Моментные оценки точности нормальной аппроксимации с уточненной структурой для сумм независимых симметричных случайных величин

Для равномерного расстояния $\Delta_n$ между функцией распределения стандартного нормального закона и функцией распределения нормированной суммы $n$ независимых случайных величин $X_1,\ldots,X_n$ с симметричными функциями распределения $F_1,\ldots,F_n$ и $\mathbf{E}\,|X_j|=\beta_{1,j}$, $\mathbf{E}\,X_j^2=\sigma_j^2$, ${j=1,\ldots,n}$, при всех $n\geq 1$ и $c\geq 0$ доказаны оценки
$$\Delta_n\leq \frac{1/2+\varkappa+c}{\sqrt{2\pi}}\,\ell_n + \frac{1/2-\varkappa-c}{\sqrt{2\pi}B_n^3} \sum_{j=1}^n\beta_{1,j}\,\sigma_j^2 + \begin{cases} 4\ell_n^{7/6}\wedge A(c)\ell_n^{4/3}&\text{в общем случае,}\\ 2\ell_n^{3/2}\wedge A(c)\ell_n^2, &\text{если $F_1=\cdots=F_n$}, \end{cases}$$
где $B_n^2=\sum_{j=1}^n\sigma_j^2,$ $\ell_n=B_n^{-3}\sum_{j=1}^n\,\mathbf{E}\,|X_j|^3$, $\varkappa=\sup_{x>0}(\cos x-1+x^2/2)/x^3=0.0991\ldots,$ функция $A(c)$ не ограничена при $c\rightarrow 0$, монотонно убывает, принимая конечные значения при всех $c>0$, и указана в явном виде, символом $\wedge$ обозначен минимум. Обсуждается вопрос оптимальности константы $(1/2+\varkappa)/\sqrt{2\pi}=0.2390\ldots$ в первом слагаемом, соответствующей значению $c=0$. Полученные оценки уточняют известные результаты В. Бенткуса (1991, 1994) (при $c=\varkappa$) и Г. П. Чистякова (1996, 2001) (при $c=1/2-\varkappa=0.4008\ldots$). Также доказаны аналогичные результаты для случая, когда симметричные случайные слагаемые имеют абсолютные моменты только порядка $2+\delta$ с некоторым $0<\delta<1$.