Успехи математических наук, 2023, том 78, выпуск 4(472), страницы 207–208 DOI: https://doi.org/10.4213/rm10138 (Mi rm10138)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10138

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	23-11-00033
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-11-00033, https://rscf.ru/project/23-11-00033/.

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 4, Pages 791–793
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10138e

Реферативные базы данных:

В этой заметке класс детерминантного центрального расширения некоторого группового функтора, определенного над коммутативными $\mathbb{Q}$-алгебрами, вычислен в виде произведения $2$-коциклов, состоящих из символа Конту-Каррера, примененного к попарным $\cup$-произведениям $1$-коциклов. Это есть локальная теорема Римана–Роха в относительной размерности $1$ для обратимых пучков, записанная во второй группе когомологий групповых функторов.

Под (коммутативным групповым или групповым) функтором $H$ будем подразумевать ковариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию (абелевых групп или групп) множеств. Пусть $H_{\mathbb{Q}}$ – ограничение функтора $H$ на коммутативные $\mathbb{Q}$-алгебры, $H^{\times n}$ – функтор, являющийся $n$-м прямым произведением функтора $H$. Групповые законы во всех группах мы записываем мультипликативно.

Пусть $R$ – коммутативное кольцо, а $G$ и $F$ – групповой и коммутативный групповой функторы соответственно, определенные над коммутативными $R$-алгебрами, и функтор $G$ действует на функторе $F$ (т. е. $F$ есть $G$-модуль). Пусть $\operatorname{Hom}(G^{\times n},F)$ – абелева группа всех (без учета групповых структур) морфизмов функторов $G^{\times n} \to F$. Абелева группа $H^n(G,F)$ (см. [4; § 2.3.1]) есть $n$-я группа когомологий комплекса

Для любых $1$-коциклов $\lambda_1$ и $\lambda_2$ на функторе $G$ с коэффициентами в $G$-модулях $F_1$ и $F_2$ соответственно получаем $2$-коцикл $\lambda_1 \cup \lambda_2$ на функторе $G$ с коэффициентами в функторе $F_1 \otimes F_2$, так что $(\lambda_1 \cup \lambda_2)(g_1,g_2)=\lambda_1(g_1) \otimes g_1(\lambda_2(g_2))$, где для любой коммутативной $R$-алгебры $A$ имеем $(F_1 \otimes F_2)(A)=F_1(A) \otimes_{\mathbb{Z}} F_2(A)$ и $g_1$, $g_2$ – любые элементы из группы $G(A)$. Это индуцирует $\cup$-произведение между первыми группами когомологий. Любой морфизм $G$-модулей индуцирует гомоморфизм соответствующих групп когомологий функтора $G$. Фиксация коммутативной $R$-алгебры $A$ задает отображение из комплекса (1) в бар-комплекс для $G(A)$-модуля $F(A)$ и гомоморфизм $H^n(G,F) \to H^n(G(A),F(A))$, совместимый с $\cup$-произведениями.

Далее $A$ – любое коммутативное кольцо. Центральным расширением групповых функторов называется короткая точная последовательность групповых функторов, становящаяся центральным расширением групп после ограничения на любое $A$. Центральные расширения функтора $G$ при помощи функтора $F$, которые допускают сечение из функтора $G$ (лишь как функторов), классифицируются с точностью до изоморфизма элементами группы $H^2(G,F)$, где $F$ – тривиальный $G$-модуль.

Пусть ${\mathbb G}_m(A)=A^*$. Пусть $L{\mathbb G}_m$ – коммутативный групповой функтор такой, что $L {\mathbb G}_m (A)=A((t))^*$, где $A((t))=A[[t]][t^{-1}]$. Кольцо $A((t))$ есть топологическое кольцо со следующей базой окрестностей нуля: $U_l=t^l A[[t]]$, $l \in \mathbb{Z}$. Пусть ${{\mathcal Aut}^{\rm c, alg} ({\mathcal L})}$ – групповой функтор такой, что ${{\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})}(A)$ есть группа всех $A$-автоморфизмов $A$-алгебры $A((t))$, являющихся гомеоморфизмами [4; § 2.1]. Любой элемент $\varphi \in {{\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})}(A)$ однозначно определен элементом $\widetilde{\varphi}=\varphi(t)\in A((t))^*$ (это задает структуру функтора).

Так как $L {\mathbb G}_m$ есть ${{\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})}$-модуль, можем определить групповой функтор $\mathcal{G}=L{\mathbb G}_m \rtimes{\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})$. Отметим, что $L{\mathbb G}_m$ есть $\mathcal{G}$-модуль из-за естественного морфизма ${\mathcal{G} \to {{\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})}}$. Имеем естественное непрерывное действие группы ${\mathcal G}(A)$ на модуле $A((t))$ такое, что $(h,\varphi)(f)=h \cdot \varphi(f)$, где $f \in A((t))$, $h \in L{\mathbb G}_m(A)$, $\varphi \in {\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})(A)$.

Для любых элементов $g_1,g_2\! \in {\mathcal G}(A)$ имеется число $l\! \in {\mathbb Z}$ такое, что ${t^{l} A[[t]] \subset g_i(A[[t]])}$ и $g_i(A[[t]]) / t^l A[[t]]$ – проективные $A$-модули конечного ранга для $i=1$ и $i=2$ (см. [4; § 3.2]). Получаем определение относительного детерминанта (который не зависит от выбора числа $l$ с точностью до канонического изоморфизма):

Пусть $g_1, g_2, g_3, g \in {\mathcal G}(A)$, тогда имеются канонические изоморфизмы $A$-модулей

Пусть группа $\widetilde{{\mathcal G}}(A)$ есть множество пар $(g,s)$, где $g \in {\mathcal G}(A)$ и элемент $s$ принадлежит $A$-модулю ${\det(g (A[[t]]) \mid A[[t]])}$ и порождает этот $A$-модуль. Групповой закон следующий: $(g_1,s_1)(g_2,s_2)=(g_1 g_2,g_1(s_2) \otimes s_1)$. Соответствие $A \mapsto \widetilde{{\mathcal G}}(A)$ есть групповой функтор, определяющий детерминантное центральное расширение функтора ${\mathcal G}$ при помощи функтора ${\mathbb G}_m$, где гомоморфизм $\widetilde{{\mathcal G}}(A) \twoheadrightarrow {\mathcal G}(A)$ есть $(g,s) \mapsto g$.

Символ Конту-Каррера $\operatorname{CC}$ – морфизм групповых функторов ${L{\mathbb G}_m \otimes L{\mathbb G}_m \to {\mathbb G}_m}$, имеющий много интересных свойств (см. [1], [5; § 2]). В частности, морфизм $\operatorname{CC}$ есть морфизм ${\mathcal G}$-модулей, где функтор ${\mathcal G}$ действует диагонально на функторе $L{\mathbb G}_m \otimes L {\mathbb G}_m$ и тривиально на функторе ${\mathbb G}_m$ (см. [3]).

Для любых двух $1$-коциклов $\lambda_1$ и $\lambda_2$ на функторе ${\mathcal G}$ с коэффициентами в функторе $L{\mathbb G}_m$ определим $2$-коцикл $\langle \lambda_1,\lambda_2 \rangle= \operatorname{CC} \mathrel{\circ} (\lambda_1 \cup \lambda_2)$ на функторе ${\mathcal G}$ с коэффициентами в функторе ${\mathbb G }_m$, где $\circ$ обозначает композицию морфизмов функторов.

Рассмотрим $1$-коциклы $\Lambda$ и $\Omega$ на функторе ${\mathcal G}$ с коэффициентами в функторе $L{\mathbb G}_m$, где $\Lambda((h,\varphi))=h$ и $\Omega((h,\varphi))={\widetilde{\varphi}}^{\,\prime}=d\varphi(t)/dt$ для $(h,\varphi) \in {\mathcal G}(A)$.

Формально равенство (2) выглядит как изоморфизм Делиня–Римана–Роха из [2]. Рассмотрим проективную кривую $C$ над полем $k$ и коммутативную $k$-алгебру $A$. Элементы из ${\mathcal G}(A)$ переклеивают схему $C_A=C \times_k A$ и пучок ${\mathcal O}_{C_A}$ вдоль проколотой формальной окрестности постоянного сечения (в гладкую точку). Слои детерминантного центрального расширения над элементами из ${\mathcal G}(A)$ канонически изоморфны разнице между детерминантами высших прямых образов переклеенных пучков и пучка ${\mathcal O}_{C_A}$.

Список литературы
1.	C. Contou-Carrère, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 318:8 (1994), 743–746
2.	P. Deligne, Current trends in arithmetical algebraic geometry (Arcata, CA, 1985), Contemp. Math., 67, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 93–177
3.	С. О. Горчинский, Д. В. Осипов, Функц. анализ и его прил., 50:4 (2016), 26–42
4.	Д. В. Осипов, Труды МИАН, 320 (2023), 243–277
5.	D. Osipov, Xinwen Zhu, J. Algebraic Geom., 25:4 (2016), 703–774

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Osi23}
\by Д.~В.~Осипов
\paper Детерминантное центральное расширение и~$\cup$-произведения $1$-коциклов
\jour УМН
\yr 2023
\vol 78
\issue 4(472)
\pages 207--208
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10138}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10138}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4687813}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1539.14018}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023RuMaS..78..791O}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2023
\vol 78
\issue 4
\pages 791--793
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10138e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001146060800007}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85169451918}


1

CITATION

1 Total citation

1 Recent citation

1.47 Field Citation Ratio

n/a Relative Citation Ratio

2

CITATIONS

2 Total citations

2 Recent citations

2.93 Field Citation Ratio

n/a Relative Citation Ratio