Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)
Дифференциальные уравнения и математическая физика
Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых
задач для систем линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка с переменными коэффициентами.
Сообщение 2. Краевые задачи с граничными условиями второго и третьего рода
Аннотация:
Представлено второе сообщение цикла из двух статей, в котором исследованы закономерности изменения порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования в зависимости от используемой степени в разложении в многочлен Тейлора решений краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами с граничными условиями второго и третьего рода.
Использование многочлена Тейлора второй степени при аппроксимации производных конечными разностями приводит ко второму порядку аппроксимации традиционного метода сеток во внутренних точках области интегрирования.
В работе при исследовании краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка рассмотрен предложенный ранее метод численного интегрирования, использующий средства матричного исчисления, в котором аппроксимация производных конечными разностями не производилась.
Согласно указанному методу при составлении системы разностных уравнений степень многочлена Тейлора может быть выбрана произвольно.
Вычислена невязка и дана оценка порядка аппроксимации метода в зависимости от выбранной степени многочлена Тейлора. Теоретически установлено следующее:
a) для краевых задач с граничными условиями второго и третьего рода
порядок аппроксимации пропорционален используемой степени многочлена Тейлора и меньше этой степени, независимо от ее четности, на единицу;
б) при четной степени порядок аппроксимации в граничных точках области интегрирования на единицу меньше порядка аппроксимации во внутренних точках;
в) при нечетной степени порядки аппроксимации в граничных точках и во внутренних точках области интегрирования совпадают и меньше этой степени на единицу.
Для четной степени дан метод повышения порядка аппроксимации на единицу в граничных точках области интегрирования до порядка аппроксимации во внутренних точках.
Теоретические выводы подтверждены численным экспериментом для краевых задач с граничными условиями третьего рода.
Ключевые слова:
обыкновенные дифференциальные уравнения, системы обыкновенных дифференциальных уравнений, краевые задачи, граничные условия первого, второго и третьего рода, порядок аппроксимации, численные методы, многочлены Тейлора.
Получение:21 января 2017 г. Исправление:3 марта 2017 г. Принятие:13 марта 2017 г. Публикация онлайн:18 мая 2017 г.
Образец цитирования:
В. Н. Маклаков, “Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых
задач для систем линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка с переменными коэффициентами.
Сообщение 2. Краевые задачи с граничными условиями второго и третьего рода”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 21:1 (2017), 55–79
В. Н. Маклаков, “Использование псевдоневязок при исследовании сходимости неустойчивых разностных краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 26:1 (2022), 140–178
В. Н. Маклаков, М. А. Ильичева, “Численное интегрирование матричным методом и оценка порядка аппроксимации разностных краевых задач
для неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка
с переменными коэффициентами”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 24:1 (2020), 137–162
В. Н. Маклаков, “Метод повышения порядка аппроксимации до произвольного натурального числа при численном интегрировании матричным методом краевых задач для неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений различных степеней с переменными коэффициентами”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 24:4 (2020), 718–751