| Теория вероятностей и ее применения |
|
|
|
|
|
О периодическом ветвящемся случайном блуждании на К. С. Рядовкинab a Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Санкт-Петербург, Россия b Санкт-Петербургский государственный университет, Лаборатория им. П. Л. Чебышёва, Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Theory of Probability and its Applications, 2024, Volume 69, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1137/S0040585X97T991763 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеВ данной работе рассмотрено ветвящееся случайное блуждание (ВСБ) с периодически расположенными источниками ветвления и периодической матрицей переходных интенсивностей. На переходные интенсивности случайного блуждания, лежащего в основе процесса, накладываются условия, приводящие к бесконечной дисперсии скачков. В литературе такое ВСБ называют ВСБ с тяжелыми хвостами. Случай конечного числа источников и конечной дисперсии скачков подробно рассмотрен в работах [19], [20], [13]. Результаты о вероятности вырождения и поведении моментов численности частиц для конечного числа источников и тяжелых хвостов получены в [10] и [11] соответственно. Для случая периодически расположенных источников и конечной дисперсии скачков в [16] получено асимптотическое поведение среднего числа частиц, а в [17] — асимптотическое поведение второго момента численности частиц. Случайным блужданиям с тяжелыми хвостами без ветвления посвящено много публикаций (см., например, книгу [2]). Случайное блужданиеПусть g1,…,gd∈Zd — набор линейно независимых векторов с целочисленными координатами. Будем называть решеткой множество а множество {gj}dj=1 будем называть базисом, порождающим решетку Γ.Будем говорить, что две вершины v,u∈Zd эквивалентны, если их разность принадлежит решетке, т.е. v−u∈Γ. Обозначим Ω факторпространство Zd/Γ. Элементами этого факторпространства являются множества эквивалентных вершин Существует конечное число различных множеств такого вида, обозначим это число через p. Удобно отождествить элементы Ω с некоторым множеством {v1,…,vp} попарно неэквивалентных элементов Zd. Для фиксированного выбора Ω={v1,…,vp} любая вершина u∈Zd единственным образом представляется в виде где ωu∈Ω и γu∈Γ.Пусть ‖g‖ — евклидова норма вектора в Rd. Обозначим (a(v,u))v,u∈Zd матрицу переходных интенсивностей случайного блуждания. Для элементов этой матрицы всегда выполнено (i) a(v,u)⩾0, v≠u; (ii) a(v,v)<0. Дополнительно мы будем предполагать, что выполнены следующие условия: (iii) ∑u∈Zda(v,u)=0; (iv) a(v,u)=a(u,v)=a(v+g,u+g), g∈Γ. Пусть x={x1,…,xd}∈Rd. Будем обозначать ‖x‖∞ следующую норму: Пусть P — матрица перехода от стандартного базиса \{e_1,\dots,e_d\} в \mathbf{R}^d к базису, порождающему решетку \Gamma, т.е. при всех j=1,\dots,d выполнено равенство(v) Существует \alpha\in(0,2) такое, что
\begin{equation*}
a(v_j+g,v_k)\| P^{-1}g \|^{d+\alpha}_{\infty}\to h_{jk}\quad \text{при }\ \|g\|\to+\infty,
\end{equation*}
\notag
где h_{jk}\in[0,+\infty) для всех j,k=1,\dots,p и хотя бы для одной пары j,k соответствующее h_{jk} строго положительно. (vi) Граф G=(\mathbf{Z}^d,\mathcal{E}) с множеством вершин \mathbf{Z}^d и множеством ребер является связным.(vii) Для любых v,u\in{\Omega} и любого g\in\Gamma Условие (iii) означает, что марковский процесс случайного блуждания является консервативным. Из условия (iv) следует, что матрица интенсивностей переходов симметрична, а ее коэффициенты инвариантны относительно сдвига на любой вектор из \Gamma. Условие (v) классифицирует убывание коэффициентов на бесконечности, а также обеспечивает сферическую симметрию переходных интенсивностей a(v+g,u) при больших \|g\|. Отметим, что из условия (v) следует бесконечная дисперсия скачков. Условие (vi) означает, что блуждание неприводимо (см. [15; гл. 3, § 6]), т.е. каждая вершина \mathbf{Z}^d является достижимой. Условие (vii) — это техническое условие симметрии, которое понадобится нам в дальнейшем. ВетвлениеРазмножение и гибель частиц в каждом источнике задается марковским ветвящимся процессом с непрерывным временем. А именно, обозначим b_k(v) интенсивность деления частицы на k потомков k\in\mathbf{N}\cup\{0\} для источника в вершине v\in\mathbf{Z}^d. Тогда для коэффициентов b_k(v) всегда (a) b_{k}(v)\geqslant 0\text{ при }k\neq 1, (b) b_{1}(v)\leqslant 0. Если b_{1}(v)=0, то мы считаем, что в вершине v нет источника. Дополнительно будем предполагать, что выполнены следующие условия: (c) \sum_{k=0}^{+\infty} b_{k}(v)=0; (d) \beta_1(v)=\sum_{k=1}^{+\infty} k b_{k}(v)<\infty; (e) \beta_1(v+g)=\beta_1(v), g\in\Gamma. Условие (c) означает, что марковский процесс ветвления является консервативным. Из условия (d) вытекает, что среднее число потомков при одном ветвлении K(v) в источнике в вершине v конечно:
\begin{equation*}
K(v)= \begin{cases} 1-\dfrac{\beta_1(v)}{b_1(v)}, &b_1(v)\ne 0, \\ 1, &b_1(v)=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, каждая частица, находящаяся в момент времени t в некоторой точке v, независимо от остальных частиц в системе, может за время [t,t+h) перейти с вероятностью p(h,v,u)=a(v,u)h+o(h) в точку u\neq v или произвести k\neq 1 потомков, находящихся в точке v, с вероятностью p_k(h,v)=b_{k}(v)h+o(h) (при k=0 считаем, что число потомков равно 0, т.е. частица погибает), или сохраниться (т.е. никаких изменений не произойдет) с вероятностью Генератор ВСБПусть в начальный момент t=0 в системе находится одна частица в точке v\in\mathbf{Z}^d. Через M(v,u,t) обозначим среднее число частиц, находящихся в точке u\in\mathbf{Z}^d в момент времени t. В данной работе мы исследуем поведение этой функции при t\to\infty в случае выполнения условий (i)–(vii) и (a)–(e). Обозначим через \mathcal{A} оператор \ell^2(\mathbf{Z}^d)\to\ell^2(\mathbf{Z}^d), определяемый равенством
\begin{equation*}
(\mathcal{A}f)(v)=\sum_{u\in\mathbf{Z}^d}a(v,u)f(u)+\beta_1(v)f(v).
\end{equation*}
\notag
В работе [16] было показано, что среднее число частиц M(v,u,t) удовлетворяет задаче Коши
\begin{equation}
\begin{cases} \partial_t M(v,u,t) =(\mathcal{A}M)(v,u,t), \\ M(v,u,0)=\delta_u(v), \end{cases}
\end{equation}
\tag{2}
где \delta_u(\,{\cdot}\,) — индикаторная функция множества, состоящего из одной точки u,
\begin{equation*}
\delta_u(v)= \begin{cases} 1, &u=v, \\ 0, &u\ne v. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Основной результатДля того чтобы сформулировать основной результат, нам понадобится ввести еще несколько обозначений. Пусть базис \{\widetilde{g}_j\}_{j=1}^d является двойственным базисом к \{g_j\}_{j=1}^d, т.е. Введем элементарную ячейку решетки, двойственной к решетке \Gamma (см., например, [14]):
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal{C}}=\biggl\{\theta\in\mathbf{R}^d \colon \theta=\sum_{j=1}^{d}\theta_j\widetilde{g}_j,\,\, -\frac12\leqslant \theta_j < \frac12,\,j=1,\dots,d\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Введем семейство матриц равенством
\begin{equation}
A(\theta)= \begin{pmatrix} \widetilde{a}_{11}(\theta)+\beta_1 & \widetilde{a}_{12}(\theta) & \cdots & \widetilde{a}_{1p}(\theta) \\ \widetilde{a}_{21}(\theta) & \widetilde{a}_{22}(\theta)+\beta_2 & \cdots & \widetilde{a}_{2p}(\theta) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \widetilde{a}_{p1}(\theta) & \widetilde{a}_{p2}(\theta) & \cdots & \widetilde{a}_{pp}(\theta)+\beta_p \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3}
где коэффициенты матрицы \widetilde{a}_{jk}(\theta) выражаются через коэффициенты матрицы переходных интенсивностей
\begin{equation*}
\widetilde{a}_{jk}(\theta)=\sum_{g\in\Gamma}a(v_j+g,v_k)e^{-i\langle g,\theta\rangle}, \qquad j,k=1,\dots,p,
\end{equation*}
\notag
а \langle \,{\cdot}\,,{\cdot}\, \rangle обозначает стандартное скалярное произведение в \mathbf{R}^{d}. В силу условия (vii) функции \widetilde{a}_{jk}(\theta) оказываются вещественными и могут быть эквивалентно определены в виде
\begin{equation}
\widetilde{a}_{jk}(\theta)=\sum_{g\in\Gamma}a(v_j+g,v_k)\cos \langle g,\theta\rangle.
\end{equation}
\tag{4}
Основным результатом работы является изучение асимптотического поведения первого момента численности частиц M(v,u,t). А именно, пусть выполнены условия (i)–(vii) и (a)–(e). Тогда при t \to +\infty выполнено равенство где \lambda_1(0) — старшее собственное значение матрицы (3) при \theta=0, \alpha определено в условии (v), а функция m(v,u) может быть вычислена явно.2. Спектральный анализ оператора \mathcal{A}Для исследования асимптотического поведения моментов локальной численности частиц при больших временах необходимо изучить окрестность правого края спектра оператора \mathcal{A}. Такое исследование уже было проведено в работе [16] для случая конечной дисперсии. В этом параграфе мы приводим необходимые нам результаты из [16], доказательство которых не требует условия конечности дисперсии. Отметим, что -\mathcal{A} оказывается дискретным оператором Лапласа на графе G, определенном в условии (vi). В случае, если для любого фиксированного v лишь конечное число a(v,u) отлично от нуля, оператор -\mathcal{A} хорошо исследован (см., например, [1], [3], [5], [7] и упомянутые в них работы). Правый край спектраНапомним, что через p мы обозначили число элементов множества \Omega. Обозначим L^2(\widetilde{\mathcal{C}},\mathbf{C}^p) пространство p-мерных вектор-функций, чья норма квадратично интегрируема по \widetilde{\mathcal{C}}. Введем оператор U\colon \ell^2(\mathbf{Z}^{d})\to L^2(\widetilde{\mathcal{C}},\mathbf{C}^p) равенством
\begin{equation}
(Uf)(v,\theta)=|\widetilde{{\mathcal C}}|^{-1/2}\sum_{g\in\Gamma}e^{-i\langle g,\theta \rangle} f(v+g), \qquad v\in\Omega,
\end{equation}
\tag{6}
где через |\widetilde{\mathcal{C}}| обозначен объем множества \widetilde{\mathcal{C}}. Можно показать, что этот оператор определен на всем \ell^2(\mathbf{Z}^d) и унитарен (см., например, теорему 2 в [16]). Оператор \mathcal{A} унитарно эквивалентен прямому интегралу операторов матриц (3), т.е. справедливо представление
\begin{equation*}
U \mathcal{A} U^{-1}=\int_{\widetilde{\mathcal C}}{\oplus}A(\theta)\,d\theta.
\end{equation*}
\notag
Теория прямых интегралов операторов в абстрактном случае изложена, например, в [9]. Эта теория широко используется для исследования не только периодических разностных операторов, но и периодических дифференциальных операторов (см., например, вторую главу в [14] и упомянутые там работы). Занумеруем собственные значения матриц A(\theta) в порядке убывания Коэффициенты матрицы A(\theta), определенные формулой (4), в силу условия (v) являются, по крайней мере, непрерывными функциями. Тогда и функции \lambda_j(\theta) являются непрерывными. Из теоремы XIII.85 в [9] следует, что для спектра оператора \mathcal{A} выполнено равенство
\begin{equation*}
\sigma(\mathcal{A})=\bigcup_{j=1}^{p}\lambda_j(\widetilde{\mathcal C}),
\end{equation*}
\notag
где \lambda_j(\widetilde{\mathcal C}) обозначает область значений функции \lambda_j(\theta), \theta\in\widetilde{\mathcal C}. Нам потребуется более детальная информация о поведении функции \lambda_1(\theta) в окрестности правого края спектра оператора \mathcal{A} (см. теорему 3 и лемму 4 из [16]). Лемма 2.1. Для функции \lambda_1(\theta) справедливы следующие утверждения: (1) при всех \theta\in\widetilde{\mathcal{C}} выполнено условие причем равенство достигается только при \theta=0;(2) расстояние от правого края спектра оператора \mathcal{A} до правого края второй зоны строго положительно, т.е.
\begin{equation*}
\lambda_1(0)-\max_{\theta\in\widetilde{{\mathcal C}}}\lambda_2(\theta)>0;
\end{equation*}
\notag
(3) старший собственный вектор \psi_1(0) матрицы A(0) может быть выбран таким образом, что все его координаты положительны, т.е. Замечание. Аналогичные утверждения для случая локально конечного графа (т.е. в случае, когда для каждого v\in\mathbf{Z}^d лишь конечное число коэффициентов a(v,u) отлично от нуля) доказаны в [12]. Также в работе [4] аналогичные вопросы рассмотрены для дискретного оператора Шредингера с магнитным потенциалом на конечном графе. Поведение \lambda_1(\theta) при \| \theta \| \to 0Будем говорить, что две функции f и g эквивалентны при x\to x_0, и писать f(x)\sim g(x), если Нам понадобится результат, полученный в работе [8], о поведении рядов из косинусов вида
\begin{equation}
F(\theta)=\sum_{z\in\mathbf{Z}^d\setminus\{0\}}a_z(1-\cos\langle z,\theta \rangle), \qquad \theta \in [-\pi,\pi]^d,
\end{equation}
\tag{7}
при \|\theta\| \to 0, где коэффициенты a_z удовлетворяют условию при \| z \|\to+\infty и \alpha\in(0,2). Обозначим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f(\theta) &=\sum_{j=1}^d \biggl(\prod_{k\ne j} \theta_k^{-1}\biggr) \nonumber \\ &\qquad\times \int^{\theta_{1}}_{-\theta_{1}}\dots\int^{\theta_{j-1}}_{-\theta_{j-1}} \int^{\theta_{j+1}}_{-\theta_{j+1}}\dots\int^{\theta_{d}}_{-\theta_{d}} |\theta_{j}+\eta_2+\dots+\eta_d|^\alpha\,d\eta_2\cdots d\eta_d. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
Здесь имеется в виду, что в слагаемом с номером j есть интегралы по отрезкам [-\theta_k,\theta_k] при всех k\ne j. Функция f(\theta) является неотрицательной и однородной порядка \alpha, т.е.
\begin{equation}
f(\theta)=\| \theta \|^{\alpha} f\biggl(\frac{\theta}{\|\theta\|}\biggr)\geqslant 0.
\end{equation}
\tag{9}
Также функция f(\theta) непрерывна. Отсюда следует, что она равномерно ограниченна сверху и равномерно отделена от нуля на единичной сфере. Теорема 2.1. Пусть \alpha\in (0,2) и F(\theta) определена равенством (7). При \|\theta\|\to0 следующие функции эквивалентны: Доказательство этой теоремы можно найти в [8] (см. теоремы 2 и 5). Используя теорему 2.1, можно описать поведение элементов матрицы A(\theta) при малых значениях \theta. Лемма 2.2. Пусть функции \widetilde{a}_{jk}(\theta) определены равенством (4). При любых j,k=1,\dots,d следующие функции эквивалентны при \|\theta\|\to 0:
\begin{equation*}
\widetilde{a}_{jk}(\theta)\sim \widetilde{a}_{jk}(0)-h_{jk} \, \frac{2}{\alpha}\, \Gamma(1-\alpha)\cos\biggl(\frac{\pi\alpha}{2}\biggr)f(P^*\theta),
\end{equation*}
\notag
где коэффициенты h_{jk} и число \alpha определены в условии (v), а матрица P определена равенством (1). Доказательство. Заметим, что если g пробегает решетку \Gamma, то z=P^{-1}g пробегает \mathbf{Z}^d. Тогда
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{a}_{jk}(\theta) &=\sum_{g\in\Gamma}a(v_j+g,v_k)\cos \langle g,\theta\rangle=\sum_{z\in\mathbf{Z}^d}a(v_j+P z,v_k)\cos \langle z,P^*\theta\rangle \\ &=\widetilde{a}_{jk}(0)-\sum_{z\in\mathbf{Z}^d\setminus\{0\}}a(v_j+Pz,v_k)(1-\cos \langle z,P^*\theta\rangle). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Так как \theta\in\widetilde{C}, то P^*\theta\in[-\pi,\pi]^d, а в силу условия (v) функция \widetilde{a}_{jk}(\theta) удовлетворяет условиям теоремы 2.1, из которой следует утверждение леммы. Лемма 2.3. При малых \| \theta \| для старшего собственного значения \lambda_1(\theta) матрицы A(\theta) выполнено равенство
\begin{equation}
\lambda_1(\theta)=\lambda_1(0)-C \|\theta \|^{\alpha}f\biggl(\frac{P^*\theta}{\|\theta \|}\biggr)+o(\|\theta \|^{\alpha}),
\end{equation}
\tag{10}
где постоянная C>0 явно определяется по \alpha, d, коэффициентам h_{jk} и матрице A(0). Доказательство. В силу леммы 2.2 и однородности (9) функции f(\theta) имеем при малых \|\theta \|
\begin{equation*}
A(\theta)-A(0)\sim - \|\theta \|^{\alpha}\, \frac{2}{\alpha}\, \Gamma(1-\alpha)\cos\biggl(\frac{\pi\alpha}{2}\biggr)f\biggl(\frac{P^*\theta}{\|\theta \|}\biggr) H,
\end{equation*}
\notag
где матрица H состоит из коэффициентов h_{jk}:
\begin{equation*}
H=\begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} & \dots & h_{1d} \\ h_{21} & h_{22} & \dots & h_{2d} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ h_{d1} & h_{d2} & \dots & h_{dd} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
Фиксируем у переменной \theta все угловые координаты. Тогда величину
\begin{equation*}
\varepsilon=\|\theta \|^{\alpha}\, \frac{2}{\alpha}\, \Gamma(1-\alpha)\cos\biggl(\frac{\pi\alpha}{2}\biggr)f\biggl(\frac{P^*\theta}{\|\theta \|}\biggr)
\end{equation*}
\notag
можно считать одномерным малым параметром, причем оператор является аналитическим возмущением оператора A(0). В силу леммы 2.1 старшее собственное значение \lambda_1(0) является простым собственным значением матрицы A(0), а значит, функция \det(A_{\varepsilon}-\lambda I) есть аналитическая функция переменных \varepsilon и \lambda в некоторой окрестности \varepsilon=0 и \lambda=\lambda_1(0). Тогда ее можно представить в виде ряда по \delta \lambda=\lambda-\lambda_1(0) с аналитическими коэффициентами g_k(\varepsilon):
\begin{equation*}
\det(A(0)-\varepsilon H - (\lambda_1(0)+\delta \lambda)I)=\sum_{k=0}^{d}(\delta \lambda)^k g_k(\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
Отсюда следует (см., например, теорему 12.1 из [9]), что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, g_0(\varepsilon) &=\det(A(0)-\varepsilon H-\lambda_1(0)I), \\ g_1(\varepsilon) &=-\sum_{j=1}^{d}M_{jj}(A(0)-\varepsilon H-\lambda_1(0)I), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где M_{jj}(A) обозначает минор матрицы A с вырезанными j-й строкой и j-м столбцом, а для старшего собственного значения \mu_1(\varepsilon) матрицы A_{\varepsilon}
\begin{equation*}
\mu_1(\varepsilon)=\lambda_1(0)+\biggl(\frac{g_0(x)}{g_1(x)}\biggr)'\bigg|_{x=0}\varepsilon +O(\varepsilon^2).
\end{equation*}
\notag
Так как то в силу конечномерной теории возмущений (см., например, теорему 6.3.1 из [6]) то же верно и для старших собственных значений этих операторов:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\lambda_1(\theta) =\mu_1\biggl(\|\theta \|^{\alpha}\, \frac{2}{\alpha}\, \Gamma(1-\alpha)\cos\biggl(\frac{\pi\alpha}{2}\biggr)f\biggl(\frac{P^*\theta}{\|\theta \|}\biggr)\biggr)+o(\|\theta \|^{\alpha}) \\ &\ =\lambda_1(0)+\biggl(\frac{g_0(x)}{g_1(x)}\biggr)'\bigg|_{x=0}\|\theta \|^{\alpha}\, \frac{2}{\alpha}\, \Gamma(1-\alpha)\cos\biggl(\frac{\pi\alpha}{2}\biggr)f \biggl(\frac{P^*\theta}{\|\theta \|}\biggr)+o(\|\theta \|^{\alpha}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда следует (10), а постоянная C определяется равенством
\begin{equation}
C=-\frac{2}{\alpha}\, \Gamma(1-\alpha)\cos\biggl(\frac{\pi\alpha}{2}\biggr) \Biggl(\frac{\det(A(0)-xH-\lambda_1(0)I)}{\sum_{j=1}^{d}M_{jj}(A(0)-x H-\lambda_1(0)I)}\Biggr)'\Bigg|_{x=0},
\end{equation}
\tag{11}
где через M_{jj}(A) вновь обозначен минор матрицы A с вырезанными j-й строкой и j-м столбцом. Лемма доказана. Далее нам понадобится многомерный аналог леммы Ватсона для сферически симметричного случая, доказанный в [18] и для удобства читателя приведенный ниже. где f(\,{\cdot}\,), S(\,{\cdot}\,) — непрерывные функции такие, что f(0)\ne 0, S(x)>0 при всех x\ne 0. Пусть при \|x\| \to 0 следующие функции эквивалентны: для некоторых \alpha>0 и функции \eta(\,{\cdot}\,), непрерывной на сфере и удовлетворяющей оценкам
\begin{equation*}
0<\eta_{*}\leqslant \eta(x) \leqslant \eta^{*}<\infty \quad\forall\, x\in\mathbf{S}^{d-1}
\end{equation*}
\notag
равномерно по x. Тогда при t\to\infty следующие функции эквивалентны:
\begin{equation*}
L(t)\sim \frac{2\pi \Gamma(d/\alpha)}{\alpha\Gamma(d/2)}f(0)(\eta_0 t)^{-d/\alpha},
\end{equation*}
\notag
где \eta_0\in[\eta_*, \eta^*] — некоторая константа. Замечание. Из доказательства теоремы 1 в работе [18] следует, что постоянная \eta_0 равна
\begin{equation}
\eta_0=\frac{(2\pi)^{\alpha/d}}{(\Gamma(d/2)I_\eta)^{\alpha/d}},
\end{equation}
\tag{12}
где I_\eta — это интеграл по единичной сфере, 3. Асимптотическое поведение среднего числа частицНапомним, что M(v,u,t)=(P^t\delta_u)(v) описывает среднее число частиц ветвящегося случайного блуждания в момент времени t в точке u, если в начальный момент времени t=0 мы стартовали из точки v. Обозначим через \psi_1(0) собственный вектор матрицы A(0), отвечающий старшему собственному значению \lambda_1(0). В силу пункта (3) леммы 2.1 он может быть выбран строго положительным. Напомним, что для любой вершины u существует единственное представление в виде где \omega_u \in \Omega и \gamma_u \in \Gamma.Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (i)–(vii) и (a)–(e). Тогда при t \to +\infty следующие функции эквивалентны: где функция m(v,u) определяется равенством
\begin{equation*}
m(v,u) = \frac{1}{\alpha}\, \Gamma\biggl(\frac{d}{\alpha}\biggr) \frac{\psi_1(\omega_u,0)\,\psi_1(\omega_v,0)}{|\widetilde{{\mathcal C}}|} \int_{\mathbf{S}^{d-1}}\frac{dS(\varphi)}{(C f(\varphi))^{d/\alpha}},
\end{equation*}
\notag
а функция f(\,{\cdot}\,) и постоянная C определены формулами (8) и (11) соответственно. Доказательство. Из уравнения (2) следует, что
\begin{equation*}
M(v,u,t)=e^{\mathcal{A} t}M(v,u,0)=e^{\mathcal{A} t}\delta_u(v), \qquad v\in\mathbf{Z}^{d},\quad u\in\mathbf{Z}^{d}.
\end{equation*}
\notag
Представим M(v,u,t) в следующем виде:
\begin{equation*}
M(v,u,t)=\langle M(\cdot,u,t),\delta_v(\,{\cdot}\,)\rangle_{\ell^2(\mathbf{Z}^d)}.
\end{equation*}
\notag
В силу унитарности оператора U, определенного соотношением (6), имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M(v,u,t) &=\int_{\widetilde{{\mathcal C}}} \langle Ue^{\mathcal{A} t}\delta_u(\cdot,\theta), U\delta_v(\cdot,\theta)\rangle \,d\theta \\ &=\int_{\widetilde{{\mathcal C}}} \langle e^{A(\theta) t}U\delta_u(\cdot,\theta), U\delta_v(\cdot,\theta)\rangle \,d\theta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Для w\in\Omega имеем
\begin{equation*}
U{\delta}_{u}(w)=|\widetilde{{\mathcal C}}|^{-1/2} \sum_{g\in\Gamma}e^{-i \langle g,\theta \rangle}\delta_u(w+g)=|\widetilde{{\mathcal C}}|^{-1/2} e^{-i\langle\gamma_u,\theta\rangle}\widetilde{\delta}_{\omega_u}(w),
\end{equation*}
\notag
где \widetilde{\delta}_u(\,{\cdot}\,) — индикаторная функция одноточечного множества \{u\}, u\in\Omega, в пространстве \mathbf{C}^p,
\begin{equation*}
\widetilde{\delta}_u(v)=\begin{cases} 1, &u=v, \\ 0, &u\ne v. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Разложим функции \widetilde{\delta}_{\omega_u}(w) по собственным функциям оператора A(\theta) при каждом \theta\in\widetilde{\mathcal C}:
\begin{equation*}
\widetilde{\delta}_{\omega_u}(w,\theta)=\sum_{j=1}^{p}c_j^{\omega_u}(\theta)\psi_j(w,\theta),
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
c_j^{\omega_u}(\theta)=\langle \widetilde{\delta}_{\omega_u}(\,{\cdot}\,), \psi_j(\,{\cdot}\,,\theta)\rangle=\overline{\psi}_j(\omega_u,\theta).
\end{equation*}
\notag
Записанное таким образом действие оператора e^{A(\theta)t} на функцию \widetilde{\delta}_{\omega_u}(w) представляется в виде
Тогда для M(v,u,t) получаем
\begin{equation*}
M(v,u,t)=\frac{1}{|\widetilde{{\mathcal C}}|}\int_{\widetilde{{\mathcal C}}} \sum_{j=1}^p e^{\lambda_j(\theta) t}\,e^{i\langle \gamma_v-\gamma_u,\theta\rangle} \overline{\psi}_j(\omega_u,\theta)\psi_j(\omega_v,\theta)\, d\theta.
\end{equation*}
\notag
Из леммы 2.1 следует, что главный вклад в асимптотику при больших временах дает слагаемое с j=1. Имеем
\begin{equation*}
M(v,u,t)\sim\frac{e^{\lambda_1(0)t}}{|\widetilde{{\mathcal C}}|}\int_{\widetilde{{\mathcal C}}}e^{(\lambda_1(\theta)-\lambda_1(0)) t} e^{i\langle \gamma_v-\gamma_u,\theta\rangle} \overline{\psi}_1(\omega_u,\theta) \psi_1(\omega_v,\theta)\,d\theta.
\end{equation*}
\notag
В силу лемм 2.1 и 2.3 полученный интеграл удовлетворяет условиям теоремы 2.2. Тогда
\begin{equation*}
M(v,u,t)\sim m(v,u) e^{\lambda_1(0)t} t^{-d/\alpha}, \qquad t\to+\infty,
\end{equation*}
\notag
где функция m(v,u) определяется равенством
\begin{equation*}
m(v,u) = \frac{1}{\alpha}\, \Gamma\biggl(\frac{d}{\alpha}\biggr) \frac{\psi_1(\omega_u,0)\,\psi_1(\omega_v,0)}{|\widetilde{{\mathcal C}}|} \int_{\mathbf{S}^{d-1}}\frac{dS(\varphi)}{(C f(\varphi))^{d/\alpha}},
\end{equation*}
\notag
а функция f(\,{\cdot}\,) и постоянная C определены формулами (8) и (11) соответственно. Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Rya24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|