Точная константа в неравенстве Розенталя для случайных величин с нулевым средним

Пусть $t>2$, $\xi_1,\dots,\xi_n$ — независимые случайные величины с $\mathbf{E}\xi_i=0$, $\mathbf{E}|\xi_i|^t<\infty$, $i=1,\dots,n$, $S_n=\sum_{i=1}^n\xi_i$. В настоящей статье показано, что точная константа $\overline{C}(2m)$ в неравенстве Розенталя
$$\mathbf{E}|S_n|^t\le C(t)\max\biggl(\sum_{i=1}^n\mathbf{E}|\xi_i|^t,\biggl(\sum_{i=1}^n\mathbf{E}\xi_i^2\biggr)^{t/2}\biggr)$$
при $t=2m$, $m\in\mathbf{N}$, имеет вид
$$\overline{C}(2m)=(2m)!\sum_{j=1}^{2m}\sum_{r=1}^j\sum\prod_{k=1}^r\frac{(m_k!)^{-j_k}}{k_k!},$$
где внутренняя сумма распространена на все натуральные $m_1>m_2>\dots>m_r>1$ и $j_1,\dots,j_r$, удовлетворяющие условиям $m_1j_1+\dots+m_rj_r=2m$, $j_1+\dots+j_r=j$. Справедливо также соотношение $\overline{C}(2m)=\mathbf{E}(\theta-1)^{2m}$, где $\theta$ — пуассоновская случайная величина с параметром 1.