В. А. Загребнов, Б. Иокум, “Описание полугрупп Гиббса”, ТМФ, 218:1 (2024), 88–101; Theoret. and Math. Phys., 218:1 (2024), 75

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2024, том 218, номер 1, страницы 88–101
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10540 (Mi tmf10540)

Описание полугрупп Гиббса

В. А. Загребнов^a, Б. Иокум^b

^a Institut de Mathématiques de Marseille – CMI, Université Aix-Marseille, CNRS, Marseille, France
^b Centre de Physique Théorique, Université Aix-Marseille, Université de Toulon, CNRS, Marseille, France

PDF полного текста (444 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10540

Аннотация: Предложено новое описание свойств полугрупп Гиббса, являющееся расширением аналогичного описания для компактных полугрупп.

Ключевые слова: теория полугрупп, компактные полугруппы, полугруппы Гиббса, асимптотика следа.

Поступило в редакцию: 22.05.2023
После доработки: 22.05.2023

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 1, Pages 75–86
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924010069

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

Памяти академика Василия Сергеевича Владимирова в честь столетия со дня его рождения

1. Введение

Известно, что для задания различных специальных классов полугрупп, элементами которых являются однопараметрические с параметром из $\mathbb{R}_0^{+}$ операторы в нормированных (гильбертовых или банаховых) пространствах, необходимо либо модифицировать (ослабить или усилить) условие непрерывности в начальной точке $t=0$ , либо изменить условия вне этой точки, в $\mathbb{R}^{+}=\mathbb{R}_0^{+}\backslash\{0\}$ . Наконец, можно объединить и то, и другое.

Предположение о непрерывности справа при $t=0$ имеет решающее значение для нетривиальной теории полугрупп. В этом отношении наиболее подходящим ограничением для того, чтобы сделать эту теорию содержательной, представляется сильная непрерывность при $t\to+0$ (см. обсуждения в книгах [1], глава X, [2], раздел 6.2, и [3], глава 1). Вывод таков: любое базисное многообразие полугрупп сводится к полугруппе из класса $C_0$ (сильно непрерывной при $t=+0$ ) при естественном условии ограниченности полугруппы по операторной норме при $t$ в некоторой окрестности нуля. Это свойство делает $C_0$ -полугруппы в определённом смысле исключительными и самыми важными среди полугрупп однопараметрических операторов.

Наряду с предыдущим обсуждением непрерывности при $t=+0$ , возможен ещё один источник разнообразия полугрупп, связанный с их поведением вне точки $t=0$ . Простейший пример – самосопряжённые $C_0$ -полугруппы операторов в гильбертовом пространстве.

Пусть $A$ – неотрицательный самосопряжённый оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathfrak{H}$ . Тогда он является генератором сжимающей $C_0$ -полугруппы $\{U_A(t)=e^{-tA}\}_{t\geqslant 0}$ , которая в свою очередь представляет собой семейство ограниченных самосопряжённых операторов. Используя спектральную теорему для $A$ , которая даёт каноническое функциональное исчисление для (неограниченных) самосопряжённых операторов, получаем представление

$\begin{equation} U_A(t)=\int_{\mathbb{R}^{+}_0}E_A(d\lambda)e^{-t\lambda}. \end{equation} \tag{1.1}$

Здесь

$E_A(d\lambda)$ – единственная спектральная мера, такая что

$A$ имеет спектральное разложение

$A=\int_{\mathbb{R}^{+}_0}E_A(d\lambda)\lambda$ . Пусть

$t>0$ и

$\sigma\geqslant 0$ . Тогда с учётом (1.1) имеем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \|U_A(t+\sigma)-U_A(t)\|&=\bigg\|\int_{\mathbb{R}^{+}_0} E_A(d\lambda)e^{-t\lambda}(e^{-\sigma\lambda}-1)\bigg\|\leqslant \notag\\ &\leqslant\sup_{\lambda\in\mathbb{R}^{+}_0}|e^{-t\lambda}(e^{-\sigma\lambda}-1)|= \frac{\sigma}{t+\sigma}\biggl(1+\frac{\sigma}{t}\biggr)^{\!-t/\sigma}. \end{aligned} \end{equation} \tag{1.2}$

Эта оценка показывает, что

$C_0$ -полугруппа

$\{U_A(t)\}_{t\geqslant 0}$ с элементами из подмножества

$\mathcal L^{\mathrm{sa }}(\mathfrak{H})$ ограниченных самосопряжённых операторов (немедленно) непрерывна по операторной норме при

$t>0$ .

Этот пример показывает, что более сильная регулярность образа отображения $t\mapsto U(t)$ при ненулевых $t$ также может обеспечить непрерывность $C_0$ -полугруппы в более сильной топологии. Кроме того, эта непрерывность может начинаться с временно́й задержкой: при $t\geqslant t_0$ для некоторого $t_0>0$ .

Для улучшения топологии образа (т. е. усиления регулярности) можно предположить, например, что $C_0$ -полугруппа $\{U_A(t)\}_{t\geqslant 0}$ с генератором $A$ является подмножеством алгебры компактных операторов $\mathscr{C}_{\infty}(\mathfrak{H})$ , действующих в гильбертовом пространстве $\mathfrak{H}$ , пока $t>0$ . Поэтому $\{U_A(t)\}_{t\geqslant 0}$ – немедленно компактная $C_0$ -полугруппа. Тогда аналогично самосопряжённому случаю сильная непрерывность полугруппы $\{U_A(t)\}_{t\geqslant 0}$ повышается до непрерывности по операторной норме, хотя теперь это может произойти с некоторой задержкой $t_0>0$ (при $t\geqslant t_0$ ).

В настоящей статье мы изучаем $C_0$ -полугруппы (которые называются полугруппами Гиббса), для которых $U_A(t)\in\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})$ при $t_0>0$ , и класс фон Неймана–Шаттена $\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})\subset\mathscr{C}_{\infty}(\mathfrak{H})$ является двусторонним $\ast$ -идеалом в алгебре компактных операторов $\mathscr{C}_{\infty}(\mathfrak{H})\subset\mathcal L(\mathfrak{H})$ . Этот идеал, наделённый топологией следовой нормы, образует банахово пространство ядерных операторов.

Описание свойств компактных полугрупп (связи между полугруппой и резольвентой генератора, см. предложение 2.2) показывает, что топологии, используемые для непрерывности полугруппы за точкой $t_0$ и регулярности образа, совпадают с топологией операторной нормы. Подобное наблюдение известно для полугрупп Гиббса и даже в более общей ситуации, см. книгу [3], глава 4.

Цель настоящей статьи – дать описание свойств полугрупп Гиббса, аналогичное описанию компактных полугрупп. Следующий раздел 2 содержит необходимые предварительные сведения. Основной результат, теорема 3.1, доказан в разделе 3. Раздел 4 посвящён заключительным замечаниям и комментариям.

2. Предварительные сведения и полугруппы Гиббса

Сначала напомним утверждение о регулярности и непрерывности компактных полугрупп.

Предложение 2.1. Пусть $\{U_A(t)\}_{t\geqslant 0}$ – (квазиограниченная) $C_0$ -полугруппа, такая что $U_A(t_0)$ компактен при некотором $t_0\,{>}\,0$ . Тогда $\{U_A(t)\}_{t\geqslant t_0}\subset\mathscr{C}_{\infty}(\mathfrak{H})$ и отображение $t\mapsto U_A(t)$ непрерывно по операторной норме на интервале $(t_0,\infty)$ , в том числе непрерывно справа по операторной норме при $t=t_0+0$ . Соответственно любая немедленно компактная $C_0$ -полугруппа $\{U_A(t)\}_{t\geqslant 0}$ непрерывна по операторной норме на $\mathbb{R}^{+}$ .

Заметим, что найти связь между компактностью $C_0$ -полугруппы с генератором $A$ и компактностью резольвент $\{R_A(z)\}_{z\in\rho(A)}$ не так просто (хотя эта связь и выглядит правдоподобно). Например, резольвента, соответствующая (запаздывающей) компактной $C_0$ -полугруппе, не обязательно является компактной (см. пример 4.1F ниже). Следующее утверждение, которое характеризует компактные полугруппы, поясняет эту связь (см., например, предложение 4.17 в [3]).

Предложение 2.2. $C_0$ -полугруппа $\{U_A(t)\}_{t\geqslant 0}$ на $\mathfrak{H}$ с генератором $A$ немедленно компактна тогда и только тогда, когда

1) отображение $t\mapsto U_A(t)\in \mathcal L(\mathfrak{H})$ непрерывно по операторной норме на $\mathbb{R}^{+}$ , и

2) резольвента $R_A(z)=(A-z 1\!\!1 )^{-1}$ является компактной при некотором (и, следовательно, при любом) $z\in\rho(A)$ .

Далее мы вводим полугруппы Гиббса и напоминаем некоторые необходимые базовые утверждения.

Определение 2.1. Сильно непрерывная полугруппа $\{G(t)\}_{t\geqslant 0}$ операторов в гильбертовом пространстве $\mathfrak{H}$ называется немедленной полугруппой Гиббса, если отображение $\mathbb{R}^{+}\ni t\mapsto G(t)$ принадлежит $\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})$ . Сильно непрерывная полугруппа $\{G(t)\}_{t\geqslant 0}$ называется запаздывающей полугруппой Гиббса, если существует пороговое значение $t_0\,{>}\,0$ , такое что $t\mapsto G(t)\in\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})$ при $t\geqslant t_0$ . Полугруппа $\{G(t)\}_{t\geqslant 0}$ называется самосопряжённой полугруппой Гиббса, если $G^*(t)=G(t)$ для $t\in\mathbb{R}^{+}_0$ .

Пример 2.1. Пусть $\{e_n\}_{n\geqslant 1}$ – ортонормированный базис гильбертова пространства $\mathfrak{H}$ . Тогда однопараметрическое семейство операторов $\{G(t)\}_{t\geqslant 0}$ , заданное на элементах $u\in\mathfrak{H}$ как

$\begin{equation} u\mapsto G(t) u:=\sum_{n=1}^\infty e^{-t\ln(n+1)}(u,e_n)e_n,\qquad t\geqslant 0, \end{equation} \tag{2.1}$

является самосопряжённой сильно непрерывной сжимающей полугруппой с неограниченным самосопряжённым генератором, который определяется формулой

$\begin{equation*} Au:=\sum_{n=1}^\infty \ln(n+1)(u,e_n)e_n. \end{equation*} \notag$

Операторы (2.1) имеют собственные значения

$\{\lambda_n(G(t))=1/(n+1)^t\}_{n\geqslant 1}$ , следовательно,

$C_0$ -полугруппа (2.1) немедленно компактна:

$\{G(t)\}_{t>0}\subset\mathscr{C}_{\infty}(\mathfrak{H})$ . Кроме того, с помощью (2.1) мы заключаем, что

$\begin{equation} \|G(t)\|_1=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)^t}<\infty\quad\text{при}\quad t>1. \end{equation} \tag{2.2}$

Следовательно, в силу определения 2.1 и формул (2.1), (2.2) немедленно компактная

$C_0$ -полугруппа (2.1) является запаздывающей полугруппой Гиббса, поскольку

$\{G(t)\}_{t>0}\subset\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})$ только для

$t>t_0=1$ .

Анализ непрерывности $C_0$ -полугрупп с элементами в $\mathscr{C}_1$ или в $\mathscr{C}_{\infty}$ упрощается, если использовать следующее утверждение о непрерывности умножения на этих идеалах.

Предложение 2.3. Пусть $\{B_k\}_k$ , $\{C_k\}_k$ – два семейства ограниченных операторов, таких что $\mathop{\rm{s\text{-}lim}} _{k\to\infty} B_k=B\in\mathcal L({\mathfrak{H}})$ и и $\mathop{\rm{\|\,{\cdot}\,\|_p\text{-}lim}} _{k\to\infty}C_k=C\in\mathscr{C}_p(\mathfrak{H})$ для $p\in\{1,\infty\}$ . Тогда

$\begin{equation} \mathop{\rm{\|\,{\cdot}\,\|_p\textit{-}lim}} _{k\to\infty}B_k C_k=BC. \end{equation} \tag{2.3}$

Если дополнительно

$\mathop{\rm{s\text{-}lim}} _{k\to\infty} B_k^{*}=B^{*}$ , то также

$\begin{equation} \mathop{\rm{\|\,{\cdot}\,\|_p\textit{-}lim}} _{k\to\infty}C_k B_k=CB. \end{equation} \tag{2.4}$

Заметим, что норма

$\|\,{\cdot}\,\|_{p=\infty}$ совпадает с операторной нормой

$\|\,{\cdot}\,\|$ на

$\mathcal L(\mathfrak{H})$ .

Доказательство. Если записать неравенство

$\begin{equation} \|B_k C_k-BC\|_p\leqslant\|B_k\|\,\|C_k-C\|_p+\|(B_k-B) C\|_p \end{equation} \tag{2.5}$

и использовать принцип равномерной ограниченности для сильно сходящейся последовательности

$\{B_k\}_{k\geqslant 1}$ ,

$\begin{equation*} \sup_{k\geqslant 1}\|B_k\|\leqslant L<\infty, \end{equation*} \notag$

то достаточно проверить, что в (2.5)

$\lim_{k\to\infty}\|(B_k-B) C\|_p=0$ .

Поскольку $C\in\mathscr{C}_p(\mathfrak{H})$ , где $p=\{1,\infty\}$ , для данного $C$ и любого $\varepsilon>0$ можно найти ортогональный проектор $P$ конечного ранга, такой что $\|( 1\!\!1 -P)C\|_p<\varepsilon$ . Тогда последнее слагаемое в (2.5) можно оценить как

$\begin{equation} \|(B_k-B) C\|_p\leqslant\|(B_k-B) P\|\,\|C\|_p+(\|B_k\|+\|B\|)\,\|( 1\!\!1 -P)C\|_p. \end{equation} \tag{2.6}$

Сильная сходимость последовательности

$\{B_k\}_{k\geqslant 1}$ влечёт

$\lim_{k\to\infty}\|(B_k-B)P\|=0$ , а неравенство (2.6) даёт

$\begin{equation*} \limsup_{k\to\infty}\|(B_k-B)C\|_p\leqslant(L+\|B\|)\varepsilon. \end{equation*} \notag$

В силу произвольности

$\varepsilon$ , используя (2.5), получаем результат (2.3).

Доказательство соотношения (2.4) можно получить, следуя тем же рассуждениям, с учётом свойства нормы $\|\,{\cdot}\,\|_p$ , $p\in\{1,\infty\}$ . $\blacksquare$

Следствие 2.1. 1. Используя определение 2.1 и предложение 2.3, заключаем, что немедленная полугруппа Гиббса $\{G(t)\}_{t\geqslant 0}$ непрерывна по следовой норме при всех $t>0$ , тогда как запаздывающая полугруппа Гиббса (с порогом $t_0>0$ ) непрерывна по следовой норме только при $t>t_0$ (или $t\geqslant t_0$ ).

2. Аналогично, немедленно компактная $C_0$ -полугруппа $\{U(t)\}_{t\geqslant 0}$ непрерывна по следовой норме при всех $t>0$ , тогда как запаздывающе компактная $C_0$ -полугруппа (с порогом $t_0>0$ ) непрерывна по норме $\|\,{\cdot}\,\|$ только при $t>t_0$ (или $t\geqslant t_0$ ).

Доказательство. 1. Пусть порог $t_0>0$ . Тогда для любого $t\geqslant t_0$ существует $\delta\in\mathbb{R}$ , такое что $(t-t_0)/2+\delta>0$ . Полугрупповой закон даёт

$\begin{equation*} G(t+\delta)=G\biggl(\frac{t-t_0}{2}+\delta\biggr)G\biggl(\frac{t-t_0}{2}\biggr), \end{equation*} \notag$

где

$G((t-t_0)/2+\delta)\in\mathcal L(\mathfrak{H})$ и

$G((t+t_0)/2)\in\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})$ . Поскольку полугруппа

$\{G(t)\}_{t\geqslant 0}$ сильно непрерывна,

$\begin{equation*} \mathop{\rm{s\text{-}lim}} _{\delta\to 0}G\biggl(\frac{t-t_0}{2}+\delta\biggr)=G\biggl(\frac{t-t_0}{2}\biggr). \end{equation*} \notag$

Следовательно, для предела по следовой норме имеем при

$t\geqslant t_0$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \mathop{\rm{\|\,{\cdot}\,\|_1\text{-}lim}}\limits_{\delta\to 0}G(t+\delta)&= \mathop{\rm{\|\,{\cdot}\,\|_1\text{-}lim}}\limits_{\delta\to 0}G\biggl(\frac{t-t_0}{2}+\delta\biggr)G\biggl(\frac{t+t_0}{2}\biggr)=\notag\\ &=\biggl( \mathop{\rm{s\text{-}lim}} _{\delta\to 0}G\biggl(\frac{t-t_0}{2}+\delta\biggr)\!\biggr)G\biggl(\frac{t+t_0}{2}\biggr)=G(t), \end{aligned} \end{equation} \tag{2.7}$

где была использована

$\|\,{\cdot}\,\|_1$ -непрерывность умножения в

$\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})$ , полученная в предложении 2.3.

Если $t_0=0$ , то доказательство немедленной непрерывности по следовой норме для полугруппы Гиббса $\{G(t)\}_{t\geqslant 0}$ при $t>0$ дословно повторяет приведенные выше рассуждения и соотношение (2.7).

2. Доказательство следует рассуждениям для п. 1 с соответствующими изменениями в (2.7) для $C_0$ -полугруппы $\{U(t)\}_{t\geqslant 0}$ и операторной нормы $\|\,{\cdot}\,\|$ . $\blacksquare$

На основании примера 2.1 (или, в общем случае, следствия 2.1) мы заключаем, что $C_0$ -полугруппа $\{U(t)\}_{t\geqslant 0}$ может быть непрерывной в разных топологиях в силу весьма разнообразных свойств регулярности образа отображения $t\mapsto U(t)$ при ненулевых $t$ . Например, полугруппа (2.1) сильно непрерывна при $t=0$ и тогда непрерывна по операторной норме при $t\in (0,1]$ и по следовой норме при $t>1$ . Это соответствует трём различным типам регулярности образа полугруппы (классы ограниченных, компактных и ядерных операторов) на трёх подмножествах полупрямой $\mathbb{R}^{+}_0$ .

3. Основной результат

Теперь мы можем распространить предложение 2.2 для компактных полугрупп на случай идеала ядерных операторов $\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})$ , т. е. доказать это предложение для полугрупп Гиббса. Для этого сначала напомним фундаментальное утверждение, характеризующее функции, интегрируемые по Бохнеру.

Пусть $I$ – (ограниченный или неограниченный) интервал на $\mathbb{R}$ и $\mathfrak{X}$ – банахово пространство. Напомним, что векторнозначная функция $f\colon I\to\mathfrak{X}$ называется интегрируемой по Бохнеру, если она сильно измерима и отображение $t\mapsto\|f(t)\|_{\mathfrak{X}}$ интегрируемо по Лебегу.

Предложение 3.1 (Бохнер). Для $\|\,{\cdot}\,\|_{\mathfrak{X}}$ -интегрируемой по Бохнеру функции $f$ в нормированном пространстве $\mathfrak{X}$ справедлива оценка

$\begin{equation} \bigg\|\int_I dt\,f(t)\bigg\|_{\mathfrak{X}}\leqslant\int_I dt\,\|f(t)\|_{\mathfrak{X}}. \end{equation} \tag{3.1}$

В частности, это так, если функция

$f$ измерима в топологии пространства

$\mathfrak{X}$ .

Следующее утверждение характеризует полугруппы Гиббса и является аналогом предложения 2.2, характеризующего компактные полугруппы.

Теорема 3.1. Пусть $\{e^{-tA}\}_{t\geqslant 0}$ – $C_0$ -полугруппа на гильбертовом пространстве $\mathfrak{H}$ с обратимым генератором $A$ , т. е. $\ker(A)=\{0\}$ . Если $p\geqslant 1$ , то эквивалентны следующие утверждения.

1. $C_0$ -полугруппа $\{e^{-tA}\}_{t\geqslant 0}$ – это немедленная полугруппа Гиббса $\{G_A (t)\}_{t\geqslant 0}$ с асимптотикой $\|G_A(t)\|_1=\mathcal O(t^{-p})$ при $t\downarrow 0$ .

2. Для каждого $q\in\mathbb{N}$ , такого что $q>p$ ,

2.1) отображение $\mathbb{R}^{+}\ni t\mapsto e^{-tA}$ является $\|\,{\cdot}\,\|_q$ -непрерывным;

2.2) операторы из семейства резольвент $\{R_A(z)\}_{z\in\rho(A)}$ определяются с помощью преобразования Лапласа для $\{e^{-tA}\}_{t\geqslant 0}$ $\|\,{\cdot}\,\|_q$ -интегралом Бохнера, при этом мы имеем $(R_A(z))^q\in\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})$ .

Замечание 3.1. Условие $\ker(A)\,{=}\,\{0\}$ (или, эквивалентно, $0\,{\notin}\,\sigma(A){=}\{\lambda_n (A)\}_{n\in\mathbb {N}}$ , где $\lambda_n (A)$ – собственные значения оператора $A$ ) влечёт ограниченность следовой нормы полугруппы $\{e^{-tA}\}_{t\geqslant 0}$ , а также, что из условия 2.1 не следует ни включение $U_A (t)\in\mathscr{C}_q(\mathfrak{H})$ , ни голоморфность этой полугрупы. Заметим, что в силу соотношений (3.7), (3.9) (см. ниже) в нашем доказательстве мы не можем ослабить условие $\ker(A)=\{0\}$ .

Доказательство. $\underline{1\implies 2}$ . Предположим, что $C_0$ -полугруппа $\{e^{-tA}\}_{t\geqslant 0}$ является полугруппой Гиббса. Тогда она непрерывна по следовой норме при $t\in\mathbb{R}^{+}$ и, следовательно, немедленно непрерывна в топологии идеала $\mathscr{C}_q(\mathfrak{H})\supset\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})$ для $q>p\geqslant 1$ . Это доказывает условие 2.1.

Чтобы доказать условие 2.2, заметим, что полугруппа Гиббса $\{e^{-tA}\}_{t\geqslant 0}$ сильно непрерывна, квазиограничена и компактна (при $t>0$ ), поскольку $\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})\subset\mathscr{C}_{\infty}(\mathfrak{H})$ . Следовательно, существует $\omega_0$ такое, что $(-\infty,-\omega_0)\subset\rho(A)$ . Выбирая $\lambda>\omega_0$ (т. е. $-\lambda\in\rho(A)$ ), получаем $\|e^{-\lambda t}e^{-tA}\|\leqslant Me^{(\omega_0-\lambda)t}$ . Тогда в силу предложения 3.1 резольвента генератора $A$ в точке $z=-\lambda$ представляется через интеграл Бохнера, понимаемый в смысле операторной нормы (преобразование Лапласа):

$\begin{equation} R_A(-\lambda)=\int_0^\infty dt\,e^{-\lambda t}e^{-tA},\qquad\omega_0<\lambda. \end{equation} \tag{3.2}$

Компактность семейства

$\{e^{-tA}\}_{t>0}$ и конструкция интегрального равенства (3.2), понимаемого как предел по операторной норме, дают в левой части (3.2) компактый оператор. С учётом резольвентного тождества тот факт, что

$R_A(-\lambda)\in \mathscr{C}_{\infty}(\mathfrak{H})$ для некоторого

$-\lambda\in\rho(A)$ , влечёт, что

$R_A(z)$ компактен для любого

$z\in\rho(A)$ .

В силу представления (3.2) и теоремы Фубини заключаем, что резольвенты в степени $q\in\mathbb{N}$ выражаются как

$\begin{equation} (R_A(z))^q=\frac{1}{\Gamma(q)}\int_0^\infty dt\,t^{q-1}e^{-t(A-z 1\!\!1 )},\qquad\omega_0<\operatorname{Re}(-z), \end{equation} \tag{3.3}$

при этом интегралы Бохнера сходятся по операторной норме аналогично (3.2). Заметим, что полугруппа Гиббса

$\|\,{\cdot}\,\|_1$ -непрерывна (и поэтому

$\|\,{\cdot}\,\|_1$ -измерима) на замкнутом интервале

$I\subset\mathbb{R}^{+}$ (см. предложение 3.1). Далее, вследствие условия

$q>p$ и асимптотики

$\|e^{-tA}\|_1=\mathcal O(t^{-p})$ при

$t\downarrow 0$ функция

$\|t^{q-1}e^{-t(A-z 1\!\!1 )}\|_1$ интегрируема в (положительной) окрестности нуля. Кроме того, при

$t>T>0$ мы имеем оценку

$\begin{equation*} \|e^{-t(A-z 1\!\!1 )}\|_1\leqslant\|e^{-T(A-z 1\!\!1 )}\|_1\,Me^{(t-T)(\omega_0+\operatorname{Re}z)}\leqslant M_{z,T}\,e^{-t|\omega_0+\operatorname{Re}z|},\qquad \operatorname{Re}z<-\omega_0, \end{equation*} \notag$

и поэтому данная функция также интегрируема на бесконечности. Следовательно, правая часть равенства (3.3) является

$\|\,{\cdot}\,\|_1$ -интегралом Бохнера. С помощью предложения 3.1 для

$\mathfrak{X}=\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})$ вместе с (3.1) получаем оценку

$\begin{equation} \|(R_A(z))^q\|_1\leqslant\frac{1}{\Gamma(q)}\int_0^\infty dt\,t^{ q-1}\|e^{-tA}\|_1\,e^{t\operatorname{Re}(z)}<\infty,\qquad \omega_0<\operatorname{Re}(- z). \end{equation} \tag{3.4}$

Это доказывает, что

$(R_A(z))^q\in\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})$ при

$z\in\rho(A)$ , тем самым получаем условие 2.2.

$\underline{2\implies 1}$ . Обратное следствие гораздо сложнее, поскольку нам требуется построить полугруппу Гиббса $\{G_A (t)\}_{t\geqslant 0}$ исходя по существу из условия 2.2 для резольвенты (см. формулу (3.3)).

По условию множество $\{U_A(t):=e^{-tA}\}_{t\geqslant 0}$ является (квазиограниченной) $C_0$ -полугруппой, которая в силу условия 1 теоремы также является $\mathscr{C}_q(\mathfrak{H})$ -непрерывной на полупрямой $\mathbb{R}^{+}$ . Следовательно, существует $\omega_0$ такое, что $(-\infty,-\omega_0)\subset\rho(A)$ , и $\{e^{-tA}\}_{t\in\mathbb{R}^{+}}$ есть непрерывное по операторной норме семейство операторов, поскольку $\mathscr{C}_q(\mathfrak{H})\subset\mathcal L(\mathfrak{H})$ . Далее мы фиксируем $\lambda>\omega_0$ и определяем с помощью интеграла Бохнера по операторной норме (см. предложение 3.1 для $\mathfrak{X}=\mathcal L(\mathfrak{H})$ ) семейство $\{F(t)\}_{t\geqslant 0}$ ограниченных операторов:

$\begin{equation} F(t):=\int_0^t d\tau\,e^{-\lambda\tau}U_A(\tau),\qquad t\geqslant 0. \end{equation} \tag{3.5}$

После интегрирования уравнения

$\begin{equation*} \partial_t(e^{-\lambda t}U_A(t)u)=-e^{-\lambda t}U_A(t)(\lambda 1\!\!1 +A)u,\qquad u\in\operatorname{dom}(A), \end{equation*} \notag$

получаем

$\begin{equation*} ( 1\!\!1 -e^{-\lambda t}U_A(t))u=\int_0^t d\tau\,e^{-\lambda\tau}U_A(\tau)(\lambda 1\!\!1 +A)u \end{equation*} \notag$

или следующее уравнение для

$w:=(\lambda 1\!\!1 +A)u$ :

$\begin{equation} ( 1\!\!1 -e^{-\lambda t}U_A(t))(A+\lambda 1\!\!1 )^{-1}w=\int_0^t d\tau\,e^{-\lambda\tau}U_A(\tau)w. \end{equation} \tag{3.6}$

Поскольку

$-\lambda\in\rho(A)$ , имеем для образа оператора

$\operatorname{ran}(\lambda 1\!\!1 +A)=\mathfrak{H}$ . Таким образом, уравнение (3.6) даёт, что семейство операторов (3.5) принадлежит идеалу

$\mathscr{C}_q(\mathfrak{H})$ :

$\begin{equation} F(t)=( 1\!\!1 -e^{-\lambda t}U_A(t))(A+\lambda 1\!\!1 )^{-1}\in\mathscr{C}_q(\mathfrak{H}),\qquad t\geqslant 0. \end{equation} \tag{3.7}$

Это вытекает из того, что по условию 2.2 резольвента

$R_{-\lambda}(A)\in\mathscr{C}_q(\mathfrak{H})$ и

$F(0)=0\cdot 1\!\!1$ . Следовательно,

$\begin{equation} F(t+\delta)-F(t)=\int_t^{t+\delta}d\tau\,e^{-\lambda\tau}U_A(\tau)\in\mathscr{C}_q(\mathfrak{H}),\qquad t>0,\quad\delta>0. \end{equation} \tag{3.8}$

В условии 2.1 $\|\,{\cdot}\,\|_q$ -непрерывность семейства $\{U_A (\tau)\}_{\tau>0}$ даёт при $t>0$ и $\delta>0$ оценку

$\begin{equation} \bigg\|\frac{1}{\delta}\int_t^{t+\delta}d\tau\,U_A(\tau)-U_A(t)\bigg\|_q\leqslant \frac{1}{\delta}\int_t^{t+\delta}d\tau\,\|U_A(\tau)-U_A(t)\|_q\leqslant\varepsilon_t(\delta), \end{equation} \tag{3.9}$

где

$\begin{equation*} \varepsilon_t(\delta):=\sup_{\tau\in[t,t+\delta]}\|U_A(\tau)-U_A(t)\|_q,\qquad\lim_{\delta\downarrow0}\varepsilon_t(\delta)=0. \end{equation*} \notag$

Из (3.9) следует, что

$\begin{equation} U_A(t)= \mathop{\rm{\|\,{\cdot}\,\|_q\text{-}lim}} _{\delta\downarrow 0}\frac{1}{\delta}\int_t^{t+\delta}d\tau\,U_A(\tau),\qquad t>0. \end{equation} \tag{3.10}$

В силу обратимости генератора $A$ ( $\ker(A)=\{0\}$ ) и соотношений (3.7), (3.8) при $\lambda=0$ интеграл в (3.10) совпадает с оператором $F(t+\delta)-F(t)$ , который принадлежит $\mathscr{C}_q(\mathfrak{H})$ . Поскольку предел (3.10) существует и также справедлив по $\|\,{\cdot}\,\|_q$ -норме для $\|\,{\cdot}\,\|_q$ -значных интегралов, оператор $U_A(t)$ в левой части равенства (3.10) принадлежит $\mathscr{C}_q(\mathfrak{H})$ при любом $t>0$ . Вследствие полугруппового закона $U_A(t)=(U_A(t/q))^q$ и свойств идеалов $\{\mathscr{C}_q(\mathfrak{H})\}_{1\leqslant q<\infty}$ отсюда получаем что $U_A(t)\in\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})$ при $t>0$ . Следовательно, $C_0$ -полугруппа $\{U_A (t)=:G_A(t)\}_{t\geqslant 0}$ является полугруппой Гиббса.

Учтём, что вследствие (3.10) семейство $\{U_A(t)\}_{t>0}$ принадлежит $\mathscr{C}_q(\mathfrak{H})$ и по условию 2.1 определяет $\mathscr{C}_q(\mathfrak{H})$ -непрерывную функцию, поэтому подынтегральная функция в (3.5) $\mathscr{C}_q(\mathfrak{H})$ -измерима. Тогда для $\omega_0<\lambda$ можно построить представление резольвенты $R_A(-\lambda)$ как $\mathscr{C}_q(\mathfrak{H})$ -интеграл Бохнера (преобразование Лапласа). Для этого достаточно взять в (3.5) и (3.7) $\mathop{\rm{\|\,{\cdot}\,\|_q\text{-}lim}} _{t\to\infty}F(t)$ и затем распространить предельные переходы на $z\in\rho(A)$ . В результате получаем

$\begin{equation} \|R_A(z)\|_q=\bigg\|\int_0^\infty dt\,e^{t\operatorname{Re}z}e^{-tA}\bigg\|_q,\qquad \operatorname{Re}z<-\omega_0, \end{equation} \tag{3.11}$

причём левая часть этого равенства конечна по условию 2.2. С помощью того же условия аналогично (3.3) и (3.4) также получаем

$\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})$ -интеграл Бохнера для

$q$ -й степени преобразования Лапласа. Отсюда по теореме Фубини имеем

$\begin{equation} \|(R_A(z))^q\|_1=\bigg\|\frac{1}{\Gamma(q)}\int_0^\infty dt\,t^{q-1}e^{-tA}e^{t\operatorname{Re}z}\bigg\|_1<\infty,\qquad\operatorname{Re}z<-\omega_0. \end{equation} \tag{3.12}$

В силу предложения 3.1 подынтегральная функция

$\|\,{\cdot}\,\|_1$ -интегрируема, поэтому

$\begin{equation} \frac{1}{\Gamma(q)}\int_0^\infty dt\,t^{q-1}\|e^{-tA}\|_1e^{t\operatorname{Re}z}<\infty,\qquad\operatorname{Re}z<-\omega_0, \end{equation} \tag{3.13}$

следовательно,

$\|e^{-tA}=G_A (t)\|_1=\mathcal O(t^{-p})$ при

$t\downarrow 0$ для

$p<q$ .

$\blacksquare$

Следствие 3.1. Утверждение теоремы 3.1 справедливо для любого вещественного $q>p$ , где $p\geqslant 1$ .

Доказательство. Ключевым является доказательство того, что дробная степень резольвенты может быть задана как правая часть представления (3.3) для любого действительного $q>p$ . Сначала введем функцию

$\begin{equation} F_z\colon\,(p,\infty)\ni q\mapsto\frac{1}{\Gamma(q)}\int_0^\infty dt\,t^{q-1}e^{-t(A-z 1\!\!1 )},\qquad\operatorname{Re}z<-\omega_0, \end{equation} \tag{3.14}$

где

$t\mapsto t^{q-1}:=e^{(q-1)\ln t}$ – первая ветвь дробно-степенной функции, соответствующая ветви

$t\mapsto\ln t$ логарифма на

$\mathbb{R}^{+}$ . Благодаря (3.12) и (3.13) функция (3.14) корректно определена и

$\|\,{\cdot}\,\|_1$ -непрерывна на

$(p,+\infty)$ .

Для целого $q>p$ определения (3.3) и (3.14) дают $R_A^q(z)=F_z^{}(q)$ с законом композиции $R_A^{q_1}(z)R_A^{q_2}(z)=R_A^{q_1+q_2}(z)$ для целых $q_1$ , $q_2$ . Чтобы гарантировать, что представление (3.14) определяет дробные степени резольвенты, нужно показать, что $F_z$ при всех вещественных $q_i>p$ удовлетворяет закону композиции:

$\begin{equation} F_z(q_1)F_z(q_2)=F_z(q_1+q_2),\qquad\operatorname{Re}z<-\omega_0. \end{equation} \tag{3.15}$

После замены переменных

$t_1=x^2$ ,

$t_2=y^2$ и последующей замены

$x=r\cos\theta$ ,

$y=r\sin\theta$ получаем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, F_z(q_1)F_z(q_2)&=\frac{1}{\Gamma(q_1)\Gamma(q_2)} \int_0^\infty dt_1\,\int_0^\infty dt_2\,t_1^{q_1-1}t_2^{q_2-1}e^{-(t_1+t_2)(A-z 1\!\!1 )}=\notag\\ &=\frac{2}{\Gamma(q_1)\Gamma(q_2)} \int_0^\infty\kern-4pt dr^2\,r^{2(q_1+q_2)-2}e^{-r^2(A-z 1\!\!1 )}\!\! \int_0^{\pi/2}\kern-6pt d\theta\,(\cos\theta)^{2q_1-1}(\sin\theta)^{2q_2-1}. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.16}$

Последний интеграл по

$\theta$ равен

$B(q_1,q_2)/2$ , где

$\begin{equation*} B(q_1,q_2)=\frac{\Gamma(q_1)\Gamma(q_2)}{\Gamma(q_1+q_2)} \end{equation*} \notag$

есть Бета-функция. Таким образом, соотношение (3.16) и представление (3.14) доказывают (3.15).

$\blacksquare$

Замечание 3.2 (см. пример 2.11 в [4]). В теореме 3.1 мы предположили обратимость генератора $A$ , т. е. $\ker (A)=\{0\}$ . Если это не так, то преобразование Меллина $\mathcal M$ для функции $f(t)= \operatorname{Tr} e^{-tA}$ , которое мы использовали выше (см. (3.13)), а именно

$\begin{equation*} \mathcal M [f](s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty dt\,t^{s-1}f(t), \end{equation*} \notag$

не существует даже при положительном генераторе

$A$ . В самом деле, учитывая, что для конечномерного

$\ker(A)$ мы имеем

$\lim_{t\to\infty} \operatorname{Tr} e^{-tA}=\dim\ker (A)$ , получаем, что подынтегральная функция в

$\mathcal M[f]$ с

$f(t)= \operatorname{Tr} e^{-tA}$ сходится на бесконечности только при

$\operatorname{Re}s<0$ , тогда как если

$\operatorname{Tr} e^{-tA}=\mathcal O_0(t^{-p})$ , см. п. 1 теоремы 3.1, то для сходимости в нуле необходимо, чтобы

$\operatorname{Re}s>p$ .

Ещё один способ убедиться в этом следующий: пусть $A':=A+P$ , где $P$ – проектор на (конечномерное) ядро оператора $A$ . Тогда оператор $A'$ обратим, и мы получаем

$\begin{equation} \operatorname{Tr} e^{-tA}= \operatorname{Tr} e^{-tA'}-(e^{-t}-1)\dim\ker(A). \end{equation} \tag{3.17}$

Следовательно,

$\operatorname{Tr} e^{-tA}=\mathcal O_0(t^{-p})$ тогда и только тогда, когда

$\operatorname{Tr} e^{-tA'}=\mathcal O_0(t^{-p})$ для

$p\geqslant 0$ . Рассматривая правую часть представления (3.17), мы заключаем, что

$\operatorname{Tr} e^{-tA'}$ имеет преобразование Меллина при

$\operatorname{Re}s>p$ , а

$\mathcal M[t\mapsto e^{-t}-1](s)$ существует только для

$\operatorname{Re}s\in(-1,0)$ (и в этом случае оно равно

$\Gamma(s)$ ). Это также показывает, что преобразование

$\mathcal M[t>0\mapsto \operatorname{Tr} e^{-tA}]$ не существует нигде на

$\mathbb{C}$ .

Замечание 3.3. Чтобы проиллюстрировать теорему 3.1 (и предложение 2.2), мы вернёмся к примеру 2.1 запаздывающей $C_0$ -полугруппы Гиббса (для $t>1$ ). Заметим, что в силу конструкции (2.1) $C_0$ -полугруппа $\{G(t)\}_{t\geqslant 0}$ является запаздывающей $\mathscr{C}_p$ -полугруппой, если $t>t_p:=1/p$ , где $p\in\mathbb{N}$ , т. е.

$\begin{equation} \{G(t)\}_{t>0}\subset\bigcup_{p\geqslant 1}^{\infty}\mathscr{C}_{p}(\mathfrak{H})=\mathscr{C}_{\infty}(\mathfrak{H}). \end{equation} \tag{3.18}$

Следовательно,

$\{G(t)\}_{t\geqslant 0}$ – самосопряжённая немедленно компактная полугруппа, не удовлетворяющая условию 2.1 теоремы 3.1. Как следствие, интеграл Бохнера в преобразовании Лапласа (3.2) сходится только в топологии операторной нормы и определяет в левой части компактный оператор со спектром

$\sigma(R_A(-\lambda))=\{(\lambda+\ln(n+1))^{-1}\}_{n\geqslant 1}$ ; здесь

$\lambda\geqslant 0$ . Значит, условие 2.2 теоремы 3.1 также не выполнено. В совокупности это подтверждает утверждение 1 теоремы 3.1 о том, что самосопряжённая

$C_0$ -полугруппа

$\{G(t)\}_{t\geqslant 0}$ , определённая формулой (2.1), не может быть немедленной полугруппой Гиббса. С другой стороны, будучи сильно непрерывной компактной полугруппой,

$\{G(t)\}_{t\geqslant 0}$ удовлетворяет условиям 1 и 2 предложения 2.2, и это подтверждает, что она немедленно компактная.

Более подробную информацию о различных аспектах асимптотики следа полугрупп можно найти в нашей статье [5]. Некоторые дополнительные комментарии о конструкции полугруппы Гиббса и теореме 3.1 вместе с иллюстрирующими примерами/контрпримерами собраны в разделе 4.

4. Заключительные замечания и комментарии

Заметим, что предостережение, подобное тому, которое мы сделали перед предложением 2.2, также относится и к теореме 3.1. Действительно, $C_0$ -полугруппа с генератором $A$ , имеющая ядерные резольвенты $\{R_A(z)\}_{z\in\rho(A)}$ на резольвентном множестве $\rho(A)$ (см. условие 2.2 теоремы 3.1) не обязательно является полугруппой Гиббса. С другой стороны, резольвента (запаздывающей) полугруппы Гиббса не обязательно даже компактна. На самом деле, чтобы избежать этих несоответствий или тривиальностей, нужны некоторые дополнительные условия. В нашей теореме 3.1 они выражаются, например, условием 1 для полугрупп Гиббса или 2.1 для $C_0$ -полугруппы. Для иллюстрации см. примеры 4.1E и 4.1F.

I. Известный способ построения полугрупп Гиббса основан на понятии $p$ -генераторов (см. определение 4.26 в [3]).

Определение 4.1. $m$ -Секториальный оператор $A$ с вершиной $\gamma=0$ и половинным углом $\alpha$ называется $p$ -генератором, если при некотором $\zeta_0\in\rho(A)$ резольвента $R_A(\zeta_0)$ является элементом класса $\mathscr{C}_p({\mathfrak{H}})$ фон Неймана–Шаттена для любого конечного $p\geqslant 1$ .

Выбор вершины $\gamma=0$ не играет важной роли в силу возможного сдвига $A+\beta 1\!\!1$ , где $\beta\in\mathbb{R}$ .

Положительный самосопряжённый оператор $A$ с резольвентой $R_A(\zeta_0)\in\mathscr{C}_p({\mathfrak{H}})$ , где $p\geqslant 1$ и $\operatorname{Im}\zeta_0\neq 0$ , является $p$ -генератором для половинного угла $\alpha=0$ .

Предложение 4.1. Всякий $p$ -генератор $A$ является генератором $\|\,{\cdot}\,\|_1$ -голоморфной полугруппы Гиббса.

Для доказательства сошлёмся на предложение 4.27 в [3]. Отметим лишь, что $m$ -секториальный оператор $A$ порождает голоморфную полугруппу $\{U_A(z)\}_{z\in S_{\pi/2-\alpha}}$ в открытом секторе

$\begin{equation*} S_{\pi/2-\alpha}=\biggl\{z\in\mathbb{C}\colon z\neq 0,\,|\!\arg z|<\frac{\pi}{2}-\alpha\biggr\}. \end{equation*} \notag$

Действительно, в силу формулы Рисса–Данфорда эта полугруппа имеет представление

$\begin{equation} U_A(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma d\zeta\,e^{-z\zeta}(\zeta 1\!\!1 -A)^{-1}. \end{equation} \tag{4.1}$

Здесь

$\Gamma$ – положительно ориентированный контур, охватывающий сектор

$S_\alpha$ , который содержит множество числовых значений

$W(A)$ оператора

$A$ (т. е.

$\Gamma\subset\rho(A)\subset\mathbb{C}\setminus S_\alpha$ ) и обеспечивает сходимость интеграла. Тогда из сильной аналитичности интеграла (4.1) и предложения 2.3 следует

$\|\,{\cdot}\,\|_p$ - и тем самым

$\|\,{\cdot}\,\|_1$ -аналитичность полугруппы Гиббса

$\{U_A(z)\}_{z\in S_{\pi/2-\alpha}}\subset\mathscr{C}_1({\mathfrak{H}})$ , заданной представлением (4.1).

Представление (4.1) также позволяет установить критерий аналитичности полугруппы для $m$ -секториального генератора $A$ с половинным уголом $\alpha<\pi/2$ . Существует число $M(\alpha)>0$ , такое что

$\begin{equation} \|AU_A(t)\|\leqslant M(\alpha) t^{-1},\qquad t>0. \end{equation} \tag{4.2}$

II. Заметим, что условие для $p$ -генератора во многих случаях является слишком ограничительным, поскольку основано на аналитичности. Чтобы подтвердить справедливость характеризации (критерия) существования полугрупп Гиббса по теореме 3.1, ниже мы обсуждаем пример бесконечно $\|\,{\cdot}\,\|_1$ -дифференцируемой неголоморфной полугруппы Гиббса.

Пример 4.1. Приведём несколько примеров/контрпримеров, чтобы проиллюстрировать некоторые утверждения этой статьи, продолжив рассмотрение, начатое в замечании 3.3.

A. Пусть гильбертово пространство есть $\mathfrak{H}=l^2(\mathbb{C})$ . Зададим в $l^2(\mathbb{C})$ линейный плотно определённый оператор умножения:

$\begin{equation} M_q\colon u\mapsto q\cdot u=\{q_ku_k\}_{k\geqslant 1},\qquad q_k\in\mathbb{C}, \end{equation} \tag{4.3}$

с областью определения

$\operatorname{dom}(M_q)=\{u\in l^2(\mathbb{C})\colon M_q u\in l^2(\mathbb{C})\}$ для заданного вектора

$q=\{q_k\}_{k\geqslant 1}$ .

B. По определению (4.3) спектр $\sigma(M_q)$ оператора $M_q$ совпадает с множеством $\{q_k\}_{k\geqslant 1}$ . Если $\sigma(M_q)\subset\mathbb{C}_{+}$ , то замкнутый оператор $M_q$ порождает $C_0$ -полугруппу $\{U_q (t)=e^{-t M_q}\} _{t\geqslant 0}$ на гильбертовом пространстве $l^2(\mathbb{C})$ :

$\begin{equation} e^{-t M_q}u:=e^{-tq}\cdot u,\quad t\geqslant 0,\qquad u\in l^2(\mathbb{C}). \end{equation} \tag{4.4}$

C. Пусть $C_0$ -полугруппа, порождённая на $l^2(\mathbb{C})$ оператором умножения (4.3), определяется как

$\begin{equation} q_{\alpha}:=\{q_k(\alpha)=e^{i\alpha}k\}_{k\geqslant 1},\qquad |\alpha|<\frac{\pi}{2}. \end{equation} \tag{4.5}$

Неограниченный оператор

$M_{q_\alpha\!}$ порождает

$C_0$ -полугруппу

$\{U_{q_\alpha}(t)\,{=}\,e^{-tM_{q_{\alpha}}}\}_{t \geqslant 0}$ , при этом для

$\|u\|=1$ и

$t>0$ получаем

$\begin{equation*} \|M_{q_\alpha}U_{q_\alpha}(t)u\|^2=\sum_{k\geqslant 1}e^{-2kt\cos\alpha}k^2|u_k|^2\leqslant M(\alpha)^2t^{-2},\qquad M(\alpha):=(e\cos\alpha)^{-1}. \end{equation*} \notag$

Как следствие,

$\|M_{q_\alpha} U_{q_\alpha} (t)\|\leqslant M(\alpha)t^{-1}$ . C использованием оценки (4.2) можно продолжить полугруппу

$\{U_{q_\alpha}(t)\}_{t\geqslant 0}$ до ограниченной

$\|\,{\cdot}\,\|$ -голоморфной полугруппы

$\{U_{q_\alpha}(z)\}_{z\in S_\theta}$ в открытом секторе

$S_\theta$ , где

$\theta=\arcsin(eM(\alpha))^{-1}$ и

$\theta=\pi/2-\alpha$ .

Кроме того, для $t>0$ и $|\alpha|<\pi/2$ следовая норма

$\begin{equation} \|U_{q_\alpha}(t)\|_1= \operatorname{Tr} (U^*_{q_\alpha}(t) U_{q_\alpha}(t))^{1/2}=\sum_{k\geqslant 1}e^{-k \cos\alpha}<\infty, \end{equation} \tag{4.6}$

тем самым

$U_{q_\alpha}(t)\in\mathscr{C}_1(l^2(\mathbb{C}))$ . Тогда

$\{U_{q_\alpha}(z)\}_{z\in S_\theta}$ является

$\|\,{\cdot}\,\|_1$ -голоморфной полугруппой Гиббса в силу предложения 2.3.

Наоборот, заметим, что в силу определений (4.3), (4.5) спектр $\sigma(M_{q_\alpha})=\{e^{i\alpha }k\}_{k\geqslant 1}$ при $|\alpha|<\pi/2$ принадлежит замкнутому сектору ${\kern0.6pt\overline{\vphantom{S}\kern5.6pt}\kern-6.2pt S}_{\alpha}\subset\mathbb{C}_{+}$ . Следовательно, для любых $p>1$ , $z\in\rho(M_{q_\alpha})$ резольвента $R_{M_{q_\alpha}}(z)\in\mathscr{C}_p(l^2(\mathbb{C}))$ , и $M_{q_\alpha}$ есть $m$ -секториальный оператор. В результате для $\|\,{\cdot}\,\|_1$ -голоморфной полугруппы Гиббса $\{U_{q_\alpha}( z)\}_{z\in S_\theta}$ справедливо представление Рисса–Данфорда (4.1).

D. Пусть теперь

$\begin{equation} q_\beta:=\{q_k(\beta)=k+ik^\beta\}_{k\geqslant 1},\qquad\beta\geqslant 0, \end{equation} \tag{4.7}$

т. е. спектр

$\sigma(M_{q_\beta})=\{k+ik^\beta\}_{k\geqslant 1}$ (см. п. B). Тогда неограниченный оператор

$M_{q_\beta}$ , порождающий

$C_0$ -полугруппу

$\{U_{q_\beta}(t)=e^{-tM_{q_{\beta}}}\}_{t\geqslant 0}$ , таков, что для

$u\in l^2(\mathbb{C})$

$\begin{equation} \|M_{q_\beta}U_{q_\beta}(t)u\|^2=\sum_{k\geqslant 1}e^{-2kt}(k^2+k^{2\beta})|u_k|^2. \end{equation} \tag{4.8}$

D1. Если $\beta\leqslant 1$ , то $\sigma(M_{q_\beta})\subset{\kern0.6pt\overline{\vphantom{S}\kern5.6pt}\kern-6.2pt S}_{\alpha=\pi/4}$ , и (4.8) даёт, что при некотором $M>0$

$\begin{equation*} \|M_{q_\beta}U_{q_\beta}(t)\|\leqslant M t^{-1},\qquad t>0. \end{equation*} \notag$

Следовательно, в соответствии с (4.2) полугруппа

$\{U_{q_\beta}(t)\}_{t\geqslant 0}$ допускает аналитическое продолжение до ограниченной

$\|\,{\cdot}\,\|$ -голоморфной полугруппы

$\{U_{q_\alpha}(z)\}_{z\in S_\theta}$ в открытом секторе

$S_\theta$ с

$\theta=\pi/2-\alpha$ , где

$\alpha=\pi/4$ . Поскольку

$U_{q_\alpha}(t)\in\mathscr{C}_1(l^2(\mathbb{C}))$ , эта полугруппа является

$\|\,{\cdot}\,\|_1$ -голоморфной полугруппой Гиббса в силу предложения 2.3.

Вновь аналогично п. C для $\|\,{\cdot}\,\|_1$ -голоморфной полугруппы Гиббса $\{U_{q_\alpha}(z)\}_{z\in S_\theta}$ при $\beta\leqslant 1$ также справедливо представление Рисса–Данфорда (4.1).

D2. Если $\beta>1$ , то спектр $\sigma(M_{q_\beta})$ не лежит ни в каком секторе $S_\alpha$ с $\alpha<\pi/2$ , и оценка (4.8) даёт неравенство для операторной нормы

$\begin{equation} \|M_{q_\beta}U_{q_\beta}(t)\|\leqslant M(\beta)t^{-\beta},\qquad t>0, \end{equation} \tag{4.9}$

где

$M(\beta)>0$ . Следовательно, хотя для любых

$n\in\mathbb{N}$ и

$t>0$ с учётом (4.8) мы имеем

$\|M^{n}_{q_\beta}U_{q_\beta}(t)\|<\infty$ (полугруппа

$\{U_{q_\beta}(t)\}_{t\geqslant 0}$ бесконечно дифференцируема при

$t>0$ ), неравенство (4.9) не допускает никакого аналитического продолжения этой полугруппы по операторной норме в случае

$\beta>1$ , см. соотношение (4.2).

D3. Хотя $R_{M_{q_\alpha}}(z)\in\mathscr{ C}_p(l^2(\mathbb{C}))$ для $p>1$ , $z\in\rho(M_{q_\alpha})$ и $\beta>1$ , спектр $\sigma(M_{q_\beta})$ не принадлежит ни одному сектору $S_\alpha$ с $\alpha<\pi/2$ . В частности, невозможно представление Рисса–Данфорда (4.1).

Как следствие, для построения полугруппы Гиббса $\{U_{q_\beta}(t)\}_{t\geqslant 0}$ необходимо использовать её непрерывность при $t>0$ , а затем теорему 3.1.

E. В следующем примере мы предполагаем, что замкнутый плотно определённый оператор умножения $M_{q_2}$ в $\mathfrak{H}=l^2(\mathbb{C})$ соответствует

$\begin{equation} q_2=\{q_k=ik^2\}_{k\geqslant 1},\qquad k\in\mathbb{N}, \end{equation} \tag{4.10}$

и имеет спектр

$\sigma (M_{q_2})=\{ik^2\}_{k\geqslant 1}$ (см. п. B).

E1. Поскольку $\|(\mu 1\!\!1 +M_{q_2})^{-1}\|\leqslant|\operatorname{Re}\mu|^{-1}$ для $\mu\in\mathbb{C}$ , оператор $M_{q_2}$ удовлетворяет условиям теоремы Хилле–Иосиды [1]. Следовательно, $\{U_{q_2}(t):=e^{-tM_{q_{\beta}}}\}_{t\geqslant 0}$ есть сильно непрерывная сжимающая полугруппа. Заметим, что при $t\gtrless 0$ мы при этом получаем две ветви унитарной группы, которая ни при каких $t\in\mathbb{R}$ не является непрерывной в топологии операторной нормы.

E2. Резольвента $R_{M_{q_2}}(-\mu)$ при $-\mu\in\rho (M_{q_2})$ – это ограниченный оператор с дискретным спектром $\sigma(R_{M_{q_2}}(-\mu))=\{(\mu+ik^2)^{-1}\}_{k\geqslant1}$ . Если $\mu_0\in\mathbb{C}$ и $\operatorname{Im}\mu_0=0$ , сингулярные числа равны

$\begin{equation} s_k(R_{M_{q_2}}(\mu_0))=(\mu_0^2+k^4)^{- 1/2},\qquad k\in\mathbb{N}, \end{equation} \tag{4.11}$

следовательно,

$R_{M_{q_2}}(\mu_0)\in\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})$ . В силу первого резольвентного тождества это приводит к тому, что

$R_{M_{q_2}}(\mu)\in\mathscr{C}_1(\mathfrak{H})$ при любом

$\mu\in\rho (M_{q_2})$ .

E3. В результате, хотя резольвенты генератора $M_{q_2}$ – это ядерные операторы, полугруппа $\{U_{q_2}(t)\}_{t\geqslant 0}$ не является полугруппой Гиббса, поскольку она лишь сильно непрерывна. Заметим, что для этой полугруппы интегральное представление Бохнера (преобразование Лапласа, см. (3.2))

$\begin{equation} R_A(-\lambda)=\int_0^\infty dt\,e^{-\lambda t}e^{-tA},\qquad \operatorname{Re}\lambda>0, \end{equation} \tag{4.12}$

определено только в сильной операторной топологии, откуда следует, что левая часть равенства (4.12) является просто ограниченным оператором. С этой точки зрения условие 2.1 в теореме 3.1 служит для улучшения топологии в определении (4.12) интеграла Бохнера с целью исключения такого рода невязки.

F. Теперь пусть $\mathfrak{H}=L^2(0,1)$ . Зададим для $t\geqslant 0$ и $f\in\mathfrak{H}$ оператор $U(t)\in\mathcal L(\mathfrak{H})$ как

$\begin{equation*} (U(t)f)(s)=\begin{cases} f(s+t), &\text{если}\;\,0\leqslant s+t\leqslant 1,\\ 0, & \text{если}\;\, s+t>1. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Тогда

$\{U(t)\}_{t\geqslant 0}$ есть

$C_0$ -полугруппа, которая является нильпотентной и, следовательно, (компактной) запаздывающей полугруппой Гиббса с

$\operatorname{Tr} U(t)=0$ при

$t>1$ . Поскольку преобразование Лапласа (3.2) определяет резольвенту генератора этой полугруппы через сильно сходящийся интеграл Бохнера, мы получаем

$\begin{equation} R(-z)=\int_0^1 dt\,e^{-zt}e^{-tA},\qquad z\in\mathbb{C}. \end{equation} \tag{4.13}$

Таким образом, эта резольвента – целая функция от

$z$ , отсюда, поскольку спектр генератора пуст, следует, что она не лежит в идеалах фон Неймана–Шаттена.

Поучительно сравнить этот пример с примером 2.1 запаздывающей полугруппы Гиббса и обсуждением в замечании 3.3.

Благодарности

Эта статья мотивирована лекцией, прочитанной В. А. Загребновым на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В. С. Владимирова, состоявшейся 9 – 14 января 2023 г. в Математическом институте им. В. А. Стеклова, Москва. Автор выражает большую благодарность Оргкомитету и его председателю профессору Игорю Воловичу за идею прочитать лекцию. Оба автора благодарны за приглашение представить статью для публикации в журнале “Теоретическая и математическая физика”.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	Э. Хилле, Р. Филлипс, Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, М., 1962
2.	E. B. Davies, Linear Operators and their Spectra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 106, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2007
3.	V. A. Zagrebnov, Gibbs Semigroups, Operator Theory Series: Advances and Applications, 273, Bikhäuser, Cham, 2019
4.	M. Eckstein, B. Iochum, Spectral Action in Noncommutative Geometry, Springer Briefs in Mathematical Physics, 27, Springer, Cham, 2018
5.	B. Iochum, V. A. Zagrebnov, Asymptotic behaviour of semigroup traces and Schatten classes of resolvents, arXiv: 2309.05394

Образец цитирования: В. А. Загребнов, Б. Иокум, “Описание полугрупп Гиббса”, ТМФ, 218:1 (2024), 88–101; Theoret. and Math. Phys., 218:1 (2024), 75–86

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{ZagIoc24}

\by В.~А.~Загребнов, Б.~Иокум

\paper Описание полугрупп Гиббса

\jour ТМФ

\yr 2024

\vol 218

\issue 1

\pages 88--101

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10540}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10540}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4700045}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2024TMP...218...75Z}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2024

\vol 218

\issue 1

\pages 75--86

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577924010069}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85183732962}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10540

https://doi.org/10.4213/tmf10540

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v218/i1/p88

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	140
PDF полного текста:	8
HTML русской версии:	21
Список литературы:	30
Первая страница:	10

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы