О дзета-функции Дедекинда. II

Пусть $K_n$ – поле алгебраических чисел степени $n$ над $\mathbb Q$. Обозначим через $A(x,K_n)$ количество целых идеалов поля $K_n$, норма которых $\leq x$. Известно, что
$$A(x,K_n)=\Lambda_nx+\Delta(x,K_n),$$
где $\Delta(x,K_n)$ – остаточный член. Оценкой $\Delta(x,K_n)$ занимались классики, начиная с Вебера и Ландау, а также современные авторы, например Новак (W. G. Nowak, Math. Nachr. 161 (1993), 59–74). В части I настоящей работы (О. М. Фоменко, Зап. научн. семин. ПОМИ 418(2013), 184–197) были доказаны новые оценки остатка $\Delta(x,K_n)$ для некоторых типов полей $K_n$. В настоящей работе для некоторых полей $K_n$, $n=8,16$, получены оценки
$$\Delta(x,K_n)\ll x^{1-\frac3{n+2}+\varepsilon}.$$
Сами поля имеют вид: $K_8=\mathbb Q(\sqrt{-1},\root4\of m)$, где целое $m>0$ не является квадратом;
$$K_8=\mathbb Q(\root4\of{\varepsilon_m})\quad\text{и}\quad K_{16}=\mathbb Q(\sqrt{-1},\root4\of{\varepsilon_m}),$$
где целое $m>0$ свободно от квадратов и $\varepsilon_m$ – фундаментальная единица поля $\mathbb Q(\sqrt m)$.
Кроме того, изучен феномен Титчмарша для дзета-функции Дедекинда $\zeta_{K_n}(s)$ любого числового поля: при $(\log T)^c\leq Y\leq T$ существует положительная константа $C$ такая, что
$$\max_{T\le t\le T+Y}\left|\zeta_{K_n}\left(\frac12+it\right)\right|\ge\exp\left\{C\left(\frac{\log Y}{\log\log Y}\right)^{1/2}\right\}.$$

Наконец, следуя Ивичу (A. Ivić, Acta Arithm. 56 (1990), 135–159), автор получает следующее утверждение о больших значениях остатка $\Delta(x,K_n)$: для произвольного числового поля $K_n$ найдутся положительные константы $c_1$ и $c_2$ такие, что для каждого $T>T_0$ интервал $[T,T+c_1T^{1-1/n}]$ содержит две точки $t_1$, $t_2$, для которых
$$\Delta(t_1,K_n)>c_2t_1^{\frac12-\frac1{2n}},\quad\Delta(t_2,K_n)<-c_2t_2^{\frac12-\frac1{2n}}.$$
Библ. – 26 назв.