Константа Никольского для тригонометрических полиномов с периодическим весом Гегенбауэра

В работе изучается константа Никольского (или константа Джексона–Никольского) для комплексных тригонометрических полиномов в пространстве $L_{\alpha}^{p}(\mathbb{T})$ при $p\ge 1$ с периодическим весом Гегенбауэра $| \sin x|^{2\alpha+1}$:
$$\mathcal{C}_{p,\alpha}(n)=\sup_{T\in \mathcal{T}_{n}\setminus \{0\}} \frac{\|T\|_{\infty}}{\|T\|_{p}},$$
где $\|{ \cdot }\|_{p}=\|{ \cdot }\|_{L_{\alpha}^{p}(\mathbb{T})}$. Д. Джексон (1933) доказал, что $\mathcal{C}_{p,-1/2}(n)\le c_{p}n^{1/p}$ для всех $n\ge 1$. Задача нахождения $\mathcal{C}_{p,-1/2}(n)$ имеет долгую историю. Однако точные значения известны только при $p=2$. При $p=1$ задача имеет интересные приложения, например, в теории чисел. Отметим результаты Я. Л. Геронимуса, Л. В. Тайкова, Д. В. Горбачева, И. Е. Симонова, П. Ю. Глазыриной. Для $p>0$ отметим результаты И. И. Ибрагимова, В. И. Иванова, Е. Левина, Д. С. Любинского, М. И. Ганзбурга, С. Ю. Тихонова, в весовом случае — В. В. Арестова, А. Г. Бабенко, М. В. Дейкаловой, А. Хорват.
Доказывается, что супремум здесь достигается на действительном четном тригонометрическом полиноме с максимумом модуля в нуле. Как следствие, установлена связь с алгебраической константой Никольского с весом $(1-x^{2})^{\alpha}$, исследованная В. В. Арестовым и М. В. Дейкаловой (2015). Доказательство следует их методу и базируется на положительном операторе обобщенного сдвига в пространстве $L^{p}_{\alpha}(\mathbb{T})$ с периодическим весом Гегенбауэра. Этот оператор был построен и изучен Д. В. Чертовой (2009). Как приложение, предлагается подход к вычислению $\mathcal{C}_{p,\alpha}(n)$ на основе соотношений двойственности Арестова–Дейкаловой.