О топологическом индексе экстремалей многомерных вариационных задач

В работе изучается интегральный функционал
$$f(u)=\int_\Omega F(x,u,\dots,D^mu)\,dx\qquad(u(x)\in\overset\circ W{}_2^m(\Omega)).$$
Пусть $\mathfrak{M}$ — изолированное и ограниченное множество экстремалей функционала $f(u)$. При естественных ограничениях на интегрант $F(x,\xi)$ функционал $f(u)$ дифференцируем на $\overset\circ W{}_2^m(\Omega)$, и для $\mathfrak{M}$ определен топологический индекс $\operatorname{ind}(\mathfrak{M};f)$ относительно поля градиентов $\nabla f(u)$.
Теорема. \textit{Пусть $\mathfrak{M}$ является конечномерным компактным связным гладким многообразием без края. Если $\mathfrak{M}$ реализует локальный минимум функционала $f(u)$, то $\operatorname{ind}(\mathfrak{M};f)=\chi(\mathfrak{M})$, где $\chi(\mathfrak{M})$ — характеристика Эйлера–Пуанкаре многообразия $\mathfrak{M}$.}
Указываются приложения этой теоремы к оценке числа калибровочно неэквивалентных нетривиальных решений уравнений Гинзбурга–Ландау.