М. Л. Жаданова, Е. А. Киселев, И. Я. Новиков, С. Н. Ушаков, “Эрмитова интерполяция с помощью оконных систем, порожденных равномерными сдвигами функции Гаусса”, Матем. заметки, 114:6 (2023), 936–939; Math. Notes, 114:6 (2023), 1499

Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Математические заметки

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математические заметки, 2023, том 114, выпуск 6, страницы 936–939
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13999 (Mi mzm13999)

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Краткие сообщения

Эрмитова интерполяция с помощью оконных систем, порожденных равномерными сдвигами функции Гаусса

М. Л. Жаданова, Е. А. Киселев, И. Я. Новиков, С. Н. Ушаков

Воронежский государственный университет

PDF полного текста (364 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13999

Ключевые слова: эрмитова интерполяция, функция Гаусса, оконная система, фреймы Габора.

Поступило: 19.04.2023

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 6, Pages 1499–1502
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110780

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

1. Введение

Задача эрмитовой интерполяции состоит в построении функции определенного класса, значения которой вместе с несколькими первыми производными в узловых точках совпадают с соответствующими значениями для исследуемой функции. Простейшим примером является интерполяционный многочлен Эрмита [1; гл. 2]. Похожая технология используется в теории сплайн-функций [2; гл. 2], [3], в том числе и в случае экспоненциальных сплайнов [4], [5].

Данная работа посвящена построению интерполяционных формул на основе оконных систем функций. В качестве примера рассмотрены важные в практическом отношении системы, порожденные сдвигами функции Гаусса, однако предлагаемый подход применим и в других ситуациях. Поскольку при измерениях часто используется равномерная сетка отсчетов, узлы для простоты мы выбираем целочисленными.

2. Постановка задачи

Рассматривается следующее семейство функций, заданных на всей вещественной оси:

$\begin{equation} \varphi_{p,r}(x)=\exp\biggl(-\frac{(x-\omega_1p)^2}{2\sigma^2}\biggr) e^{i\omega_2rx},\qquad p,r\in\mathbb Z, \end{equation} \tag{1}$

где

$\sigma$ ,

$\omega_1$ ,

$\omega_2$ — некоторые положительные параметры. При

$\omega_1\omega_2<2\pi$ система функций (1) образует так называемый фрейм Габора, а если

$\omega_1\omega_2>2\pi$ , то неполную в

$L_2(\mathbb R)$ систему Рисса [6], [7]. Процедура разложения по системам функций подобного рода в первом случае может проводиться на основе двойственного фрейма [8; гл. 3]. Для систем Рисса обычно строится биортогональная система [9], [10; гл. 1]. Для набора функций (1) и двойственный фрейм при

$\omega_1\omega_2<2\pi$ , и биортогональная система при

$\omega_1\omega_2>2\pi$ известны [11], [12]. Наконец, если

$\omega_1\omega_2=2\pi$ , то система функций (1) уже не является фреймом, для нее не существует устойчивого алгоритма построения биортогональной системы [8; гл. 3], [13].

Некоторым неудобством при использовании указанных выше методов для расчета коэффициентов разложения является то, что на практике необходимо вычислять соответствующие скалярные произведения приближенно по квадратурным формулам. В данной работе мы решаем более слабую задачу – построить из подсистемы фреймов Габора (1) функцию, у которой значения ее и производной до некоторого порядка совпадают с заданными в равномерно отстоящих друг от друга узлах. Этот подход не требует интегрирования, что снижает вычислительные требования к алгоритмам.

Пусть имеется исследуемая функция $f(x)$ . Рассмотрим набор целочисленных узлов $x_k=k$ , $k\in\mathbb Z$ , предполагая, что в каждом из них $f(x)$ дифференцируема хотя бы $M_k$ раз. Требуется построить линейную комбинацию функций (1)

$\begin{equation} \widetilde f(x)=\sum_{p,r\in\mathbb Z}c_{p,r}\varphi_{p,r}(x), \end{equation} \tag{2}$

где

$c_{p,r}$ – неопределенные коэффициенты, удовлетворяющие соотношениям

$\begin{equation*} \widetilde f^{(m)}(k)=f^{(m)}(k),\qquad k\in\mathbb Z,\quad m=0,1,2,\dots,M_k. \end{equation*} \notag$

Замечание 1. Отметим, что на практике, как правило, используется конечное число узлов. В этом случае формулы становятся приближенными, погрешность зависит от скорости убывания коэфффициентов $c_{p,r}$ . Для реальных оцифрованных сигналов требуется сохранить 4–5 верных значащих цифр, что достигается за счет сохранения сравнительно небольшого числа ненулевых слагаемых.

Интерполяционные задачи удобно решать с помощью построения узловых функций. В теории сплайн-функций обычно используется название кардинальные сплайны.

Определение 1. Функция $\widetilde\varphi_{m,k}(x)$ , $m,k\in\mathbb Z$ , являющаяся линейной комбинацией $\varphi_{p,r}(x)$ , называется эрмитовой узловой функцией, если для нее выполнены соотношения

$\begin{equation} \widetilde\varphi^{(m')}_{m,k}(k')=\delta_{mm'}\delta_{kk'},\qquad k'\in\mathbb Z,\quad m'=0,1,2,\dots,M_{k'}. \end{equation} \tag{3}$

Если известен набор эрмитовых узловых функций, то интерполирующая функция (2) строится следующим образом:

$\begin{equation*} \widetilde f(x)=\sum_{k\in\mathbb Z}\sum_{m=0}^{M_k} f^{(m)}(k)\widetilde\varphi_{m,k}(x). \end{equation*} \notag$

Построение эрмитовых узловых функций в явном виде иногда оказывается достаточно трудной задачей, формулы для них могут быть весьма громоздкими. Поэтому мы введем одно вспомогательное понятие, облегчающее в значительной степени запись ключевых соотношений при дальнейшем изложении.

Определение 2. Функцию $U_{m,k}(x)$ , $m,k\in\mathbb Z$ , являющуюся линейной комбинацией $\varphi_{p,r}(x)$ и удовлетворяющую соотношениям

$\begin{equation} U^{(m')}_{m,k}(k')=\delta_{mm'}\delta_{kk'},\qquad k'\in\mathbb Z,\quad m'=0,1,2,\dots,m, \end{equation} \tag{4}$

назовем эрмитовой узловой функцией порядка

$m$ .

Опишем процедуру интерполяции в терминах $U_{m,k}(x)$ . Обозначим $M=\max(M_k)$ , $k\in\mathbb Z$ , и положим $f^{(m)}(k)=0$ , если $m>M_k$ . Построим вспомогательную последовательность функций $f_0(x),f_1(x),\dots,f_M(x)$ , являющихся линейной комбинацией $\varphi_{p,r}(x)$ :

$\begin{equation} f_0(x)=\sum_{k\in\mathbb Z}f(k)U_{0,k}(x), \end{equation} \tag{5}$

$\begin{equation} f_m(x)=f_{m-1}(x)+\sum_{k\in\mathbb Z}(f^{(m)}(k) -f^{(m)}_{m-1}(k))U_{m,k}(x),\qquad m=1,2,\dots,M. \end{equation} \tag{6}$

Тогда

$f_{M}(x)=\widetilde f(x)$ будет искомой интерполирующей функцией. В этом легко убедиться, воспользовавшись методом математической индукции.

Замечание 2. Отметим, что набор функций $f_0(x),f_1(x),\dots,f_{M}(x)$ , как и сами $U_{m,k}(x)$ , определяется, вообще говоря, неоднозначно.

Интерполяционные формулы, записанные с помощью $U_{m,k}(x)$ , выглядят сложнее, но, как будет видно в дальнейшем, построить функции $U_{m,k}(x)$ оказывается проще, чем эрмитовы узловые (3). Этим мы и займемся.

3. Результаты

Простые формулы для эрмитовых узловых функций удается получить в случае $\omega_1=1/N$ , $N=1,2,3,\dots$ . Ключевую роль будет играть следующий результат.

Предложение 1 [7; глава 7]. Функция

$\begin{equation*} \widetilde\varphi(x,\sigma)=\sum_{p=-\infty}^\infty d_p(\sigma) \exp\biggl(-\frac{(x-p)^2}{2\sigma^2}\biggr),\qquad \sigma>0, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, d_p(\sigma) &=\frac{1}{C(\sigma)}\exp\biggl(\frac{p^2}{2\sigma^2}\biggr) \sum_{r=|p|}^\infty(-1)^r\exp\biggl(-\frac{(r+0.5)^2}{2\sigma^2}\biggr), \\ C(\sigma) &=\sum_{r=-\infty}^\infty(4r+1) \exp\biggl(-\frac{(2r+0.5)^2}{2\sigma^2}\biggr), \end{aligned} \end{equation*} \notag$

в целочисленных точках принимает следующие значения:

$\begin{equation*} \widetilde\varphi(m,\sigma)=\delta_{0m},\qquad m\in\mathbb Z. \end{equation*} \notag$

Важно отметить, что коэффициенты $d_p(\sigma)$ быстро убывают по модулю с ростом $|p|$ , поэтому функция $\widetilde\varphi(x, \sigma)$ является бесконечно гладкой [15]. С помощью $\widetilde\varphi(x,\sigma)$ легко построить $U_{m,k}(x)$ .

Теорема 1. Функции

$\begin{equation*} U_{m,k}(x)=V_m(x-k), \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation} V_m(x)=\frac{1}{\pi^mn_2^mm!}\,\widetilde\varphi(n_1x,n_1\sigma)\sin^m(\pi n_2x),\qquad n_1,n_2\in\mathbb{N}, \end{equation} \tag{7}$

удовлетворяют требованиям (4), т.е. являются эрмитовыми узловыми функциями порядка

$m$ .

Доказательство. Заметим, что производные

$\sin^m(\pi n_2x)$ порядков, меньших

$m$ , равны нулю во всех целочисленных точках. По этой причине

$\begin{equation*} V^{(m')}_m(k')=0,\qquad k'\in\mathbb Z,\quad m'=0,1,\dots,m-1, \end{equation*} \notag$

независимо от поведения функции

$\widetilde\varphi(n_1x,n_1\sigma)$ .

Прямой подстановкой легко убедиться, что $V^{(m)}_m(k')=\delta_{0k'}$ , $k'\in\mathbb Z$ . Тогда, если рассмотреть функции $V_m(x-k)$ , получающиеся из $V_m(x)$ с помощью операции сдвига, то в целочисленных точках получим

$\begin{equation*} V^{(m')}_m(k'-k)=\delta_{mm'}\delta_{0,k-k'} =\delta_{mm'}\delta_{kk'},\qquad m'=0,1,\dots,m. \end{equation*} \notag$

Тем самым, функции

$U_{m,k}(x)=V_m(x-k)$ удовлетворяют требованиям (4). Теорема доказана.

4. Обсуждение

В данной работе построены интерполяционные формулы на основе семейства функций (1) в частном случае, когда $\omega_1=1/n_1$ , $\omega_2=\pi n_2$ , $n_1,n_2\in\mathbb N$ . При этом задействованным оказывается не весь набор функций (1), а некоторое его подмножество. Фактически мы используем для интерполяции подсистему (1) с параметрами, удовлетворяющими условию $\omega_1\omega_2=\pi n_2/n_1$ . Действительно, степени синуса в формуле (7) можно представить в виде суммы экспонент $\exp(i\pi n_2qx)$ (например, воспользовавшись формулой Эйлера). Значения $q$ при этом будут ограничены диапазоном от $-M$ до $M$ . Это полезно с точки зрения алгоритмов цифровой обработки сигналов, поскольку наличие в интерполяционных суммах компонент с высокими частотами приводит к известным вычислительным трудностям.

Изложенный подход применим не только для оконных систем на основе функции Гаусса. Ключевым моментом является только наличие формул для узловой функции (1), порождаемой соответствующей системой целочисленных сдвигов. Такие формулы известны, например, для базисных сплайнов [16; гл. 4], распределения Коши [17], контура Фойгта [18].

В заключение отметим, что с помощью соотношения (6) можно в явном виде построить и сами эрмитовы узловые функции $\widetilde\varphi_{m,k}(x)$ . Например, при $M=1$ : $\widetilde\varphi_{1,k}(x)=U_{1,k}(x)$ , $\widetilde\varphi_{0,k}(x)=\widetilde\varphi_{0,0}(x-k)$ , где для $\widetilde\varphi_{0,0}(x)$ будет справедливо соотношение

$\begin{equation} \widetilde\varphi_{0,0}(x)=\widetilde\varphi(n_1x,n_1\sigma) -\frac{n_1}{\pi n_2}\sin(\pi n_2x)\sum_{k\in\mathbb Z}(-1)^{n_2k} \widetilde\varphi'(n_1k,n_1\sigma)\widetilde\varphi(n_1(x-k),n_1\sigma). \end{equation} \tag{8}$

Формула (8) получается, если в выражения (5) и (6) подставить

$f(k)=\delta_{0k}$ ,

$f'(k)=0$ ,

$k\in\mathbb Z$ , и использовать теорему 1. Аналогично, если выбрать

$f^{(m)}(k)=\delta_{kk'}\delta_{mm'}$ ,

$k,m\in\mathbb Z$ , имеется возможность получить формулы для эрмитовых узловых функций и в других случаях, но это приводит к весьма громоздким соотношениям.



СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	И. С. Березин, Н. П. Жидков, Методы вычислений, ГИФМЛ, М., 1962
2.	Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко, Методы сплайн-функций, Наука, М., 1980
3.	P. R. Lipow, I. J. Schoenberg, Linear Algebra Appl., 6 (1973), 273–304
4.	M. Unser, T. Blu, IEEE Trans. Signal Process., 53:4 (2005), 1425–1438
5.	C. Conti, L. Romani, M. Unser, J. Math. Anal. Appl., 426:1 (2015), 211–227
6.	H. G. Feichtinger, F. Luef, T. Werther, Gabor and Wavelet Frames, Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap., 10, World Scientific, Hackensack, NJ, 2007
7.	J. Wexler, S. Raz, Signal Processing, 21:3 (1990), 207–220
8.	И. Добеши, Десять лекций по вейвлетам, РХД, Ижевск, 2001
9.	Н. К. Бари, Математика. Том IV, Уч. записки Моск. гос. ун-та, 148, Изд-во Моск. ун-та, М., 1951, 69–107
10.	И. Я. Новиков, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина, Теория всплесков, Физматлит, М., 2005
11.	A. J. E. M. Janssen, Indag. Math. (N.S.), 7:2 (1996), 165–183
12.	Л. А. Минин, И. Я. Новиков, С. Н. Ушаков, Матем. заметки, 100:6 (2016), 951–953
13.	Е. А. Киселев, Л. А. Минин, И. Я. Новиков, Матем. сб., 207:8 (2016), 101–116
14.	V. Maz'ya, G. Scmidth, Approximate Approximations, Math. Surveys Monogr., 141, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007
15.	Л. А. Минин, С. М. Ситник, С. Н. Ушаков, Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика., 35:12 (183) (2014), 214–217
16.	Ч. Чуи, Введение в вэйвлеты, Мир, М., 2001
17.	Е. А. Киселев, Л. А. Минин, И. Я. Новиков, С. М. Ситник, Матем. заметки, 96:2 (2014), 239–250
18.	Е. А. Киселев, Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика, 2016, № 4, 41–49

Образец цитирования: М. Л. Жаданова, Е. А. Киселев, И. Я. Новиков, С. Н. Ушаков, “Эрмитова интерполяция с помощью оконных систем, порожденных равномерными сдвигами функции Гаусса”, Матем. заметки, 114:6 (2023), 936–939; Math. Notes, 114:6 (2023), 1499–1502

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{MinKisNov23}

\by М.~Л.~Жаданова, Е.~А.~Киселев, И.~Я.~Новиков, С.~Н.~Ушаков

\paper Эрмитова интерполяция с~помощью оконных систем, порожденных равномерными сдвигами функции Гаусса

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 114

\issue 6

\pages 936--939

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13999}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13999}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4716500}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2023

\vol 114

\issue 6

\pages 1499--1502

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623110780}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85187903886}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/mzm13999

https://doi.org/10.4213/mzm13999

https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v114/i6/p936

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

М. Л. Жаданова, “Интерполяция периодических функций и построение биортогональных систем с помощью равномерных сдвигов тета-функции”, Труды Воронежской зимней математической школы С. Г. Крейна — 2024, СМФН, 70, № 4, Российский университет дружбы народов, М., 2024, 575–585

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	164
PDF полного текста:	10
HTML русской версии:	19
Список литературы:	35
Первая страница:	20

Обратная связь:
math-net2025_04@mi-ras.ru

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Введение

2. Постановка задачи

3. Результаты

4. Обсуждение

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ