Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи

Пусть $\mathfrak{X}$ вещественное линейное топологическое пространство, $\mathfrak{Y}$ его сопряженное. Через $\langle x,y\rangle$ обозначим значение линейного функционала $y\in\mathfrak{Y}$ на элементе $x\in\mathfrak{X}$. Для вещественных функций $f(x)$ на $\mathfrak{X}$ введем две операции – обычной суммы
$$f_1(x)+f_2(x)$$
и конволюции:
$$f_1\oplus f_2(x)=\inf_{x_1+x_2=x}(f_1(x_1)+f_2(x_2)),$$
а также – преобразование, сопоставляющее функции $f(x)$ двойственную ей функцию, заданную на $\mathfrak{Y}$ и получаемую из $f(x)$ по формуле:
$$f^*(y)=\sup_{x\in\mathfrak{X}}(\langle x,Y\rangle-f(x)).$$
Имеют место следующие утверждения:
1) Операция * действует инволютивно:
$$f^{**}=f$$
тогда и только тогда, когда $f(x)$ – выпуклая и полунепрерывная снизу на $\mathfrak{X}$ функция.
2) $(f_1\oplus f_2)^*=F_1^*+f_2^*$.
3) При некоторых дополнительных предположениях
$$(f_1+f_2)^*=f_1^*\oplus f_2^*.$$
Эти теоремы были доказаны в конечномерном пространстве Фенхелем [93], а в общем случае – Моро [60].
Глава I посвящена доказательству этих теорем и их обобщениям.
Глава II посвящена приложению их к математическому программированию и вариационному исчислению. Там доказываются весьма общие теоремы двойственности математического программирования и теоремы о седловых точках. Затем там строятся конструкции, приводящие к расширениям задач оптимального управления и доказывается. теорема существования для таких задач.
В главе III методами теории двойственности выпуклых функций исследуются задачи о приближении элемента $x\in\mathfrak{X}$ и множества $C\subset\mathfrak{X}$ аппроксимирующим множеством $A\subset\mathfrak{X}$. В конце главы выводятся теоремы двойственности для некоторых геометрических характеристик множеств в $\mathfrak{X}$.