С. Ю. Доброхотов, С. Б. Левин, А. А. Толченников, “Кеплеровы траектории и глобальные асимптотики в виде функции Эйри для задачи рассеяния на отталкивающем кулоновском потенциале”, УМН, 78:4(472) (2023), 205–206; Russian Math. Surveys, 78:4 (2023), 788

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	21-11-00341
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, грант № 21-11-00341.

Поступила в редакцию: 05.12.2022

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 4, Pages 788–790
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10117e

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: Primary 34L40, 81Q20; Secondary 33C10

Рассматриваемая задача рассеяния формулируется следующим образом:

Квазиклассическая асимптотика задачи рассеяния для

$n$ -мерного уравнения Шрёдингера в случае финитного (и гладкого) потенциала

$V(x)$ изучена в [3] и [4]. Она представляется в виде примененного к

$1$ канонического оператора Маслова

$K^h_{\Lambda^n}\cdot 1$ , заданного на

$n$ -мерном (инвариантном) лагранжевом многообразии

$\Lambda^n$ , сотканном из траекторий гамильтоновой системы с гамильтонианом

$H=p^2+V(x)$ в

$2n$ -мерном фазовом пространстве, выпущенных из подходящей

$(n-1)$ -мерной плоскости

$\widetilde\Lambda^{n-1}$ .

Для задачи (1) построение асимптотики решения проводится по близкой схеме. Для задачи с кулоновским потенциалом в реализации схемы имеется важная особенность, отличающая эту задачу от задачи с финитным потенциалом: плоскость

$\widetilde\Lambda^{2}$ в фазовом пространстве нужно “переместить на подходящую бесконечность”. Мы реализуем это соображение следующим образом. Соответствующая гамильтонова система интегрируема, и ее решения – хорошо известные кеплеровы траектории, проекции

$\Gamma$ которых в физическом пространстве – это гиперболы, лежащие в плоскостях, проходящих через начало координат. Эти гиперболы имеют асимптоты, представляющие собой пределы при

$t\to\pm\infty$ этих гипербол. Мы выберем кеплеровы траектории таким образом, чтобы соответствующие им асимптоты были перпендикулярны плоскости (

$x_1=0$ ,

$x_2=\alpha_2=\eta\cos\theta$ ,

$x_3=\alpha_3=\eta\sin\theta$ ), а соответствующий им вектор импульса при

$t\to-\infty$ переходил в вектор-столбец с компонентами

$(k,0,0)$ . Это дает семейство траекторий

$P$ ,

$X$ , зависящих от времени

$t$ (или его аналога) и параметров

$(\eta,\theta)$ . Поскольку зависимость от времени

$t$ кеплеровых траекторий определяется в параметрической форме, то при параметризации лагранжева многообразия время

$t$ удобнее заменить на более подходящий параметр

$\sigma$ . Это дает лагранжево многообразие

$\Lambda^3=\{p=P(\sigma,\eta,\theta), x= X(\sigma,\eta,\theta),\sigma \in (0,\infty),\eta\in (0,\infty), \theta \in S^1\}$ , где компоненты векторов

$X$ ,

$P$ определяются следующими равенствами (

$\mathbf{n}_2(\theta)=\cos\theta$ ,

$\mathbf{n}_3(\theta)=\sin\theta$ ):

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, X_1=\frac{\gamma}{2k^2} \biggl( \frac{\sigma \eta^2}{2}- \frac{(\sigma+1)^2}{2\sigma} \biggr),\qquad X_{2,3}=\frac{\gamma}{2k^2}\,\eta (\sigma+1) \,\mathbf{n}_{2,3}(\theta), \\ P_1=k\,\frac{-\sigma+\sigma \eta^2+1/\sigma} {\sigma+\sigma \eta^2+1/\sigma+2}\,, \qquad P_{2,3}=k\,\frac{2 \eta \sigma}{\sigma+\sigma \eta^2+1/\sigma+2}\, \mathbf{n}_{2,3}(\theta). \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Инвариантная мера

$\mu$ на

$\Lambda^3$ определяется формулой

$\mu=d X_2^{\lim} \wedge dX_3^{\lim} \wedge dt=[\gamma^3/(32 k^7)] \eta\bigl(\eta^2+(1+1/\sigma)^2\bigr)\,d\eta\wedge d \theta \wedge d\sigma$ , а якобиан проектирования

$\Lambda^3$ на

$\mathbb R^3_x$ – формулой

$J=\mu^{-1}\,d X_1 \wedge d X_2 \wedge d X_3=2k(1-\sigma^2)$ . Выберем центральную (неособую) точку на

$\Lambda^3$ с координатами

$\sigma=1-0$ ,

$\eta=0$ ,

$\theta=0$ . Лагранжева сингулярность на

$\Lambda^3$ , определяемая равенством

$\sigma=1$ , – это простая каустика (складка), имеющая форму параболоида вращения

$x_1=[k^2/(4\gamma)](x_2^2+x_3^2)-\gamma/k^2$ . Проекция

$\pi_x\Lambda^3$ многообразия

$\Lambda^3$ в

$\mathbb{R}^3_x$ есть множество

$\{x\in \mathbb{R}^3\colon x_1 \leqslant [k^2/(4\gamma)](x_2^2+x_3^2)- \gamma/k^2\}$ . Каждая внутренняя точка

$x\in \pi_x\Lambda^3$ имеет два прообраза на

$\Lambda^3$ c координатами

$\sigma_\pm$ ,

$\eta_\pm$ ,

$\theta$ , где

Вторая важная особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что соображения, высказанные в [5], [6], позволяют глобально выразить асимптотику решения функции через

$\operatorname{Ai}$ и

$\operatorname{Ai}'$ . Введем функции

$\Theta(x)=(S_++S_-)/2=k\bigl(x_1+\sqrt{x_2^2+x_3^2}\,\bigr)/2$ при

$x\in \mathbb{R}^3_x$ и

$\Psi=(S_+- S_-)/2=[\gamma/(2k)][\sqrt{z^2-1}- \ln (z+\sqrt{z^2-1}\,)]$ при

$x\in \pi_x\Lambda^3$ . Заметим, что

$\Psi \sim [\gamma/(12k)](2(z-1))^{3/2}$ при

$z\to 1+0$ . Определим функции

$\Phi$ и

$A_\pm$ формулами

$\Phi(x)=(3\Psi(x)/2)^{2/3}$ ,

$A_\pm(x) =(3\Psi(x)/2)^{\pm1/6} [(z+1)/(z-1)]^{\pm1/4} /\sqrt{2k}$ при

$z(x)>1$ и

$\Phi(x)=(\gamma/k)^{2/3}(z-1)/2$ ,

$A_\pm(x)=(\gamma/k)^{\pm1/6}/\sqrt{2k}$ при

$z(x)\leqslant 1$ .

Теорема. Главный член асимптотического решения $\psi_{\rm as}=K^h_{\Lambda^3,\mu}[1]$ задачи (1) определяется формулой

$\begin{equation*} \psi_{\rm as}\simeq e^{i\Theta/h}\sqrt{\pi}\, \biggl[h^{-1/6}e^{-i\pi/4} \operatorname{Ai} \biggl(-\frac{\Phi(x)}{h^{2/3}}\biggr)A_+(x)- h^{1/6}e^{i\pi/4}\operatorname{Ai}' \biggl(-\frac{\Phi(x)}{h^{2/3}}\biggr)A_-(x)\biggr]. \end{equation*} \notag$

Образец цитирования: С. Ю. Доброхотов, С. Б. Левин, А. А. Толченников, “Кеплеровы траектории и глобальные асимптотики в виде функции Эйри для задачи рассеяния на отталкивающем кулоновском потенциале”, УМН, 78:4(472) (2023), 205–206; Russian Math. Surveys, 78:4 (2023), 788–790

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{DobLevTol23}

\by С.~Ю.~Доброхотов, С.~Б.~Левин, А.~А.~Толченников

\paper Кеплеровы траектории и глобальные асимптотики в~виде функции Эйри для задачи рассеяния на отталкивающем кулоновском потенциале

\jour УМН

\yr 2023

\vol 78

\issue 4(472)

\pages 205--206

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10117}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10117}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4687812}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1537.81198}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023RuMaS..78..788D}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2023

\vol 78

\issue 4

\pages 788--790

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10117e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001146060800006}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85185660144}

Список литературы