|
Низкие грани ограниченной степени в 3-многогранниках
О. В. Бородин, А. О. Иванова Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
Аннотация:
Степень вершины или грани в 3-многограннике есть число инцидентных ей ребер. k-Грань есть грань степени k, а k−-грань имеет степень не более k. Высота грани — максимальная степень инцидентных ей вершин, а высота h многогранника — минимальная из высот его граней. Грань называется пирамидальной, если она является либо 4-гранью, инцидентной трем 3-вершинам, либо 3-гранью, инцидентной двум вершинам степени не более четырех. Если пирамидальные грани разрешены, то h может быть произвольно большой, поэтому в дальнейшем предполагается отсутствие пирамидальных граней.
В 1940 г. Лебег доказал, что в каждом четыреангулированном 3-многограннике найдется грань f с h(f)⩽11. В 1995 г. эта оценка была улучшена С. В. Августиновичем и О. В. Бородиным до 10. Недавно мы улучшили эту оценку до точной оценки 8. Для плоских триангуляций без 4-вершин О. В. Бородин (1992) подтвердил гипотезу Коцига 1979 г., доказав, что h⩽20, причем оценка точна. Позднее О. В. Бородин доказал, что h⩽20 для всех триангулированных 3-многогранников. В 1996 г. для произвольных многогранников Хорняк и Йендроль доказали, что h⩽23. Недавно мы получили точные оценки h⩽10 для многогранников без треугольников и h⩽20 для произвольных многогранников. Позже О. В. Бородин, М. А. Быков и А. О. Иванова улучшили последний результат, доказав, что любой многогранник содержит 10−-грань высоты не более 20, причем обе оценки 10 и 20 точны. Также мы доказали, что любой многогранник содержит 5−-грань высоты не более 30, где оценка 30 точна и улучшает верхнюю оценку 39, полученную Хорняком и Йендролем (1996).
В статье доказано, что каждый многогранник содержит 6−-грань высоты не более 22, где параметры 6 и 22 неулучшаемы. Поскольку существует конструкция, в которой каждая грань степени от 6 до 9 имеет высоту 22, теперь известно все, что касается максимальных высот граней ограниченных степеней в 3-многогранниках.
Ключевые слова:
плоская карта, плоский граф, 3-многогранник, структурные свойства, высота грани, степень грани.
Статья поступила: 05.07.2018 Окончательный вариант: 05.07.2018 Принята к печати: 17.08.2018
Образец цитирования:
О. В. Бородин, А. О. Иванова, “Низкие грани ограниченной степени в 3-многогранниках”, Сиб. матем. журн., 60:3 (2019), 527–536; Siberian Math. J., 60:3 (2019), 405–411
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/smj3093 https://www.mathnet.ru/rus/smj/v60/i3/p527
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 293 | PDF полного текста: | 36 | Список литературы: | 42 | Первая страница: | 6 |
|