Оценки для распределения сумм и максимумов сумм случайных величин при невыполнении условия Крамера

Пусть $X_1,X_2,\ldots$ – независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения $F(t)$,
$$S_k=\sum_{j=1}^k X_j,\quad \overline{S}_n(a)=\max\limits_{k\leq n}(S_k-ak).$$
Получены близкие к правильным оценки сверху и снизу для $\bold{P}(S_n>x)$, $\bold{P}(\overline{ S}_n(a)>x)$ при $x\to\infty$, $a\geq 0$, а также оценки для $\bold{P}(\overline{ S}_n>x; B(v))$, где
$$B(v)=\bigcap_{j=1}^n\{X_j\leq y+v g(j)\},\quad v\geq 0,$$
при подходящих функциях $g$. Относительно распределения $F$ предполагается, что “хвосты” $F(-t)$ и $1-F(t)$, $t\to\infty$, мажорируются или минорируются правильно меняющимися функциями либо вида $x^{-\beta} L(x)$, где $L(x)$ – медленно меняющаяся функция, либо вида $e^{-x^\alpha L(x)}$, $\alpha\in (0,1)$. В качестве следствий установлены относительная равномерная сходимость распределений сумм к устойчивому закону и закон повторного логарифма для последовательности $\{S_n\}$ в случае $\bold{E}X_j^2=\infty$. Библиогр. 26.