Неограниченные решения вырождающихся эллиптических уравнений

В полупространстве $x_n>0$ $n$-мерного евклидова пространства точек $x=(x^1,x_n)=(x_1,\dots,x_{n-1},x_n)$ рассматривается уравнение
$$\begin{equation} \sum_{i,j=1}^{n-1}\frac\partial{\partial x_i}\biggl(a_ij\frac{\partial u}{\partial x_j}\biggr)+\frac\partial{\partial x_n}\biggl(a\frac{\partial u}{\partial x_n}\biggr)=0 \end{equation}$$
с измеримыми коэффициентами, удовлетворяющими условиям
$$a_{ij}(x)=a_{ij}(x), a(x)=b(x^1)\varphi(x_n),\qquad \varphi(x_n)>0$$
и
$$c_1x_n^{2\alpha}|\xi|^2\le\sum^n_{i,j=1}a_{ij}\xi_i\xi_j+a\xi_n^2\le c_2x_n^{2\alpha}|\xi|^2,$$
где $2\alpha>1$, $|\xi|$ – длина вектора $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)$, а $c_1$ и $c_2$ – положительные постоянные.
Пусть
$$\Psi(x_n)=\int_{x_n}^{+\infty}\varphi(t)^{-1}\,dt.$$
Показывается, что для любой функции $f_0(x^1)\in L_2^{\frac12-\gamma}$, $2\gamma<1$, существует такое обобщенное решение $u(x)$ уравнения (1), что $\Psi^{-1}(u)=f_0(x^1)$ при $x_n=0$ и
$$\|x_n^\gamma\nabla(\Psi^{-1}u)\|_{L_2}\le c\|f_0\|_{L_2^{\frac12-\gamma}},$$
где постоянная $c$ не зависит от $f_0$. Это решение единственное в классе функций, для которых выражение $\|x_n^\gamma\nabla(\Psi^{-1}u)\|_{L_2}$ конечно
Библиогр. 13 назв.