| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Субриманова формула коплощади для классов неконтактных отображений групп Карно М. Б. Карманова Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624030167 
Реферативные базы данных:
  Цель данной заметки – описать метрические свойства множеств уровня классов неконтактных отображений. Мы рассматриваем модельный случай, когда отображение определено на группе Карно произвольной глубины и принимает значения на двухступенчатой группе Карно. Недавно в [1] автором описаны метрические свойства множеств уровня контактных отображений сублоренцевых структур, что является естественным продолжением исследований, начатых в [2] для гладких контактных отображений пространств Карно–Каратеодори. Однако, как показали исследования (см., например, [3], [4]), построение нетривиальных примеров контактных отображений является самостоятельной сложной задачей из-за жестких ограничений на структуру дифференциала: образы горизонтальных полей должны быть только горизонтальными или вырождаться. В свою очередь, примеров неконтактных отображений очень много: например, достаточно рассмотреть произвольное отображение класса C1 двух групп Карно (здесь группы Карно можно рассмотреть как римановы многообразия), дифференциал которого не переводит горизонтальные поля в горизонтальные хотя бы в одной точке. Поэтому возникает вопрос: а возможно ли извлечь некоторые “субримановы” свойства для таких отображений? Подчеркнем, что, помимо независимого интереса актуальность этого вопроса подтверждает то, что результаты имеют перспективу быть использованными в дальнейшем при исследовании метрических свойств множеств уровня липшицевых во внутреннем смысле отображений, которые могут не быть дифференцируемы в классическом смысле на множестве положительной меры. В [5], [6] для классов таких отображений установлены субримановы аналоги дифференцируемости: аппроксимация почти всюду горизонтальными гомоморфизмами относительно внутренних метрик. Вопрос о метрических свойствах множеств уровня липшицевых во внутреннем смысле отображений групп Карно и более общих субримановых структур является в общем виде открытым, и его решения найдены только для ряда частных случаев; см., например, [7], [8] и др. При построении гладких аппроксимаций таких отображений свойство липшицевости теряется, и, следовательно, субриманова теория дифференцируемости к ним неприменима; см. также [9], где описана специфика результата сглаживания некоторых классов контактных отображений. Так как субримановы метрические свойства для контактных отображений выражаются в терминах субриманова дифференциала, то и вопрос о субримановых свойствах неконтактных отображений, которые не являются дифференцируемыми в субримановом смысле, является открытым. В данной статье мы решим этот вопрос для модельного случая классов отображений групп Карно. Отметим, что рассматриваемая в статье задача продолжает начатые в [10] исследования. Однако, в отличие от [10] где аналог субриманова коэффициента коплощади описывается относительно легко, для нового случая его определение нетривиально и требует дополнительных исследований его единственности. Прежде всего, приведем необходимые для формулировки результата термины. Определение 1 [11]. Группой Карно (глубины M) называется связная односвязная стратифицированная группа Ли G, алгебра Ли V которой градуирована, т.е. представляется в виде V=⨁Mk=1Vk, [V1,Vk]=Vk+1, k=1,…,M−1, [V1,VM]={0}. Если базисное поле Xl принадлежит Vk, то его степень degXl равна k, l=1,…,N, k=1,…,M. Число M называется глубиной группы G. Обозначим топологическую размерность группы G символом N. Групповая операция определяется формулой Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа. Опишем субриманов аналог расстояния между точками. Определение 2. Пусть w=exp(∑Ni=1wiXi)(v), v,w∈G. Положим Множество {w∈G:d2(v,w)<r} называется шаром относительно d2 радиуса r>0 с центром в точке v и обозначается символом Box2(v,r).Хаусдорфова размерность G относительно d2 равна ∑Mk=1kdimVk и обозначается ν. Определение 3. Значение субримановой меры для A⊂G равно где точная нижняя грань берется по всем покрытиям множества A.Будем рассматривать отображения φ:Ω→˜G класса C1, матрица дифференциала которых имеет максимальный ранг и строго отделена от нуля на ортогональном дополнении ядра, Ω⊂G – открытое множество группы Карно G, ˜G – группа Карно глубины два топологической размерности ˜N и хаусдорфовой размерности ˜ν и выполнено dimVk>dim˜Vk для k=1,2. Так как при dimV1>˜N задача фактически сводится к задаче из [10], то будем предполагать, что dimV1⩽. Известно, что для контактных отображений в силу особенностей строения дифференциала сумма степеней \widetilde{N} независимых некасательных векторов не может быть меньше \widetilde{\nu}. В точках, где субриманов аналог дифференциала невырожден, такая сумма совпадает с \widetilde{\nu}. В свою очередь, точка является характеристической тогда и только тогда, когда минимально возможная сумма степеней независимых некасательных в этой точке векторов строго больше \widetilde{\nu}. Это свойство мы возьмем за основу определения аналога характеристической точки для неконтактных отображений. Так как для неконтаткных отображений сумма степеней \widetilde{N} независимых некасательных векторов не может быть меньше \dim V_1+2(\widetilde{N}-\dim V_1), введем Определение 4. Точка x\in\Omega называется характеристической, если минимально возможная сумма степеней \widetilde{N} векторов, линейная оболочка которых образует пространство, нормальное в x к \varphi^{-1}(\varphi(x)), строго больше \dim V_1+2(\widetilde{N}-\dim V_1). Обозначим символом D_1\varphi часть матрицы D\varphi, состоящую из первых \dim V_1 столбцов, а часть, состоящую из первых \dim V_1+\dim V_{2} столбцов, обозначим символом D_{2}\varphi. Справедлива следующая Теорема 1. Для неконтактных отображений \varphi\colon\Omega\to\widetilde{\mathbb G} класса C^1 точка является характеристической тогда и только тогда, когда либо ранг D_2\varphi в этой точке не превосходит \widetilde{N}-1, либо ранг D_{2}\varphi равен \widetilde{N}, но ранг D_1\varphi в этой точке не превосходит \dim V_1-1. Из нее вытекает, что множество характеристических точек замкнуто. Далее будем рассматривать открытые множества, состоящие из нехарактеристических точек. Обозначим символом \mathcal B_{\widetilde{N}} набор базисных векторов, сумма степеней которых равна а символом \mu – сумму степеней N-\widetilde{N} базисных векторов, не входящих в \mathcal B_{\widetilde{N}}. Она равна
\begin{equation*}
\mu=2(\dim V_1+\dim V_2-\dim\widetilde{V}_1- \dim\widetilde{V}_2)+\sum_{k=3}^{M}k\dim V_k.
\end{equation*}
\notag
Как уже упоминалось, классы контактных отображений, определенных на открытых множествах, непрерывно дифференцируемы в субримановом смысле всюду на области определения [6]. Структуру аппроксимирующих их горизонтальных гомоморфизмов можно назвать “блочно-диагональной”: в их матрицах ненулевыми могут быть только элементы, лежащие на пересечении столбцов, соответствующих полям из V_k, и строк, соответствующих полям из \widetilde{V}_k, k=1,\dots,M. Следовательно, такие матрицы имеют не более M ненулевых блоков размерности \dim\widetilde{V}_k\times\dim V_k, k=1,\dots,M. При этом соответствующие блоки матрицы классического дифференциала совпадают с ними, а ненулевыми элементами помимо принадлежащих таким блокам могут быть только лежащие над ними. Эти свойства мотивируют дальнейшие преобразования матриц дифференциалов неконтактных отображений для вывода их субримановых метрических свойств.
Рассмотрим сначала матрицу D_2\varphi и подействуем на нее слева ортогональным преобразованием O_{\widetilde{N}} таким образом, чтобы первые \dim V_1 столбцов матрицы O_{\widetilde{N}}D_2\varphi лежали в \mathbb R^{\dim V_1}\times 0^{\widetilde{N}-\dim V_1}. Тогда, во-первых, \ker O_{\widetilde{N}}D_2\varphi=\ker D_2\varphi и, во-вторых, матрица O_{\widetilde{N}}D_2\varphi имеет вид
\begin{equation}
\begin{pmatrix} [O_{\widetilde{N}}D_1\varphi] & \\ & O_{\widetilde{N}}\bigl(D_2\varphi\setminus D_1\varphi\bigr) \\ 0_{(\widetilde{N}-\dim V_1)\times\dim V_1} & \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{1}
где символ [O_{\widetilde{N}}D_1\varphi] обозначает блок O_{\widetilde{N}}D_1\varphi, представляющий собой квадратную невырожденную матрицу размерности \dim V_1, а символ D_2\varphi\setminus D_1\varphi здесь и далее обозначает матрицу, составленную из \dim V_2 столбцов D_2\varphi с номерами \dim V_1+1,\dots,\dim V_1+\dim V_2. Подействуем далее справа на (1) ортогональным преобразованием
\begin{equation*}
O_{V_1,V_2}=\begin{pmatrix} E_{\dim V_1} & 0_{\dim V_1\times\dim V_2} \\ 0_{\dim V_1\times \dim V_2}^T & O_{\dim V_2} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
где O_{\dim V_2} – ортогональное преобразование, которое поворачивает последние \widetilde{N}-\dim V_1 строк O_{\widetilde{N}}(D_2\varphi\setminus D_1\varphi) в пространство \mathbb R^{\widetilde{N}-\dim V_1}\times 0^{\widehat{N}-\widetilde{N}}, где \widehat{N}=\dim V_1+\dim V_2. Мы получим матрицу O_{\widetilde{N}}D_2\varphi O_{V_1,V_2}, имеющую вид
\begin{equation}
\begin{pmatrix} [O_{\widetilde{N}}D_1\varphi] & A & B \\ 0_{(\widetilde{N}-\dim V_1)\times\dim V_1} & [O_{\widetilde{N}}(D_2\varphi\setminus D_1\varphi)_{\widetilde{N}- \dim V_1}O_{V_1,V_2}] & 0_{(\widetilde{N}-\dim V_1)\times(\widehat{N}-\widetilde{N})} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2}
где [O_{\widetilde{N}}(D_2\varphi\setminus D_1\varphi)_{\widetilde{N}- \dim V_1}O_{V_1,V_2}] обозначает часть O_{\widetilde{N}}(D_2\varphi\setminus D_1\varphi)_{\widetilde{N}- \dim V_1}O_{\dim V_2}, равную невырожденной квадратной матрице размерности \widetilde{N}-\dim V_1, а A и B – блоки размерности \dim V_1\times (\widetilde{N}-\dim V_1) и \dim V_1\times (\dim V_1+\dim V_2-\widetilde{N}) соответственно. Оставшуюся часть матрицы D\varphi оставим без изменения: иными словами, для действия на матрицу D\varphi дополним преобразование O_{V_1,V_2} тождественным преобразованием пространства \mathbb R^{N-(\dim V_1+\dim V_2)} до преобразования O_{V_1,V_2, E}. Из построения будет следовать, что определители D\varphi и преобразованной матрицы совпадут.
Определение 5. В нехарактеристической точке x рассмотрим матрицу \widehat{D}^{\triangle}\varphi(x), равную
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} [O_{\widetilde{N}}D_1\varphi] & 0_{\dim V_1\times(\widetilde{N}-\dim V_1)} & 0_{\dim V_1\times ({N}-\widetilde{N})} \\ 0_{(\widetilde{N}-\dim V_1)\times\dim V_1} & [O_{\widetilde{N}}(D_2\varphi\setminus D_1\varphi)_{\widetilde{N}- \dim V_1}O_{V_1,V_2}] & 0_{(\widetilde{N}-\dim V_1)\times({N}-\widetilde{N})} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
Эту матрицу будем называть дифференциалом \varphi субриманова типа в точке x. Следующий результат является одним из специфических для неконтактного случая. Дело в том, что при исследовании задачи возникла необходимость решения естественного вопроса о корректности такого преобразования и определения, так как способ получения \widehat{D}^{\triangle}\varphi(x) из D\varphi не является единственным. Лемма 1. Пусть x – нехарактеристическая точка. Дифференциал \varphi субриманова типа определяется однозначно с точностью до некоторого ортогонального преобразования. Кроме того, определители вида всех матриц этого класса совпадают.Следующий результат описывает структуру ядра дифференциала и метрические свойства проходящих через нехарактеристические точки множеств уровня. Здесь и далее \theta_x определено как (y_1,\dots,y_N)\mapsto\exp\bigl(\sum_{j=1}^Ny_jX_j\bigr)(x), а \{\mathbf e_k\}_{k=1}^N – стандартный базис в \mathbb R^N. Теорема 2. Рассмотрим отображение \varphi_x=\varphi\circ\theta_x. Верны следующие утверждения. 1. Ядро D\varphi_x(0) состоит из \dim V_1+\dim V_2-\widetilde{N} векторов степени два, равных
\begin{equation*}
O_{V_1,V_2,E}\langle \mathbf w_k\rangle, \qquad\textit{где}\quad \mathbf w_k=\mathbf e_{k}+\widehat{w}_{k-\widetilde{N}},
\end{equation*}
\notag
а \widehat{w}_{k-\widetilde{N}} – результат такого вложения в \mathbb R^N вектора
\begin{equation*}
w_{k-\widetilde{N}}=-[O_{\widetilde{N}}D_1\varphi]^{-1}O_{\widetilde{N}} D\varphi O_{V_1,V_2,E}\langle \mathbf e_{k}\rangle \qquad\textit{для}\quad k=\widetilde{N}+1,\dots,\dim V_1+\dim V_2,
\end{equation*}
\notag
что первые \dim V_1 координат образа (вектор O_{\widetilde{N}}D\varphi O_{V_1,V_2,E}\langle \mathbf e_{k}\rangle можно считать элементом \mathbb R^{\dim V_1}) совпадают с соответствующими координатами данного вектора, а оставшиеся координаты, начиная с \dim V_1+1, равны нулю, и N-(\dim V_1+\dim V_2) векторов степеней 3,\dots,M, равных
\begin{equation*}
O_{V_1,V_2,E}\langle \mathbf w_k\rangle, \qquad\textit{где}\quad \mathbf w_k=\mathbf e_{k}+\widehat{w}_{k-\widetilde{N}},
\end{equation*}
\notag
а \widehat{w}_{k-\widetilde{N}} – результат такого вложения в \mathbb R^N вектора
\begin{equation*}
w_{k-\widetilde{N}}= -[O_{\widetilde{N}}D_2\varphi O_{V_1,V_2}]_{\widetilde{N}}^{-1} O_{\widetilde{N}}D\varphi O_{V_1,V_2,E}\langle \mathbf e_{k}\rangle
\end{equation*}
\notag
для k=\dim V_1+\dim V_2+1,\dots,N, что первые \widetilde{N} координат образа совпадают с соответствующими координатами данного вектора, а оставшиеся координаты, начиная с \widetilde{N}+1, равны нулю. 2. Вычисляемая через значение риманова тензора \mathcal H^{N-\widetilde{N}}-мера пересечения множества уровня \varphi^{-1}(\varphi(x)) и \operatorname{Box}_2(0,r) равна
\begin{equation*}
\omega_{\mathbb G,\widetilde{\mathbb G}}\cdot \frac{\sqrt{\det{D\varphi(x)D\varphi(x)^*}}} {\sqrt{\det\bigl(\widehat{D}^{\triangle}\varphi(x)\widehat{D}^{\triangle} \varphi(x)^*\bigr)}}\cdot \sqrt{\det (g|_{\ker D\varphi(x)})}\cdot r^{\mu}\cdot (1+o(1)),
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\omega_{\mathbb G,\widetilde{\mathbb G}}= \omega_{\dim V_1+\dim V_2-\dim\widetilde{V}_1- \dim\widetilde{V}_2}\prod_{k=3}^M\omega_{\dim V_k},
\end{equation*}
\notag
g|_{\ker D\varphi(x)} – ограничение риманова тензора на \ker D\varphi(x), а o(1)\to0 при r\to0 равномерно в некоторой окрестности. Идея описания базиса ядра состоит в применении теоремы о неявной функции, а методы вывода выражения для меры пересечения используют как специфику установленных свойств дифференциала субриманова типа, так и подходы работы [2]. Из этой теоремы следует утверждение о хаусдорфовой размерности множеств уровня неконтактных отображений. Подчеркнем, что в отличие от контактного случая эта размерность строго больше разности (субримановых) хаусдорфовых размерностей прообраза и образа и она равна \mu. Теорема 3. Для не содержащих характеристические точки шаров \operatorname{Box}_2(x,r) верно
\begin{equation*}
\mathcal H^{\mu}\bigl(\varphi^{-1}(\varphi(x))\cap \operatorname{Box}_2(x,r)\bigr)= \omega_{\mathbb G,\widetilde{\mathbb G}}\cdot r^{\mu}\cdot(1+o(1)),
\end{equation*}
\notag
где o(1)\to0 при r\to0 равномерно по x на компактных подмножествах. Отсюда вытекает свойство абсолютной непрерывности мер \mathcal H^{N-\widetilde{N}} и \mathcal H^{\mu} одной относительно другой, а также их свойство удвоения. Поэтому [12] одну меру можно восстановить по другой через производную. Отсюда выводим формулу коплощади. Теорема 5. Для открытых множеств U\Subset\Omega, не содержащих характеристические точки, справедлива формула коплощади 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kar23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|