Двусторонняя оценка функции Лебега интерполяционного процесса Лагранжа с узлами Якоби

Для функции Лебега $L_n(x)$ интерполяционного процесса Лагранжа с узлами в корнях многочленов Якоби $P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$, ортогональных на отрезке [-1,1] с весом $p(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$ и нормированных так, что \[ P_n^{(\alpha,\beta)}(1)= $$\begin{pmatrix} n+\alpha n \end{pmatrix}$$ , \] получены соотношения:
$$L_n(x)-1\sim|P_n^{(\alpha,\beta)}(x)|\sqrt n\biggl(1+\sqrt {p(x)\sqrt {1-x^2}}\ln n\biggr)$$
при $\alpha,\beta<-1/2$, $x\in[-1,1]$;
$$L_n(x)-1\sim|P_n^{(\alpha,\beta)}(x)|\sqrt n\ln n$$
при $\alpha=-1/2$, $\beta>-1$, $x\in[0,1]$;
$$L_n(x)-1\sim\frac{|P_n^{(\alpha,\beta)}(x)|\sqrt n\ln(2+n\sqrt {1-x})}{(1-x)^{-\alpha/2-1/4}+n^{\alpha+1/2}}$$
при $-1<\alpha<1/2$, $\beta>-1$, $x\in[0,1]$. Запись $A\sim B$ означает, что найдутся такие положительные постоянные $q$ и $Q$, зависящие только от параметров $\alpha$ и $\beta$, что $qB\le A\le QB$. При доказательстве используется оценка для расстояния между двумя соседними корнями многочлена Якоби: $\operatorname{arccos} x_{k+1}-\operatorname{arccos} x_{k}\sim1/n$. По-видимому, для произвольных $\alpha,\beta>-1$ эта оценка является новой. Ранее С. А. Агахановым были найдены оценки сверху для $L_n(x)$. Приведенные соотношения дают более точные оценки сверху для этой величины. Кроме того, они дают для $L_n(x)$ оценки снизу.