| Теория вероятностей и ее применения |
|
|
|
|
|
Энергетически эффективная аппроксимация винеровского процесса при односторонних ограничениях М. А. Лифшиц, С. Е. Никитин Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Theory of Probability and its Applications, 2024, Volume 69, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T99174X 
Реферативные базы данных:
 1. Постановка задачи и основной результатОбозначим AC[0,T] пространство абсолютно непрерывных функций на интервале [0,T]. Кинетической энергией функции h∈AC[0,T] назовем величину В работах [1], [5]–[7], [9]–[11] рассматривались вопросы аппроксимации траекторий случайных процессов функциями h наименьшей энергии при тех или иных ограничениях на близость между h и траекторией. В частности, в [9] исследована энергетическая аппроксимация винеровского процесса W при двусторонних равномерных ограничениях. Для T>0, r>0 определим множество допустимых аппроксимаций и положим В работе [9] показано, что при фиксированном r>0 и T\to \infty имеет место сходимость
\begin{equation*}
\frac{I^\pm_W(T,r)}{T} \xrightarrow{\text{п.н.}} {\mathcal C}^2\, r^{-2},
\end{equation*}
\notag
где {\mathcal C}\approx 0.63 — некоторая абсолютная константа (точное значение {\mathcal C} неизвестно), т.е. оптимальная энергия аппроксимации растет линейно по времени. В данной работе мы интересуемся поведением аналогичной величины при односторонних ограничениях, т.е. в случае, когда множество допустимых аппроксимаций имеет вид
\begin{equation*}
M_{T, r} := \{h \in \mathrm{AC}[0, T] \mid \forall\, t \in [0, T]\colon h(t)\geqslant W(t)-r;\, h(0)=0\},
\end{equation*}
\notag
и нас теперь интересует асимптотика величины Технически будет удобнее перенести начальное значение аппроксимации в точку r, чтобы аппроксимация находилась выше траектории аппроксимируемого процесса W. Положим
\begin{equation*}
M_{T, r}' := \{h \in \mathrm{AC}[0, T] \mid \forall\, t \in [0, T]\colon h(t)\geqslant W(t);\, h(0)=r\}.
\end{equation*}
\notag
Поскольку множества функций M_{T, r} и M_{T, r}' отличаются сдвигом на константу, то, как несложно видеть, Наш основной результат показывает, что с ростом T величина I_W(T,r) растет только логарифмически. В разделе 2 мы устанавливаем связь односторонней энергетически эффективной аппроксимации произвольной непрерывной функции с ее минимальной выпуклой мажорантой. В разделе 3 на основе результатов П. Гренебома [4] получены необходимые свойства минимальной выпуклой мажоранты винеровского процесса. Раздел 4 содержит доказательство теоремы 1. В разделах 5 и 6 рассмотрен класс адаптивных марковских (диффузионных) стратегий аппроксимации, опирающихся только на значения процесса W в прошлом и настоящем. Показано, что в этом классе оптимальной является стратегия, определяемая формулой Для нее расход энергии на больших интервалах тоже имеет логарифмический порядок, но асимптотически вдвое превосходит аналогичную величину для оптимальной неадаптивной стратегии, использующей информацию о всей траектории W. А именно,2. Выпуклые мажоранты как эффективные аппроксимацииОказывается, что энергетически эффективная аппроксимация при одностороннем ограничении может быть описана в терминах минимальной выпуклой вверх мажоранты (МВМ) аппроксимируемой функции. Пусть w\colon [0,T]\to \mathbf{R} — непрерывная функция. Тогда соответствующая МВМ \overline{w} — это наименьшая выпуклая вверх функция, удовлетворяющая условию
\begin{equation*}
\overline{w} (t) \geqslant w(t), \qquad 0\leqslant t\leqslant T.
\end{equation*}
\notag
Предложение 1. Пусть r>w(0). Тогда задача |h|_T^2\to \min при ограничениях h(0)=r и имеет единственное решение \chi_* следующего вида. (a) Если r\geqslant \max_{0\leqslant t\leqslant T} w(t), то \chi_*(t)\equiv r. (b) Если r<\max_{0\leqslant t\leqslant T} w(t), то \chi_* определяется по-разному на трех различных интервалах. На начальном участке \chi_* является аффинной функцией, график которой проходит через точку (0,r) и является касательной к графику \overline{w}. Далее \chi_* совпадает с \overline{w} до момента, где впервые достигается максимум w. Наконец, после этого момента \chi_* является константой. Энергетически эффективная мажоранта \chi_* изображена на рис. 1. Доказательство предложения 1. Решение задачи существует, так как для любого M>0 множество функций
\begin{equation*}
\{ h\in \mathrm{AC}[0,T]\mid h(0)=r,\, h\geqslant w,\, |h|_T\leqslant M\}
\end{equation*}
\notag
компактно в пространстве непрерывных функций с топологией равномерной сходимости, а функционал |\,{\cdot}\,|_T^2 полунепрерывен снизу в этой топологии.
Единственность решения следует из того, что множество функций, удовлетворяющих условиям задачи, выпукло, а функционал |\,{\cdot}\,|_T^2 на нем — строго выпуклый. Перейдем к описанию решения. Случай (a) тривиален, поэтому рассмотрим случай (b). Пусть \chi(\,{\cdot}\,) — решение нашей задачи. Покажем сначала, что \chi — выпуклая вверх неубывающая функция. Действительно, положим
\begin{equation*}
\chi_1(t):= r +\int_0^t g(s) \, ds, \qquad 0\leqslant t \leqslant T,
\end{equation*}
\notag
где функция g(\,{\cdot}\,) — невозрастающая монотонная перестройка функции \max\{\chi'(\,{\cdot}\,),0\}. Тогда \chi_1 — выпуклая вверх неубывающая функция, причем \chi_{1}(0)=r и \chi_{1}(t) \geqslant \chi(t) \geqslant w(t) при всех t\in[0,T]. Поэтому \chi_{1} удовлетворяет ограничениям задачи. С другой стороны,
\begin{equation*}
|\chi_{1}|_T^2=\int_0^T g(s)^2 \, ds=\int_0^T \bigl(\max\{\chi'(\,{\cdot}\,),0\}\bigr)^2 \, ds \leqslant |\chi|_T^2.
\end{equation*}
\notag
В силу единственности решения задачи получаем \chi_1=\chi. Это доказывает выпуклость и неубывание \chi.
Поскольку \chi_* является наименьшей выпуклой вверх неубывающей функцией, удовлетворяющей ограничениям задачи, то мы имеем
\begin{equation*}
\chi(t)\geqslant \chi_*(t), \qquad 0\leqslant t\leqslant T.
\end{equation*}
\notag
Далее, покажем, что \chi(T)=\chi_*(T)=\max_{0\leqslant t\leqslant T} w(t). Действительно, функция
\begin{equation*}
\chi_2(t):= \min\{ \chi(t), \chi_*(T) \}, \qquad 0\leqslant t \leqslant T,
\end{equation*}
\notag
в случае (b) удовлетворяет обоим ограничениям задачи и |\chi_{2}|_T^2\leqslant |\chi|_T^2; в силу единственности решения задачи получаем \chi=\chi_2. В частности, \chi(T)=\chi_*(T).
Наконец, предположим, что для некоторого t_0\in [0,T] верно строгое неравенство \chi(t_0)>\chi_*(t_0). Тогда в силу выпуклости и неубывания функции \chi_* найдется такая неубывающая аффинная функция \ell(\,{\cdot}\,), что
\begin{equation*}
\chi_*(t)\leqslant \ell(t), \qquad 0\leqslant t \leqslant T,
\end{equation*}
\notag
но \ell(t_0)< \chi(t_0). В то же время на концах интервала [0,T] верно противоположное неравенство, поскольку
\begin{equation*}
\chi(0)=r =\chi_*(0) \leqslant \ell(0), \qquad \chi(T) =\chi_*(T) \leqslant \ell(0).
\end{equation*}
\notag
Поэтому существует невырожденный интервал [t_1,t_2]\subset[0,T] такой, что t_0\in[t_1,t_2], \ell(t_1)=\chi(t_1), \ell(t_2)=\chi(t_2). Из неравенства Гёльдера следует цепочка неравенств
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(t_2-t_1) \int_{t_1}^{t_2} \chi'(t)^2 \, dt>\biggl(\int_{t_1}^{t_2} \chi'(t)\, dt\biggr)^2 = (\chi(t_2)-\chi(t_1))^2 \\ &\qquad= (\ell(t_2)-\ell(t_1))^2=\biggl(\int_{t_1}^{t_2} \ell'(t)\, dt\biggr)^2 = (t_2-t_1) \int_{t_1}^{t_2} \ell'(t)^2 \, dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
поскольку \ell'(\,{\cdot}\,) — константа, а \chi'(\,{\cdot}\,) — не константа на [t_1,t_2]. Получаем
\begin{equation*}
\int_{t_1}^{t_2} \chi'(t)^2 \, dt>\int_{t_1}^{t_2} \ell'(t)^2 \, dt.
\end{equation*}
\notag
Отсюда следует, что функция
\begin{equation*}
\chi_3(t):= \min\{ \chi(t), \ell(t) \}, \qquad 0\leqslant t \leqslant T,
\end{equation*}
\notag
удовлетворяет ограничениям задачи и |\chi_{3}|_T^2<|\chi|_T^2, но это невозможно по определению \chi. Таким образом, предположение \chi(t_0)>\chi_*(t_0) привело нас к противоречию. Предложение доказано. 3. Минимальная выпуклая мажоранта винеровского процессаВыделим важные обозначения и результаты из статьи [4], которыми мы будем далее пользоваться. Обозначим
\begin{equation*}
\tau(a) := \sup \biggl\{t>0 \biggm| W(t)-\frac{t}{a}=\sup_{u>0}\biggl(W(u)-\frac{u}{a}\biggr)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Функция a\mapsto \tau(a) является неубывающей. Согласно следствию 2.1 работы [4] для любого a>0 величина \tau(a)/a^2 имеет плотность распределения
\begin{equation*}
q(t)=2 \, \mathbf{E}\biggl(\frac{X}{\sqrt{t}}-1\biggr)_+, \qquad t>0,
\end{equation*}
\notag
где x_+ := x \mathbf{1}_{\{x>0\}}, а X — случайная величина со стандартным нормальным распределением. Далее, пусть \overline{W} — глобальная МВМ для винеровского процесса W(t), t\geqslant 0. Определим процесс L как
\begin{equation*}
L(a,b) := \int_{\tau(a)}^{\tau(b)} \overline{W}^{\,\prime}(t)^2 \, dt.
\end{equation*}
\notag
Мы будем существенно опираться на следующий результат Гренебома. Лемма 1 (см. [4; теорема 3.1]). Для каждого a_0>0 процесс Y(t) := L(e^{a_0},e^{a_0+t}), t\geqslant 0, является чисто скачкообразным процессом со стационарными и независимыми приращениями, причем \mathbf{E} Y(t)=t. Работа [4] содержит и явное описание меры Леви процесса Y, но здесь оно нам не понадобится. Нас интересует лишь колмогоровский усиленный закон больших чисел для Y, который утверждает, что при t\to\infty имеет место сходимость Подставляя определение Y, полагая a_0=0 и делая замену переменной V=e^t, этот результат можно переформулировать в виде
\begin{equation}
\frac{L(1,V)}{\ln V} \xrightarrow{\text{п.н.}} 1 \quad \text{при }\ V\to\infty.
\end{equation}
\tag{1}
Лемма 2. Для любого \delta \in (0,1/2) c вероятностью 1 при всех достаточно больших T выполняются неравенства Доказательство. Оценка снизу основана на следующих неравенствах:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}\biggl( \tau(T^{1/2-\delta}) \geqslant \frac T2 \biggr) &= \mathbf{P}\biggl( \frac{\tau(T^{1/2-\delta})}{T^{1-2\delta}} \geqslant \frac{T^{2\delta}}2 \biggr) \\ &= \int_{T^{2\delta}/2}^\infty q(t)\, dt = \int_{T^{2\delta}/2}^\infty 2\,\mathbf{E}\biggl(\frac{X}{\sqrt{t}}-1\biggr)_+ \, dt \\ &=C_1 \int_{T^{2\delta}/2}^\infty \int_{\sqrt t}^\infty \biggl(\frac{x}{\sqrt t}-1\biggr)e^{-x^2/2} \, dx \, dt \\ &\leqslant C_2 \int_{T^{2\delta}/2}^\infty e^{-t/2} t^{-1/2} \, dt \leqslant C_2 \, e^{-T^{2\delta}/4}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где C_1, C_2 — некоторые абсолютные положительные постоянные.
Пусть T_n := n, тогда для событий D_n := \{\tau(T_n^{1/2-\delta}) \geqslant T_n/2\} имеем Значит, по лемме Бореля–Кантелли с вероятностью 1 при достаточно больших n событие D_n не выполняется, т.е. с вероятностью 1 при достаточно больших n верно Пусть n\geqslant 2, для T_n выполняется (2), и пусть T \in [T_{n-1}, T_n]. Так как \tau(\,{\cdot}\,) не убывает, имеем
\begin{equation*}
\tau(T^{1/2-\delta}) \leqslant \tau(T_n^{1/2-\delta}) < \frac{T_n}2=\frac{n}2 \leqslant n-1=T_{n-1} \leqslant T.
\end{equation*}
\notag
Это дает нам искомую нижнюю оценку для достаточно больших T.
Аналогично, для оценки сверху имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf{P}\bigl( \tau(T^{1/2+\delta}) \leqslant 2T \bigr) &= \int_0^{2T^{-2\delta}} 2\, \mathbf{E}\biggl(\frac{X}{\sqrt{t}}-1\biggr)_+ \, dt \\ &\leqslant C_3 \int^{2T^{-2\delta}}_0 e^{-t/2} t^{-1/2} \, dt \leqslant C_4 T^{-\delta}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где C_3, C_4 — некоторые абсолютные положительные постоянные.
Рассмотрим последовательность T_n := 2^n, тогда для событий D'_n := \{\tau(T_n^{1/2+\delta}) \leqslant 2 T_n\} имеем Значит, по лемме Бореля–Кантелли с вероятностью 1 при достаточно больших n событие D'_n не выполняется, т.е. с вероятностью 1 при достаточно больших n верноПусть для T_n выполняется (3), и пусть T \in [T_n, T_{n+1}] . Так как \tau(\,{\cdot}\,) не убывает, имеем
\begin{equation*}
\tau(T^{1/2+\delta}) \geqslant \tau(T_n^{1/2+\delta})>2T_n=T_{n+1} \geqslant T.
\end{equation*}
\notag
Это дает нам искомую верхнюю оценку для достаточно больших T. Лемма доказана. Следующая теорема описывает асимптотическое поведение энергии выпуклой мажоранты винеровского процесса. Для r>0 определим МВМ \overline{W}^{\,(r)} винеровского процесса W на всей прямой, стартующую c высоты r, как МВМ W(t), t\geqslant 0, удовлетворяющую дополнительному ограничению \overline{W}^{\,(r)}(0)=r. Тогда на некотором начальном интервале [0,\theta(r)] мажоранта \overline{W}^{\,(r)} является аффинной функцией, график которой проходит через точку (0,r) и является касательной к графику \overline{W}, а на [\theta(r), \infty) мажоранта \overline{W}^{\,(r)} совпадает с \overline{W}. Теорема 2. Пусть \overline{W}^{\,(r)} — выпуклая вверх мажоранта W на всей прямой, стартующая c высоты r. Тогда при фиксированном r и T\to\infty имеет место сходимость Доказательство. Сравним выражения и
Они отличаются не зависящим от T слагаемым, отвечающим начальному участку \overline{W}^{\,(r)}, а также нижними и верхними пределами интегрирования в интегральных членах, причем нижние пределы интегрирования в обоих случаях не зависят от T. Пользуясь леммой 2 для сравнения верхних пределов интегрирования, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \liminf_{T \to \infty} \frac{\bigl|\overline{W}^{\,(r)}\bigr|_T^2}{\ln T} &\geqslant \liminf_{T \to \infty} \frac{L(1, T^{1/2-\delta})}{\ln T}, \\ \limsup_{T \to \infty} \frac{\bigl|\overline{W}^{\,(r)}\bigr|_T^2}{\ln T} &\leqslant \liminf_{T \to \infty} \frac{L(1, T^{1/2+\delta})}{\ln T}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
С учетом закона больших чисел (1) имеем
\begin{equation*}
\frac12-\delta \leqslant \liminf_{T \to \infty} \frac{\bigl|\overline{W}^{\,(r)}\bigr|_T^2}{\ln T} \leqslant \limsup_{T \to \infty} \frac{\bigl|\overline{W}^{\,(r)}\bigr|_T^2}{\ln T} \leqslant \frac12 +\delta.
\end{equation*}
\notag
Переходя к пределу при \delta\searrow 0, получаем требуемый результат. Теорема доказана. 4. Доказательство теоремы 1Оценка сверху. Ограничение глобальной МВМ, стартующей с высоты r, на интервал [0,T] принадлежит множеству допустимых функций \overline{W}^{\,(r)}\in M_{T, r}'. Из теоремы 2 находим
\begin{equation*}
\limsup_{T \to \infty} \frac{I_W(T,r)}{\ln T} \leqslant \limsup_{T \to \infty} \frac{\bigl|\overline{W}^{\,(r)}\bigr|_T^2}{\ln T} \leqslant \frac12 \quad \text{п.н.}
\end{equation*}
\notag
Оценка снизу. Для r>0, T>0 обозначим \overline{W}^{(r,T)} локальную МВМ винеровского процесса W(t), t\in [0,T], стартующую c высоты r. Пусть \chi — единственное решение интересующей нас задачи |h|_T^2\,{\to} \min, h\,{\in}\,M'_{T,r}, структура которого описана в предложении 1. Поскольку при больших T верно неравенство \max_{0\leqslant s\leqslant T} W(s)>r, то для таких T имеет место пункт (b) этого предложения. В частности, из него следует, что
\begin{equation*}
\chi(t)=\overline{W}^{\,(r,T)}(t), \qquad 0 \leqslant t \leqslant t_{\mathrm{max}},
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
t_{\mathrm{max}}=t_{\mathrm{max}}(T) := \min\Bigl\{t\Bigm| W(t)= \max_{0\leqslant s\leqslant T} W(s)\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Отметим, что функция \tau(\,{\cdot}\,) не может принимать значения из интервала (t_{\mathrm{max}},T). Поэтому если при некотором a верно неравенство \tau(a)<T, то верно и неравенство \tau(a)\leqslant t_{\mathrm{max}}. В этом случае также верны соотношения
\begin{equation*}
\chi(t)=\overline{W}^{\,(r,T)}(t)=\overline{W}^{\,(r)}(t), \qquad 0 \leqslant t \leqslant \tau(a).
\end{equation*}
\notag
Отсюда получаем
\begin{equation*}
I_W(T,r)=|\chi|_2^2 \geqslant \int_0^{\tau(a)} \chi'(t)^2 \, dt =\bigl|\overline{W}^{\,(r)}\bigr|_{\tau(a)}^2.
\end{equation*}
\notag
Зафиксируем \delta\in (0,1/2). Положим a=a(T):= T^{1/2-\delta}. Тогда в силу леммы 2 имеем при всех достаточно больших T. Далее, из теоремы 2 следует, что при T\to \infty справедливы соотношения
\begin{equation*}
\bigl|\overline{W}^{\,(r)}\bigr|_{\tau(a)}^2 \geqslant \frac{\ln\tau(a)}{2}(1+o(1)) \geqslant \frac{1-2\delta}{2(1+2\delta)} \ln T\, (1+o(1)) \quad \text{п.н.}
\end{equation*}
\notag
Соединяя полученные оценки, находим
\begin{equation*}
I_W(T,r) \geqslant \frac{1-2\delta}{2(1+2\delta)} \ln T\, (1+o(1)) \quad \text{п.н.}
\end{equation*}
\notag
Наконец, переходя к пределу при \delta\searrow 0, получаем неравенство
\begin{equation*}
I_W(T,r) \geqslant \frac{1}{2} \ln T\, (1+o(1)) \quad \text{п.н.},
\end{equation*}
\notag
что и требовалось доказать.
5. Адаптивная марковская аппроксимацияНа практике часто бывает необходимо организовать аппроксимацию (преследование) в режиме реального времени (адаптивно), когда траектория аппроксимируемого процесса известна не на всем временно́м интервале, а только до текущего момента времени. Ввиду марковского свойства винеровского процесса разумная стратегия состоит в том, чтобы определять скорость преследования h как функцию от текущего состояния процессов h и W, не обращая внимание на прошлое, т.е. На качественном уровне рассмотрения функция \beta(x,w,t) должна стремиться к бесконечности, когда x-w\searrow 0, т.е. при приближении аппроксимирующего процесса к допустимой границе он ускоряется, уходя из опасного положения. При этом функцию \beta следует оптимизировать, добиваясь наименьшего среднего расхода энергии и стараясь получить такой же логарифмический по времени порядок расхода, как и в случае неадаптивной аппроксимации, но, возможно, с несколько худшим коэффициентом. Разница коэффициентов представляет собой “плату за незнание будущего” аппроксимируемого процесса.По аналогии с результатом для неадаптивного случая обсуждаемую здесь задачу можно поставить так:
\begin{equation}
\lim_{T\to\infty} \frac{\int_0^T h'(t)^2 \, dt}{\ln T} \to \min,
\end{equation}
\tag{5}
где минимум берется по таким случайным функциям h, что
Мы формально не решим здесь поставленную задачу в такой общности, а оптимизируем только стратегии специального вида
\begin{equation}
\beta(h,w,t) =\frac{1}{\sqrt{t}}\, \widetilde{\beta}\biggl(\frac{1}{\sqrt{t}}(h-w) \biggr).
\end{equation}
\tag{6}
Обоснованность выбора этого подкласса стратегий будет видна ниже. Более того, есть основания предположить, что найденная нами стратегия, оптимальная в классе (6), является также оптимальной в более широком классе стратегий (4). Интересно сравнить (4) c формой оптимальной адаптивной стратегии при двустороннем ограничении [9]: Последняя стратегия более проста, так как скорость преследования определяется только расстоянием между аппроксимируемым и аппроксимирующим процессами и не зависит от момента времени.Проведем замену времени и пространства:
\begin{equation*}
U(\tau) := e^{-\tau/2} W(e^\tau), \qquad z(\tau) := e^{-\tau/2} h(e^\tau).
\end{equation*}
\notag
Заметим, что U(\,{\cdot}\,) является процессом Орнштейна–Уленбека и поэтому удовлетворяет уравнению где \widetilde{W} — некоторый винеровский процесс. Для производной функции z имеем следующее выражение: откуда также получаем
\begin{equation}
h'(e^\tau)=e^{-\tau/2} \biggl(z'(\tau) +\frac{z(\tau)}{2}\biggr).
\end{equation}
\tag{8}
Рассмотрим расстояние между аппроксимируемым и аппроксимирующим процессами: Будем исследовать однородные диффузионные стратегии Из уравнений (7) и (9) следует, что откуда также получаем соотношениеПрежде чем приступать к оптимизации, посмотрим, что дают диффузионные стратегии применительно к исходной задаче. В силу (8) и (10) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h'(e^\tau) &= e^{-\tau/2} \biggl(b(Z(\tau))+ \frac{Z(\tau)}{2}\biggr) =: e^{-\tau/2} \widetilde{b}(Z(\tau)) \\ &= e^{-\tau/2} \widetilde{b}\bigl( e^{-\tau/2}(h(e^\tau)-W(e^\tau)) \bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \widetilde{b}(x):= b(x)+ x/2. Иначе говоря, стратегия имеет вид
\begin{equation}
h'(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}\, \widetilde{b}\biggl( \frac{1}{\sqrt{t}} (h(t)-W(t))\biggr),
\end{equation}
\tag{11}
т.е. как раз относится к классу стратегий (6), что и объясняет естественность выбора этого класса. Перейдем к поиску оптимального коэффициента сноса b(\,{\cdot}\,), определяющего стратегию преследования. Воспользуемся фактами об одномерной, однородной во времени диффузии из [2; гл. IV.11] и [3; гл. 2]. Положим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, B(x) &:= 2 \int^x b(u)\, du, \\ \nonumber p_0(x) &:= e^{B(x)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
Пусть выполнено условие Тогда для диффузии (9) точка 0 является границей-входом и не является границей-выходом по классификации Феллера. Это означает, что диффузия Z всегда остается на [0,\infty). При этом функция где Q=\int_0^\infty p_0(x) \, dx , является плотностью единственного стационарного распределения Z. Для энергии, используя соотношения (8) и (10), получаем (п.н., при T\to\infty)
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_1^T h'(t)^2 \, dt = \int_0^{\ln T} h'(e^\tau)^2 e^\tau\, d \tau = \int_0^{\ln T} \biggl( z'(\tau) +\frac{z(\tau)}{2} \biggr)^2\, d\tau \\ &\qquad= \int_{0}^{\ln T} \biggl( b(Z(\tau))+\frac{Z(\tau)}2\biggr)^2\, d\tau \sim \ln T \int_0^{\infty} \biggl( b(x)+\frac{x}2\biggr)^2 p(x) \, dx \\ &\qquad= \ln T \int_0^{\infty} \biggl( \biggl( \frac{\ln p}{2}\biggr)'(x)+\frac{x}2\biggr)^2 p(x) \, dx \\ &\qquad= \ln T \int_0^{\infty} \biggl( \frac{p'(x)^2}{4p(x)} + \frac{x p'(x)}{2}+\frac{x^2 p(x)}{4} \biggr) \, dx \\ &\qquad= \ln T \biggl( -\frac12+\int_0^{\infty} \biggl( \frac{p'(x)^2}{4p(x)} + \frac{x^2 p(x)}{4} \biggr) \, dx \biggr) =: -\frac{\ln T}2+\frac{\ln T}{4} J(p). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
С учетом условия (13) остается решить вариационную задачу
\begin{equation*}
\min \biggl\{ J(p) \biggm| \int_0^\infty p(x) \, dx=1,\, p(0)=0 \biggr\}
\end{equation*}
\notag
по множеству плотностей, сосредоточенных на полуоси [0, \infty). Сделаем замену переменных y(x) := p(x)^{1/2}, что преобразует вариационную задачу к виду
\begin{equation*}
\min\biggl\{ \int_0^\infty\bigl( 4y'(x)^2+x^2 y(x)^2 \bigr) \, dx \biggm| \int_0^\infty y(x)^2 \, dx=1,\ y(0)=0 \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
В следующем разделе показано, что этот минимум равен 6 и достигается на функции
\begin{equation*}
y(x)=\biggl(\frac2{\pi}\biggr)^{1/4} x \exp\biggl(-\frac{x^2}4\biggr).
\end{equation*}
\notag
Таким образом, асимптотическое поведение энергии при построенной стратегии имеет вид т.е. в адаптивной постановке при оптимальном выборе сноса в классе (6) затрачивается вдвое больше энергии, чем в неадаптивной. Для вычисления оптимального сноса запишем
\begin{equation*}
p(x)=y(x)^2= \biggl(\frac2{\pi}\biggr)^{1/2} x^2 \exp\biggl(-\frac{x^2}2\biggr)
\end{equation*}
\notag
и найдем из (12)–(14) Отметим, что найденная плотность p удовлетворяет необходимому условию (13). Возвращаясь к исходной задаче, находим \widetilde{b}(x)=1/x, так что стратегия (11) имеет вид Интересно, что оптимальная диффузионная стратегия, в отличие от произвольных стратегий этого класса, оказалась однородной не только по пространству, но и по времени. Заметим, однако, что попытки рассматривать общие однородные эргодические диффузионные стратегии по переменной t (вместо \tau) приводят к неприемлемо большому расходу энергии порядка T вместо \ln T.6. Решение вариационной задачи6.1. Квантовый гармонический осцилляторРассмотрим задачу Штурма–Лиувилля о поиске собственных чисел дифференциального оператора:
\begin{equation*}
\begin{cases} -4y''(x)+x^2 y(x)=\gamma y(x), &x\geqslant 0, \\ y(0)=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Она представляет собой частный случай уравнения квантового гармонического осциллятора, давно изученный физиками (см. [8; § 23]). Ее решение хорошо известно. Как правило, уравнение рассматривается на всей вещественной оси. При переходе к полуоси, с учетом краевого условия y(0)=0, нужно оставить только ограничения на полуось от нечетных решений уравнения на оси и домножить их на \sqrt{2} для сохранения нормализации. В результате находим ортонормальный базис в L_2[0,\infty), состоящий из функций \psi_k, k\in 2\mathbf{N}-1, определяемых равенствами
\begin{equation*}
\psi_k(x)=(2^k k!)^{-1/2} \biggl(\frac2{\pi}\biggr)^{1/4} H_k\biggl(\frac{x}{\sqrt{2}}\biggr) \exp\biggl(-\frac{x^2}4\biggr),
\end{equation*}
\notag
где — полиномы Эрмита, и удовлетворяющих соотношениям где \gamma_k=2(2k+1).В частности, минимальное собственное число есть \gamma_1=6, выполнено равенство H_1(x)=2x, а соответствующая собственная функция имеет вид \psi_1(x)=(2/\pi)^{1/4}x \exp(-x^2/4). 6.2. МинимизацияРассмотрим квадратичную форму
\begin{equation*}
G(y,z) := \int_0^\infty\bigl( 4y'(x)z'(x)+x^2 y(x)z(x) \bigr) \, dx.
\end{equation*}
\notag
Для дважды дифференцируемых функций при дополнительном условии y(0)=0 интегрирование по частям дает
\begin{equation*}
G(y,z) = \int_0^\infty\bigl( -4y''(x)+x^2 y(x)\bigr) z(x) \, dx.
\end{equation*}
\notag
В частности,
\begin{equation*}
G(\psi_k,\psi_l)=\int_0^\infty \gamma_k \psi_k(x)\psi_l(x) \, dx = \begin{cases} \gamma_k, &k=l, \\ 0,&k\ne l, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
так как (\psi_k) — ортонормированный базис. Если y=\sum_{k\in 2\mathbf{N}-1} c_k \psi_k, то
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^\infty\bigl( 4y'(x)^2+x^2 y(x)^2 \bigr) \, dx &=G(y,y)=\sum_{k\in 2\mathbf{N}-1} c_k^2\gamma_k \geqslant \sum_{k\in 2\mathbf{N}-1} c_k^2\gamma_1 \\ &=\gamma_1 \int_0^\infty y(x)^2 \, dx, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
причем для y=\psi_1 в этой цепочке имеет место равенство. Таким образом,
\begin{equation*}
\min\biggl\{ \int_0^\infty\bigl( 4y'(x)^2+x^2 y(x)^2 \bigr) \, dx \biggm| \int_0^\infty y(x)^2 \, dx=1 \biggr\} =\gamma_1=6.
\end{equation*}
\notag
Авторы признательны А. И. Назарову за полезные советы и рецензенту за полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LifNik24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|