Аннотация:
Настоящий обзор представляет собой развёрнутое содержание мини -курса, прочитанного автором в ноябре
2015 г. во время “Китайско-Российского симпозиума по тригонометрическим суммам и суммам множеств”.
Это мероприятие, проходившее в Академии математики и системных наук (Пекин), было организовано
профессорами Чаохуа Жиа (Институт математики Китайской академии наук) и Ке Гонгом (Университет Хенань),
которым автор приносит глубокую благодарность за всяческую поддержку и гостеприимство.
Обзор состоит из Введения, трёх частей и Заключения. Во Введении даются определения и приводятся основные факты, связанные с оценками полных сумм Клоостермана.
В первой части излагается метод оценки неполных сумм Клоостермана по специальному модулю, равному растущей степени фиксированного простого числа. Этот метод основан на идее А. Г. Постникова, которая сводит оценку таких сумм к оценкам тригонометрических сумм с многочленом в показателе экспоненты с помощью теоремы о среднем И. М. Виноградова.
Во второй части излагается метод А. А. Карацубы оценок неполных сумм Клоостермана по произвольному модулю, который основан на весьма точной оценке числа решений симметричного сравнения, содержащего обратные величины по заданному модулю. Эта оценка играет в рассматриваемых здесь вопросах ту же роль, что и теорема о среднем И. М. Виноградова при оценке соответствующих тригонометрических сумм.
В третьей части излагается метод Ж. Бургейна и М. З. Гараева, в основе которого лежит глубокая теорема об “оценке сумм-произведений”, а также уточнение оценки А. А. Карацубы числа решений симметричного сравнения.
В Заключении сформулирован ряд новых результатов об оценках коротких сумм Клоостермана, полученных в последние годы,
доказательства которых не вошли в настоящий обзор.
Библиография: 57 названий.
Ключевые слова:
обратные вычеты, неполные суммы Клоостермана, метод Постникова, метод Карацубы, метод Бургейна–Гараева, теорема Виноградова о среднем, оценка сумм-произведений.
Н. К. Семенова, “Новые оценки коротких сумм Клоостермана с весами”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:3 (2022), 161–186; N. K. Semenova, “New estimates for short Kloosterman sums with weights”, Izv. Math., 86:3 (2022), 560–585
М. А. Королёв, “Короткие суммы Клоостермана с простыми числами”, Матем. заметки, 106:1 (2019), 84–94; M. A. Korolev, “Short Kloosterman Sums with Primes”, Math. Notes, 106:1 (2019), 89–97
М. А. Королёв, “Суммы Клоостермана с мультипликативными коэффициентами”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:4 (2018), 3–17; M. A. Korolev, “Kloosterman sums with multiplicative coefficients”, Izv. Math., 82:4 (2018), 647–661
М. А. Королёв, “Элементарное доказательство оценки суммы Клоостермана с простыми числами”, Матем. заметки, 103:5 (2018), 720–729; M. A. Korolev, “Elementary Proof of an Estimate for Kloosterman Sums with Primes”, Math. Notes, 103:5 (2018), 761–768
М. А. Королёв, “Новая оценка суммы Клоостермана с простыми числами по составному модулю”, Матем. сб., 209:5 (2018), 54–61; M. A. Korolev, “New estimate for a Kloosterman sum with primes for a composite modulus”, Sb. Math., 209:5 (2018), 652–659
М. А. Королёв, “О делителях квадратичной формы с простыми числами”, Гармонический анализ, теория приближений и теория чисел, Сборник статей. К 60-летию со дня рождения академика Сергея Владимировича Конягина, Труды МИАН, 303, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2018, 169–185; M. A. Korolev, “Divisors of a quadratic form with primes”, Proc. Steklov Inst. Math., 303 (2018), 154–170
М. А. Королёв, “О работах Анатолия Алексеевича Карацубы, написанных им в 1990-е и 2000-е годы”, Аналитическая теория чисел, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения Анатолия Алексеевича Карацубы, Труды МИАН, 299, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2017, 7–49; M. A. Korolev, “On Anatolii Alekseevich Karatsuba's works written in the 1990s and 2000s”, Proc. Steklov Inst. Math., 299 (2017), 1–43
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: