Д. В. Артамонов, “Классические $6j$-символы конечномерных представлений алгебры $\mathfrak{gl}_3$”, ТМФ, 216:1 (2023), 3–19; Theoret. and Math. Phys., 216:1 (2023), 909

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2023, том 216, номер 1, страницы 3–19
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10519 (Mi tmf10519)

Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

Классические

$6j$ -символы конечномерных представлений алгебры

$\mathfrak{gl}_3$

Д. В. Артамонов

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия

PDF полного текста (550 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (2)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10519

Аннотация: Найдена явная формула для произвольного

$6j$ -символа конечномерных неприводимых представлений алгебры Ли

$\mathfrak{gl}_3$ . Он записывается как результат подстановки

$\pm 1$ в ряд гипергеометрического типа, родственный

$\Gamma$ -ряду – простейшему гипергеометрическому ряду от нескольких переменных. Приведены необходимые условия того, чтобы значение

$6j$ -символа было отлично от нуля.

Ключевые слова:

$6j$ -символы, гипергеометрические функции.

Поступило в редакцию: 12.04.2023
После доработки: 12.04.2023

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 1, Pages 909–923
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923070012

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 17B10 33C80

1. Введение

1.1. Коэффициенты Рака

Коэффициенты Рака для алгебры Ли $g$ определяются следующим образом. Рассмотрим неприводимые представления $V^1$ , $V^2$ , $V^3$ данной алгебры и их тензорное произведение $V^1\otimes V^2\otimes V^3$ . Скобки в данном произведении могут быть расставлены двумя способами: как

$\begin{equation*} (V^1\otimes V^2)\otimes V^3\quad\text{или}\quad V^1\otimes (V^2\otimes V^3). \end{equation*} \notag$

Соответственно произведение

$V^1\otimes V^2\otimes V^3$ в сумму неприводимых представлений можно разлагать двумя способами.

1. Сначала разлагаем произведение $V^1\otimes V^2$ :

$\begin{equation} V^1\otimes V^2=\bigoplus_U \operatorname{Mult} _U^{V^1,V^2}\mathrel{\otimes}U, \end{equation} \tag{1}$

где

$U$ – неприводимое представление, а

$\operatorname{Mult} _U^{V^1,V^2}$ – пространство кратности. Это векторное пространство, не снабженное действием алгебры

$g$ . Умножая тензорно равенство (1) на

$V^3$ справа, получаем

$\begin{equation} (V^1\otimes V^2)\otimes V^3=\bigoplus_{U,W} \operatorname{Mult} _U^{V^1,V^2}\otimes \operatorname{Mult} _W^{U,V^3}\mathrel{\otimes}W. \end{equation} \tag{2}$

2. Сначала разлагаем произведение $V^2\otimes V^3$ как

$\begin{equation} V^2\otimes V^3=\bigoplus_U \operatorname{Mult} _{H}^{V^2,V^3}\mathrel{\otimes}H \end{equation} \tag{3}$

и далее получаем

$\begin{equation} V^1\otimes (V^2\otimes V^3)=\bigoplus_{U,W} \operatorname{Mult} _{H}^{V^2,V^3}\otimes \operatorname{Mult} _W^{V^1,H}\mathrel{\otimes}W. \end{equation} \tag{4}$

Имеется изоморфизм $\Phi\colon(V^1\otimes V^2)\otimes V^3\to V^1\otimes (V^2\otimes V^3)$ , который дает отображение

$\begin{equation} \Phi\colon\;\bigoplus_{U,W} \operatorname{Mult} _U^{V^1,V^2}\otimes \operatorname{Mult} _W^{U,V^3}\to\bigoplus_{U,W} \operatorname{Mult} _{H}^{V^2,V^3}\otimes \operatorname{Mult} _W^{V^1,H}. \end{equation} \tag{5}$

Определение 1. Отображение Рака – это отображение, индуцированное изоморфизмом $\Phi$ :

$\begin{equation} W\begin{Bmatrix} V^1 & V^2 & U \\ V^3 & W & H \end{Bmatrix}\colon\; \operatorname{Mult} _U^{V^1,V^2}\otimes \operatorname{Mult} _W^{U,V^3}\to \operatorname{Mult} _{H}^{V^2,V^3}\otimes \operatorname{Mult} _W^{V^1,H}. \end{equation} \tag{6}$

После выбора базиса в пространствах кратности появляются матричные элементы отображения Рака. Они называются коэффициентами Рака. Если

$s$ – индекс, перечисляющий базисные векторы в пространстве кратности, то для коэффициентов Рака используется обозначение

$\begin{equation} W\begin{Bmatrix} V^1 & V^2 & U \\ V^3 & W & H \end{Bmatrix}^{\!s_1,s_2}_{\!s_3,s_4}, \end{equation} \tag{7}$

где

$s_1$ ,

$s_2$ ,

$s_3$ ,

$s_4$ – индексы базисных векторов в

$\operatorname{Mult} _U^{V^1,V^2}$ ,

$\operatorname{Mult} _W^{U,V^3}$ ,

$\operatorname{Mult} _P^{V^2,V^3}$ ,

$\operatorname{Mult} _W^{V^1,H}$ соответственно.

Из этого определения понятно значение коэффициентов Рака с точки зрения теории представлений. Рассмотрим категорию конечномерных представлений и перейдем к ее кольцу Гротендика. Фактически это означает переход от категории представлений к кольцу их характеров. При этом переходе теряется часть информации о категории представлений, например информация, заключенная в коэффициентах Рака [1]. В некоторых случаях категорию представлений можно восстановить по кольцу Гротендика и коэффициентам Рака.

Коэффициенты Рака применяются в квантовой механике. Они были введены Рака в работе [2]. В случае алгебры $g=\mathfrak{sl}_2$ эти коэффициенты обсуждаются во всех учебниках по квантовой механике (см., например, [3], [4]) и учебниках по теории углового момента (см., например, [5], [6]). Для конечномерных неприводимых представлений алгебры $\mathfrak{sl}_2$ имеются явные формулы для коэффициентов Рака, в которых они выражаются как значения гипергеометрических функций [7]. При этом задача вычисления коэффициентов Рака для бесконечномерных представлений алгебры $\mathfrak{sl}_2$ остается до сих пор актуальной [8], [9]. Коэффициенты Рака для $\mathfrak{sl}_3$ также представляют интерес [10], [11]. Общая формула для $6j$ -символа в случае алгебры $\mathfrak{sl}_3$ неизвестна (см. введение к диссертации [12]). На сегодняшний день явные формулы получены только для некоторых классов представлений [13]–[16]. Отметим также работы [17], [18], где найдены некоторые классы коэффициентов Рака, и этот результат играет важную техническую роль в вычислении некоторых коэффициентов Клебша–Гордана для алгебры $\mathfrak{gl}_3$ .

Также следует отметить, что в настоящее время даже большее внимание уделяется квантовым коэффициентам Рака, т. е. коэффициентам Рака для квантовых алгебр Ли. Привести полный обзор этой деятельности не представляется возможным, упомянем лишь недавние работы [19], [20], где рассматривались коэффициенты Рака для алгебр, отличных от $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ .

1.2. $6j$ -Символы

Данные коэффициенты были введены Вигнером¹ даже ранее, чем коэффициенты Рака. Для их определения сначала введем $3j$ -символы. Пусть $V^1$ , $V^2$ , $V^3$ – представления алгебры $g$ и $\{v^1_\alpha\}$ , $\{v^2_\beta\}$ , $\{v^3_\gamma\}$ – базисы в этих представлениях.

Определение 2. $3j$ -Символ – это набор числовых коэффициентов

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} V^1 & V^2 & V^3 \\ v^1_\alpha & v^2_\beta & v^3_\gamma \end{pmatrix}^{\!f}\in \mathbb{C}, \end{equation*} \notag$

такой что

$\begin{equation*} \sum_{\alpha,\beta,\gamma}\begin{pmatrix} V^1 & V^2 & V^3 \\ v^1_\alpha & v^2_\beta & v^3_\gamma \end{pmatrix}^{\!f} v^1_\alpha\otimes v^2_\beta\otimes v^3_\gamma=f\in V^1\otimes V^2\otimes V^3, \end{equation*} \notag$

где

$f$ – семиинвариант для действия алгебры

$\mathfrak{gl}_3$ , т. е.

$f$ является собственным вектором для картановской подалгебры и обращается в нуль при действии корневыми элементами.

Легко заметить связь $3j$ -символов с коэффициентами Клебша–Гордана. Возьмем разложение (1), введем в пространстве кратности базис $\{e_s\}$ и положим $U^s:=e_s\otimes U$ , тогда (1) можно написать так: $V^1\otimes V^2=\bigoplus_{s,U}U^s$ . Выбрав базисы $\{v^1_\alpha\}$ , $\{v^2_\beta\}$ , $\{u^s_\gamma\}$ в этих пространствах, получаем

$\begin{equation} u_\gamma^s=\sum_{\alpha,\beta} D^{U,\gamma,s}_{V^1,V^2;\alpha,\beta}\,v_\alpha^1\otimes v_\beta^2. \end{equation} \tag{8}$

Коэффициент

$D^{U,\gamma,s}_{V^1,V^2;\alpha,\beta}\in\mathbb{C}$ называется коэффициентом Клебша–Гордана, он связан с

$3j$ -символом соотношением

$\begin{equation*} D^{U,\gamma,s}_{V^1,V^2;\alpha,\beta}=\begin{pmatrix} V^1 & V^2 & \kern1.5pt\overline{\vphantom{U}\kern5.6pt}\kern-7.1pt U \\ v^1_\alpha & v^2_\beta & \bar u_\gamma \end{pmatrix}^{\!s}, \end{equation*} \notag$

где

$\kern1.5pt\overline{\vphantom{U}\kern5.6pt}\kern-7.1pt U$ и

$\bar u_\gamma$ – контраградиентное представление и двойственный базис в нем. Введение индекса

$s$ у

$3j$ -символов несет следующую информацию. Пространство

$3j$ -символов с заданными внутренними индексами изоморфно пространству кратности. Поэтому, фиксируя базис в пространстве кратности, мы фиксируем базисные

$3j$ -символы.

Определение 3. $6j$ -Символом называется результат спаривания $3j$ -символов по правилу

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \begin{Bmatrix} V^1 & V^2 & U \\ V^3 & W & H \end{Bmatrix}^{s_1,s_2}_{s_3,s_4}&{}:= \sum_{\alpha_1,\ldots,\alpha_6} \begin{pmatrix} \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^1 & \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^2 & U \\ \bar v^1_{\alpha_1} & \bar v^2_{\alpha_2} & u_{\alpha_4}\end{pmatrix}^{\!s_1}\cdot \begin{pmatrix} \kern1.5pt\overline{\vphantom{U}\kern5.6pt}\kern-7.1pt U & \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^3 & W \\ \bar u_{\alpha_4} & \bar v^3_{\alpha_3} & w_{\alpha_5} \end{pmatrix}^{s_2}\times{} \notag\\ &\qquad\qquad\quad\times \begin{pmatrix} V^2 & V^3 & \kern1.9pt\overline{\vphantom{H}\kern6.2pt}\kern-8.1pt H \\ v^2_{\alpha_2} & v^3_{\alpha_3} & \bar h_{\alpha_6} \end{pmatrix}^{\!s_3}\cdot \begin{pmatrix} V^1 & H & \kern0.5pt\overline{\vphantom{W}\kern10pt}\kern-10.5pt W \\ v^1_{\alpha_1} & h_{\alpha_6} & \bar w_{\alpha_5}\end{pmatrix}^{\!s_4}. \end{aligned} \end{equation} \tag{9}$

Это выражение следует понимать так: на

$3j$ -символ алгебра Ли

$g$ действует путем действия на нижние индексы. Мы образуем семиинвариант из четырех

$3j$ -символов, спаривая индексы так, что у двух

$3j$ -символов спаривается только одна пара индексов.

Теперь запишем связь коэффициентов Рака и $6j$ -символов:

$\begin{equation*} W\begin{Bmatrix} V^1 & V^2 & U \\ V^3 & W & H \end{Bmatrix}^{\!\bar s_1,\bar s_2}_{s_3,s_4}= \begin{Bmatrix} V^1 & V^2 & U \\ V^3 & W & H \end{Bmatrix}^{\!s_1,s_2}_{s_3,s_4}. \end{equation*} \notag$

В этом выражении мы используем тот факт, что имеет место двойственность между пространствами

$\operatorname{Mult} ^{V^1,V^2}_U$ и

$\operatorname{Mult} ^{\bar V^1,\bar V^2}_{\bar U}$ . При этом если

$s$ – индекс базисного вектора в

$\operatorname{Mult} ^{V^1,V^2}_U$ , то

$\bar s$ – индекс двойственного базиса в

$\operatorname{Mult} ^{\bar V^1,\bar V^2}_{\bar U}$ . Далее мы будем иметь дело с

$6j$ -символами.

1.3. Результаты настоящей работы

Мы получаем простую явную формулу для произвольного $6j$ -символа конечномерных неприводимых представлений алгебры $\mathfrak{gl}_3$ . Это удается сделать благодаря использованию следующих идей.

Во-первых, используется так называемая реализация А-ГКЗ представления алгебры $\mathfrak{gl}_3$ , подробно описанная в [21]. Пространство представления реализуется как подпространство в пространстве полиномов от переменных $A_X$ , $X\subset\{1,2,3\}$ , антисимметричных по $X$ , но не подчиняющимся каким-либо другим соотношениям. Пространство представления описывается как пространство полиномиальных решений некоторого уравнения в частных производных, называемого антисимметризованным уравнением Гельфанда–Капранова–Зелевинского (уравнением А-ГКЗ). В данной реализации удается найти в явном виде функции от переменных $A_X$ , соответствующие базисным векторам Гельфанда–Цетлина (см. оригинальную работу [22], а также [21]). Важно, что в данной модели имеется записывающееся явно скалярное произведение.

Во-вторых, используется построенный в [23] индекс кратности $s$ для коэффициентов Клебша–Гордана и $3j$ -символов.

В-третьих, используется полученная в [21] явная и простая формула для произвольного $3j$ -символа конечномерных неприводимых представлений².

Эти обстоятельства позволяют найти простую формулу для произвольного $6j$ -символа конечномерных неприводимых представлений, выражающуюся через значения функции гипергеометрического типа.

Структура настоящей работы такова. Во вводном разделе 2 описывается представление А-ГКЗ и функциональные реализации представлений алгебры $\mathfrak{gl}_3$ , а также приведены решение проблемы кратности для задачи разложения тензорного произведения $\mathfrak{gl}_3$ в сумму неприводимых представлений и формула для $3j$ -символа через скалярные произведения. В основном разделе 3 вычисляется произвольный $6j$ -символ для алгебры $\mathfrak{gl}_3$ . Прежде всего в п. 3.1 для него приведена неявная формула через скалярное произведение (лемма 1), затем в п. 3.2 доказаны правила отбора для $6j$ -символа (теорема 3). Наконец, в п. 3.3 получена явная формула для $6j$ -символа (теорема 4).

2. Основные понятия

2.1. $A$ -гипергеометрические функции

Подробную информацию о $\Gamma$ -ряде можно найти в работе [24].

Пусть $B\subset\mathbb{Z}^N$ – решетка, $\mu\in\mathbb{Z}^N$ – фиксированный вектор. Определим гипергеометрический $\Gamma$ -ряд от переменных $z_1,\ldots,z_N$ формулой

$\begin{equation} \mathcal F_\mu(z,B)=\sum_{b\in B}\frac{z^{b+\mu}}{\Gamma(b+\mu+1)}, \end{equation} \tag{10}$

где

$z=(z_1,\ldots,z_N)$ , в числителе и знаменателе используются мультииндексные обозначения

$\begin{equation*} z^{b+\mu}:=\prod_{i=1}^N z_i^{b_i+\mu_i},\qquad\Gamma(b+\mu+1):=\prod_{i=1}^N\Gamma(b_i+\mu_i+1). \end{equation*} \notag$

Замечание 1. Более компактная запись для ряда (10) такова:

$\begin{equation*} \mathcal F_\mu(z,B)=\sum_{x\in\mu+B}\frac{z^x}{\Gamma(x+1)}. \end{equation*} \notag$

Заметим, что если хотя бы одна из компонент вектора $b+\mu$ целая отрицательная, то соответствующее слагаемое в (10) обращается в ноль. Благодаря этому рассматриваемые в работе ряды будет содержать только конечное число членов. Для простоты мы будем писать факториалы вместо $\Gamma$ -функций.

$\Gamma$ -ряд удовлетворяет системе ГКЗ. Выпишем ее явно в случае, когда

$\begin{equation*} z=(z_3,z_1,z_2,z_{1,3},z_{2,3},z_{1,2}),\qquad B=\mathbb{Z}\langle v=e_1-e_2-e_{1,3}+e_{2,3}\rangle. \end{equation*} \notag$

Имеем

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \biggl(\frac{\partial^2}{\partial z_1\,\partial z_{2,3}}-\frac{\partial^2}{\partial z_2\,\partial z_{1,3}}\biggr)\mathcal F_\mu(z,B)=0, \\ \begin{aligned} \, \biggl(z_1\frac{\partial}{\partial z_1}+z_2\frac{\partial}{\partial z_2}\biggr)\mathcal F_\mu(z,B)&=(\mu_1+\mu_2)\mathcal F_\mu(z,B), \\ \biggl(z_1\frac{\partial}{\partial z_1}+z_{1,3}\frac{\partial}{\partial z_{1,3}}\biggr)\mathcal F_\mu(z,B)&=(\mu_1+\mu_{1,3})\mathcal F_\mu(z,B), \\ \biggl(z_1\frac{\partial}{\partial z_1}-z_{2,3}\frac{\partial}{\partial z_{2,3}}\biggr)\mathcal F_\mu(z,B)&=(\mu_1-\mu_{2,3})\mathcal F_\mu(z,B), \end{aligned} \\ z_3\frac{\partial}{\partial z_3}\mathcal F_\mu(z,B)=\mu_3\mathcal F_\mu(z,B),\qquad z_{1,2}\frac{\partial}{\partial z_{1,2}}\mathcal F_\mu(z,B)=\mu_{1,2}\mathcal F_\mu(z,B). \end{gathered} \end{equation} \tag{11}$

2.2. Реализация А-ГКЗ представления алгебры $\mathfrak{gl}_3$

Всюду далее в работе речь пойдет о конечномерных неприводимых представлениях. Подробности можно найти в [21].

Рассмотрим переменные $A_X$ , где $X\subset\{1,2,3\}$ – собственное подмножество, антисимметричные по $X$ , но другим соотношениям не подчиняющиеся. На этих переменных имеется действие алгебры $\mathfrak{gl}_3$ , определяемое по правилу

$\begin{equation} E_{i,j}A_X=\begin{cases} A_{X|_{j\mapsto i}}, & \text{если}\;\,j\in X, \\ 0 & \text{в прочих случаях}. \end{cases} \end{equation} \tag{12}$

Здесь

$X|_{j\mapsto i}$ обозначает процедуру замены индекса

$j$ на

$i$ .

Рассмотрим уравнение А-ГКЗ

$\begin{equation} \biggl(\frac{\partial^2}{\partial A_1\,\partial A_{2,3}}-\frac{\partial^2}{\partial A_2\,\partial A_{1,3}}+ \frac{\partial^2}{\partial A_3\,\partial A_{1,2}}\biggr)F=0. \end{equation} \tag{13}$

Замечание 2. Термин А-ГКЗ объясняется так. Рассмотрим систему (11), оставим в ней только первое уравнение и “антисимметризуем” его, добавив третий член. Получающееся уравнение и есть уравнение А-ГКЗ.

Имеет место следующее утверждение [21].

Теорема 1. Пространство полиномиальных решений уравнения (13) инвариантно под действием алгебры $\mathfrak{gl}_3$ . Как представление пространство полиномиальных решений есть прямая сумма с кратностью $1$ всех конечномерных неприводимых представлений с $m_3=0$ . Пространство неприводимого представления со старшим весом $[m_1,m_2,0]$ имеет старший вектор $A_1^{m_1-m_2}A_{1,2}^{m_2}$ и состоит из всех полиномиальных решений, у которых однородная степень по переменным $A_X$ с $|X|=1$ равна $m_1-m_2$ , а однородная степень по переменным $A_X$ с $|X|=2$ равна $m_2$ .

Укажем базис в пространстве полиномиальных решений. Для этого рассмотрим пространство $\mathbb{C}^6$ с координатами $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_{1,2}$ , $A_{1,3}$ , $A_{2,3}$ и определим векторы

$\begin{equation} v=e_1-e_2-e_{1,3}+e_{2,3},\qquad r=e_3+e_{1,2}-e_1-e_{2,3}. \end{equation} \tag{14}$

Теперь рассмотрим

$\Gamma$ -ряд, связанный с решеткой

$B=\mathbb{Z}\langle v\rangle$ и вектором

$\mu\in\mathbb{Z}^6$ :

$\begin{equation} \mathcal F_\mu(A,B):=\sum_{t\in\mathbb{Z}}\frac{A^{\mu+tv}}{(\mu+tv)!}. \end{equation} \tag{15}$

Здесь мы использовали мультииндексное обозначение

$\begin{equation*} A^{\mu+tv}=\prod_X A_X^{\mu_X+tv_X},\qquad (\mu+tv)!=\prod_X (\mu_X+tv_X)!\,. \end{equation*} \notag$

Тогда (см. необходимые вычисления в [23], [25] или [21]) базис в пространстве полиномиальных решений образуют ненулевые функции

$\begin{equation} F_\mu(A):=\sum_{s\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}} q^\mu_s \zeta_A^{s}\mathcal F_{\mu-sr}(A), \end{equation} \tag{16}$

где

$\begin{equation} \begin{gathered} \, t_0=1, \qquad t^\mu_s=\frac{1}{s(s+1)+s(\mu_1+\mu_2+\mu_{1,3}+\mu_{2,3})}\;\;\text{при}\;\;s>0, \\ q_\mu^s=\frac{t_s^\mu}{\sum_{s'\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}} t_{s'}^\mu}, \\ r=e_3+e_{1,2}-e_1-e_{2,3},\qquad \zeta_A=A_1A_{2,3}-A_2A_{1,3}. \end{gathered} \end{equation} \tag{17}$

Заметим, что функция

$F_\mu(A)$ фактически зависит не от вектора

$\mu$ , а от сдвинутой решетки

$\Pi=\mu+\mathbb{Z}\langle v\rangle$ . Если данная функция ненулевая, то она есть не что иное, как базисный вектор Гельфанда–Цетлина. А именно, диаграмме Гельфанда–Цетлина

$\begin{equation*} (m_{p,q})=\begin{pmatrix} m_{1,3} & & m_{2,3} & & m_{3,3} \\ & m_{1,2} & & m_{2,2} \\ & & m_{1,1} \end{pmatrix} \end{equation*} \notag$

соответствует такая функция

$F_\mu(A)$ , что сдвинутая решетка

$\Pi=\mu+\mathbb{Z}\langle v\rangle$ задается уравнениями

$\begin{equation} \delta\in\Pi\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} \delta_1+\delta_2+\delta_3+\delta_{1,2}+\delta_{1,3}+\delta_{2,3}=m_{1,3}, \\ \delta_{1,2}+\delta_{1,3}+\delta_{2,3}=m_{2,3}, \\ \delta_1+\delta_2+\delta_{1,2}+\delta_{1,3}+\delta_{2,3}=m_{1,2}, \\ \delta_{1,2}=m_{2,2}, \\ \delta_1+\delta_{1,2}+\delta_{1,3}=m_{1,1}, \end{cases} \end{equation} \tag{18}$

причем такое соответствие между диаграммами Гельфанда–Цетлина и ненулевыми функциями

$F_\mu(A)$ взаимно однозначно.

Важно, что в реализации А-ГКЗ имеется записываемое в явном виде инвариантное скалярное произведение

$\begin{equation} \langle f(A),g(A)\rangle=f\biggl(\frac{\partial}{\partial A}\biggr)g(A)\big|_{A=0}. \end{equation} \tag{19}$

Также заметим, что если представление

$V$ реализовано в пространстве полиномов от переменных

$A_X$ , т. е.

$V=\{h(A)\}$ , то контраградиентное представление реализуется в пространстве полиномов от операторов

$\partial/\partial A_X$ , на которых имеется действие алгебры

$\mathfrak{gl}_3$ , порожденное действием на функциях от

$A_X$ . При этом

$\begin{equation*} \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V =\biggl\{h\biggl(\frac{\partial}{\partial A_X}\biggl)\colon\,h(A)\in V\biggr\}. \end{equation*} \notag$

Спаривание задается формулой, аналогичной (19):

$\begin{equation} \biggl\{h_1(A),h_2\biggr(\frac{\partial}{\partial A_X}\biggr)\biggr\}=h_2\biggl(\frac{\partial}{\partial A_X}\biggr)h_1(A)\big|_{A=0}. \end{equation} \tag{20}$

Так как базис

$F_\mu(A)$ есть базис Гельфанда–Цетлина, который является ортогональным, двойственным базисом к

$F_\mu(A)$ будет базис

$\frac{1}{|F_\mu|^2}F_\mu\bigl(\frac{\partial}{\partial A}\bigr)$ .

2.3. Функциональная реализация

Нам понадобится еще одна реализация, подробности о ней можно найти в [26]. Функции на группе $GL_3$ образуют представление группы $GL_3$ . На функцию $f(g)$ , $g\in GL_3$ , элемент группы $X\in GL_3$ действует с помощью правых сдвигов по правилу

$\begin{equation} (Xf)(g)=f(gX). \end{equation} \tag{21}$

Переходя к инфинитезимальному действию, получаем, что на пространстве всех функций на

$GL_3$ имеется действие алгебры

$\mathfrak{gl}_3$ .

Любое конечномерное неприводимое представление может быть реализовано как подпредставление в пространстве функций. А именно, если $[m_1,m_2,m_3]$ – старший вес, то в пространстве всех функций имеется старший вектор с таким весом, который явно записывается следующим образом. Пусть $a_i^j$ , $i,j=1,2,3$ , – функция матричного элемента на группе $GL_3$ . Здесь $j$ – номер строки, а $i$ – номер столбца. Кроме того, положим

$\begin{equation} a_{i_1,\ldots,i_k}:=\det(a_i^j)_{i=i_1,\ldots,i_k}^{j=1,\ldots,k}, \end{equation} \tag{22}$

где берется определитель подматрицы в матрице

$(a_i^j)$ , образованный строками с номерами

$1,\ldots,k$ и столбцами с номерами

$i_1,\ldots,i_k$ . Оператор

$E_{i,j}$ действует на определитель путем действия на индексы столбцов по формуле, аналогичной (12):

$\begin{equation} E_{i,j}a_X=\begin{cases} a_{X|_{j\mapsto i}}, & \text{если}\;\, j\in X, \\ \;\;0 & \text{в прочих случаях}.\end{cases} \end{equation} \tag{23}$

Имеется отображение из реализации А-ГКЗ в функциональную, состоящее в замене

$\begin{equation} A_X\mapsto a_x. \end{equation} \tag{24}$

Принципиальное отличие данной реализации от реализации А-ГКЗ состоит в том, что определители

$a_x$ подчиняются соотношению Плюккера

$\begin{equation} a_1a_{2,3}-a_2a_{1,3}+a_3a_{1,2}=0, \end{equation} \tag{25}$

а переменные

$A_X$ независимы. С одной стороны, это упрощает описание пространства представления. Так, имеет место теорема (ср. с теоремой 1).

Теорема 2. Пространство неприводимого представления, старший вес которого равен $[m_1,m_2,0]$ , а старший вектор есть $a_1^{m_1-m_2}a_{1,2}^{m_2}$ , состоит из всех полиномов, у которых однородная степень по переменным $a_X$ с $|X|=1$ равна $m_1-m_2$ , а однородная степень по переменным $a_X$ с $|X|=2$ равна $m_2$ .

C другой стороны, при этом усложняются многие вычисления. Так, формула для инвариантного скалярного произведения (19) неверна, если механически заменить $A_X$ на $a_X$ . Тем не менее имеет место следующий результат: при подстановке (24) функция $F_\mu(A)$ переходит в $\mathcal F_\mu(a,B)$ , так что $\mathcal F_\mu(a,B)$ есть вектор базиса Гельфанда–Цетлина в функциональной реализации.

2.4. Решение проблемы кратности для $3j$ -символов

Построим в явном виде индекс кратности $s$ для $3j$ -символов. Тройное тензорное произведение может быть реализовано в пространстве функций на $GL_3\times GL_3\times GL_3$ . Функции матричных элементов на этих экземплярах $GL_3$ будем обозначать как $a_i^j$ , $b_i^j$ , $c_i^j$ . Соответствующими буквами будем обозначать определители матриц, составленных из этих матричных элементов.

Построим в явном виде некоторые семиинвариантные векторы $f$ . Легко понять, что семиинвариантным является вектор вида

$\begin{equation} f=\frac{(abc)^{\tau_1}(aac)^{\tau_2}(acc)^{\tau_3}(aab)^{\tau_4}(abb)^{\tau_5}(bbc)^{\tau_6}(bcc)^{\tau_7}(aabbcc)^{\tau_8}} {\tau_1!\,\tau_2!\,\tau_3!\,\tau_4!\,\tau_5!\,\tau_6!\,\tau_7!\,\tau_8!}, \end{equation} \tag{26}$

где

$\begin{equation*} (abc)=\det\begin{pmatrix} a_1^1 & a_2^1 & a_3^1 \\ b_1^1 & b_2^1 & b_3^1 \\ c_1^1 & c_2^1 & c_3^1 \end{pmatrix},\qquad (aac)=\det\begin{pmatrix} a_1^1 & a_2^1 & a_3^1 \\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 \\ c_1^1 & c_2^1 & c_3^1 \end{pmatrix}\qquad \text{и т. д.} \end{equation*} \tag{27}$

Здесь

$\begin{equation*} (aabbcc):=(\tilde a\tilde b\tilde c),\qquad \tilde a_1^1:=a_{2,3},\quad \tilde a_2^1:=-a_{1,3},\quad \tilde a_3^1:=a_{1,2} \end{equation*} \notag$

$\tilde b_i^1$ ,

$\tilde c_i^1$ определяются аналогично. При этом

$f$ лежит в тензорном произведении

$V^1\otimes V^2\otimes V^3$ представлений со старшими весами

$[m_1,m_2,0]$ ,

$[m'_1,m'_2,0]$ ,

$[M_1,M_2,0]$ , если и только если выполнены условия

$\begin{equation} \begin{alignedat}{3} m_1&=\tau_1+\tau_2+\tau_3+\tau_4+\tau_5+\tau_8,&\qquad m_2&=\tau_2+\tau_4+\tau_8, \\ m'_1&=\tau_1+\tau_4+\tau_5+\tau_6+\tau_7+\tau_8,&\qquad m'_2&=\tau_5+\tau_6+\tau_8, \\ M_1&=\tau_1+\tau_2+\tau_3+\tau_6+\tau_7+\tau_8,&\qquad M_2&=\tau_3+\tau_7+\tau_8. \end{alignedat} \end{equation} \tag{28}$

Предложение 1 (см. предложение 2 в [23]). В пространстве $3j$ -символов с одинаковыми внутренними индексами имеется набор порождающих, состоящий из $3j$ -символов, индексированных семиинвариантными функциями $f$ вида (26); эти $3j$ -символы согласованы со старшими весами в верхней строке $3j$ -символа по правилу (28). Чтобы получить базис, необходимо оставить функции $f$ , в которых либо $\tau_1=0$ , либо $\tau_8=0$ .

2.5. Выражение для $3j$ -символов

Будем выбирать в представлениях базисы типа $F_\mu(A)$ , но, чтобы согласовать обозначения с (9), будем использовать индекс $\alpha_i$ для перечисления базисных векторов. Таким образом, в качестве $v^1_{\alpha_1}$ выберем $F_{\alpha_1}(A^1)$ , в качестве $v^2_{\alpha_2}$ выберем $F_{\alpha_2}(A^2)$ и т. д. Также будем использовать функцию, задающую семиинвариант, как индекс кратности у $3j$ -символа.

Вычисления в настоящей работе основаны на формуле для $3j$ -символов в базисе $F_\alpha$ , полученной в работе [21]. Пусть $G$ – семиинвариант в $V^1\otimes V^2\otimes V^3$ в реализации А-ГКЗ и

$\begin{equation*} G(A,B,C)=\sum_{\alpha'_1,\alpha'_2,\alpha'_3}c_{\alpha'_1,\alpha'_2,\alpha'_3}F_{\alpha'_1}(A)\otimes F_{\alpha'_2}(B)\otimes F_{\alpha'_3}(C), \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} c_{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}= \begin{pmatrix} V^1 & V^2 & V^3 \\ F_{\alpha_1} & F_{\alpha_2} & F_{\alpha_3} \end{pmatrix}^{\!G}. \end{equation*} \notag$

Векторы

$F_\alpha$ ортогональны, так как они являются векторами базиса Гельфанда–Цетлина, поэтому

$\begin{equation*} c_{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}= \frac{\langle G(A,B,C),F_{\alpha_1}(A)F_{\alpha_2}(B)F_{\alpha_3}(C)\rangle}{|F_{\alpha_1}(A)|^2|F_{\alpha_2}(B)|^2|F_{\alpha_3}(C)|^2}. \end{equation*} \notag$

Также заметим следующее. Пусть семиинвариант $G$ в реализации А-ГКЗ соответствует семиинварианту $f$ в функциональной реализации, задаваемому функцией (26). Тогда

$\begin{equation*} G(A,B,C)=f(A,B,C)+r(A,B,C), \end{equation*} \notag$

где

$r(A,B,C)$ лежит в идеале соотношений между определителями

$a_X$ ,

$b_X$ ,

$c_X$ . Этот идеал порождается соотношениями (25), а также аналогичными соотношениями для

$b_X$ ,

$c_X$ . Тогда

$\begin{equation*} \langle r(A,B,C),F_{\alpha_1}(A)F_{\alpha_2}(B)F_{\alpha_3}(C)\rangle=0, \end{equation*} \notag$

так как

$F_{\alpha_1}(A)$ ,

$F_{\alpha_2}(B)$ ,

$F_{\alpha_3}(C)$ – решения уравнений А-ГКЗ (13), а скалярное произведение задается формулой (19). Значит,

$3j$ -символ вычисляется как

$\begin{equation} \begin{pmatrix} V^1 & V^2 & V^3 \\ F_{\alpha_1} & F_{\alpha_2} & F_{\alpha_3} \end{pmatrix}^{\!f}= \frac{\langle f(A,B,C),F_{\alpha_1}(A)F_{\alpha_2}(B)F_{\alpha_3}(C)\rangle}{|F_{\alpha_1}(A)|^2|F_{\alpha_2}(B)|^2|F_{\alpha_3}(C)|^2}. \end{equation} \tag{29}$

3. $6{j}$ -символы

Приступим к вычислению $6j$ -символа (9). Сначала приведем выражение для него в терминах скалярных произведений, а затем выпишем явную формулу через значение функции гипергеометрического типа, в аргументы которой подставлены $\pm 1$ .

3.1. Выражение через скалярные произведения

Найдем выражение для $6j$ -символа (9). Пусть индексы кратности $s_1,\ldots,s_4$ в (9) соответствуют функциям $f_1,\ldots,f_4$ .

Нам необходимо вычислить $3j$ -символ для контраградиентного представления и двойственного базиса. При реализации контраградиентного представления, описанной в конце п. 2.3, двойственным для $F_{\alpha_i}(A^i)$ является базис $\frac{1}{|F_{\alpha_i}|^2}F_{\alpha_i}(\frac{\partial}{\partial A^i})$ .

Заметим, что $3j$ -символ вида

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^1 & \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^2 & U \\ F_{\alpha_1}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^1}\bigr) & F_{\alpha_2}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^2}\bigr) & F_{\alpha_4}(A^4) \end{pmatrix}^{\!f} \end{equation*} \notag$

можно вычислить так:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\begin{pmatrix} \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^1 & \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^2 & U \\ F_{\alpha_1}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^1}\bigr) & F_{\alpha_2}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^2}\bigr) & F_{\alpha_4}(A^4) \end{pmatrix}^{\!f}= \notag\\ &\kern60pt = \frac{\bigl\langle f\bigl(\frac{\partial}{\partial A^1},\frac{\partial}{\partial A^2},A^4\bigr), F_{\alpha_1}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^1}\bigr) F_{\alpha_2}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^2}\bigr) F_{\alpha_4}(A^4)\bigr\rangle} {\big|F_{\alpha_1}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^1}\bigr)\big|^2 \big|F_{\alpha_2}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^2}\bigr)\big|^2 \big|F_{\alpha_4}(A^4)\big|^2}. \end{aligned} \end{equation} \tag{30}$

Скалярное произведение в тех случаях, когда аргументом функции является не переменная, а оператор дифференцирования, вычисляется по формуле, аналогичной (19). Как следствие этой явной формулы имеем

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \biggl\langle f\biggl(\frac{\partial}{\partial A^1},\frac{\partial}{\partial A^2},A^4\biggr),&\, F_{\alpha_1}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^1}\biggr) F_{\alpha_2}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^2}\biggr) F_{\alpha_4}(A^4)\biggl\rangle\,= \\ &=\langle f( A^1, A^2,A^4),F_{\alpha_1}(A^1) F_{\alpha_2}(A^2) F_{\alpha_4}(A^4)\rangle, \end{aligned}\\ |F_{\alpha_1}(A^1)|^2=\bigg|F_{\alpha_1}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^1}\biggr)\bigg|^2. \end{gathered} \end{equation} \tag{31}$

Базисы

$F_{\alpha_1}(A^1)$ и

$F_{\alpha_1}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^1}\bigr)$ и т. п. не являются двойственными, двойственным к базису

$F_{\alpha_1}(A^1)$ является

$\frac{1}{|F_{\alpha_1}|^2}F_{\alpha_1}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^1}\bigr)$ . В результате

$6j$ -символ выражается через рассмотренные

$3j$ -символы (30) следующим образом:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \begin{Bmatrix} V^1 & V^2 & U \\ V^3 & W & H \end{Bmatrix}^{f_1,f_2}_{f_3,f_4}:= \sum_{\alpha_1,\ldots,\alpha_6}& \begin{pmatrix} \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^1 & \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^2 & U \\ F_{\alpha_1}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^1}\bigr) & F_{\alpha_2}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^2}\bigr) & F_{\alpha_4}(A^4) \end{pmatrix}^{\!f_1}\times{} \notag\\ &\times\begin{pmatrix} \kern1.5pt\overline{\vphantom{U}\kern5.6pt}\kern-7.1pt U & \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^3 & W \\ F_{\alpha_4}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^4}\bigr) & F_{\alpha_3}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^3}\bigr) & F_{\alpha_4}(A^5) \end{pmatrix}^{\!f_2}\times{} \notag\\ &\times\begin{pmatrix} V^2 & V^3 & \kern1.9pt\overline{\vphantom{H}\kern6.2pt}\kern-8.1pt H \\ F_{\alpha_2}(A^2) & F_{\alpha_3}(A^3) & F_{\alpha_6}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^6}\bigr) \end{pmatrix}^{\!f_3}\times{} \notag\\ &\times \begin{pmatrix} V^1 & H & \kern0.5pt\overline{\vphantom{W}\kern10pt}\kern-10.5pt W \\ F_{\alpha_1}(A^1) & F_{\alpha_6}(A^6) & F_{\alpha_5}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^5}\bigr) \end{pmatrix}^{f_4}\times{} \notag\\ &\times |F_{\alpha_1}|^2\ldots|F_{\alpha_6}|^2. \end{aligned} \end{equation} \tag{32}$

Подставим выражения (30) в (32) с учетом (31). При этом стоящие в конце (32) выражения

$|F_{\alpha_i}|^2$ напишем в виде

$F_{\alpha_i}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^i}\bigr)F_{\alpha_i}(A^i)\mid_{A=0}$ . После перестановки членов получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\begin{Bmatrix} V^1 & V^2 & U \\ V^3 & W & H \end{Bmatrix}^{f_1,f_2}_{f_3,f_4}= \\ &\qquad\qquad =\sum_{\alpha_1,\ldots,\alpha_6} \frac{\langle f_1,F_{\alpha_1}F_{\alpha_2}F_{\alpha_4}\rangle}{|F_{\alpha_1}|^2 |F_{\alpha_2}|^2 |F_{\alpha_4}|^2} F_{\alpha_1}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^1}\biggr) F_{\alpha_2}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^2}\biggr)F_{\alpha^4}(A^4)\times{} \\ &\kern78pt\times\frac{\langle f_2,F_{\alpha_4}F_{\alpha_3}F_{\alpha_5}\rangle}{|F_{\alpha_4}|^2|F_{\alpha_3}|^2 |F_{\alpha_5}|^2} F_{\alpha_4}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^4}\biggr) F_{\alpha_3}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^3}\biggr)F_{\alpha_5}(A^5)\ldots\bigg|_{A^1=\cdots=A^6=0}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Теперь запишем соотношение

$\begin{equation*} f_1\biggl(\frac{\partial}{\partial A^1},\frac{\partial}{\partial A^2}, A^4\biggr)=\sum \frac{\langle f_1,F_{\alpha_1}F_{\alpha_2}F_{\alpha_4}\rangle}{|F_{\alpha_1}|^2|F_{\alpha_2}|^2|F_{\alpha_4}|^2} F_{\alpha_1}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^1}\biggr)F_{\alpha_2}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^2}\biggr)F_{\alpha^4}(A^4) \end{equation*} \notag$

и аналогичные соотношения для

$\begin{equation*} f_2\biggl(\frac{\partial}{\partial A^4},\frac{\partial}{\partial A^5}, A^5\biggr),\quad f_3\biggl(\frac{\partial}{\partial A^2},A^3,\frac{\partial}{\partial A^6}\biggr),\quad f_4\biggl(A^1,A^6,\frac{\partial}{\partial A^5}\biggr). \end{equation*} \notag$

С учетом того, что

$\begin{equation*} \biggl\{F_{\alpha_i}(A^i),F_{\alpha'_i}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^i}\biggr)\biggr\}= \begin{cases} |F_{\alpha_i}|^2, &\text{если}\;\, \alpha_i=\alpha'_i, \\ 0, &\text{если}\;\, \alpha_i\neq\alpha'_i,\end{cases} \end{equation*} \notag$

получаем следующее утверждение.

Лемма 1. Имеет место выражение

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \begin{Bmatrix} V^1 & V^2 & U \\ V^3 & W & H \end{Bmatrix}^{f_1,f_2}_{f_3,f_4}&= f_1\biggl(\frac{\partial}{\partial A^1},\frac{\partial}{\partial A^2},A^4\biggr) f_2\biggl(\frac{\partial}{\partial A^4},\frac{\partial}{\partial A^3},A^5\biggr)\times{} \notag\\ &\quad \times f_3\biggl(\frac{\partial}{\partial A^2},A^3,\frac{\partial}{\partial A^6}\biggr) f_4\biggl(A^1,A^6,\frac{\partial}{\partial A^5}\biggr)\bigg|_{A^1=\cdots=A^6=0}. \end{aligned} \end{equation} \tag{33}$

Предполагается, что выражение (33) вычисляется так. Сначала оно представляется как сумма мономов от переменных и дифференциальных операторов, при этом мы перемножаем переменные и дифференциальные операторы так, как если бы они коммутировали. Затем в каждом мономе дифференциальные операторы действуют на произведение встречающихся в мономе переменных. Наконец, подставляются нули вместо всех переменных.

3.2. Правила отбора

Найдем условия, необходимые для того, чтобы $6j$ -символ был ненулевым. Для этого рассмотрим носители различных функций.

Определение 4. Носителем функции $f$ от переменных $Z=\{z_1,\ldots,z_N\}$ , разложенной в степенной ряд, будем называть множество $\operatorname{supp} f$ показателей $\delta\in\mathbb{Z}^N$ мономов $Z^{\delta}:=z_1^{\delta_1}\ldots z_N^{\delta_N}$ , входящих в разложение функции $f$ .

В работе [21] функция $f$ вида (26) рассматривалась как функция от переменных

$\begin{equation} \begin{aligned} \, Z=\bigl\{&[c_1a_{2,3}],[c_2a_{1,3}],[c_3a_{1,2}],[a_1c_{2,3}],[a_2c_{1,3}],[a_3c_{1,2}],[c_1b_{2,3}],[c_2b_{1,3}], \notag\\ &[c_3b_{1,2}],[b_1c_{2,3}],[b_2c_{1,3}],[b_3c_{1,2}],[b_1a_{2,3}],[b_2a_{1,3}],[b_3a_{1,2}],[a_1b_{2,3}],[a_2b_{1,3}], \notag\\ &[a_3b_{1,2}],[a_1b_2c_3],[a_2b_3c_1],[a_3b_1c_2], -[a_2b_1c_3],[a_1b_3c_2],[a_3b_2c_1],[a_{2,3}b_{1,3}c_{1,2}], \notag\\ &[a_{1,3}b_{1,2}c_{2,3}],[a_{1,2}b_{2,3}c_{1,3}],-[a_{1,3}b_{2,3}c_{1,2}],[a_{2,3}b_{1,2}c_{1,3}],[a_{1,2}b_{1,3}c_{2,3}]\bigr\}, \end{aligned} \end{equation} \tag{34}$

так что отдельные слагаемые в определителях

$(caa),(acc),\ldots,(aabbcc)$ отождествлялись с данными переменными. При этом в [21] было показано, что носитель функции

$f$ вида (26) имеет вид пересечения сдвинутой решетки и положительного октанта:

$\begin{equation*} \operatorname{supp} f=\Bigl(\,\mathop{\cap}\limits_i\,(\delta_i\geqslant 0)\Bigr)\cap{}(\kappa+\mathcal B)\subset\mathbb{Z}^{30}, \end{equation*} \notag$

где

$30$ – это количество переменных

$Z$ . При этом

$\mathcal B\subset\mathbb{Z}^{30}$ порождается векторами

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\begin{alignedat}{5} p_1&=e_{[c_1a_{2,3}]}-e_{[c_2a_{1,3}]},&\quad p_2&=e_{[c_1a_{2,3}]}-e_{[c_3a_{1,2}]}&\quad p_3&=e_{[a_1c_{2,3}]}-e_{[a_2c_{1,3}]}, \\ p_4&=e_{[a_1c_{2,3}]}-e_{[a_3c_{1,2}]},&\quad p_5&=e_{[c_1b_{2,3}]}-e_{[c_2b_{1,3}]},&\quad p_6&=e_{[c_1b_{2,3}]}-e_{[c_3b_{1,2}]}, \\ p_7&=e_{[b_1c_{2,3}]}-e_{[b_2c_{1,3}]},&\quad p_8&=e_{[b_1c_{2,3}]}-e_{[b_3c_{1,2}]},&\quad p_9&=e_{[a_1b_{2,3}]}-e_{[a_2b_{1,3}]}, \\ p_{10}&=e_{[a_1b_{2,3}]}-e_{[a_3b_{1,2}]},&\quad p_{11}&=e_{[b_1a_{2,3}]}-e_{[b_2a_{1,3}]},&\quad p_{12}&=e_{[b_1a_{2,3}]}-e_{[b_3a_{1,2}]}, \\ p_{13}&=e_{[a_1b_2c_3]}-e_{[a_2b_3c_1]},&\quad p_{14}&=e_{[a_1b_2c_3]}-e_{[a_3b_1c_2]},&\quad p_{15}&=e_{[a_1b_2c_3]}-e_{[a_2b_1c_3]}, \\ p_{16}&=e_{[a_1b_2c_3]}-e_{[a_1b_3c_2]},&\quad p_{17}&=e_{[a_1b_2c_3]}-e_{[a_3b_2c_1]},&\quad p_{18}&=e_{[a_{2,3}b_{1,3}c_{1,2}]}-e_{[a_{1,3}b_{1,2}c_{2,3}]}, \end{alignedat}\\ &\begin{alignedat}{3} p_{19}&=e_{[a_{2,3}b_{1,3}c_{1,2}]}-e_{[a_{1,2}b_{2,3}c_{1,3}]},&\quad p_{20}&=e_{[a_{2,3}b_{1,3}c_{1,2}]}-e_{[a_{1,3}b_{2,3}c_{1,2}]}, \\ p_{21}&=e_{[a_{2,3}b_{1,3}c_{1,2}]}-e_{[a_{1,2}b_{1,3}c_{2,3}]},&\quad p_{22}&=e_{[a_{2,3}b_{1,3}c_{1,2}]}-e_{[a_{2,3}b_{1,2}c_{1,3}]}, \end{alignedat} \end{aligned} \end{equation*} \notag$

а вектор

$\kappa$ задается как

$\begin{equation*} \kappa=(\tau_2,0,0,\tau_3,0,0,\tau_6 ,0,0,\tau_7,0,0,\tau_4,0,0,\tau_5,0,0,\tau_1,0,0,0,0,0,\tau_8,0,0,0,0,0). \end{equation*} \notag$

Более того,

$f$ является

$\Gamma$ -рядом от переменных

$Z$ , взятых со знаком плюс или минус, построенным по решетке

$\mathcal B$ и вектору сдвига

$\kappa$ . Со знаком минус берутся ровно те переменные, которые входят в определитель со знаком минус.

Функцию $f$ можно понимать и более привычным способом: как функцию от $A_X$ , $B_X$ , $C_X$ . Переход от переменных $Z$ к переменным $A_X$ , $B_X$ , $C_X$ осуществляется с помощью очевидной подстановки типа

$\begin{equation} [c_1a_{2,3}]\mapsto C_1A_{2,3}\quad\text{и т. д.} \end{equation} \tag{35}$

При этом возникают отображения

$\operatorname{pr} _a$ ,

$\operatorname{pr} _b$ ,

$\operatorname{pr} _c$ из пространства показателей для переменных

$Z$ в пространство показателей для переменных

$A_X$ ,

$B_X$ ,

$C_X$ соответственно:

$\begin{equation*} \operatorname{pr} _a,\, \operatorname{pr} _b,\, \operatorname{pr} _c\colon \mathbb{Z}^{30}\to\mathbb{Z}^6. \end{equation*} \notag$

Здесь

$\mathbb{Z}^{30}$ – решетка показателей мономов от переменных

$Z$ , а

$\mathbb{Z}^6$ – решетка показателей мономов от переменных

$A_X$ (или

$B_X$ , или

$C_X$ ). Соответственно в

$\mathbb{Z}^{30}$ имеется базис, индексированный переменными

$Z$ , а в

$\mathbb{Z}^6$ – базис, индексированный собственными подмножествами

$X\subset\{1,2,3\}$ .

Теперь можно сформулировать условие, необходимое для того, чтобы $6j$ -символ был отличен от нуля. Рассмотрим выражение (33). Имеем

$\begin{equation*} \operatorname{supp} f_i=\Bigl(\,\mathop{\cap}\limits_i\,(\delta_i\geqslant 0)\Bigr)\cap(\kappa_i+\mathcal B_i)\subset\mathbb{Z}^{30},\qquad i=1,\ldots,4. \end{equation*} \notag$

Положим

$\begin{equation} H= \operatorname{supp} f_1\oplus \operatorname{supp} f_2\oplus \operatorname{supp} f_3\oplus \operatorname{supp} f_4\subset\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}. \end{equation} \tag{36}$

Для каждого

$i=1,\ldots,4$ имеются отображения

$\operatorname{pr} ^i_a,\, \operatorname{pr} ^i_b,\, \operatorname{pr} ^i_c\colon\mathbb{Z}^{30}\to\mathbb{Z}^{6}$ . Можно взять их прямую сумму и получить отображение

$\operatorname{pr} ^i_a\oplus \operatorname{pr} ^i_b\oplus \operatorname{pr} ^i_c\colon\mathbb{Z}^{30}\to(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$ . Рассмотрим также суммарное отображение

$\begin{equation} \operatorname{pr} :=\bigoplus_{i=1}^4 \operatorname{pr} ^i_a\oplus \operatorname{pr} ^i_b\oplus \operatorname{pr} ^i_c\colon\,\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\to \bigoplus_{i=1}^4(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}. \end{equation} \tag{37}$

При этом естественно ввести в

$\bigoplus_{i=1}^4(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$ базис

$e_X^{A^j,i}$ , элементы которого пронумерованы следующим образом. Нижний индекс – это собственное подмножество

$X\subset\{1,2,3\}$ , таким образом, данные индексы перечисляют базисные векторы в выбранном пространстве

$\mathbb{Z}^6$ . Верхних индексов два, первый из них обозначает одну из переменных (или дифференциальный оператор), которая подставляется в

$f_i$ в (26), таким образом, фиксация данного индекса определяет выбор одного из трех слагаемых в

$(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$ . Второй верхний индекс – это собственно номер

$i$ , определяющий слагаемое

$(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$ в

$\bigoplus_{i=1}^4(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$ .

Так, в образе $(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$ , соответствующем $f_1$ , базис будет таков:

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} &\text{в первом слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad & e^{A^1,1}_1,\,e^{A^1,1}_2,\,e^{A^1,1}_3e^{A^1,1}_{1,2},\,e^{A^1,1}_{1,3},\,e^{A^1,1}_{2,3}; \\ &\text{во втором слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad & e^{A^2,1}_1,\,e^{A^2,1}_2,\,e^{A^2,1}_3e^{A^2,1}_{1,2},\,e^{A^2,1}_{1,3},\,e^{A^2,1}_{2,3}; \\ &\text{в третьем слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad& e^{A^4,1}_1,\,e^{A^4,1}_2,\,e^{A^4,1}_3e^{A^4,1}_{1,2},\,e^{A^4,1}_{1,3},\,e^{A^1,1}_{2,3}. \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

В образе

$(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$ , соответствующем

$f_2$ , базис будет таков:

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} &\text{в первом слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad & e^{A^4,2}_1,\,e^{A^4,2}_2,\,e^{A^4,2}_3e^{A^4,2}_{1,2},\,e^{A^4,2}_{1,3},e^{A^4,2}_{2,3}; \\ &\text{во втором слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad & e^{A^3,2}_1,\,e^{A^3,2}_2,\,e^{A^3,2}_3e^{A^3,2}_{1,2},\,e^{A^3,2}_{1,3},\,e^{A^3,2}_{2,3}; \\ &\text{в третьем слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad & e^{A^5,2}_1,\,e^{A^5,2}_2,\,e^{A^4,2}_3e^{A^5,2}_{1,2},\,e^{A^5,2}_{1,3},\,e^{A^5,2}_{2,3}. \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

В образе

$(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$ , соответствующем

$f_3$ , базис будет таков:

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} &\text{в первом слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad &e^{A^2,3}_1,\,e^{A^2,3}_2,\,e^{A^2,3}_3e^{A^2,3}_{1,2},\,e^{A^2,3}_{1,3},\,e^{A^2,3}_{2,3}; \\ &\text{во втором слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad &e^{A^3,3}_1,\,e^{A^3,3}_2,\,e^{A^3,3}_3e^{A^3,3}_{1,2},\,e^{A^3,3}_{1,3},\,e^{A^3,3}_{2,3}; \\ &\text{в третьем слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad &e^{A^6,3}_1,\,e^{A^6,3}_2,\,e^{A^6,3}_3e^{A^6,3}_{1,2},\,e^{A^6,3}_{1,3},\,e^{A^6,3}_{2,3}. \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

В образе

$(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$ , соответствующем

$f_4$ , базис будет таков:

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} &\text{в первом слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad & e^{A^1,4}_1,\,^{A^1,4}_2,\,e^{A^1,4}_3e^{A^1,4}_{1,2},\,e^{A^1,4}_{1,3},\,e^{A^1,4}_{2,3}; \\ &\text{во втором слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad & e^{A^6,4}_1,\, e^{A^6,4}_2,\,e^{A^6,4}_3e^{A^6,4}_{1,2},\,e^{A^6,4}_{1,3},\,e^{A^6,4}_{2,3}; \\ &\text{в третьем слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad & e^{A^5,4}_1,\,e^{A^5,4}_2,\,e^{A^5,4}_3e^{A^5,4}_{1,2},\,e^{A^5,4}_{1,3},\,e^{A^5,4}_{2,3}. \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

Определение 5. В соответствии со сверткой в (33) определим подрешетку

$\begin{equation*} D\subset \bigoplus_{i=1}^4(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3} \end{equation*} \notag$

как решетку, порожденную для всех возможных

$X\subset\{1,2,3\}$ векторами, которые получаются как разности векторов с одинаковыми

$X$ , одинаковой переменной

$A^j$ , но отвечающих разным

$f_i$ .

Таким образом, решетка $D$ порождается векторами

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{5} & e_X^{A^1,1}-e_X^{A^1,4},&\qquad & e_X^{A^2,1}-e_X^{A^2,3},&\qquad & e_X^{A^3,2}-e_X^{A^3,4}, \\ & e_X^{A^4,1}-e_X^{A^4,2},&\qquad & e_X^{A^5,2}-e_X^{A^5,4},&\qquad & e_X^{A^6,3}-e_X^{A^6,4}. \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

Заметим следующее. Пусть имеется моном, получающийся при разложении (33). Он дает ненулевой вклад, если в нем для каждой переменной $A^j_X$ , $j=1,\ldots,6$ , порядок дифференцирования по $A^j_X$ совпадает со степенью переменной $A^j_X$ . Условие того, что такие мономы существуют, переформулированное в терминах носителей, дает следующий результат.

Теорема 3. Чтобы $6j$ -символ (33) был отличен от нулевого, необходимо, чтобы выполнялось условие

$\begin{equation*} H\cap \operatorname{pr} ^{-1}( D)\neq\varnothing, \end{equation*} \notag$

где

$H$ определяется в (36), а решетка

$D$ задана в определении 5.

Замечание 3. Условие отличия от нуля $6j$ -символа (33) можно также сформулировать в терминах носителей функций $f_i$ как функций от переменных $A^j$ . Видно, что носитель $\operatorname{supp} _A f_i$ функции $f_i$ как функции от переменных $A^j$ есть образ носителя $\operatorname{supp} f_i$ функции $f_i$ как функции от переменных $Z$ при отображении $\operatorname{pr} ^i_a\oplus \operatorname{pr} ^i_b\oplus \operatorname{pr} ^i_c$ , и поэтому он тоже является сдвинутой решеткой. Тогда необходимое условие того, чтобы $6j$ -символ мог быть ненулевым, формулируется так: носитель $\operatorname{supp} _A(f_1f_2f_3f_4)= \operatorname{pr} (H)$ имеет непустое пересечение с $D$ .

Для вычисления значения $6j$ -символа нам удобнее работать с переменными $Z$ .

3.3. Формула для $6j$ -символа

Функции $f_1$ , $f_2$ , $f_3$ , $f_4$ можно рассматривать как функции от наборов переменных $Z_1$ , $Z_2$ , $Z_3$ , $Z_4$ , где $Z_i$ – набор переменных, получаемых из (34) заменой символов $a$ , $b$ , $c$ на символы переменных (или дифференциальных операторов), подставляемых в $f_i$ в (33). А именно,

$\begin{equation} \begin{alignedat}{7} &\text{для}\;\,f_1:&\quad a,b,c&{}\mapsto A^1,A^2,A^4,&\qquad &\text{для}\;\,f_2:&\quad a,b,c &{}\mapsto A^4,A^5,A^6, \\ &\text{для}\;\,f_3:&\quad a,b,c &{}\mapsto A^2,A^3,A^5,&\qquad &\text{для}\;\,f_4:&\quad a,b,c &{}\mapsto A^1,A^6,A^5. \end{alignedat} \end{equation} \tag{38}$

Вычисление выражения (33) можно описать так. Сначала мы рассматриваем $f_1\ldots f_4$ как функцию от набора переменных $Z_1$ , $Z_2$ , $Z_3$ , $Z_4$ . Разлагаем $f_1\ldots f_4$ в сумму произведений мономов от данных переменных. Оставляем лишь слагаемые, носители которых лежат в $H\cap \operatorname{pr} ^{-1}( D)\neq\varnothing$ . Далее для каждой из переменных из набора $Z_1$ , $Z_2$ , $Z_3$ , $Z_4$ совершаем замену типа (35) с учетом (38) и переходим к переменным $A^j_X$ или $\partial/\partial A_X^j$ в соответствии с тем, переменная или дифференциальный оператор участвует в $f_i$ в (33). Перемножаем их так, как если бы они коммутировали. Затем в получившемся мономе от $A^j_X$ или $\partial/\partial A_X^l$ применяем дифференциальные операторы к переменным и поставляем вместо переменных ноль.

Например, если сосредоточить внимание на переменной $A_1^1$ в мономе, то наши действия выглядят так. Данный символ встречается в обозначении переменных, входящих в наборы $Z_1$ и $Z_4$ . Берем моном, получающийся при разложении $f_1\ldots f_4$ . Пусть его носитель лежит в $H\cap \operatorname{pr} ^{-1}(D)$ . Запишем моном в явном виде вместе с коэффициентом при этом мономе. Выше было замечено, что функции $f_1,\ldots,f_4$ являются $\Gamma$ -рядами от набора переменных $Z_1$ , $Z_2$ , $Z_3$ , $Z_4$ , так что коэффициент при мономе есть произведение обратных величин к факториалам степеней:

$\begin{equation} \underbrace{\frac{[A^1_1A^2_{2,3}]^{\beta_1}}{\beta_1!}\frac{[A^1_1A^4_{2,3}]^{\beta_2}}{\beta_2!}\ldots}_{\text{из}\;\,f_1}\cdot\ldots\cdot \underbrace{\frac{[A^1_1A^6_{2,3}]^{\gamma_1}}{\gamma_1!}\frac{[A^1_1A^5_{2,3}]^{\gamma_2}}{\gamma_2!}\ldots}_{\text{из}\;\,f_4}\;. \end{equation} \tag{39}$

Далее вычисляем сумму показателей переменных, в обозначении которых есть

$A_1^1$ . Для множителей, происходящих из

$f_1$ , эта сумма равна

$\beta_1+\beta_2+\cdots{}$ , а для множителей, происходящих из

$f_4$ , эта сумма равна

$\gamma_1+\gamma_2+\cdots{}$ . Тот факт, что носители лежат в

$H\cap \operatorname{pr} ^{-1}(D)$ , влечет, что

$\beta_1+\beta_2+\cdots=\gamma_1+\gamma_2+\cdots$ . При переходе к

$A^j_X$ или

$\partial/\partial A_X^j$ в множители, происходящие из

$f_1$ , подставляется

$\partial/\partial A_1^1$ , а в множители, происходящие из

$f_4$ , подставляется

$A_1^1$ . После применения дифференциального оператора к переменной

$A_1^1$ и подстановки вместо

$A_1^1$ нуля в (39) фактически происходит удаление всех символов

$A_1^1$ и дописывается сверху числовой множитель

$(\beta_1+\beta_2+\cdots)!$ .

После выполнения аналогичных действий со всеми переменными $A_X^j$ моном (39) превращается в числовую дробь. В ее знаменателе стоит факториал (в мультииндексном смысле) степени монома как монома от переменных $Z_1,\ldots,Z_4$ , а в числителе – факториал (опять в мультииндексном смысле) степени монома как монома от переменных $A_X^j$ .

Приступим к формулировке основного результата настоящей работы. Множество $H\cap \operatorname{pr} ^{-1}(D)$ является сдвинутой решеткой. Следовательно, для некоторого вектора $\varkappa$ и решетки $L\subset \mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}$ можно записать следующее соотношение:

$\begin{equation} H\cap \operatorname{pr} ^{-1}( D)=\varkappa+L\subset\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}. \end{equation} \tag{40}$

Существует проекция

$\operatorname{pr}$ , определяемая формулой (37). Свяжем со сдвинутой решеткой

$\varkappa+L$ ряд гипергеометрического типа (на самом деле являющийся конечной суммой) от переменных

$Z=\{Z_1,\ldots,Z_4\}$ , который определяется формулой, родственной (10):

$\begin{equation} \mathcal J_\gamma(Z;L)=\sum_{x\in \varkappa+L}\frac{\Gamma( \operatorname{pr} (x)+1)Z^x}{\Gamma(x+1)}. \end{equation} \tag{41}$

Теорема 4. $6j$ -Символ (33) равен $\mathcal J_\gamma(\pm 1;L)$ , где $+1$ подставляется вместо тех переменных, которые в определители, перемножаемые в $f_i$ , входят со знаком плюс, и $-1$ подставляется вместо тех переменных, которые в эти определители входят со знаком минус. Сдвинутая решетка $\varkappa+L$ определяется по формуле (40), где $H=\oplus H_i$ , $H_i= \operatorname{supp} f_i$ ; подрешетка $D$ задается определением 5; отображение $\operatorname{pr}$ определено в (37).

Конфликт интересов

Автор заявляет, что у него нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	P. Etingof, S. Gelaki, D. Nikshych, V. Ostrik, Tensor Categories, Mathematical Surveys and Monographs, 205, AMS, Providence, RI, 2015
2.	G. Racah, “Theory of complex spectra. II”, Phys. Rev., 62:9–10 (1942), 438–462
3.	E. Вигнер, Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, ИЛ, М., 1961
4.	Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, т. 3, Квантовая механика (нерелятивистская теория), Физматлит, М., 2004
5.	Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский, Квантовая теория углового момента, Наука, Л., 1975
6.	L. C. Biedenharn, J. D. Louck, Angular momentum in quantum mechanics, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 8, ed. G.-C. Rota, Addison–Wesley, Reading, MA, 1981
7.	N. Ja. Vilenkin, A. U. Klimyk, Representation of Lie Groups and Special Functions, v. 1, Mathematics and its Applications (Soviet Series), 72, Simplest Lie Groups, Special Functions and Integral Transforms, Kluwer, Dordrecht, 1991
8.	С. Э. Деркачёв, В. П. Спиридонов, “О $6j$ -символах для группы $SL(2,\mathbb{C})$ ”, ТМФ, 198:1 (2019), 32–53
9.	С. Э. Деркачёв, А. В. Иванов, “Коэффициенты Рака для группы $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ ”, Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 28, Зап. научн. сем. ПОМИ, 509, ПОМИ, СПб, 2021, 99–112
10.	C. Rebbi, R. Slansky, “Crossing matrices for $SU(2)$ and $SU(3)$ ”, Rev. Mod. Phys., 42:1 (1970), 68–86
11.	P. Arnold, “Landau–Pomeranchuk–Migdal effect in sequential bremsstrahlung: large- $N$ QCD to $N=3$ via the $SU(N)$ analog of Wigner $6$ - $j$ symbols”, Phys. Rev. D, 100:3 (2019), 034030, 17 pp.
12.	А. В. Слепцов, Симметрии квантовых инвариантов узлов и квантовых $6j$ -символов, Дис. $\ldots$ доктора физ.-матем. наук, ИТЭФ, М., 2022
13.	P. H. Butler, B. G. Wybourne, “Calculation of $j$ and $jm$ symbols for arbitrary compact groups. I. Methodology”, Int. J. Quantum Chem., 10:4 (1976), 581–598
14.	K. T. Hecht, “A simple class of $U(N)$ Racah coefficients and their application”, Comm. Math. Phys., 41:2 (1975), 135–156
15.	R. A. Gustafson, “A Whipple's transformation for hypergeometric series in $U(N)$ and multivariable hypergeometric orthogonal polynomials”, SIAM J. Math. Anal., 18:2 (1987), 495–530
16.	M. K. F. Wong, “On the multiplicity-free Wigner and Racah coefficients of $U(n)$ ”, J. Math. Phys., 20:12 (1979), 2391–2397
17.	J. D. Louck, L. C. Biedenharn, “Canonical adjoit tensor operators in $U(n)$ ”, J. Math. Phys., 11:8 (1970), 2368–2411
18.	L. C. Biedenharn, J. D. Louck, E. Chacón, M. Ciftan, “On the structure of the canonical tensor operators in the unitary groups. I. An extension of the pattern calculus rules and the canonical splitting in $U(3)$ ”, J. Math. Phys., 13:12 (1972), 1957–1984
19.	A. Mironov, A. Morozov, A. Sleptsov, “On $6j$ -symbols for symmetric representations of $U_q(\mathfrak{su}_N)$ ”, Письма в ЖЭТФ, 106:10 (2017), 607–608
20.	V. Alekseev, A. Morozov, A. Sleptsov, “Multiplicity-free $U_q(SU(n))$ $6$ - $j$ symbols: Relations, asymptotics, symmetries”, Nucl. Phys. B., 960 (2020), 115164, 33 pp.
21.	Д. В. Артамонов, “Формулы вычисления $3j$ -символов для представлений алгебры Ли $\mathfrak{gl}_3$ в базисе Гельфанда–Цетлина”, Сиб. матем. журн., 63:4 (2022), 717–735
22.	G. E. Baid, L. C. Biedenharn, “On the representations of semisimple Lie groups. II”, J. Math. Phys., 4:12 (1963), 1449–1466
23.	Д. В. Артамонов, “Коэффициенты Клебша–Гордана для $\mathfrak{gl}_3$ и гипергеометрические функции”, Алгебра и анализ, 33:1 (2021), 1–29, arXiv: 2101.01049
24.	И. М. Гельфанд, М. И. Граев, В. С. Ретах, “Общие гипергеометрические системы уравнений и ряды гипергеометрического типа”, УМН, 47:4 (1992), 3–82
25.	D. V. Artamonov, “Antisymmetrization of the Gel'fand–Kapranov–Zelevinskij systems”, J. Math. Sci., 255:5 (2021), 535–542
26.	Д. П. Желобенко, Компактные группы Ли и их представления, МЦНМО, М., 2007

Образец цитирования: Д. В. Артамонов, “Классические

$6j$ -символы конечномерных представлений алгебры

$\mathfrak{gl}_3$ ”, ТМФ, 216:1 (2023), 3–19; Theoret. and Math. Phys., 216:1 (2023), 909–923

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Art23}

\by Д.~В.~Артамонов

\paper Классические $6j$-символы конечномерных представлений алгебры~$\mathfrak{gl}_3$

\jour ТМФ

\yr 2023

\vol 216

\issue 1

\pages 3--19

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10519}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10519}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4619863}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...216..909A}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2023

\vol 216

\issue 1

\pages 909--923

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923070012}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165611562}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10519

https://doi.org/10.4213/tmf10519

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v216/i1/p3

Доклады по теме:

6j-символы и вокруг них
Д. В. Артамонов, 29 декабря 2023 г. 13:00

Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:

Д. В. Артамонов, “Базис типа Гельфанда–Цетлина для алгебры $\mathfrak{g}_2$ ”, Алгебра и анализ, 37:1 (2025), 1–31
Д. В. Артамонов, “Модели представлений для классических серий алгебр Ли”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:5 (2024), 3–46 ; D. V. Artamonov, “Models of representations for classical series of Lie algebras”, Izv. Math., 88:5 (2024), 815–855

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	244
PDF полного текста:	32
HTML русской версии:	156
Список литературы:	35
Первая страница:	9