(s)\} ограничены в пространствах \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [0,M]) и \mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V}), можно предполагать, что u_{\varepsilon_k}(\,{\cdot}\,)\rightharpoondown \overline{u}(\,{\cdot}\,) при \varepsilon_k\to 0+ слабо в пространствах \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [0,M]) и \mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V}). Можно также считать, что u_{\varepsilon_k}(M)\rightharpoondown \overline{u}(M) при \varepsilon_k\to 0+ слабо в \mathbf{H}. Аналогично (34)–(36) получаем, что
\begin{equation}
\| \overline{u}(M)\| \leqslant \liminf_{k\to \infty}\| u_{\varepsilon_k}(M)\|,
\end{equation}
\tag{70}
\begin{equation}
\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla \overline{u}\cdot \nabla \overline{u}\, dx\, ds \leqslant \liminf_{k\to \infty}\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla u_{\varepsilon_k}\cdot \nabla u_{\varepsilon_k}\, dx\, ds,
\end{equation}
\tag{71}
\begin{equation}
\int_0^M\int_{\Omega}sa(x)|\overline{u}^{\,i}|^{p_i}\, dx\, ds \leqslant \lim\inf_{k\to \infty} \int_0^M\int_{\Omega}sa(x)|u_{\varepsilon_k}^i|^{p_i}\,dx\, ds,\qquad i=1,\dots,N,
\end{equation}
\tag{72}
где для краткости обозначено u_{\varepsilon_k}=u_{\varepsilon_k}(x,s) и \overline{u}=\overline{u}(x,s). Кроме того, в силу леммы 4.5 выполнено соотношение (66).
Аналогично (38) получаем
\begin{equation}
\int_0^M\int_{\Omega}sa(x) F(\overline{u}(x,t))\, dx\, ds\leqslant \liminf_{k\to \infty} \int_0^M\int_{\Omega}sa(x) F(u_{\varepsilon_k}(x,t))\, dx\, ds
\end{equation}
\tag{73}
(напоминаем, что рассматривается случай, когда функция a(x) не зависит от \varepsilon).
Теперь мы применяем энергетические тождества для функций u_{\varepsilon_k}(s) и \overline{u}(\,{\cdot}\,), и получаем аналогично (39) и (40) следующие равенства:
\begin{equation}
\frac{1}{2}\| u_{\varepsilon_k}(M)\|^2+\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla u_{\varepsilon_k}\cdot \nabla u_{\varepsilon_k}\, dx\, ds +\sum_{i=1}^{N}\gamma_i\int_0^M\int_{\Omega}sa(x) |u_{\varepsilon_k}^i|^{p_i}\, dx\, ds \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad+\int_0^M\int_{\Omega}sa(x)F(u_{\varepsilon_k})\, dx\, ds + \varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon}}\int_0^M \int_{\partial G_{\varepsilon_k}^j}sB_{\varepsilon_k}^j(x)u_{\varepsilon_k }\cdot u_{\varepsilon_k }\,d\omega \, ds \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
=\frac{1}{2} \int_0^M\int_{\Omega}|u_{\varepsilon_k}|^2\, dx\, ds +\int_0^M\int_{\Omega}g_{\varepsilon_k}(x)\cdot u_{\varepsilon_k}\, dx\, ds,
\end{equation}
\tag{74}
\begin{equation}
\frac{1}{2}\| \overline{u}(M)\|^2+\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla \overline{u} \cdot \nabla \overline{u}\, dx\, ds +\sum_{i=1}^{N}\gamma_i\int_0^M\int_{\Omega}sa(x) |\overline{u}^{\,i}|^{p_i}\, dx\, ds \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad+\int_0^M\int_{\Omega}sa(x) F(\overline{u})\, dx\, ds +\int_0^M\int_{\Omega}sV(x) \overline{u}(x,s)\cdot \overline{u}(x,s)\,dx\, ds \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
=\frac{1}{2} \int_0^M\int_{\Omega}|\overline{u}|^2\, dx\, ds +\int_0^M\int_{\Omega}\overline{g}(x)\cdot \overline{u}\, dx\, ds.
\end{equation}
\tag{75}
Рассмотрим разность
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\biggl| \int_0^M\int_{\Omega}g_{\varepsilon_k}(x)\cdot u_{\varepsilon_k}\, dx\, ds -\int_0^M\int_{\Omega}\overline{g}(x)\cdot \overline{u}\, dx\, ds\biggr| \notag \\ &\qquad=\biggl| \int_0^M\int_{\Omega}g_{\varepsilon_k}(x)\cdot (u_{\varepsilon_k}-\overline{u}) \, dx\, ds +\int_0^M\int_{\Omega}\bigl(g_{\varepsilon_k}(x) -\overline{g}(x)\bigr) \cdot \overline{u}\, dx\, ds\biggr| \notag \\ &\qquad\leqslant \| g_{\varepsilon_k}(\,{\cdot}\,)\|_{\mathbf{L}_2}\| u_{\varepsilon_k}-\overline{u}\|_{\mathbf{L}_2}+\biggl| \int_0^M\int_{\Omega}\bigl( g_{\varepsilon_k}(x)-\overline{g}(x)\bigr) \cdot \overline{u}\, dx\, ds\biggr|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{76}
Напомним, что u_{\varepsilon_k}(\,{\cdot}\,)\to \overline{u}(\,{\cdot}\,) сильно в пространстве \mathbf{L}_2(\Omega\times [0,M]) и g_{\varepsilon_k}(\,{\cdot}\,)\rightharpoondown \overline{g}(\,{\cdot}\,) слабо в \mathbf{L}_2(\Omega\times [0,M]) (см. (64)) и, значит, g_{\varepsilon_k}(\,{\cdot}\,) равномерно ограничено в \mathbf{L}_2(\Omega\times [0,M]). Следовательно, оба слагаемых в (76) стремятся к нулю и, тем самым,
\begin{equation}
\int_0^M\int_{\Omega}g_{\varepsilon_k}(x)\cdot u_{\varepsilon_k}\, dx\, ds\to \int_0^M\int_{\Omega}\overline{g}(x)\cdot \overline{u}\, dx\, ds\quad \text{при} \quad \varepsilon_k\to 0{+}.
\end{equation}
\tag{77}
Таким образом, правая часть уравнения (74) стремится к правой части уравнения (75), и тогда левая часть уравнения (74) также стремится к левой части уравнения (75). Объединяя это наблюдение с неравенствами (70)–(73) и (66), заключаем, что
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lim_{k\to \infty }\| u_{\varepsilon_k}(M)\|^2 =\|\overline{u}(M)\|^2, \\ \lim_{k\to \infty }\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla u_{\varepsilon_k}\cdot \nabla u_{\varepsilon_k}\, dx\, ds =\int_0^M\int_{\Omega}s\lambda\nabla \overline{u}\cdot \nabla \overline{u}\, dx\, ds, \\ \lim_{k\to \infty }\int_0^M\int_{\Omega}sa(x)|u_{\varepsilon_k}^i|^{p_i}\, dx\, ds =\int_0^M\int_{\Omega}sa(x)|\overline{u}^{\,i}|^{p_i}\, dx\, ds,\qquad i=1,\dots,N, \\ \lim_{k\to \infty }\int_0^M\int_{\Omega}sa(x)F(u_{\varepsilon_k})\, dx\, ds =\int_0^M\int_{\Omega}sa(x) F(\overline{u})\, dx\, ds, \\ \begin{aligned} \, &\lim_{k\to \infty}\varepsilon^{n/(n-2)}\sum_{j\in\Upsilon_{\varepsilon}}\int_0^M \int_{\partial G_{\varepsilon_k}^j}sB_{\varepsilon_k}^j(x)u_{\varepsilon_k }\cdot u_{\varepsilon_k }\,d\omega \, ds \\ &\qquad =\int_0^M\int_{\Omega}sV(x) \overline{u}(x,s)\cdot \overline{u}(x,s)\,dx\, ds. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Для завершения доказательства воспользуемся рассуждениями из конца доказательства теоремы 3.1 и получим, что u_{\varepsilon_k}(\,{\cdot}\,)\to \overline{u}(\,{\cdot}\,) сильно в пространстве \mathbf{L}_{\mathbf{p}}(\Omega\times [0,M])\cap \mathbf{L}_2(0,M;\mathbf{V})\cap C([0,M];\mathbf{H}) и \partial_tu_{\varepsilon_k}(\,{\cdot}\,)\to \partial_t\overline{u}(\,{\cdot}\,) сильно в пространстве \mathcal{L(}0,M) при \varepsilon_k\to 0+. Мы доказали (69), а значит, и (68). Теорема 4.2 доказана. Замечание 4.3. Теорема 4.2 справедлива также и в более общем случае, когда коэффициент a_{\varepsilon}(x) зависит от \varepsilon и удовлетворяет условию усредняемости (14). Наконец, рассмотрим системы уравнений реакции–диффузии, для которых имеет место теорема единственности в задаче Коши. Для этого достаточно предположить, что нелинейный член f(u) в системе (13) удовлетворяет условию
\begin{equation}
(f(v_1)-f(v_2),\, v_1-v_2) \geqslant -C|v_1-v_2|^2\quad\forall\, v_1,v_2\in \mathbb{R}^{N}
\end{equation}
\tag{78}
(см. [21], [48]). В [48] было доказано, что если выполнено (78), то системы (13) и (43) порождают динамические полугруппы в \mathbf{H}, имеющие глобальные аттракторы \mathcal{A}_{\varepsilon} и \overline{\mathcal{A}}, ограниченные в пространстве \mathbf{V}=\mathbf{H}_0^1(\Omega) (см. также [20], [22]). При этом выполнены равенства
\begin{equation*}
\mathcal{A}_{\varepsilon}=\{u(0)\mid u\in \mathfrak{A}_{\varepsilon}\},\qquad \overline{\mathcal{A}}=\{u(0)\mid u\in \overline{\mathfrak{A}}\}.
\end{equation*}
\notag
Сходимость (63) в этом случае влечет следствие 4.2. Следствие 4.2. В условиях теоремы 4.2 имеет место предельное соотношение 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BekCheChe22}
Эта публикация цитируется в следующих 6 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|