| Теория вероятностей и ее применения |
|
|
|
|
|
Совместные распределения обобщенных интегрируемых возрастающих процессов и их обобщенных компенсаторов Д. А. Борзых Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theory of Probability and its Applications, 2024, Volume 69, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T991714 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеПусть задан стохастический базис (Ω,F,P,(Ft)t∈R+). Согласованный случайный процесс X=(Xt)t∈R+ называется возрастающим процессом, если все его траектории непрерывны справа, выходят из нуля и являются нестрого возрастающими функциями. Возрастающий процесс X=(Xt)t∈R+ называется интегрируемым возрастающим процессом, если E[X∞]<∞. Класс всех интегрируемых возрастающих процессов обозначается через A+. Всякий интегрируемый возрастающий процесс X=(Xt)t∈R+ является субмартингалом класса (D) (см. [1; § 1.46]). Следовательно, для процесса X справедливо разложение Дуба–Мейера (см. [1; § 3.15]), согласно которому существует единственный (с точностью до неразличимости) возрастающий интегрируемый предсказуемый процесс A с A0=0 такой, что процесс X−A является равномерно интегрируемым мартингалом. Процесс A, участвующий в этом разложении, будем называть компенсатором процесса X. В статье [2] введен класс W вероятностных мер, определенных на (R2+,B(R2+)). Он включает в себя все вероятностные меры μ, удовлетворяющие следующим условиям: 1) ∫R2+(x+y)μ(dx,dy)<∞; 2) ∫R2+xμ(dx,dy)=∫R2+yμ(dx,dy); 3) ∫{y⩽c}xμ(dx,dy)⩽∫R2+(y∧c)μ(dx,dy) для любого c⩾0 . Пусть T∈[0,∞] — произвольный фиксированный момент времени. В [2] показано, что мера μ принадлежит классу W в том и только том случае, когда на некотором стохастическом базисе существует интегрируемый возрастающий процесс (Xt)t∈R+ с компенсатором (At)t∈R+ такой, что Law(XT,AT)=μ. В нашей статье мы обобщаем постановку задачи, рассмотренную в [2]. Для этого мы вводим понятие обобщенного интегрируемого возрастающего процесса и его обобщенного компенсатора. Согласованный процесс X=(Xt)t∈R+ будем называть обобщенным интегрируемым возрастающим процессом, если он представим в виде Xt=ξ0+X∘t, t∈R+, где ξ0 — F0-измеримая интегрируемая случайная величина, а X∘=(X∘t)t∈R+ — интегрируемый возрастающий процесс в обычном смысле. По теореме Дуба–Мейера процесс X∘ имеет компенсатор A∘=(A∘t)t∈R+. Тогда обобщенным компенсатором обобщенного интегрируемого возрастающего процесса X назовем случайный процесс A=(At)t∈R+ вида At=η0+A∘t, где η0 — произвольная F0-измеримая интегрируемая случайная величина. Таким образом, согласно данному определению обобщенный компенсатор обобщенного интегрируемого возрастающего процесса определен однозначно с точностью до прибавления F0-измеримой интегрируемой случайной величины. Отметим, что всякий компенсатор интегрируемого обобщенного возрастающего процесса сам является интегрируемым обобщенным возрастающим процессом. Зафиксируем на луче [0,∞] два момента времени a и b. Не ограничивая общности, можно считать, что a=1 и b=2. Рассмотрим класс вероятностных мер Λ, включающий в себя все совместные распределения λ:=Law([X1A1],[X2A2]), где (Xt)t∈[1,2] — обобщенный интегрируемый возрастающий процесс, а (At)t∈[1,2] — его обобщенный компенсатор. Мы интересуемся тем, как устроен класс мер Λ. Более конкретно, в данной статье мы решаем две задачи. Первая из них — получить необходимые и достаточные условия того, что некоторая вероятностная мера λ, заданная на B(R2×R2), принадлежит классу мер Λ. Вторая задача ставится следующим образом. Пусть на (R2,B(R2)) заданы две вероятностные меры μ1 и μ2, удовлетворяющие условиям ∫(|x|+|y|)dμi<∞, i=1,2. Требуется получить необходимые и достаточные условия того, что множество Λ содержит некоторую меру λ, для которой μ1 и μ2 являются маргинальными распределениями, т.е. λ(B×R2)=μ1(B) и λ(R2×B)=μ2(B) для любого B∈B(R2). Ответы на поставленные вопросы читатель может найти в разделе 2 в теоремах 1 и 3 соответственно. Оставшаяся часть статьи организована следующим образом. В разделе 2 сформулированы основные результаты работы. Раздел 3 содержит доказательства основных результатов. В разделе 4 приведены доказательства всех вспомогательных утверждений. Раздел 5 посвящен более конструктивной характеризации класса тестовых функций K, который возникает в формулировке теоремы 3 из раздела 2. Заключительный раздел 6 содержит пример применения теоремы 3. 2. Основные результатыСледующие ниже теоремы 1 и 3 являются основными результатами работы. Теорема 2 носит вспомогательный характер. В ней установлены геометрические и топологические свойства множества Λ — выпуклость и замкнутость в некоторой естественной топологии пространства вероятностных мер μ на B(R2×R2), для которых ∫(|x1|+|y1|+|x2|+|y2|)dμ<∞. Теорема 1. Вероятностная мера λ, определенная на B(R2×R2), принадлежит классу Λ в том и только том случае, когда она удовлетворяет следующим условиям: для любого B∈B(R2) справедливо равенство для любого B∈B(R2) и всех c⩾0 имеет место неравенствоТеперь перейдем к выпуклости и замкнутости множества Λ. При изучении замкнутости нам потребуется подходящая топологическая постановка. Рассмотрим калибровочную функцию ψ(x,y):=1+|x|+|y|, x,y∈R. Определим класс Cψ(R2) непрерывных тестовых функций f:R2→R таких, что Обозначим через Mψ1(R2) множество всех борелевских вероятностных мер на R2, для которых ∫R2ψ(x,y)μ(dx,dy)<∞. Грубейшая топология на Mψ1(R2), в которой все отображения непрерывны, называется ψ-слабой топологией пространства Mψ1(R2). Несложно видеть, что множества вида где μ∈Mψ1(R2), ε>0, m∈N и f1,…,fm∈Cψ(R2), образуют базу ψ-слабой топологии пространства Mψ1(R2). Отметим, что пространство Mψ1(R2) является метризуемым и сепарабельным (см. [3; следствие A.44]).Отметим также, что сходимость мер (μn)∞n=1⊆Mψ1(R2) к мере μ∈Mψ1(R2) в ψ-слабой топологии равносильна обычной слабой сходимости (μn)∞n=1 к μ вместе с условием равномерной интегрируемости мер (μn)∞n=1, т.е. sup при c \to \infty. Подробнее о пространстве \mathcal{M}_1^{\psi}(\mathbf{R}^2) и его свойствах можно прочитать, например, в [3; § A.6]. На произведении пространств \mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2 рассмотрим калибровочную функцию
\begin{equation*}
\overline{\psi}(x_1, y_1, x_2, y_2) := \psi(x_1, y_1)+\psi(x_2, y_2).
\end{equation*}
\notag
Определим соответствующее множество непрерывных тестовых функций C_{\overline{\psi}}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2) и пространство вероятностных мер \mathcal{M}_1^{\overline{\psi}}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2), снабженное \overline{\psi}-слабой топологией. Справедлива следующая теорема. Теорема 2. Множество \Lambda является выпуклым и замкнутым в \overline{\psi}-слабой топологии пространства \mathcal{M}_1^{\overline{\psi}}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2). Для формулировки теоремы 3 нам потребуется ввести в рассмотрение еще один класс тестовых функций. Определение 1. Введем класс \mathcal{K} полунепрерывных сверху тестовых функций \varphi \colon \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}, которые удовлетворяют следующим условиям: 1) для любой \varphi \in \mathcal{K} существует c \in \mathbf{R} такое, что для всех x, y \in \mathbf{R} 2) для любых x, y \in \mathbf{R} и любой вероятностной меры \mu \in \mathbb{W} имеет место неравенство Теорема 3. Пусть на (\mathbf{R}^2, \mathcal{B}(\mathbf{R}^2)) заданы две вероятностные меры \mu_1 и \mu_2, удовлетворяющие условиям \int (|x|+|y|)\, d\mu_i<\infty, i=1, 2. Тогда следующие условия эквивалентны: (a) на некотором стохастическом базисе найдется такой обобщенный интегрируемый возрастающий процесс X=(X_t)_{t \in [1, 2]} с обобщенным компенсатором A=(A_t)_{t \in [1, 2]}, что \operatorname{Law} \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]{=}\,\mu_1 и \operatorname{Law} \left[\begin{smallmatrix} X_2 \\ A_2 \end{smallmatrix}\right]{=}\,\mu_2; (b) существует мера \lambda \in \Lambda, маргинальные распределения которой есть \mu_1 и \mu_2, т.е. \lambda(B \times \mathbf{R}^2)=\mu_1(B) и \lambda(\mathbf{R}^2 \times B)=\mu_2(B) для любого B \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2); (c) \int \varphi(x, y) \, d\mu_1 \leqslant \int \varphi(x, y) \, d\mu_2 для любой тестовой функции \varphi \in \mathcal{K}. 3. Доказательства основных результатов Доказательство теоремы 1. (\Rightarrow) Пусть мера \lambda принадлежит классу \Lambda. Требуется показать, что она удовлетворяет условиям (1)–(3). В самом деле, условие \lambda \in \Lambda означает, что существует обобщенный интегрируемый возрастающий процесс X=(X_t)_{t \in [1, 2]} с обобщенным компенсатором A=(A_t)_{t \in [1, 2]} такой, что \operatorname{Law}\left( \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} X_2 \\ A_2 \end{smallmatrix}\right] \right)= \lambda. Условие (1) очевидным образом выполнено. Зафиксируем произвольное множество B \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2) и рассмотрим интегрируемый возрастающий процесс Z_t := (X_t -X_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}}, t \in [1, 2]. Легко видеть, что (Z_t)_{t \in [1, 2]} имеет компенсатор C_t := (A_t -A_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}}, t \in [1, 2]. Стало быть, по теореме 2.1(i) из [2] совместное распределение \operatorname{Law}\left[\begin{smallmatrix} Z_2 \\ C_2 \end{smallmatrix}\right] принадлежит классу \mathbb{W}, откуда следует, что
\begin{equation}
\mathbf{E}\biggl[ (X_2-X_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \biggr]=\mathbf{E}\biggl[ (A_2-A_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \biggr],
\end{equation}
\tag{6}
и для всех c \geqslant 0 справедливо неравенство
\begin{equation}
\mathbf{E}\biggl[ (X_2-X_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \mathbf{1}_{\left\{ A_2-A_1 \leqslant c \right\}} \biggr] \leqslant \mathbf{E}\biggl[ \bigl( (A_2-A_1) \wedge c \bigr) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \biggr].
\end{equation}
\tag{7}
Остается заметить, что (6) и (7) сводятся к требуемым условиям (2) и (3).
(\Leftarrow) Пусть теперь мера \lambda удовлетворяет условиям (1)–(3). Требуется доказать, что мера \lambda принадлежит классу \Lambda. Обозначим через \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}}\,, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}} и \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} образы меры \lambda соответственно при отображениях \left( \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} x_2 \\ y_2 \end{smallmatrix}\right] \right) \mapsto \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right], \left( \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} x_2 \\ y_2 \end{smallmatrix}\right] \right) \mapsto \left[\begin{smallmatrix} x_2 \\ y_2 \end{smallmatrix}\right] и \left( \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} x_2 \\ y_2 \end{smallmatrix}\right] \right) \mapsto \left( \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{smallmatrix}\right] \right). Тогда условия (2) и (3) могут быть переписаны в виде
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} u \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}}\, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr) \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad= \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} v \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr),
\end{equation}
\tag{8}
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} u \cdot \mathbf{1}_{\{v \leqslant c \}} \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr) \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad\leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \left[v \wedge c \right] \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d v \\ d u \end{bmatrix}\biggr).
\end{equation}
\tag{9}
Теперь заметим, что мера \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} допускает марковское ядро \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} относительно меры \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}, т.е. для любых множеств B, C \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2) имеет место равенство
\begin{equation*}
\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}(B \times C)= \int_{B} \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; C \biggr) \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix} \biggr).
\end{equation*}
\notag
Тогда, используя теорему Фубини для марковских ядер (см. [4; предложение III.2.1] или [5; лемма 14.20]), мы можем переписать формулы (8) и (9) в виде
\begin{equation}
\int_{B} \biggl[ \int_{\mathbf{R}^2} u \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr) \biggr] \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix} \biggr) \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad= \int_{B} \biggl[ \int_{\mathbf{R}^2} v \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr) \biggr] \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix} \biggr),
\end{equation}
\tag{10}
\begin{equation}
\int_{B} \biggl[ \int_{\mathbf{R}^2} u \cdot \mathbf{1}_{\{v \leqslant c \}} \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr) \biggr] \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix} \biggr) \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\qquad\leqslant \int_{B} \biggl[ \int_{\mathbf{R}^2} [v \wedge c ] \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr) \biggr] \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix} \biggr).
\end{equation}
\tag{11}
Поскольку условия (10) и (11) выполнены для всех множеств B \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2), мы приходим к тому, что \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}-п.в. имеет место равенство
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}^2} u \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr)= \int_{\mathbf{R}^2} v \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr),
\end{equation}
\tag{12}
а также для каждого фиксированного c \geqslant 0 \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}-п.в. справедливо неравенство
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}^2} u \cdot \mathbf{1}_{\{v \leqslant c \}} \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr) \leqslant \int_{\mathbf{R}^2} [v \wedge c] \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr).
\end{equation}
\tag{13}
Последнее условие означает, что для каждого c \geqslant 0 найдется “свое” множество \Omega_c \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2) такое, что \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}(\Omega_c)=1 и для любого \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in \Omega_c выполнено неравенство (13). Покажем, что найдется “универсальное” множество \Omega_{\star} \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2) с \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}(\Omega_{\star})=1 такое, что для любого \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in \Omega_{\star} и всех c \geqslant 0 справедливо неравенство (13). Для этого рассмотрим множество \Omega_{\star} := \bigcap_{c \in \mathbf{Q}_+} \Omega_c, где \mathbf{Q}_+ — множество всех неотрицательных рациональных чисел. Ясно, что \Omega_{\star} \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2) и \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}(\Omega_{\star})\,{=}\,1. Рассмотрим произвольную точку \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in \Omega_{\star} и любую действительную константу c_0 \geqslant 0. Покажем, что для них выполнено неравенство (13). Существует нестрого убывающая последовательность неотрицательных рациональных чисел (c_k)_{k=1}^{\infty} такая, что c_k \downarrow c_0 при k \to \infty. Заметим, что для каждого такого c_k справедливо неравенство (13), т.е.
\begin{equation*}
\int_{\mathbf{R}^2} \!u \cdot \mathbf{1}_{\{v \leqslant c_k \}} \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr) {\leqslant} \int_{\mathbf{R}^2} [v \wedge c_k] \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} d u \\ d v \end{bmatrix} \biggr).
\end{equation*}
\notag
Отсюда в силу теоремы Беппо Леви о монотонной сходимости получаем требуемое неравенство (13) для указанной выше константы c_0.
Таким образом, мы установили, что для \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}-п.в. точек \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2 имеет место включение
\begin{equation}
\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \, {\cdot}\, \biggr) \in \mathbb{W}.
\end{equation}
\tag{14}
Значит, в соответствии с леммой 1 и замечанием 2 (см. раздел 4) на некотором стохастическом базисе можно построить обобщенный интегрируемый возрастающий процесс (X_t)_{t \in [1, 2]} с обобщенным компенсатором (A_t)_{t \in [1, 2]} такой, что \operatorname{Law}\left( \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} X_2-X_1 \\ A_2-A_1 \end{smallmatrix}\right] \right)= \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} и, стало быть, \operatorname{Law}\left( \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} X_2 \\ A_2 \end{smallmatrix}\right] \right)=\lambda. Последнее равенство означает, что мера \lambda принадлежит классу \Lambda. Теорема доказана. Доказательство теоремы 2. Выпуклость множества \Lambda очевидным образом вытекает из теоремы 1. Для доказательства замкнутости множества \Lambda рассмотрим произвольную последовательность мер (\lambda_n)_{n=1}^{\infty}, принадлежащих множеству \Lambda, сходящуюся к мере \lambda \in \mathcal{M}_1^{\overline{\psi}}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2) в \overline{\psi}-слабой топологии. Покажем, что в этом случае мера \lambda принадлежит множеству \Lambda. В соответствии с теоремой 1 для этого достаточно проверить, что мера \lambda удовлетворяет условиям (1)–(3). Условие (1) выполнено, так как \lambda \in \mathcal{M}_1^{\overline{\psi}}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2). Установим (2) и (3). Рассмотрим множества \mathfrak{X} := \{x \in \mathbf{R} \colon \lambda(\{x\} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}^2)>0 \} и \mathfrak{Y} := \{y \in \mathbf{R} \colon \lambda(\mathbf{R} \times \{y\} \times \mathbf{R}^2)>0 \}. Поскольку каждое из множеств \mathfrak{X} и \mathfrak{Y} не более чем счетно, оба множества \mathbf{R} \setminus \mathfrak{X} и \mathbf{R} \setminus \mathfrak{Y} являются всюду плотными подмножествами числовой прямой, а значит, множество (\mathbf{R} \setminus \mathfrak{X}) \times (\mathbf{R} \setminus \mathfrak{Y}) всюду плотно в \mathbf{R}^2.
Сначала мы покажем, что условия (2) и (3) выполнены в случае, когда множество B является прямоугольником: B=[\alpha, \beta] \times [\gamma, \delta], где \alpha, \beta \notin \mathfrak{X} и \gamma, \delta \notin \mathfrak{Y}. Для краткости обозначим через \mathcal{P} совокупность всех таких прямоугольников. Заметим, что если B=[\alpha, \beta] \times [\gamma, \delta] \in \mathcal{P}, то где \partial B — граница прямоугольника B. Это вытекает из очевидного включения
\begin{equation*}
(\partial B) \times \mathbf{R}^2 \subseteq (\{\alpha\} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}^2) \sqcup (\{\beta\} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}^2) \sqcup (\mathbf{R} \times \{\gamma\} \times \mathbf{R}^2) \sqcup (\mathbf{R} \times \{\delta\} \times \mathbf{R}^2),
\end{equation*}
\notag
того, что \alpha, \beta \notin \mathfrak{X} и \gamma, \delta \notin \mathfrak{Y}, а также определения множеств \mathfrak{X} и \mathfrak{Y}. В частности, если B=[\alpha, \beta] \times [\gamma, \delta] \in \mathcal{P} и при этом \alpha=\beta или \gamma=\delta, то \partial B=B, и, следовательно, \lambda(B \times \mathbf{R}^2)=0. Стало быть, в этом случае условия (2) и (3) выполнены автоматически.
Покажем, что для любого прямоугольника B=[\alpha, \beta] \times [\gamma, \delta] \in \mathcal{P}, где \alpha<\beta и \gamma<\delta, выполнено условие (2). Имеем
\begin{equation*}
\mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}}=\mathbf{1}_{[\alpha, \beta]}(x_1) \cdot \mathbf{1}_{[\gamma, \delta]}(y_1).
\end{equation*}
\notag
Для заданного параметра 0<\varepsilon<\overline{\varepsilon} := ((\beta-\alpha) \wedge (\delta- \gamma))/2 определим непрерывные ограниченные функции
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_L^{\varepsilon}(x_1) &:= \frac{x_1-\alpha}{\varepsilon}\, \mathbf{1}_{[\alpha, \alpha+ \varepsilon)}(x_1)+\mathbf{1}_{[\alpha+\varepsilon, \beta-\varepsilon)}(x_1)+ \frac{\beta-x_1}{\varepsilon}\, \mathbf{1}_{[\beta-\varepsilon, \beta)}(x_1), \\ g_U^{\varepsilon}(x_1) &:= \frac{x_1-(\alpha-\varepsilon)}{\varepsilon}\, \mathbf{1}_{[\alpha- \varepsilon, \alpha)}(x_1)+\mathbf{1}_{[\alpha, \beta)}(x_1)+\frac{(\beta+ \varepsilon)-x_1}{\varepsilon} \, \mathbf{1}_{[\beta, \beta+\varepsilon)}(x_1), \\ h_L^{\varepsilon}(y_1) &:= \frac{y_1-\gamma}{\varepsilon}\, \mathbf{1}_{[\gamma, \gamma+ \varepsilon)}(y_1)+\mathbf{1}_{[\gamma+\varepsilon, \delta-\varepsilon)}(y_1)+ \frac{\delta-y_1}{\varepsilon}\, \mathbf{1}_{[\delta-\varepsilon, \delta)}(y_1), \\ h_U^{\varepsilon}(y_1) &:= \frac{y_1-(\gamma-\varepsilon)}{\varepsilon}\, \mathbf{1}_{[c- \varepsilon, \gamma)}(y_1)+\mathbf{1}_{[\gamma, \delta)}(y_1)+\frac{(\delta+ \varepsilon)-y_1}{\varepsilon} \, \mathbf{1}_{[\delta, \delta+\varepsilon)}(y_1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Легко видеть, что функции g_L^{\varepsilon}, g_U^{\varepsilon}, h_L^{\varepsilon} и h_U^{\varepsilon} обладают следующими свойствами:
\bullet g_L^{\varepsilon}(x_1) \leqslant \mathbf{1}_{[\alpha, \beta]}(x_1) \leqslant g_U^{\varepsilon}(x_1) для любых 0<\varepsilon<\overline{\varepsilon} и x_1 \in \mathbf{R}; \bullet h_L^{\varepsilon}(y_1) \leqslant \mathbf{1}_{[\gamma, \delta]}(y_1) \leqslant h_U^{\varepsilon}(y_1) для любых 0<\varepsilon<\overline{\varepsilon} и y_1 \in \mathbf{R}; \bullet g_L^{\varepsilon}(x_1) \uparrow \mathbf{1}_{[\alpha, \beta]}(x_1) при \varepsilon \downarrow 0 для всех x_1 \in \mathbf{R} \setminus \{\alpha, \beta\}; \bullet h_L^{\varepsilon}(y_1) \uparrow \mathbf{1}_{[\gamma, \delta]}(y_1) при \varepsilon \downarrow 0 для всех y_1 \in \mathbf{R} \setminus \{\gamma, \delta\}; \bullet g_U^{\varepsilon}(x_1) \downarrow \mathbf{1}_{[\alpha, \beta]}(x_1) при \varepsilon \downarrow 0 для всех x_1 \in \mathbf{R}; \bullet h_U^{\varepsilon}(y_1) \downarrow \mathbf{1}_{[\gamma, \delta]}(y_1) при \varepsilon \downarrow 0 для всех y_1 \in \mathbf{R}. Из этих свойств и условия (15) вытекает, что
\begin{equation}
g_L^{\varepsilon}(x_1) h_L^{\varepsilon}(y_1) \leqslant \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \leqslant g_U^{\varepsilon}(x_1) h_U^{\varepsilon}(y_1)\quad \forall \, 0<\varepsilon<\overline{\varepsilon}, \ \ \forall \, x_1, y_1 \in \mathbf{R},
\end{equation}
\tag{16}
\begin{equation}
g_L^{\varepsilon}(x_1) h_L^{\varepsilon}(y_1) \uparrow \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}}\quad \text{при }\ \varepsilon \downarrow 0\quad (\lambda\text{-п.в.}),
\end{equation}
\tag{17}
\begin{equation}
g_U^{\varepsilon}(x_1) h_U^{\varepsilon}(y_1) \downarrow \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \quad \text{при }\ \varepsilon \downarrow 0\quad (\lambda\text{-п.в.}).
\end{equation}
\tag{18}
Далее, из определения множества \Lambda и того, что \lambda_n \in \Lambda, вытекает, что \lambda_n(\{x_1 \leqslant x_2\})=1 и \lambda_n(\{y_1 \leqslant y_2\})=1. Отсюда, а также из неравенства (16) и того, что меры \lambda_n удовлетворяют условию (2), получаем, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot g_L^{\varepsilon}(x_1) h_L^{\varepsilon}(y_1) \, d \lambda_n \nonumber \\ &\quad\leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d \lambda_n \stackrel{(2)}{=} \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (y_2-y_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d \lambda_n \nonumber \\ &\quad\leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (y_2-y_1) \cdot g_U^{\varepsilon}(x_1) h_U^{\varepsilon}(y_1) \, d \lambda_n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
Поскольку функции (x_2-x_1) \cdot g_L^{\varepsilon}(x_1) h_L^{\varepsilon}(y_1) и (y_2-y_1) \cdot g_U^{\varepsilon}(x_1) h_U^{\varepsilon}(y_1) принадлежат множеству непрерывных тестовых функций C_{\overline{\psi}}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2), переходя к пределу при n \to \infty в неравенстве (19), имеем
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot g_L^{\varepsilon}(x_1) \cdot h_L^{\varepsilon}(y_1) \, d \lambda \leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (y_2-y_1) \cdot g_U^{\varepsilon}(x_1) \cdot h_U^{\varepsilon}(y_1) \, d \lambda.
\end{equation}
\tag{20}
В свою очередь, учитывая условия (17) и (18) и переходя к пределу при \varepsilon \downarrow 0 в неравенстве (20), по теореме Лебега о мажорируемой сходимости получаем
\begin{equation*}
\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d \lambda \leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (y_2-y_1) \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d \lambda.
\end{equation*}
\notag
Аналогично доказывается обратное неравенство. Таким образом, мы приходим к равенству (2), которое требовалось установить.
Теперь покажем, что для любой константы c \geqslant 0 и любого прямоугольника B=[\alpha, \beta] \times [\gamma, \delta] \in \mathcal{P}, где \alpha<\beta и \gamma<\delta, выполнено условие (3). Сначала вместо неравенства (3) докажем неравенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot \mathbf{1}_{\{y_2-y_1<c \}} \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d\lambda \nonumber \\ &\qquad \leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} [(y_2-y_1) \wedge c] \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d\lambda, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
которое отличается от неравенства (3) тем, что в левой части неравенства (21) под знаком интеграла стоит индикатор \mathbf{1}_{\{y_2-y_1<c \}} со строгим знаком неравенства. Для этого рассмотрим непрерывные ограниченные функции f_L^{\varepsilon}(y_1, y_2) такие, что для любого \varepsilon>0 и любых y_1, y_2 \in \mathbf{R} выполнено неравенство
\begin{equation}
0 \leqslant f_L^{\varepsilon}(y_1, y_2) \leqslant \mathbf{1}_{\{y_2-y_1<c \}}
\end{equation}
\tag{22}
и для всех y_1, y_2 \in \mathbf{R} имеет место сходимость
\begin{equation}
f_L^{\varepsilon}(y_1, y_2) \uparrow \mathbf{1}_{\{y_2-y_1<c \}}\quad \text{при }\ \varepsilon \downarrow 0.
\end{equation}
\tag{23}
Из того, что \lambda_n(\{x_1 \leqslant x_2\})=1 и \lambda_n(\{y_1 \leqslant y_2\})=1, того, что меры \lambda_n удовлетворяют условию (3), а также из неравенств (16) и (22) получаем, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot f_L^{\varepsilon}(y_1, y_2) \cdot g_L^{\varepsilon}(x_1) h_L^{\varepsilon}(y_1) \, d \lambda_n \nonumber \\ &\qquad\leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot \mathbf{1}_{\{y_2-y_1<c \}} \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d \lambda_n \nonumber \\ &\qquad\!\stackrel{(3)}{\leqslant} \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} [(y_2-y_1) \wedge c] \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d \lambda_n \nonumber \\ &\qquad\leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} [(y_2-y_1) \wedge c] \cdot g_U^{\varepsilon}(x_1) h_U^{\varepsilon}(y_1) \, d \lambda_n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
Функции (x_2-x_1) \cdot f_L^{\varepsilon}(y_1, y_2) \cdot g_L^{\varepsilon}(x_1) h_L^{\varepsilon}(y_1) и [(y_2-y_1) \wedge c] \cdot g_U^{\varepsilon}(x_1) h_U^{\varepsilon}(y_1) принадлежат множеству непрерывных тестовых функций C_{\overline{\psi}}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2), поэтому, переходя к пределу при n \to \infty в неравенстве (24), имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot f_L^{\varepsilon}(y_1, y_2) \cdot g_L^{\varepsilon}(x_1) \cdot h_L^{\varepsilon}(y_1) \, d \lambda \nonumber \\ &\qquad \leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} [(y_2-y_1) \wedge c] \cdot g_U^{\varepsilon}(x_1) \cdot h_U^{\varepsilon}(y_1) \, d \lambda. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
В свою очередь, учитывая (17), (18), (23) и переходя к пределу при \varepsilon \downarrow 0 в неравенстве (25), по теореме Лебега о мажорируемой сходимости получаем неравенство (21), из которого следует, что для любого натурального числа m имеет место оценка
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} (x_2-x_1) \cdot \mathbf{1}_{\{y_2-y_1<c+1/m \}} \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d\lambda \nonumber \\ &\qquad \leqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \biggl[(y_2-y_1) \wedge \biggl(c+\frac1{m}\biggr) \biggr] \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \, d\lambda. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
Наконец, переходя к пределу при m \to \infty в неравенстве (26), по теореме Лебега о мажорируемой сходимости получаем искомое неравенство (3).
Итак, мы доказали, что для любого прямоугольника B=[\alpha, \beta] \times [\gamma, \delta] \in \mathcal{P} выполнены условия (2) и (3). Отсюда, а также из формулы (15) следует, что условия (2) и (3) будут выполнены для любого прямоугольника вида \Pi := [\alpha, \beta) \times [\gamma, \delta), где \alpha, \beta \notin \mathfrak{X} и \gamma, \delta \notin \mathfrak{Y}. Покажем теперь, что условия (2) и (3) справедливы в случае, когда множество B является ограниченным борелевским подмножеством в \mathbf{R}^2. Доказательство проведем для условия (3), поскольку для условия (2) оно такое же. По нашему предположению множество B является ограниченным. Стало быть, найдется достаточно большой прямоугольник \Pi := [\alpha, \beta) \times [\gamma, \delta), где \alpha, \beta \notin \mathfrak{X} и \gamma, \delta \notin \mathfrak{Y}, который содержит множество B. Рассмотрим полукольцо прямоугольников
\begin{equation*}
\mathcal{S} := \{[\alpha', \beta') \times [\gamma', \delta') \subseteq \Pi \colon \alpha', \beta' \notin \mathfrak{X} \text{ и } \gamma', \delta' \notin \mathfrak{Y} \} \cup \{\varnothing\},
\end{equation*}
\notag
единицей которого является множество \Pi. Обозначим через \mathcal{A} минимальную алгебру, порожденную полукольцом \mathcal{S}. Как известно, всякое множество B из \mathcal{A} имеет вид B=\bigsqcup_{k=1}^{n} ([\alpha'_k, \beta'_k) \times [\gamma'_k, \delta'_k)), где все \alpha'_k, \beta'_k \notin \mathfrak{X} и \gamma'_k, \delta'_k \notin \mathfrak{Y}. Следовательно, условие (3) выполнено для любого множества B \in \mathcal{A}.
Перенесем интеграл из левой части доказываемого неравенства (3) в правую часть и рассмотрим \sigma-аддитивную функцию множеств
\begin{equation*}
\Phi(B) :=\int_{B \times \mathbf{R}^2} \Bigl[(y_2-y_1) \wedge c-(x_2-x_1) \cdot \mathbf{1}_{\{y_2-y_1 \leqslant c \}} \cdot \mathbf{1}_{\left\{ \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in B\right\}} \Bigr] \, d\lambda,
\end{equation*}
\notag
где B \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2). В силу доказанного выше функция \Phi является неотрицательной \sigma-аддитивной мерой на алгебре \mathcal{A}. Тогда по пункту (iii) теоремы 2.4.6 из [6] мера \Phi допускает единственное продолжение с алгебры \mathcal{A} на \sigma-алгебру \sigma(\mathcal{A}). При этом из замечания, которое следует за примером 2.4.7 в [6], вытекает, что мера \Phi не может иметь знакопеременных \sigma-аддитивных продолжений с \mathcal{A} на \sigma(\mathcal{A}). Значит, функция \Phi неотрицательна на \sigma(\mathcal{A})=\mathcal{B}(\Pi), где через \mathcal{B}(\Pi) обозначена \sigma-алгебра борелевских подмножеств прямоугольника \Pi. Это доказывает справедливость условия (3) в случае, когда множество B является ограниченным борелевским подмножеством в \mathbf{R}^2. Отсюда, а также из теоремы Беппо Леви о монотонной сходимости вытекает условие (3) в случае, когда борелевское множество B не является ограниченным. Теорема доказана. При доказательстве теоремы 3 нам потребуется следующая вспомогательная конструкция. Определение 2. Каждой функции f из C_{\psi}(\mathbf{R}^2) поставим в соответствие функцию \widetilde{f} \colon \mathbf{R} \to \mathbf{R} \cup\{- \infty\} по формуле
\begin{equation}
\widetilde{f}(x, y) := \inf_{X \in \mathscr{A}^{+}} \mathbf{E}[f(x+X_{\infty}, y+A_{\infty})],
\end{equation}
\tag{27}
где A=(A_t)_{t \in \mathbf{R}_+} — компенсатор интегрируемого возрастающего процесса X= (X_t)_{t \in \mathbf{R}_+}, а через \mathscr{A}^{+} обозначен класс всех интегрируемых возрастающих процессов. Доказательство теоремы 3. Утверждения (a) и (b) эквивалентны, так как являются простыми переформулироваками друг друга.
Докажем импликацию (c) \Rightarrow (b). Пусть меры \mu_1 и \mu_2 удовлетворяют условию (c). Покажем, что существует мера \lambda \in \Lambda, для которой выполнено свойство (b). Напомним, что в соответствии с теоремой 2 множество \Lambda является выпуклым и замкнутым в \overline{\psi}-слабой топологии пространства \mathcal{M}_1^{\overline{\psi}}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2). Тогда в силу теоремы Штрассена (см. [3; теорема 2.88]) для доказательства условия (b) достаточно показать, что для любых непрерывных тестовых функций f, g \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2) выполнено неравенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{R}^2} f(x, y) \, d\mu_1+\int_{\mathbf{R}^2} g(x, y) \, d\mu_2 \nonumber \\ &\qquad\geqslant \inf_{\lambda \in \Lambda} \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \bigl(f(x_1, y_1)+g(x_2, y_2)\bigr) \, \lambda \biggl( \begin{bmatrix} dx_1 \\ dy_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d x_2 \\ d y_2 \end{bmatrix} \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
По функции g \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2) согласно формуле (27) построим функцию \widetilde{g}(x, y) := \inf_{X \in \mathscr{A}^{+}} \mathbf{E}[g(x+X_{\infty}, y+A_{\infty})]. Покажем, что если в некоторой точке (x', y') \in \mathbf{R}^2 функция \widetilde{g}(x', y') равна минус бесконечности, то правая часть доказываемого неравенства (28) также равна минус бесконечности, а значит, неравенство (28) автоматически выполнено. В самом деле, учитывая, что для любого X \in \mathscr{A}^+ мера \delta_{\left[\begin{smallmatrix} x' \\ y' \end{smallmatrix}\right]} \otimes \operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} x'+X_{\infty} \\ y'+A_{\infty} \end{smallmatrix}\right]} принадлежит классу \Lambda, получаем требуемое:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\inf_{\lambda \in \Lambda} \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \bigl(f(x_1, y_1)+g(x_2, y_2)\bigr) \, \lambda \biggl( \begin{bmatrix} dx_1 \\ dy_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d x_2 \\ d y_2 \end{bmatrix}\biggr) \\ &\ \ \leqslant \inf_{X \in \mathscr{A}^+} \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \bigl(f(x_1, y_1)+ g(x_2, y_2)\bigr) \, \delta_{\left[\begin{smallmatrix} x' \\ y' \end{smallmatrix}\right]} \otimes \operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} x'+X_{\infty} \\ y'+A_{\infty} \end{smallmatrix}\right]} \biggl( \begin{bmatrix} dx_1 \\ dy_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d x_2 \\ d y_2 \end{bmatrix} \biggr) \\ &\ \ = \inf_{X \in \mathscr{A}^+}\{ f(x', y')+\mathbf{E}[g(x'+X_{\infty}, y'+ A_{\infty})] \} \\ &\ \ = f(x', y')+\inf_{X \in \mathscr{A}^+} \mathbf{E}[g(x'+X_{\infty}, y'+ A_{\infty})]= f(x', y')+ \widetilde{g}(x', y')=-\infty \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
(последнее равенство имеет место, поскольку значение f(x', y') конечно, а \widetilde{g}(x', y')= -\infty). Стало быть, можно считать, что функция \widetilde{g} конечна всюду на \mathbf{R}^2. Следовательно, по лемме 2(ii) (см. раздел 4) функция \widetilde{g} принадлежит классу тестовых функций \mathcal{K}. Тогда, учитывая, что меры \mu_1 и \mu_2 удовлетворяют условию (c), имеем
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}^2} \widetilde{g}(x, y) \, d\mu_2 \geqslant \int_{\mathbf{R}^2} \widetilde{g}(x, y) \, d\mu_1.
\end{equation}
\tag{29}
Теперь перейдем непосредственно к обоснованию неравенства (28). Из очевидной оценки g \geqslant \widetilde{g} и неравенства (29) получаем, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int f \, d\mu_1+\int g \, d\mu_2 &\geqslant \int f \, d\mu_1+\int \widetilde{g} \, d\mu_2 \geqslant \int f \, d\mu_1+\int \widetilde{g} \, d\mu_1 \nonumber \\ &=\int (f+\widetilde{g}) \, d\mu_1 \geqslant \inf(f+ \widetilde{g}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
Выделим два случая: 1) \inf(f+\widetilde{g}) конечен; 2) \inf(f+\widetilde{g})= -\infty. Случай 1): величина \inf(f+\widetilde{g}) конечна. Зафиксируем произвольное \varepsilon>0. Найдется точка (x', y') \in \mathbf{R}^2 такая, что \inf(f+\widetilde{g}) \geqslant f(x', y')+\widetilde{g}(x', y')-\varepsilon. Отсюда и из неравенства (30) вытекает, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int f \, d\mu_1+\int g \, d\mu_2 &\geqslant f(x', y')+\widetilde{g}(x', y')-\varepsilon \nonumber \\ &=f(x', y')+\inf_{X \in \mathscr{A}^+} \mathbf{E}[g(x'+X_{\infty}, y'+A_{\infty})]- \varepsilon. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
Далее, найдется такой X'' \in \mathscr{A}^+, что
\begin{equation*}
\inf_{X \in \mathscr{A}^+} \mathbf{E}[g(x'+X_{\infty}, y'+A_{\infty})] \geqslant \mathbf{E}[g(x'+X_{\infty}'', y'+A_{\infty}'')]-\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
Продолжим неравенство (31) с учетом этой формулы. Имеем
\begin{equation}
\int f \, d\mu_1+\int g \, d\mu_2 \geqslant f(x', y')+\mathbf{E}[g(x'+X_{\infty}'', y'+ A_{\infty}'')] -2 \varepsilon.
\end{equation}
\tag{32}
Определим меру \lambda''' := \delta_{\left[\begin{smallmatrix} x' \\ y' \end{smallmatrix}\right]} \otimes \operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} x'+X_{\infty}'' \\ y'+A_{\infty}'' \end{smallmatrix}\right]}. Тогда неравенство (32) можно переписать в виде
\begin{equation}
\int f \, d\mu_1+\int g \, d\mu_2 \geqslant \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \bigl(f(x_1, y_1)+ g(x_2, y_2)\bigr) \, \lambda''' \biggl( \begin{bmatrix} dx_1 \\ dy_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d x_2 \\ d y_2 \end{bmatrix} \biggr)-2 \varepsilon.
\end{equation}
\tag{33}
Из неравенства (33), а также из произвольности \varepsilon>0 и того, что мера \lambda''' принадлежит множеству \Lambda, получаем требуемое неравенство (28).
Случай 2): \inf(f+\widetilde{g})=- \infty. В этом случае существует последовательность точек \{(x_n', y_n')\}_{n=1}^{\infty} \subseteq \mathbf{R}^2 такая, что
\begin{equation}
f(x_n', y_n')+\widetilde{g}(x_n', y_n') \to-\infty \quad\text{при }\ n \to \infty.
\end{equation}
\tag{34}
Заметим, что для каждой точки (x_n', y_n') и любого процесса X \in \mathscr{A}^+ вероятностная мера \delta_{\left[\begin{smallmatrix} x_n' \\ y_n' \end{smallmatrix}\right]} \otimes \operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} x_n'+X_{\infty} \\ y_n'+A_{\infty} \end{smallmatrix}\right]} принадлежит классу \Lambda. С учетом этого замечания имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f(x_n', y_n')+\widetilde{g}(x_n', y_n')=f(x_n', y_n')+\inf_{X \in \mathscr{A}^+}\mathbf{E}[g(x_n'+X_{\infty}, y_n'+A_{\infty})] \\ &\ = \inf_{X \in \mathscr{A}^+} \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \bigl( f(x_1, y_1)+g(x_2, y_2) \bigr) \, \delta_{\left[\begin{smallmatrix} x_n' \\ y_n' \end{smallmatrix}\right]} \otimes \operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} x_n'+X_{\infty} \\ y_n'+A_{\infty} \end{smallmatrix}\right]} \biggl( \begin{bmatrix} dx_1 \\ dy_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d x_2 \\ d y_2 \end{bmatrix} \biggr) \\ &\ \geqslant \inf_{\lambda \in \Lambda} \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \bigl(f(x_1, y_1)+ g(x_2, y_2)\bigr) \, \lambda \biggl( \begin{bmatrix} dx_1 \\ dy_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d x_2 \\ d y_2 \end{bmatrix} \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Переходя к пределу в данном неравенстве при n \to \infty и учитывая (34), получаем, что
\begin{equation*}
\inf_{\lambda \in \Lambda} \int_{\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2} \bigl(f(x_1, y_1)+g(x_2, y_2)\bigr) \, \lambda \biggl( \begin{bmatrix} dx_1 \\ dy_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} d x_2 \\ d y_2 \end{bmatrix} \biggr)=- \infty,
\end{equation*}
\notag
т.е. правая часть требуемого неравенства (28) обращается в минус бесконечность, а значит, неравенство (28) автоматически выполнено. Таким образом, импликация (c) \Rightarrow (b) полностью доказана.
Перейдем к доказательству импликации (a) \Rightarrow (c). Если выполнено условие (a), то на некотором стохастическом базисе найдется такой обобщенный интегрируемый возрастающий процесс X=(X_t)_{t \in [1, 2]} с обобщенным компенсатором A= (A_t)_{t \in [1, 2]}, что \operatorname{Law} \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]=\mu_1 и \operatorname{Law} \left[\begin{smallmatrix} X_2 \\ A_2 \end{smallmatrix}\right]=\mu_2. Пусть функция \varphi \in \mathcal{K}. Это означает, что для любых x, y \in \mathbf{R} и любой вероятностной меры \mu \in \mathbb{W} выполнено неравенство (5). Определим марковское ядро
\begin{equation*}
\operatorname{Q}\biggl(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}; B\biggr) := \mathbf{P}\biggl(\begin{bmatrix} X_2-X_1 \\ A_2-A_1 \end{bmatrix} \in B \biggm| \begin{bmatrix} X_1 \\ A_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \biggr),
\end{equation*}
\notag
где \left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix} \right] \in \mathbf{R}^2, B \in \mathcal{B}(\mathbf{R}_+^2). В силу леммы 6 и замечания 5 (см. раздел 4) для любого \left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2 мера \operatorname{Q}\left(\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right]; \,{\cdot} \, \right) принадлежит классу \mathbb{W}. Отсюда и из неравенства (5) вытекает, что
\begin{equation}
\varphi(x, y) \leqslant \int_{\mathbf{R}_+^2} \varphi(x+u, y+v) \, \operatorname{Q}\biggl(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}; \begin{bmatrix} du \\ dv \end{bmatrix} \biggr).
\end{equation}
\tag{35}
Интегрируя неравенство (35) по мере \operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]} и учитывая, что
\begin{equation*}
\operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]}= \operatorname{Law} \begin{bmatrix} X_1 \\ A_1 \end{bmatrix}=\mu_1 \quad \text{и}\quad \operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} X_2 \\ A_2 \end{smallmatrix}\right]}= \operatorname{Law} \begin{bmatrix} X_2 \\ A_2 \end{bmatrix}=\mu_2,
\end{equation*}
\notag
получаем требуемое утверждение (c). Теорема доказана. Замечание 1. Следует отметить, что поскольку оба процесса (X_t)_{t \in [1, 2]} и (A_t)_{t \in [1, 2]} имеют нестрого возрастающие траектории, в силу теоремы 2.95 из [3], класс тестовых функций \mathcal{K} должен содержать все ограниченные борелевские функции f \colon \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R} такие, что f(x_1, y_1) \leqslant f(x_2, y_2), если x_1 \leqslant x_2 и y_1 \leqslant y_2. Более того, учитывая, что X_t-A_t, t \in [1, 2], является мартингалом, согласно следствию 2.94 из [3] класс \mathcal{K} содержит все функции g \colon \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R} вида g(x, y)= h(x-y), где h \colon \mathbf{R} \to \mathbf{R} — выпуклая функция. Таким образом, мы приходим к тому, что класс \mathcal{K} содержит конус \mathcal{C}, порожденный всеми указанными выше функциями f и g. При этом существует функция \varphi (см. пример в разделе 6), которая принадлежит классу \mathcal{K}, но не принадлежит конусу \mathcal{C}. Значит, класс тестовых функций \mathcal{K} шире, чем конус \mathcal{C}. Это замечание поясняет нетривиальность решаемой в статье задачи. 4. Вспомогательные утвержденияЛемма 1. Пусть вероятностная мера \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} на (\mathbf{R}^2, \mathcal{B}(\mathbf{R}^2)) удовлетворяет условию
\begin{equation*}
\int_{\mathbf{R}^2} (|x_1|+|y_1|) \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix} \biggr)<\infty,
\end{equation*}
\notag
а марковское ядро \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \bigl( \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right]; C \bigr), \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2, C \in \mathcal{B}(\mathbf{R}_{+}^2), при каждом фиксированном значении вектора \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2 принадлежит классу \mathbb{W}. Тогда на некотором стохастическом базисе можно определить обобщенный интегрируемый возрастающий процесс (X_t)_{t \in [1, 2]} с обобщенным компенсатором (A_t)_{t \in [1, 2]} такой, что (i) \operatorname{Law}\Bigl( \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right] \Bigr)=\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}, (ii) \operatorname{Law}\Bigl( \left[\begin{smallmatrix} X_2-X_1 \\ A_2-A_1 \end{smallmatrix}\right] \Bigm| \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]\!{=}\left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \Bigr){=}\,\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \bigl( \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right]; \, {\cdot} \, \bigr) для всех \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] {\in}\, \mathbf{R}^2, (iii) \operatorname{Law}\left( \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} X_2-X_1 \\ A_2-A_1 \end{smallmatrix}\right] \right)=\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}, где мера \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} определяется следующим образом:
\begin{equation*}
\lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}(B \times C)=\int_{B} \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}\biggl(\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}; \,{C} \biggr) \, \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \biggl( \begin{bmatrix} d x_1 \\ d y_1 \end{bmatrix} \biggr)
\end{equation*}
\notag
для B \times C \in \mathcal{B}(\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2). Доказательство. Доказательство данной леммы практически дословно повторяет доказательство леммы 3.1 из [7]. Требуются лишь следующие незначительные модификации. Точкам t=n и t=n+1 из [7; лемма 3.1] соответствуют точки t=1 и t=2. В доказательстве леммы 3.1 из [7] пространство (\Omega^{[n]}, \mathcal{F}^{[n]}, \mathbf{P}^{[n]}) надо заменить на (\mathbf{R}^2, \mathcal{B}(\mathbf{R}^2), \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}). Вместо вектора \left[\begin{smallmatrix} X^{[n]}_n \\ A^{[n]}_n \end{smallmatrix}\right] берем произвольный случайный вектор \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right], имеющий распределение \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}. В доказательстве леммы 3.1 из [7] пространство (\Omega^{\mathfrak{a}}, \mathcal{F}^{\mathfrak{a}}) надо заменить на (\mathbf{R}^2, \mathcal{B}(\mathbf{R}^2)), а вместо марковского ядра \operatorname{Q} надо взять марковское ядро \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}. Лемма доказана. Замечание 2. Мера Дирака \delta_{\left[\begin{smallmatrix}0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]}, сосредоточенная в точке \left[\begin{smallmatrix}0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], принадлежит классу мер \mathbb{W}. Тогда, не ограничивая общности, можно считать, что условие (14) выполнено не для \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,}-п.в. точек \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2, а для всех точек \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2. В противном случае для тех точек \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2, для которых нарушено условие (14), марковское ядро \lambda_{\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1} \,\, | \, \bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle2}\,-\bigcirc\kern-4.7pt{\scriptscriptstyle1}\,} \bigl( \left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ y_1 \end{smallmatrix}\right]; \, {\cdot} \, \bigr) надо переопределить, заменив его на меру Дирака \delta_{\left[\begin{smallmatrix}0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]}. Лемма 2. Пусть f \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2) и функция \widetilde{f} определена формулой (27). Тогда справедливы следующие утверждения: (i) функция \widetilde{f} является полунепрерывной сверху; (ii) если при этом функция \widetilde{f} конечна всюду на \mathbf{R}^2, то она принадлежит классу тестовых функций \mathcal{K}. Доказательство. (i) Отметим сначала, что в формуле (27) для любых заданных величин X_{\infty} и A_{\infty} функция (x, y) \mapsto \widehat{f}_{X_{\infty}, A_{\infty}}(x, y) := \mathbf{E}[f(x+ X_{\infty}, y+A_{\infty})], стоящая под знаком точной нижней грани, является непрерывной по x, y \in \mathbf{R}. Этот факт несложно устанавливается с помощью теоремы Лебега о мажорируемой сходимости и того, что f \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2). Тогда, учитывая, что непрерывные (по x и y) функции \widehat{f}_{X_{\infty}, A_{\infty}}(x, y) являются полунепрерывными сверху (по x и y), приходим к тому, что их поточечный инфимум \widetilde{f}(x, y)=\inf_{X \in \mathscr{A}^{+}} \widehat{f}_{X_{\infty}, A_{\infty}}(x, y) является полунепрерывной сверху функцией (см., например, [8; лемма 2.41]).
(ii) Полунепрерывность сверху функции \widetilde{f} установлена в пункте (i). Условие 1) из определения класса \mathcal{K} (см. определение 1) для функции \widetilde{f} вытекает из очевидной оценки \widetilde{f} \leqslant f и того, что f \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2). Условие 2) из определения класса \mathcal{K} для функции \widetilde{f} вытекает из лемм 3 и 5(i) ниже. Лемма доказана. В множестве мер \mathbb{W} выделим подмножество простых мер \mathbb{W}_{\mathrm{simp}}. Будем говорить, что \mu принадлежит \mathbb{W}_{\mathrm{simp}}, если \mu \in \mathbb{W}, мера \mu имеет вид \mu(dx, dy)=\sum_{j \in J} p_j \cdot \delta_{\left[\begin{smallmatrix} x_j \\ a_j \end{smallmatrix}\right]}(dx, dy), а множество J конечно, где p_j \geqslant 0, \sum_{j \in J}p_j =1, а \delta_{\left[\begin{smallmatrix} x_j \\ a_j \end{smallmatrix}\right]}(dx, dy) — мера Дирака, сосредоточенная в точке \left[\begin{smallmatrix} x_j \\ a_j \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2. Лемма 3. Пусть f \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2) и определенная формулой (27) функция \widetilde{f} конечна всюду на \mathbf{R}^2. Тогда для любых x, y \in \mathbf{R} и любой вероятностной меры \mu \in \mathbb{W}_{\mathrm{simp}} выполнено неравенство Доказательство. По условию леммы \mu \,{\in}\, \mathbb{W}_{\mathrm{simp}} \,{\subseteq}\, \mathbb{W}. Следовательно, по теореме 2.1(ii) работы [2] на некотором стохастическом базисе (\Omega^{\circ}, \mathcal{F}^{\circ}, \mathbf{P}^{\circ}, (\mathcal{F}_t^{\circ})_{t \in [0, 1]}) найдется такой интегрируемый возрастающий процесс (X_t^{\circ})_{t \in [0, 1]} с компенсатором (A_t^{\circ})_{t \in [0, 1]}, что \operatorname{Law} \left[\begin{smallmatrix} X_1^{\circ} \\ A_1^{\circ} \end{smallmatrix}\right]{=}\,\mu. При этом в соответствии с доказательством теоремы 2.1(ii) из [2] компенсатор (A_t^{\circ})_{t \in [0, 1]} можно считать непрерывным.
Далее, учитывая, что \mu \in \mathbb{W}_{\mathrm{simp}}, заключаем, что случайный вектор \left[\begin{smallmatrix} X_1^{\circ} \\ A_1^{\circ} \end{smallmatrix}\right] принимает конечное множество значений \left[\begin{smallmatrix} x_j \\ a_j \end{smallmatrix}\right], j \in J, с вероятностями p_j соответственно. Следовательно, правая часть в формуле (36) может быть переписана в виде
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}_+^2} \widetilde{f}(x+u, y+v) \, \mu(du, dv)=\sum_{j \in J} \widetilde{f}(x+x_j, y+ a_j) \cdot p_j.
\end{equation}
\tag{37}
Из определения функции \widetilde{f} и определения точной нижней грани следует, что для каждого j \in J на некотором стохастическом базисе (\Omega^{[j]}, \mathcal{F}^{[j]}, \mathbf{P}^{[j]}, (\mathcal{F}_t^{[j]})_{t \in [1, \infty)}) найдется такой интегрируемый возрастающий процесс (X_t^{[j]})_{t \in [1, \infty)} c компенсатором (A_t^{[j]})_{t \in [1, \infty)}, что
\begin{equation}
\widetilde{f}(x+x_j, y+a_j) \geqslant \mathbf{E}^{[j]}\bigl[f\bigl(x+x_j+X_{\infty}^{[j]}, y+a_j+ A_{\infty}^{[j]}\bigr)\bigr]-\varepsilon.
\end{equation}
\tag{38}
При этом в соответствии с пунктами (i) и (ii) теоремы 2.1 из [2], а также доказательством пункта (ii) этой теоремы компенсатор (A_t^{[j]})_{t \in [1, \infty)} можно считать непрерывным.
Из соотношений (37) и (38) вытекает неравенство
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}_+^2} \widetilde{f}(x+u, y+v) \, \mu(du, dv) \geqslant \sum_{j \in J} \mathbf{E}^{[j]}\bigl[f\bigl(x+x_j+X_{\infty}^{[j]}, y+a_j+A_{\infty}^{[j]}\bigr)\bigr] \cdot p_j- \varepsilon.
\end{equation}
\tag{39}
По лемме 4 на некотором стохастическом базисе (\Omega^*, \mathcal{F}^*, \mathbf{P}^*, (\mathcal{F}_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+}) можно определить интегрируемый возрастающий процесс (X_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+} с непрерывным компенсатором (A_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+} такой, что для любых x, y \in \mathbf{R} выполнено равенство (40). Из неравенства (39), формулы (40) и определения точной нижней грани получаем оценку
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\mathbf{R}_+^2} \widetilde{f}(x+u, y+v) \, \mu(du, dv) \geqslant \mathbf{E}^*[f(x+ X_{\infty}^*, y+A_{\infty}^*)]-\varepsilon \\ &\qquad \geqslant \inf_{X \in \mathscr{A}^+}\mathbf{E}[f(x+ X_{\infty}, y+A_{\infty})]-\varepsilon=\widetilde{f}(x, y)-\varepsilon, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
из которой в силу произвольности \varepsilon>0 получаем требуемое неравенство (36). Лемма доказана. Лемма 4. Пусть на некотором стохастическом базисе (\Omega^{\circ}, \mathcal{F}^{\circ}, \mathbf{P}^{\circ}, (\mathcal{F}_t^{\circ})_{t \in [0, 1]}) задан интегрируемый возрастающий процесс (X_t^{\circ})_{t \in [0, 1]} с непрерывным компенсатором (A_t^{\circ})_{t \in [0, 1]}, причем случайный вектор \left[\begin{smallmatrix} X_1^{\circ} \\ A_1^{\circ} \end{smallmatrix}\right] принимает конечное множество значений \left[\begin{smallmatrix} x_j \\ a_j \end{smallmatrix}\right], j \in J, с вероятностями p_j соответственно. Пусть на каждом стохастическом базисе (\Omega^{[j]}, \mathcal{F}^{[j]}, \mathbf{P}^{[j]}, (\mathcal{F}_t^{[j]})_{t \in [1, \infty)}), j \in J, задан интегрируемый возрастающий процесс (X_t^{[j]})_{t \in [1, \infty)} с непрерывным компенсатором (A_t^{[j]})_{t \in [1, \infty)}. Тогда на некотором стохастическом базисе (\Omega^*, \mathcal{F}^*, \mathbf{P}^*, (\mathcal{F}_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+}) можно определить интегрируемый возрастающий процесс (X_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+} с непрерывным компенсатором (A_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+} такой, что для любой функции f \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2) и любых x, y \in \mathbf{R} выполнено равенство Доказательство. Разобьем множество \Omega^{\circ} на части
\begin{equation*}
\Omega^{\circ, [j]} := \biggl\{\omega \in \Omega^{\circ} \colon \begin{bmatrix} X_1^{\circ}(\omega) \\ A_1^{\circ}(\omega) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_j \\ a_j \end{bmatrix} \biggr\},\qquad j \in J.
\end{equation*}
\notag
Ясно, что \Omega^{\circ}=\bigsqcup_{j \in J} \Omega^{\circ, [j]} и при этом \mathbf{P}^{\circ}(\Omega^{\circ, [j]})=p_j, j \in J. Не ограничивая общности, можно считать, что \Omega^{[i]} \cap \Omega^{[j]}=\varnothing при i \neq j. В противном случае всегда можно рассмотреть дизъюнктные “изоморфные” копии множеств \Omega^{[i]} и \Omega^{[j]}.
Определим вспомогательный стохастический базис \mathbb{B}^{\oplus} := (\Omega^{\oplus}, \mathcal{F}^{\oplus}, \mathbf{P}^{\oplus}, (\mathcal{F}_t^{\oplus})_{t \in [1, \infty)}). Положим \bullet \Omega^{\oplus} := \bigsqcup_{j \in J} \Omega^{[j]}; \bullet \mathcal{F}^{\oplus} := \bigsqcup_{j \in J} \mathcal{F}^{[j]}=\bigl\{\bigsqcup_{j \in J} B^{[j]} \colon B^{[j]} \in \mathcal{F}^{[j]}, \, j \in J\bigr\}; \bullet \mathbf{P}^{\oplus}(B^{\oplus}) := \sum_{j \in J} \mathbf{P}^{[j]}(B^{[j]}) \cdot p_j, где B^{\oplus} := \bigsqcup_{j \in J} B^{[j]} \in \mathcal{F}^{\oplus}; \bullet \mathcal{F}_t^{\oplus} := \bigsqcup_{j \in J} \mathcal{F}_t^{[j]}=\bigl\{\bigsqcup_{j \in J} B^{[j]} \colon B^{[j]} \in \mathcal{F}_t^{[j]}, \, j \in J\bigr\}, t \in [1, \infty). Тот факт, что \mathbb{B}^{\oplus} является стохастическим базисом, проверяется непосредственно. На стохастическом базисе \mathbb{B}^{\oplus} определим следующие процессы: \bullet X^{\oplus}(\omega^{\oplus}) := X_t^{[j]}(\omega^{\oplus}) при \omega^{\oplus} \in \Omega^{[j]}, j \in J, t \in [1, \infty); \bullet A^{\oplus}(\omega^{\oplus}) := A_t^{[j]}(\omega^{\oplus}) при \omega^{\oplus} \in \Omega^{[j]}, j \in J, t \in [1, \infty); \bullet M_t^{\oplus}(\omega^{\oplus}) := X_t^{\oplus}(\omega^{\oplus})- A_t^{\oplus}(\omega^{\oplus}) при \omega^{\oplus} \in \Omega^{\oplus}, t \in [1, \infty). Несложно проверить, что процессы (X_t^{\oplus})_{t \in [1, \infty)} и (A_t^{\oplus})_{t \in [1, \infty)} являются (\mathcal{F}_t^{\oplus})-согласованными. Теперь определим искомое вероятностное пространство (\Omega^*, \mathcal{F}^*, \mathbf{P}^*). Положим \bullet \Omega^* := \Omega^{\circ} \times \Omega^{\oplus}; \bullet \mathcal{F}^* := \mathcal{F}^{\circ} \otimes \mathcal{F}^{\oplus}; \bullet \operatorname{Q}(\omega^{\circ}; B^{\oplus}) \,{:=} \sum_{j \in J} \mathbf{P}^{[j]}(B^{[j]}) \cdot \mathbf{1}_{\{\omega^{\circ} \in \Omega^{\circ, [j]}\}}, \omega^{\circ} {\in}\, \Omega^{\circ}, B^{\oplus} {:=} \bigsqcup_{j \in J} B^{[j]} {\in}\,\mathcal{F}^{\oplus}. Легко видеть, что \operatorname{Q} является марковским ядром из \Omega^{\circ} в \Omega^{\oplus}. Определим вероятностную меру
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbf{P}^*(B^{\circ} \times B^{\oplus}) := \int_{B^{\circ}} \operatorname{Q}(\omega^{\circ}; B^{\oplus}) \, \mathbf{P}^{\circ}(d \omega^{\circ}), \\ B^{\circ} \in \mathcal{F}^{\circ},\qquad B^{\oplus} := \bigsqcup_{j \in J} B^{[j]} \in \mathcal{F}^{\oplus}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
На вероятностном пространстве (\Omega^*, \mathcal{F}^*, \mathbf{P}^*) определим фильтрацию
\begin{equation*}
\mathcal{F}_t^* := \begin{cases} \mathcal{F}_t^{\circ} \otimes \{\varnothing, \Omega^{\oplus}\} &\text{при }t \in [0, 1], \\ \mathcal{F}_1^{\circ} \otimes \mathcal{F}_t^{\oplus} &\text{при }t \in (1, \infty), \end{cases}
\end{equation*}
\notag
а также процессы
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_t^*(\omega^{\circ}, \omega^{\oplus}) &:= \begin{cases} X_t^{\circ}(\omega^{\circ}) &\text{при }t \in [0, 1], \\ X_1^{\circ}(\omega^{\circ})+X_t^{\oplus}(\omega^{\oplus}) &\text{при }t \in (1, \infty), \end{cases} \\ A_t^*(\omega^{\circ}, \omega^{\oplus}) &:= \begin{cases} A_t^{\circ}(\omega^{\circ}) &\text{при }t \in [0, 1], \\ A_1^{\circ}(\omega^{\circ})+A_t^{\oplus}(\omega^{\oplus}) &\text{при }t \in (1, \infty), \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
и
\begin{equation*}
M_t^*(\omega^{\circ}, \omega^{\oplus}) := X_t^*(\omega^{\circ}, \omega^{\oplus})- A_t^*(\omega^{\circ}, \omega^{\oplus}), \qquad t \in \mathbf{R}_+,
\end{equation*}
\notag
где \omega^* := (\omega^{\circ}, \omega^{\oplus}) \in \Omega^{\circ} \times \Omega^{\oplus}= \Omega^*. Непосредственно проверяется, что (X_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+} и (A_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+} являются (\mathcal{F}_t^*)-согласованными случайными процессами. По построению процесс (X_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+} является возрастающим. Предсказуемость процесса (A_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+} вытекает из его непрерывности.
Докажем теперь формулу (40). Имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}^*[f(x+X_{\infty}^*, y+A_{\infty}^*)] := \int_{\Omega^*} f\bigl(x+ X_{\infty}^*(\omega^*),\, y+A_{\infty}^*(\omega^*)\bigr) \, \mathbf{P}^*(d \omega^*) \nonumber \\ &=\int_{\Omega^{\circ} \times \Omega^{\oplus}} f\bigl(x+X_{1}^{\circ}(\omega^{\circ})+ X_{\infty}^{\oplus}(\omega^{\oplus}),\, y+A_{1}^{\circ}(\omega^{\circ})+ A_{\infty}^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr) \, \mathbf{P}^*(d \omega^*) \nonumber \\ &=\int_{\Omega^{\circ}} \biggl[ \int_{\Omega^{\oplus}} f\bigl(x+X_{1}^{\circ}(\omega^{\circ})+ X_{\infty}^{\oplus}(\omega^{\oplus}),\, y+A_{1}^{\circ}(\omega^{\circ})+ A_{\infty}^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr) \nonumber \\ &\qquad\qquad\times \operatorname{Q}(\omega^{\circ}; d \omega^{\oplus}) \biggr] \, \mathbf{P}^{\circ}(d \omega^{\circ}) \nonumber \\ &=\sum_{j \in J} \int_{\Omega^{\circ, [j]}} \biggl[ \int_{\Omega^{\oplus}} f\bigl(x+x_j+ X_{\infty}^{\oplus}(\omega^{\oplus}),\, y+a_j+A_{\infty}^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr) \nonumber \\ &\qquad\qquad\times\operatorname{Q}(\omega^{\circ}; d \omega^{\oplus}) \biggr] \, \mathbf{P}^{\circ}(d \omega^{\circ}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{41}
Заметим, что если \omega^{\circ} \in \Omega^{\circ, [j]}, то \operatorname{Q}\bigl(\omega^{\circ}; \bigsqcup_{j \in J} B^{[j]}\bigr)=\mathbf{P}^{[j]}(B^{[j]}). Стало быть, при \omega^{\circ} \in \Omega^{\circ, [j]} имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\Omega^{\oplus}} f\bigl(x+x_j+X_{\infty}^{\oplus}(\omega^{\oplus}),\, y+a_j+ A_{\infty}^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr)\, \operatorname{Q}(\omega^{\circ}; d\omega^{\oplus}) \nonumber \\ &\qquad= \int_{\Omega^{[j]}} f\bigl(x+x_j+X_{\infty}^{[j]}(\omega^{[j]}),\, y+a_j+ A_{\infty}^{[j]}(\omega^{[j]})\bigr) \, \mathbf{P}^{[j]} (d \omega^{[j]}) \nonumber \\ &\qquad= \mathbf{E}^{[j]}\bigl[ f\bigl(x+x_j+X_{\infty}^{[j]}, y+a_j+A_{\infty}^{[j]}\bigr) \bigr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{42}
Подставив (42) в (41), получаем требуемую формулу (40).
Из формулы (40), интегрируемости случайных величин X_{\infty}^{[j]} и конечности множества J вытекает оценка \mathbf{E}^*[X_{\infty}^*]=\sum_{j \in J} \mathbf{E}^{[j]}[x_j+X_{\infty}^{[j]}] \cdot p_j<\infty, которая означает интегрируемость процесса (X_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+}. Перейдем к доказательству того, что (M_t^*)_{t \in \mathbf{R}_+} является (\mathcal{F}_t^*)-мартингалом. Требуется доказать, что для любых точек 0 \leqslant s<t<\infty и любого множества B^* \in \mathcal{F}_s^* выполнено равенство
\begin{equation}
\int_{B^*} \bigl(M_t^*(\omega^*)-M_s^*(\omega^*)\bigr) \, \mathbf{P}^*(d \omega^*)=0.
\end{equation}
\tag{43}
Для этого достаточно рассмотреть следующие три случая: 1) 0\,{\leqslant}\, s\,{<}\,t \,{\leqslant}\, 1; 2) 1<s<t; 3) 1=s<t. Здесь мы ограничимся рассмотрением случая 2). Остальные случаи рассматриваются аналогично, только проще.
Итак, пусть 1<s<t. Требуется доказать, что для любого B^* \in \mathcal{F}_s^*=\mathcal{F}_1^{\circ} \otimes \mathcal{F}_s^{\oplus} имеет место равенство (43). В силу свойств интеграла Лебега соотношение (43) достаточно проверить для множеств вида B^*=B^{\circ} \times B^{\oplus}, где B^{\circ} \in \mathcal{F}_1^{\circ} и B^{\oplus} \in \mathcal{F}_s^{\oplus}. Заметим также, что при 1<s<t имеет место равенство M_t^*(\omega^*)-M_s^*(\omega^*)=M_t^{\oplus}(\omega^{\oplus})- M_s^{\oplus}(\omega^{\oplus}). В силу теоремы Фубини для марковских ядер имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{B^*} \bigl(M_t^*(\omega^*)-M_s^*(\omega^*)\bigr) \, \mathbf{P}^*(d \omega^*) \nonumber \\ &\qquad= \int_{B^{\circ} \times B^{\oplus}} \bigl(M_t^{\oplus}(\omega^{\oplus}) -M_s^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr) \, \mathbf{P}^*(d \omega^*) \nonumber \\ &\qquad= \int_{B^{\circ}} \biggl[ \int_{B^{\oplus}} \bigl(M_t^{\oplus}(\omega^{\oplus})- M_s^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr) \, \operatorname{Q}(\omega^{\circ}; d \omega^{\oplus}) \biggr] \, \mathbf{P}^{\circ}(d \omega^{\circ}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{44}
Разобьем множество B^{\circ} на части: B^{\circ}=\bigsqcup_{j \in J} (B^{\circ} \cap \Omega^{\circ, [j]}). Заметим, что если \omega^{\circ} \in \Omega^{\circ, [j]}, то \operatorname{Q}(\omega^{\circ}; B^{\oplus})=\mathbf{P}^{[j]}(B^{[j]}), где B^{\oplus}=\bigsqcup_{j \in J} B^{[j]}, B^{[j]} \in \mathcal{F}_s^{[j]}. Следовательно, при \omega^{\circ} \in \Omega^{\circ, [j]} имеют место равенства
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{B^{\oplus}} \bigl(M_t^{\oplus}(\omega^{\oplus})-M_s^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr)\, \operatorname{Q}(\omega^{\circ}; d \omega^{\oplus}) \nonumber \\ &\qquad=\int_{B^{[j]}} \bigl(M_t^{[j]}(\omega^{[j]})-M_s^{[j]}(\omega^{[j]})\bigr) \, \mathbf{P}^{[j]}(d \omega^{[j]})=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{45}
Здесь последний интеграл равен нулю, так как множество B^{[j]} принадлежит \mathcal{F}_s^{[j]}, а процесс (M_t^{[j]})_{t \in [1, \infty)} является (\mathcal{F}_t^{[j]})-мартингалом. Таким образом, из формул (44) и (45) получаем требуемое:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{B^*} \bigl(M_t^*(\omega^*)-M_s^*(\omega^*)\bigr) \, \mathbf{P}^*(d \omega^*) \\ &\qquad= \int_{B^{\circ}} \biggl[ \int_{B^{\oplus}} \bigl(M_t^{\oplus}(\omega^{\oplus})- M_s^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr) \, \operatorname{Q}(\omega^{\circ}; d \omega^{\oplus}) \biggr] \, \mathbf{P}^{\circ}(d \omega^{\circ}) \\ &\qquad= \sum_{j \in J} \int_{B^{\circ} \cap \Omega^{\circ, [j]}} \biggl[ \underbrace{\int_{B^{\oplus}} \bigl(M_t^{\oplus}(\omega^{\oplus})-M_s^{\oplus}(\omega^{\oplus})\bigr) \, \operatorname{Q}(\omega^{\circ}; d \omega^{\oplus})}_{= 0, \text{ см. (45)}} \biggr] \, \mathbf{P}^{\circ}(d \omega^{\circ})=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Лемма доказана. Замечание 3. Выше мы доказали, что процесс (M^*_t)_{t \in \mathbf{R}_+} является мартингалом относительно фильтрации (\mathcal{F}^*_t)_{t \in \mathbf{R}_+}. Несложно проверить, что в общем случае фильтрация (\mathcal{F}^*_t)_{t \in \mathbf{R}_+} не является непрерывной справа. Тем не менее справедливо следующее утверждение. Если непрерывный справа процесс M=(M_t)_{t \in \mathbf{R}_+} является мартингалом относительно некоторой фильтрации (\mathcal{F}_t)_{t \in \mathbf{R}_+}, то он также является мартингалом относительно непрерывной справа фильтрации, порожденной фильтрацией (\mathcal{F}_t)_{t \in \mathbf{R}_+}, а именно фильтрации \mathcal{H}_t :=\bigcap_{\varepsilon>0} \mathcal{F}_{t+\varepsilon}, t \in \mathbf{R}_+. Данное утверждение вытекает из следствия 8.9 в [9]. Таким образом, фильтрация в лемме 4 может быть выбрана непрерывной справа. Лемма 5. Пусть полунепрерывная сверху функция \phi \colon \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R} такова, что существует c \in \mathbf{R} такое, что \phi(u, v) \leqslant c \cdot \psi(u, v) для любых u, v \in \mathbf{R}. Тогда справедливы следующие утверждения: (i) если найдется такое b \in \mathbf{R}, что для любой меры \nu \in \mathbb{W}_{\mathrm{simp}} выполнено неравенство то и для любой меры \mu \in \mathbb{W} верно неравенство b \leqslant \int_{\mathbf{R}^2} \phi(u, v) \, \mu(du, dv);(ii) если последовательность мер (\nu_k)_{k=1}^{\infty} \subseteq \mathbb{W} сходится к мере \mu \in \mathbb{W} в \psi-слабой топологии и существует константа b \in \mathbf{R} такая, что для всех k \in \mathbf{N} справедливо неравенство
\begin{equation*}
b \leqslant \int_{\mathbf{R}^2} \phi(u, v) \, \nu_k(du, dv),
\end{equation*}
\notag
то и для меры \mu выполнено неравенство b \leqslant \int_{\mathbf{R}^2} \phi(u, v) \, \mu(du, dv). Доказательство. (i) Положим h(u, v) \,{:=}\, \phi(u, v)\,{-}\,c \,{\cdot}\, \psi(u, v). Эта функция является полунепрерывной сверху и ограниченной сверху. Стало быть, по теореме 3.13 из [8] найдется нестрого убывающая последовательность липшицевых функций h_n(u, v), n \in \mathbf{N}, такая, что для любых u, v \in \mathbf{R} имеет место сходимость h_n(u, v) \downarrow h(u, v) при n \to \infty. Следовательно, для любых u, v \in \mathbf{R}
\begin{equation}
\phi_n(u, v) := h_n(u, v)+c \cdot \psi(u, v) \downarrow h(u, v)+c \cdot \psi(u, v)=\phi(u, v) \quad \text{при }\ n \to \infty.
\end{equation}
\tag{47}
Легко видеть, что калибровочная функция \psi(u, v) := 1+|x|+|y| является липшицевой. Стало быть, каждая из функций \phi_n(u, v)=h_n(u, v)+c \cdot \psi(u, v), n \in \mathbf{N}, является липшицевой и, в частности, принадлежит пространству C_{\psi}(\mathbf{R}^2).
Далее, из условия (46) и неравенства \phi(u, v) \leqslant \phi_n(u, v) вытекает, что
\begin{equation}
\forall\, \nu \in \mathbb{W}_{\mathrm{simp}} \quad b \leqslant \int_{\mathbf{R}^2} \phi_n(u, v) \, \nu(du, dv).
\end{equation}
\tag{48}
Рассмотрим теперь произвольную меру \mu \in \mathbb{W}. В силу теоремы 2 из работы [10] найдется последовательность мер (\nu_k)_{k=1}^{\infty} \subseteq \mathbb{W}_{\mathrm{simp}} такая, что для любой функции f \in C_{\psi}(\mathbf{R}^2) имеет место сходимость
\begin{equation}
\int_{\mathbf{R}^2} f(u, v) \, \nu_k(du, dv) \to \int_{\mathbf{R}^2} f(u, v) \, \mu(du, dv) \quad \text{при }\ k \to \infty.
\end{equation}
\tag{49}
Согласно (48) для любых n \in \mathbf{N} и k \in \mathbf{N} справедлива оценка b \leqslant \int_{\mathbf{R}^2} \phi_n(u, v) \, \nu_k(du, dv). Если в данном неравенстве сначала перейти к пределу при k \to \infty и использовать условие (49), а затем перейти к пределу при n \to \infty и использовать теорему о монотонной сходимости (см. [11; гл. 2, § 6, теорема 1(b)]), получим утверждение (i) леммы.
Доказательство утверждения (ii) аналогично доказательству утверждения (i). Лемма доказана. Замечание 4. В лемме 5(i) подмножество \mathbb{W}_{\mathrm{simp}} можно заменить на любое другое плотное подмножество в множестве \mathbb{W} в \psi-слабой топологии. Лемма 6. Пусть на стохастическом базисе (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}, (\mathcal{F}_t)_{t \in [1, 2]}) задан обобщенный интегрируемый возрастающий процесс X=(X_t)_{t \in [1, 2]} с обобщенным компенсатором A\,{=}\,(A_t)_{t \in [1, 2]}. Обозначим через \operatorname{Q}\bigl(\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right]; B\bigr), где \left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2, B \in \mathcal{B}(\mathbf{R}_+^2), регулярное условное распределение вектора приращений \left[\begin{smallmatrix} X_2-X_1 \\ A_2-A_1 \end{smallmatrix}\right] при условии, что \left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]=\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right]. Тогда для \operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]}-п.в. точек \left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2 мера \operatorname{Q}\bigl(\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right]; {\cdot} \, \bigr) принадлежит классу \mathbb{W}. Доказательство леммы аналогично доказательству утверждения 4.1 из [7]. Замечание 5. Мера Дирака \delta_{\left[\begin{smallmatrix}0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]}, сосредоточенная в точке \left[\begin{smallmatrix}0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], принадлежит классу мер \mathbb{W}. Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что утверждение леммы 6 выполнено не для \operatorname{P}_{\left[\begin{smallmatrix} X_1 \\ A_1 \end{smallmatrix}\right]}-п.в. точек \left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2, а для всех точек \left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2. В противном случае для тех точек \left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2, для которых нарушено утверждение леммы 6, марковское ядро \operatorname{Q}\bigl(\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right]; {\cdot}\,\bigr) надо переопределить, заменив его на меру Дирака \delta_{\left[\begin{smallmatrix}0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]}. 5. Конструктивная характеризация класса \mathcal{K}Несмотря на то, что определение 1 содержит не вполне конструктивное описание класса тестовых функций \mathcal{K}, оно оказалось очень удобным при доказательстве теоремы 3. Следует признать, что пользоваться этим определением при проверке конкретных функций на принадлежность классу \mathcal{K} достаточно затруднительно. Поэтому хотелось бы иметь описание класса \mathcal{K} с более легко проверяемыми характеризующими условиями. Следующая теорема дает такое описание (см. условие (ii)). Теорема 4. Пусть полунепрерывная сверху функция \varphi \colon \mathbf{R}^2 \,{\to}\, \mathbf{R} удовлетворяет условию (4) из определения класса \mathcal{K}. Тогда следующие условия равносильны: (i) функция \varphi удовлетворяет условию (5) из определения класса \mathcal{K}; (ii) для любых точек x, y \in \mathbf{R}, любого действительного числа k>0 и произвольного действительного числа h \geqslant k выполнено неравенство
\begin{equation}
0 \leqslant \frac{\varphi(x, y+k)-\varphi(x, y)}{k}+\frac{\varphi(x+h, y+k)-\varphi(x, y+k)}{h};
\end{equation}
\tag{50}
(iii) для любых точек x, y \in \mathbf{R}, любого действительного числа k>0 и произвольных x_j \geqslant 0, p_j \geqslant 0 таких, что \sum_{j=1}^{n}p_j=1 и \sum_{j=1}^{n}x_j p_j=k, выполнено неравенство
\begin{equation}
\varphi(x, y) \leqslant \sum_{j=1}^{n} p_j \varphi(x+x_j, y+k).
\end{equation}
\tag{51}
Иными словами, в определении класса \mathcal{K} условие (5) можно заменить на любое из условий (50) или (51). Замечание 6. Условие (ii) означает, что сумма тангенсов углов в соответствующих прямоугольных треугольниках должна быть неотрицательна. В частности, из условия (ii) при h=k следует, что функция \varphi растет “по диагоналям”, т.е. для любых x, y \in \mathbf{R} и любого действительного k>0 справедливо неравенство \varphi(x, y) \leqslant \varphi(x+ k, y+k). Доказательство теоремы 4. Докажем импликацию (i) \Rightarrow (ii). Пусть x, y \in \mathbf{R}, k>0 и h \geqslant k. Несложно проверить, что мера
\begin{equation*}
\biggl(1-\frac{k}{h}\biggr) \delta_{\left[\begin{smallmatrix}0 \\ k \end{smallmatrix}\right]}+\frac{k}{h}\, \delta_{\left[\begin{smallmatrix}h \\ k \end{smallmatrix}\right]}
\end{equation*}
\notag
принадлежит классу \mathbb{W}. Отсюда в силу (5) вытекает неравенство
\begin{equation}
\varphi(x, y) \leqslant \biggl(1-\frac{k}{h}\biggr) \varphi(x, y+k)+ \frac{k}{h}\, \varphi(x+h, y+k),
\end{equation}
\tag{52}
которое равносильно условию (50).
Докажем импликацию (ii) \Rightarrow (iii). При n=1 утверждение (iii) сводится к тому, что для любых точек x, y \in \mathbf{R} и любого действительного числа k>0 выполнено неравенство Данное условие вытекает из (ii), если положить h=k.Докажем утверждение (iii) при n=2. Будем считать, что x_1<k<x_2. Выделим два случая: 1) x_1=0 и 2) x_1>0. Рассмотрим каждый из этих случаев по отдельности. 1) Пусть x_1=0. Напомним, что условие (50) равносильно неравенству (52). Тогда если в условии (52) выбрать k и h так, чтобы были выполнены условия p_1=1-k/h, p_2=k/h и h=x_2, то мы получим условие (iii) при n=2 и x_1=0. 2) Если же x_1>0, то в силу (53) мы имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &p_1 \varphi(x+x_1, y+k)+p_2 \varphi(x+x_2, y+k) \nonumber \\ &\qquad\geqslant p_1 \varphi(x+x_1', y+k')+p_2 \varphi(x+x_2', y+k'), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{54}
где x_1' := 0, x_2' := x_2-x_1, k' := k-x_1. При этом x_1' p_1+x_2' p_2=k'. Тем самым мы свели случай 2) к случаю 1). По доказанному в случае 1) имеем
\begin{equation}
p_1 \varphi(x+x_1', y+k')+p_2 \varphi(x+x_2', y+k') \geqslant \varphi(x, y).
\end{equation}
\tag{55}
Соединяя вместе (54) и (55), получаем условие (iii) при n=2 и x_1>0.
Дальнейшее доказательство свойства (iii) проведем индукцией по n. Предположим, что свойство (iii) справедливо при n-1 для n \geqslant 3. Покажем, что свойство (iii) справедливо при n. Будем считать, что x_1<x_2<\dots<x_n. Отсюда, учитывая, что \sum_{j=1}^{n}x_j p_j=k, получаем, что x_1<k. В силу тех же аргументов, что и при доказательстве свойства (iii) для n=2, изначально можно считать, что x_1=0. Имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=1}^{n} p_j \varphi(x+x_j, y+k) \nonumber \\ &\qquad= (p_1+p_2) \biggl[\frac{p_1}{p_1+p_2} \varphi(x+x_1, y+ k)+\frac{p_2}{p_1+p_2} \varphi(x+x_2, y+k)\biggr] \nonumber \\ &\qquad\qquad+\sum_{j=3}^{n} p_j \varphi(x+x_j, y+k). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{56}
Далее, в силу (iii) при n=2 и x_1=0, имеем
\begin{equation}
\frac{p_1}{p_1+p_2} \varphi(x+x_1, y+k)+\frac{p_2}{p_1+p_2} \varphi(x+x_2, y+k) \geqslant \varphi\biggl(x, y+k-\frac{p_2 x_2}{p_1+p_2}\biggr).
\end{equation}
\tag{57}
Продолжив соотношение (56) с учетом неравенства (57), а также используя условие (53) и предположение индукции, получаем требуемое:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=1}^{n} p_j \varphi(x+x_j, y+k) \\ &\qquad\geqslant (p_1+p_2) \varphi\biggl(x, y+k- \frac{p_2 x_2}{p_1+p_2}\biggr)+\sum_{j=3}^{n} p_j \varphi(x+x_j, y+k) \\ &\qquad\!\stackrel{(53)}{\geqslant} (p_1+p_2) \varphi\biggl(x,\, y+k-\frac{p_2 x_2}{p_1+p_2}\biggr) \\ &\qquad\qquad +\sum_{j=3}^{n} p_j \varphi \biggl(x+x_j-\frac{p_2 x_2}{p_1+p_2},\, y+k-\frac{p_2 x_2}{p_1+p_2}\biggr) \\ &\qquad\geqslant \varphi(x, y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Для применения предположения индукции в последнем неравенстве необходимо было убедиться в том, что
\begin{equation*}
(p_1+p_2) \cdot 0+\sum_{j=3}^{n} p_j \biggl(x_j-\frac{p_2 x_2}{p_1+p_2}\biggr)=k- \frac{p_2 x_2}{p_1+p_2}.
\end{equation*}
\notag
Докажем теперь импликацию (iii) \Rightarrow (i). Зафиксируем произвольную меру \mu \,{\in}\, \mathbb{W}. В соответствии с доказательством теоремы 2 (см. [10; шаг 2]) на некотором вероятностном пространстве (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}) существуют три последовательности случайных величин V^{[n]}, W^{[n]} и Z^{[n]}, n \,{\in}\, \mathbf{N}, на основе которых определяются случайные величины \widehat{V}^{[n]}, \widehat{W}^{[n]} и \widehat{Z}^{[n]}, для которых последовательность распределений \nu_n := \operatorname{Law}(\widehat{V}^{[n]}+\widehat{Z}^{[n]}, \widehat{W}^{[n]}+\widehat{Z}^{[n]}) сходится к \mu в \psi-слабой топологии. Величины \widehat{V}^{[n]} и \widehat{Z}^{[n]} определяются равенствами \widehat{V}^{[n]} := V^{[n]} и \widehat{Z}^{[n]} := Z^{[n]}, а случайная величина \widehat{W}^{[n]} определяется как значение компенсатора интегрируемого возрастающего процесса V^{[n]} \mathbf{1}_{\{W^{[n]} \leqslant t\}}, t \in \mathbf{R}_+, в момент времени t=\infty относительно так называемой “single jump”-фильтрации (см. [12]). В данном случае эта фильтрация определяется как
\begin{equation*}
\mathcal{G}_t^{[n]} := \bigl\{ B \in \mathcal{F} \colon B \cap \{ W^{[n]}>t\}=\varnothing \text{ или } B \cap \{W^{[n]}>t\}=\{W^{[n]}>t\} \bigr\}
\end{equation*}
\notag
при t \in \mathbf{R}_+.
Зафиксируем произвольный номер n \in \mathbf{N}. Сначала мы покажем, что для любых x, y \in \mathbf{R} справедливо неравенство
\begin{equation}
\varphi(x, y) \leqslant \mathbf{E}\bigl[\varphi\bigl(x+\widehat{V}^{[n]}, y+\widehat{W}^{[n]}\bigr)\bigr].
\end{equation}
\tag{58}
По построению (см. [10]) дискретные случайные величины V^{[n]} и W^{[n]} принимают конечное множество значений. В общем случае вектор (V^{[n]}, W^{[n]}) можно представить в виде
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} V^{[n]} \\ W^{[n]} \end{bmatrix} =\sum_{i=1}^{r} \sum_{j \in \Gamma(i)} \begin{bmatrix} v_{i,j} \\ w_i \end{bmatrix} \cdot \mathbf{1}_{\Omega_{i,j}},
\end{equation*}
\notag
где \Gamma(i)=\{1, \dots, j_i\}, i=1, \dots, r, все \left[\begin{smallmatrix} v_{i,j} \\ w_i \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{R}^2, w_1<\dots<w_r, для каждого i \in \{1, \dots, r\} имеем v_{i, 1}<\dots<v_{i, j_i}, \bigsqcup_{i=1}^{r} \bigsqcup_{j \in \Gamma(i)} \Omega_{i,j}=\Omega и все p_{i,j} := \mathbf{P}(\Omega_{i,j})>0.
Легко видеть, что
\begin{equation}
\widehat{V}^{[n]}=V^{[n]}=\sum_{i=1}^{r} \sum_{j \in \Gamma(i)} v_{i,j} \cdot \mathbf{1}_{\Omega_{i,j}}.
\end{equation}
\tag{59}
В данной простой ситуации компенсатор процесса V^{[n]} \, \mathbf{1}_{\{W^{[n]} \leqslant t\}}, t \in \mathbf{R}_+, можно найти непосредственно. Здесь мы приведем только формулу для значения компенсатора в момент времени t=\infty:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widehat{W}^{[n]}=\sum_{i=1}^{r} \sum_{j \in \Gamma(i)} \biggl(\sum_{s=1}^{i} \kappa_s\biggr) \mathbf{1}_{\Omega_{i,j}}, \\ \text{где}\quad \kappa_s := \frac{\sum_{j \in \Gamma(s)} v_{s,j} p_{s,j}}{\sum_{l=s}^{r} P_l}\quad\text{и}\quad P_l := \sum_{j \in \Gamma(l)} p_{l,j}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{60}
Правая часть доказываемого неравенства (58) с учетом формул (59) и (60) может быть переписана в виде
\begin{equation*}
\mathbf{E}\bigl[\varphi\bigl(x+\widehat{V}^{[n]},\, y+ \widehat{W}^{[n]}\bigr)\bigr] =\sum_{i=1}^{r} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggl(x+v_{i,j},\, y+ \sum_{s=1}^{i} \kappa_s\biggr).
\end{equation*}
\notag
Итак, перейдем непосредственно к доказательству неравенства (58). Учитывая, что \sum_{j \in \Gamma(r)} v_{r,j} p_{r,j}/P_r=\kappa_r, в силу условия (iii) имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}\bigl[\varphi\bigl(x+\widehat{V}^{[n]},\, y+\widehat{W}^{[n]}\bigr)\bigr] = \sum_{i=1}^{r-1} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggl(x+v_{i,j},\, y+\sum_{s= 1}^{i} \kappa_s\biggr) \nonumber \\ &\qquad+\sum_{j \in \Gamma(r)} p_{r,j} \varphi\biggl(x+v_{r,j},\, y+\sum_{s=1}^{r} \kappa_s\biggr) \nonumber \\ &= \sum_{i=1}^{r-1} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggl(x+v_{i,j},\, y +\sum_{s= 1}^{i} \kappa_s\biggr) \nonumber \\ &\qquad+P_r \sum_{j \in \Gamma(r)} \frac{p_{r,j}}{P_r} \, \varphi\biggl(x+v_{r,j},\, y+ \sum_{s=1}^{r} \kappa_s \biggr) \nonumber \\ &\!\stackrel{\text{(iii)}}{\geqslant} \sum_{i=1}^{r-1} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggl(x+v_{i,j},\, y+\sum_{s= 1}^{i} \kappa_s\biggr) +P_r \varphi\biggl(x, \, y+\sum_{s=1}^{r-1} \kappa_s \biggr) \nonumber \\ &= \sum_{i=1}^{r-2} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggl(x+v_{i,j},\, y+\sum_{s= 1}^{i} \kappa_s\biggr) \nonumber \\ &\qquad+ \sum_{j \in \Gamma(r-1)} p_{r-1,j} \varphi\biggl(x+v_{r-1,j},\, y+\sum_{s=1}^{r-1} \kappa_s\biggr) +P_r \varphi\biggl(x, \, y+\sum_{s=1}^{r-1} \kappa_s \biggr) \nonumber \\ &= \sum_{i=1}^{r-2} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggl(x+v_{i,j},\, y+\sum_{s= 1}^{i} \kappa_s\biggr) \nonumber \\ &\qquad+ (P_{r-1}+P_r) \biggl[\sum_{j \in \Gamma(r-1)} \frac{p_{r-1,j}}{P_{r-1}+P_r} \, \varphi\biggl(x+v_{r-1,j},\, y+\sum_{s=1}^{r-1} \kappa_s\biggr) \nonumber \\ &\qquad+\frac{P_r}{P_{r-1}+P_r}\, \varphi\biggl(x,\, y+\sum_{s=1}^{r-1} \kappa_s \biggr) \biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{61}
Учитывая, что
\begin{equation*}
\sum_{j \in \Gamma(r-1)} \frac{v_{r-1, j} p_{r-1,j}}{P_{r-1}+P_r}+0 \cdot \frac{P_r}{P_{r-1}+P_r}=\kappa_{r-1},
\end{equation*}
\notag
и используя условие (iii), продолжим цепочку оценок (61):
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbf{E}\bigl[\varphi\bigl(x+\widehat{V}^{[n]}, y+\widehat{W}^{[n]}\bigr)\bigr] \geqslant \sum_{i=1}^{r-2} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggr(x+v_{i,j},\, y+\sum_{s= 1}^{i} \kappa_s\biggl) \\ &\quad+(P_{r-1}+P_r) \varphi\biggl(x,\, y+\sum_{s=1}^{r-2} \kappa_s \biggr) \\ &= \sum_{i=1}^{r-3} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggl(x+v_{i,j},\, y+\sum_{s= 1}^{i} \kappa_s\biggr) \\ &\quad+ \sum_{j \in \Gamma(r-2)} p_{r-2,j} \varphi\biggl(x+v_{r-2,j},\, y+\sum_{s=1}^{r-2} \kappa_s\biggr){+}\,(P_{r-1}{+}\,P_r) \varphi \biggl(x, \, y\,{+}\sum_{s=1}^{r-2} \kappa_s \biggr) \\ &= \sum_{i=1}^{r-3} \sum_{j \in \Gamma(i)} p_{i,j} \varphi\biggl(x+v_{i,j},\, y+\sum_{s= 1}^{i} \kappa_s\biggr) \\ &\quad+ (P_{r-2}{+}\,P_{r-1}{+}\,P_r) \biggl[ \sum_{j \in \Gamma(r-2)} \frac{p_{r-2,j}}{P_{r-2}{+}\, P_{r-1}{+}\,P_r} \, \varphi\biggl(x\,{+}\,v_{r-2,j},\, y\,{+}\sum_{s=1}^{r-2} \kappa_s\biggr) \\ &\quad+\frac{P_{r-1}+ P_r}{P_{r-2}+P_{r-1}+P_r}\, \varphi \biggl(x, \, y+\sum_{s=1}^{r-2} \kappa_s \biggr) \biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Мы получили оценку, аналогичную последней оценке из формулы (61). Теперь становится ясно, как продолжить данную процедуру далее. В итоге мы получим неравенство (58). В силу (58), неотрицательности случайной величины \widehat{Z}^{[n]} и свойства (53), которое вытекает из (iii), имеем \varphi(x, y) \leqslant \mathbf{E}[\varphi(x+\widehat{V}^{[n]}+\widehat{Z}^{[n]}, y+\widehat{W}^{[n]}+\widehat{Z}^{[n]})]. Переходя к пределу при n \to \infty в последнем неравенстве, используя лемму 5(ii) и учитывая, что последовательность \nu_n=\operatorname{Law}(\widehat{V}^{[n]}+\widehat{Z}^{[n]}, \widehat{W}^{[n]}+\widehat{Z}^{[n]}) сходится к \mu в \psi-слабой топологии, получаем требуемое неравенство (5), что завершает доказательство импликации (iii) \Rightarrow (i). Теорема 4 доказана. 6. Пример применения теоремы 3В данном разделе мы строим пример двух распределений \mu_1 и \mu_2 и с помощью некоторых прямолинейных рассуждений устанавливаем тот факт, что \mu_1 и \mu_2 не могут быть краевыми распределениями обобщенного интегрируемого возрастающего процесса и его компенсатора в моменты времени t=1 и t=2 соответственно. После этого с целью иллюстрации мы устанавливаем этот же факт с использованием теоремы 3. Итак, на (\mathbf{R}^2, \mathcal{B}(\mathbf{R}^2)) рассмотрим две вероятностные меры
\begin{equation*}
\mu_1 := \frac{1}{3}\, \delta_{\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]}+ \frac{2}{3} \, \delta_{\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]} \quad \text{и} \quad \mu_2 := \frac{1}{3} \, \delta_{\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 2 \end{smallmatrix}\right]}+ \frac{1}{3}\, \delta_{\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right]}+\frac{1}{3} \delta_{\left[\begin{smallmatrix} 9 \\ 3 \end{smallmatrix}\right]}.
\end{equation*}
\notag
Покажем, что не существует обобщенного интегрируемого возрастающего процесса (X_t)_{t \in [1, 2]} с компенсатором (A_t)_{t \in [1, 2]}, для которого
\begin{equation}
\operatorname{Law}(X_1, A_1)=\mu_1 \quad \text{и}\quad \operatorname{Law}(X_2, A_2)=\mu_2.
\end{equation}
\tag{62}
Будем рассуждать от противного. Предположим, что на некотором стохастическом базисе (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}, (\mathcal{F}_t)_{t \in [1, 2]}) существует описанная выше пара процессов (X_t)_{t \in [1, 2]} и (A_t)_{t \in [1, 2]}. Тогда процесс M_t := X_t-A_t, t \in [1, 2], является мартингалом. Следовательно, \mathbf{P}-п.н. выполнено соотношение \mathbf{E}[M_2 \,|\, \mathcal{F}_1]\,{=}\,M_1. Отсюда и из того, что событие \{X_1=0,\, A_1=0\} принадлежит \sigma-алгебре \mathcal{F}_1, вытекает равенство
\begin{equation}
\mathbf{E}[M_2 \,|\, \{X_1=0, \, A_1=0\}] =\mathbf{E}[M_1 \,|\, \{X_1=0, \, A_1=0\}].
\end{equation}
\tag{63}
Покажем, что \mathbf{P}-п.н. справедливо равенство В самом деле, поскольку процесс (X_t)_{t \in [1, 2]} имеет нестрого возрастающие траектории, имеем X_1 \,{\leqslant}\, X_2 \mathbf{P}-п.н. Следовательно, \mathbf{P}(\{X_1\,{=}\,1, \, A_1\,{=}\, 0\} \cap \{X_2=0, \, A_2=2\})=0. Значит, \mathbf{P}-п.н.
\begin{equation*}
\{X_2=0, \, A_2=2\} \subseteq \{X_1=1, \, A_1=0\}^c=\{X_1=0, \, A_1= 0\}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда вытекает, что \mathbf{P}-п.н.
\begin{equation*}
\{X_2=0, A_2=2\} \cap \{X_1=0, \, A_1=0\}=\{X_2=0, \, A_2=2\}.
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation*}
\mathbf{P}(\{X_2=0, \, A_2=2\} \cap \{X_1=0, \, A_1=0\})=\mathbf{P}(\{X_2=0, \, A_2=2\})=\frac13.
\end{equation*}
\notag
Отсюда и из того, что \mathbf{P}(\{X_1=0, \, A_1=0\})=1/3, получаем требуемое условие (64). Далее, из (64) вытекает, что на множестве \{X_1=0, \, A_1=0\} \mathbf{P}-п.н. выполнено условие M_2=X_2-A_2=-2, откуда следует, что левая часть равенства (63) равна минус двум. С другой стороны, очевидно, что правая часть равенства (63) равна нулю. Получили противоречие. Теперь установим этот же факт с использованием теоремы 3. Для этого рассмотрим функцию
\begin{equation*}
\varphi(x, y)=\begin{cases} \bigl((y \wedge 3.5)-(x-1) \mathbf{1}_{\{y<3.5\}}\bigr) \vee (-4) &\text{при }x \geqslant 1\text{ и } y \geqslant 0, \\ -100 &\text{в противном случае}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Тот факт, что функция \varphi принадлежит классу \mathcal{K}, устанавливается с помощью теоремы 4(ii) непосредственной проверкой всех условий. Для такой функции \varphi имеем
\begin{equation*}
-33.(3)=\int \varphi(x, y) \, d\mu_1>\int \varphi(x, y) \, d\mu_2=-33.(6).
\end{equation*}
\notag
Следовательно, условие (c) в теореме 3 нарушено, а значит, не существует обобщенного интегрируемого возрастающего процесса (X_t)_{t \in [1, 2]} с компенсатором (A_t)_{t \in [1, 2]}, для которого выполнено условие (62). БлагодарностиАвтор выражает благодарность своему научному руководителю проф. А. А. Гущину за постановку задачи и полезные обсуждения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bor24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|