О формуле Тейлора для функций многих переменных

В элементарных курсах математического анализа обычно приводится прием, применяемый для построения остаточного члена формулы Тейлора в интегральной форме. Этот прием основан на том, что если разность $f(x)-f(t)-f'(t)\frac{(x-t)}{1!}-\dots-f^{(r-1)}(t)\frac{(x-t)^{r-1}}{(r-1)!}$ между данной функцией и ее полиномом Тейлора порядка $r-1$ в точке $t$ продифференцировать по $t$, то в результате получим выражение $-f^{(r)}(t)\frac{(x-t)^{r-1}}{(r-1)!}$, так что все производные порядка, меньшего $r$, исчезают. Как было замечено автором [1], аналогичный эффект имеет место и для функций многих переменных. При дифференцировании разности между функцией и ее полиномом Тейлора порядка $r-1$ в точке $t$ относительно компонент этой точки остаются члены, в которые входят только производные порядка $r$. Этот факт применяется здесь для получения оценок остаточного члена формулы Тейлора функции многих переменных вдоль спрямляемой кривой.