Аннотация:
Рассматривается задача об условиях существования полиномиальных по импульсам (скоростям) первых интегралов многомерных биллиардных систем, играющих важную роль в неравновесной статистической механике. Это газ Лоренца – частица в евклидовом пространстве с областями-рассеивателями (не обязательно выпуклыми) и газ Больцмана–Гиббса – набор маленьких одинаковых шариков в прямоугольном ящике, которые упруго сталкиваются между собой и со стенками ящика. Эргодические свойства таких систем частично изучены, некоторые проблемы еще ждут решения, а в ряде случаев (например, когда рассеиватели не выпуклые) эргодичности заведомо нет. В работе развит подход, позволяющий доказывать отсутствие нетривиальных полиномиальных первых интегралов с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами. В интегрируемых задачах динамики известные первые интегралы являются, как правило, полиномами по импульсам (либо функциями от полиномов). Особый интерес представляет изучение многомерных биллиардов с некомпактным конфигурационным пространством, когда не приходится говорить об их эргодическом поведении. Обсуждается применение общих результатов об отсутствии нетривиальных полиномиальных интегралов к задачам статистической механики.
Библиография: 62 названия.
Ключевые слова:
биллиард Биркгофа, газ Лоренца, газ Больцмана–Гиббса, полиномиальный интеграл, топологические препятствия к интегрируемости, упругое отражение, КАМ-теория.
Образец цитирования:
В. В. Козлов, “Полиномиальные законы сохранения для газа Лоренца и газа Больцмана–Гиббса”, УМН, 71:2(428) (2016), 81–120; Russian Math. Surveys, 71:2 (2016), 253–290
\RBibitem{Koz16}
\by В.~В.~Козлов
\paper Полиномиальные законы сохранения для газа Лоренца и газа Больцмана--Гиббса
\jour УМН
\yr 2016
\vol 71
\issue 2(428)
\pages 81--120
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm9707}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm9707}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3507474}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:06619513}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2016RuMaS..71..253K}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=25865519}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2016
\vol 71
\issue 2
\pages 253--290
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM9707}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000380765700002}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=27118982}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-84979917773}
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/rm9707
https://doi.org/10.4213/rm9707
https://www.mathnet.ru/rus/rm/v71/i2/p81
Эта публикация цитируется в следующих 11 статьяx:
V. Rom-Kedar, D. Turaev, “Stable Motions of High Energy Particles Interacting via a Repelling Potential”, Commun. Math. Phys., 405:6 (2024)
А. Т. Фоменко, В. В. Ведюшкина, “Биллиарды и интегрируемые системы”, УМН, 78:5(473) (2023), 93–176; A. T. Fomenko, V. V. Vedyushkina, “Billiards and integrable systems”, Russian Math. Surveys, 78:5 (2023), 881–954
Michal Pnueli, Vered Rom-Kedar, “Near Tangent Dynamics in a Class of Hamiltonian Impact Systems”, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 21:3 (2022), 2000
М. Бялый, А. Е. Миронов, “Полиномиальная неинтегрируемость магнитных бильярдов на сфере и гиперболической плоскости”, УМН, 74:2(446) (2019), 3–26; M. Bialy, A. E. Mironov, “Polynomial non-integrability of magnetic billiards on the sphere and the hyperbolic plane”, Russian Math. Surveys, 74:2 (2019), 187–209
V. Schastnyy, D. Treschev, “On local integrability in billiard dynamics”, Exp. Math., 28:3 (2019), 362–368
С. В. Болотин, В. В. Козлов, “Топология, сингулярности и интегрируемость в гамильтоновых системах с двумя степенями свободы”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:4 (2017), 3–19; S. V. Bolotin, V. V. Kozlov, “Topology, singularities and integrability in Hamiltonian systems with two degrees of freedom”, Izv. Math., 81:4 (2017), 671–687
D. Treschev, “A locally integrable multi-dimensional billiard system”, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. A, 37:10 (2017), 5271–5284
И. А. Бизяев, А. В. Борисов, А. А. Килин, И. С. Мамаев, “Интегрируемость и неинтегрируемость субримановых геодезических потоков на группах Карно”, Нелинейная динам., 13:1 (2017), 129–146
В. В. Козлов, Д. В. Трещёв, “Топология конфигурационного пространства, сингулярности потенциала и полиномиальные интегралы уравнений динамики”, Матем. сб., 207:10 (2016), 80–95; V. V. Kozlov, D. V. Treschev, “Topology of the configuration space, singularities of the potential, and polynomial integrals of equations of dynamics”, Sb. Math., 207:10 (2016), 1435–1449
С. В. Болотин, “Вырожденные бильярды”, Современные проблемы механики, Сборник статей, Труды МИАН, 295, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2016, 53–71; S. V. Bolotin, “Degenerate billiards”, Proc. Steklov Inst. Math., 295 (2016), 45–62
Ivan A. Bizyaev, Alexey V. Borisov, Alexander A. Kilin, Ivan S. Mamaev, “Integrability and Nonintegrability of Sub-Riemannian Geodesic Flows on Carnot Groups”, Regul. Chaotic Dyn., 21:6 (2016), 759–774
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: