Оценки для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами в полупространстве

Получены необходимые и достаточные (а также более явные достаточные) условия справедливости следующих оценок для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами в полупространстве $\mathbf R_+^n=\{(x,t):x\in\mathbf R^{n-1},\ t\geqslant0\}$:
$$\begin{gather*} \|\mathscr R(D)u\|^2\leqslant C\|\mathscr P(D)u\|^2,\qquad u\in C_0^\infty(\mathbf R_+^n),\quad(\mathscr Q_j(D)u)(x;0)=0\ (j=1,\dots,N), \\ \|\mathscr R(D)u\|^2\leqslant C\biggl(\|\mathscr P(D)u\|^2+\sum_{j=1}^N\langle\!\langle\mathscr Q_j(D)u\rangle\!\rangle _{s_j}^2\biggr), \end{gather*}$$
где ${\|\cdot\|}$, $\langle\!\langle\,\cdot\,\rangle\!\rangle$ – нормыn в $L_2(\mathbf R_+^n)$ и $H_s(\partial\mathbf R_+^n)$,
$$D=\biggl(\frac1i\,\frac\partial{\partial x_1},\dots,\frac1i\,\frac\partial{\partial x_{n-1}};\frac1i\,\frac\partial{\partial t}\biggr),$$
$C_0^\infty(\mathbf R_+^n)$ – пространство сужений на $\mathbf R_+^n$ функций из $C_0^\infty(\mathbf R^n)$.
Библиография: 18 названий.