Аннотация:
Высота грани в 3-многограннике есть максимальная степень инцидентных ей вершин, а высота h3-многогранника есть минимум высот его граней. Грань называется пирамидальной, если она является либо 4-гранью, инцидентной трем 3-вершинам, либо 3-гранью, инцидентной двум вершинам степени не больше 4. При наличии пирамидальных граней h может быть сколь угодно большой, поэтому далее предполагается, что пирамидальных граней нет.
В 1940 г. Лебег доказал, что h⩽11 в каждом четыреангулированном 3-многограннике. В 1995 г. эта оценка была улучшена С. В. Августиновичем и О. В. Бородиным до 10. Недавно эта оценка улучшена нами до точной оценки 8.
Для плоских триангуляций без 4-вершин О. В. Бородин (1992 г.), подтвердив гипотезу Коцига (1979 г.), доказал, что h⩽20, причем оценка неулучшаема; далее для всех триангулированных 3-многогранников он (1998 г.) доказал, что h⩽20. Для многогранников без треугольников нами недавно получена точная оценка 10.
Для произвольных многогранников Хорняк и Йендроль (1996 г.) доказали, что h⩽23. В настоящей статье эта оценка улучшена до точной оценки 20.
Ключевые слова:плоская карта, планарный граф, 3-многогранник, структурные свойства, высота грани.
Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 15-01-05867, 16-01-00499) и Совета по грантам президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ-1939.2014.1), работа второго автора выполнена в рамках государственной работы “Организация проведения научных исследований”.
О. В. Бородин, А. О. Иванова, “Высоты младших граней в 3-многогранниках”, Сиб. матем. журн., 62:2 (2021), 250–268; O. V. Borodin, A. O. Ivanova, “Heights of minor faces in 3-polytopes”, Siberian Math. J., 62:2 (2021), 199–214
О. В. Бородин, А. О. Иванова, “Низкие грани ограниченной степени в 3-многогранниках”, Сиб. матем. журн., 60:3 (2019), 527–536; O. V. Borodin, A. O. Ivanova, “Low faces of restricted degree in 3-polytopes”, Siberian Math. J., 60:3 (2019), 405–411
O. V. Borodin, M. A. Bykov, A. O. Ivanova, “More about the height of faces in 3-polytopes”, Discuss. Math. Graph Theory, 38:2 (2018), 443–453
Borodin O.V. Ivanova A.O., “New Results About the Structure of Plane Graphs: a Survey”, Proceedings of the 8th International Conference on Mathematical Modeling (ICMM-2017), AIP Conference Proceedings, 1907, ed. Egorov I. Popov S. Vabishchevich P. Antonov M. Lazarev N. Troeva M. Troeva M. Ivanova A. Grigorev Y., Amer Inst Physics, 2017, UNSP 030051