Оценки на границе для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами в полупространстве

Для дифференциальных операторов $A(D)$, $P_j(D)$ ($j=1,\dots,N$, $D=(\partial/i\partial x_1,\dots,\partial/i\partial x_{n-1};\partial/i\partial t)$) в полупространстве $\mathbf R^n_+=\{(x;t),x\in\mathbf R^{n-1},t\geqslant0\}$ с постоянными комплексными коэффициентами дано точное описание “пространства следов” $A(D)u|_{t=0}$ элементов $u$ пополнения пространства $C^\infty_0(\mathbf R^n_+)$ в метрике $\sum_{j=1}^N\|P_j(D)u\|^2$ ($\|\cdot\|$ – норма в $L_2(\mathbf R^n_+)$). Детально рассмотрен случай метрики $\|P(D)u\|^2+\|u\|^2$.
Устанавливаются также необходимые и достаточные условия справедливости оценки
$$\bigl\langle A(D)u\bigr\rangle_{s_0}^2\leqslant C\biggl(\sum_{j=1}^N\|P_j(D)u\|^2+\sum_{k=1}^r\langle B_k(D)u\rangle_{s_k}^2\biggr)$$
для всех $u(x;t)\in C^\infty_0(\mathbf R^n_+)$ ($\langle\cdot\rangle$ – норма в $\mathscr H_s(\partial\mathbf R^n_+)$).