Константы Никольского для компактных однородных пространств

В работе изучаются точные $L^{p}$-константы Никольского для случая римановых симметрических многообразий $\mathbb{M}^{d}$ ранга $1$. Данные пространства классифицированы полностью и включают единичную евклидову сферу $\mathbb{S}^{d}$, а также проективные пространства $\mathbb{P}^{d}(\mathbb{R})$, $\mathbb{P}^{d}(\mathbb{C})$, $\mathbb{P}^{d}(\mathbb{H})$, $\mathbb{P}^{16}(\mathrm{Ca})$. На этих многообразиях имеется общий гармонический анализ, в частности, определены подпространства полиномов $\Pi_{n}(\mathbb{M}^{d})$ порядка не выше $n$. В общем случае точная $L^{p}$-константа Никольского для подпространства $Y\subset L^{\infty}$ определяется равенством
$$\mathcal{C}(Y,L^{p})=\sup_{f\in (Y\cap L^{p})\setminus \{0\}}\frac{\|f\|_{\infty}}{\|f\|_{p}}.$$
В.А. Иванов (1983) привел асимптотику
$$\mathcal{C}(\Pi_{n}(\mathbb{M}^{d}),L^{p}(\mathbb{M}^{d}))\asymp n^{d/p}, n\to \infty, p\in [1,\infty).$$
Для случая сферы этот результат был значительно усилен автором совместно с F. Dai и S. Tikhonov (2020):
$$\mathcal{C}(\Pi_{n}(\mathbb{S}^{d}),L^{p}(\mathbb{S}^{d}))= \mathcal{C}(\mathcal{E}_{1}^{d},L^{p}(\mathbb{R}^{d}))n^{d/p}(1+o(1)), n\to \infty, p\in (0,\infty),$$
где $\mathcal{E}_{1}^{d}$ — множество целых функций экспоненциального сферического типа не выше $1$, ограниченных на $\mathbb{R}^{d}$. M.I. Ganzburg (2020) перенес это равенство на случай многомерного тора $\mathbb{T}^{d}$ и тригонометрических полиномов. Для $d=1$ данные результаты вытекают из основополагающей работы E. Levin и D. Lubinsky (2015).
В совместной работе автора и И.А. Мартьянова (2020) доказаны следующие явные границы сферической константы Никольского, которые уточняют приведенные выше результаты при $p\ge 1$:
$$n^{d/p}\le \frac{\mathcal{C}(\Pi_{n}(\mathbb{S}^{d}),L^{p}(\mathbb{S}^{d}))} {\mathcal{C}(\mathcal{E}_{1}^{d},L^{p}(\mathbb{R}^{d}))}\le \bigl(n+2\lceil \tfrac{d+1}{2p}\rceil\bigr)^{d/p}, n\in \mathbb{Z}_{+}, p\in [1,\infty).$$
Данный результат был доказан при помощи одномерного варианта задачи для случая периодического веса Гегенбауэра.
Развитие данного метода позволяет доказать следующий общий результат: при $p\ge 1$
$$n^{d/p}\le \frac{\mathcal{C}(\Pi_{n}(\mathbb{M}^{d}),L^{p}(\mathbb{M}^{d}))} {\mathcal{C}(\mathcal{E}_{1}^{d},L^{p}(\mathbb{R}^{d}))}\le \bigl(n+\lceil \tfrac{\alpha_{d}+3/2}{p}\rceil+\lceil \tfrac{\beta_{d}+1/2}{p}\rceil\bigr)^{d/p},$$
где $\alpha_{d}=d/2-1$, $\beta_{d}=d/2-1$, $-1/2$, $0$, $1$, $3$ соответственно для $\mathbb{S}^{d}$, $\mathbb{P}^{d}(\mathbb{R})$, $\mathbb{P}^{d}(\mathbb{C})$, $\mathbb{P}^{d}(\mathbb{H})$, $\mathbb{P}^{16}(\mathrm{Ca})$. Доказательство данного результата опирается на связь гармонического анализа на $\mathbb{M}^{d}$ с анализом Якоби на $[0,\pi]$ и $\mathbb{T}$ с периодическим весом $\bigl|2\sin \tfrac{t}{2}\bigr|^{2\alpha+1}\bigl|\cos \tfrac{t}{2}\bigr|^{2\beta+1}$. Также приведены родственные результаты для тригонометрических констант Никольского в $L^{p}$ на $\mathbb{T}$ с весом Якоби и констант Никольского для целых функций экспоненциального типа в $L^{p}$ на $\mathbb{R}$ со степенным весом.