Собственные функции монодромии уравнений Гойна и границы зон фазового захвата в модели сильношунтированного эффекта Джозефсона

Изучается семейство дважды конфлюэнтных уравнений Гойна вида $\mathcal LE=0$, где $\mathcal L=\mathcal L_{\lambda,\mu,n}$ – семейство дифференциальных операторов второго порядка, действующих на ростки голоморфных функций одной комплексной переменной. Они зависят от комплексных параметров $\lambda,\mu,n$. Ограничение семейства на множество вещественных параметров, удовлетворяющих неравенству $\lambda+\mu^2>0$, является линеаризацией семейства нелинейных уравнений на двумерном торе, моделирующих эффект Джозефсона в теории сверхпроводимости. Показано, что для любых $b,n\in\mathbb C$, удовлетворяющих некоторому “условию нерезонансности”, при любых значениях параметров $\lambda,\mu\in\mathbb C$, $\mu\neq0$, найдется целая функция $f_\pm\colon\mathbb C\to\mathbb C$ (единственная с точностью до постоянного множителя) такая, что $z^{-b}\mathcal L(z^bf_\pm(z^{\pm1}))=d_{0\pm}+d_{1\pm}z$ при некоторых $d_{0\pm},d_{1\pm}\in\mathbb C$, зависящих от параметров. Этот результат имеет несколько приложений. Прежде всего он дает описание тех значений $\lambda,\mu,n,b$, при которых оператор монодромии соответствующего уравнения Гойна имеет собственное значение $e^{2\pi ib}$. Также он выделяет те значения $\lambda,\mu,n$, при которых монодромия параболична, т.е. имеет кратное собственное значение. Рассматривается число вращения $\rho$ динамической системы на двумерном торе как функция от параметров, ограниченная на поверхность $\lambda+\mu^2=\mathrm{const}$. Зоны фазового захвата – это ее множества уровня, имеющие непустую внутренность. Известно, что для общих семейств динамических систем проблема описания границ зон фазового захвата очень сложна. В настоящую работу включены результаты, полученные в данном направлении методами комплексного анализа. В рассматриваемом случае зоны фазового захвата существуют только при целых значениях числа вращения (эффект квантования) и дополнение к ним является открытым множеством. На дополнении к ним число вращения является аналитической субмерсией, задающей его расслоение на аналитические кривые. Упомянутый выше результат о параболичности монодромии приводит к явному описанию объединения границ зон фазового захвата в терминах решений трансцендентного функционального уравнения. Для каждого $\theta\notin\mathbb Z$ получено описание множества $\{\rho\equiv\pm\theta\pmod{2\mathbb Z}\}$.