О вольтерровом обобщении метода монотонизации для нелинейных функционально-операторных уравнений

Пусть $n,m,\ell,s\in\mathbb{N}$ – заданные числа, $\Pi\subset\mathbb R^n$ – измеримое по Лебегу множество, $\mathcal{X,Z}$ – банаховы идеальные пространства измеримых на $\Pi$ функций. Рассматривается нелинейное операторное уравнение:
$$\begin{equation} x=\theta+AF[x],\quad x\in\mathcal X^\ell, \tag{1} \end{equation}$$
где $A\colon\mathcal Z^m\to\mathcal X^\ell$ – линейный ограниченный оператор, $F\colon\mathcal X^\ell\to\mathcal Z^m$ – некоторый оператор. Уравнение (1) является естественной формой описания широкого класса сосредоточенных и распределенных систем. Ранее В. П. Политюковым был предложен метод монотонизации для обоснования разрешимости уравнения вида (1) и получения поточечных оценок решения. Суть его состояла в том, что разрешимость уравнения (1) доказывалась (помимо прочих условий) для случая, когда I) оператор $F$ допускал поправку вида $G=\lambda I$ до монотонного оператора $\mathcal F[x]=F[\theta+x]+G[x]$ такую, что II) $(I+A G)^{-1}A\geq0$ ($\lambda>0$, $I$ – тождественный оператор). Как видно из примеров, приведенных в данной статье, условия I) и II) могут противоречить друг другу, что сужает сферу применения метода. Основной результат статьи в том, что в случае оператора $A$, обладающего свойством вольтерровости, естественным для эволюционных уравнений, требование монотонизируемости I) можно заменить требованием оценки оператора $F$ на некотором конусном отрезке сверху и снизу через линейный оператор $G$ плюс фиксированный элемент. Доказывается, что для глобальной разрешимости начально-краевой задачи, связанной с полулинейным эволюционным уравнением, достаточно, чтобы аналогичная начально-краевая задача, связанная с линейным уравнением, полученным путем оценки правой части исходного полулинейного уравнения на некотором конусном отрезке, имела положительное решение. В качестве иллюстрации рассматривается применение указанных результатов к системе Гурса–Дарбу, задаче Коши для волнового уравнения и первой краевой задаче для уравнения диффузии.