Об одном условии совпадения пространств преобразований функционалов гильбертова пространства

В работе рассматривается следующая задача. Пусть $H$ — некоторое гильбертово пространство с воспроизводящим ядром, состоящее из функций, заданных на множестве $\Omega\subset {\mathbb C}^n,\ n\ge1$, и $\{e_1(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$, $\{e_2(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$ — некоторые полные системы функций в $H$, $\Omega_1\subset {\mathbb C^m},\, m\ge1$. Обозначим
$$\begin{align*} \widetilde f(z)\stackrel{def}{=}(e_1(\cdot, z), f)_{H}\, \forall z\in \Omega_1,\quad \widetilde H=\{\widetilde f,\, f\in H\}, \\ (\widetilde f_1,\widetilde f_2)_{\widetilde H}\stackrel{def}{=}(f_2,f_1)_{H}, \, \|\widetilde f_1\|_{\widetilde H}=\|f_1\|_{H} \quad\forall \widetilde f_1,\widetilde f_2\in \widetilde H, \\ \widehat f(z)\stackrel{def}{=}(e_2(\cdot, z), f)_{H}\, \forall z\in \Omega_1,\quad \widehat H=\{\widehat f,\, f\in H\}, \\ (\widehat f_1,\widehat f_2)_{\widehat H}\stackrel{def}{=}(f_2,f_1)_{H}, \, \|\widehat f_1\|_{\widehat H}=\|f_1\|_{H} \quad\forall \widehat f_1,\widehat f_2\in \widehat H. \end{align*}$$
Необходимо найти условие, при выполнении которого пространства $\widehat H$ и $\widetilde H$ совпадают, т. е. $\widehat H$ и $\widetilde H$ состоят из одних и тех же функций и
$$\|f\|_{\widehat H}=\|f\|_{\widetilde H}\ \ \forall f\in \widehat H=\widetilde H.$$
Также изучается вопрос: при каких условиях пространства $\widehat H$ и $\widetilde H$ эквивалентны? В случае, когда системы функций $\{e_j(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1},\, j=1,2$, являются ортоподобными системами разложения в пространстве $H$ с одной и той же мерой $\mu$, заданной на $\Omega_1$, в этой статье установлен критерий; найдено условие, которое является необходимым и достаточным для того, чтобы пространства $\widehat H$ и $\widetilde H$ совпадали (были эквивалентны). Отметим, что в случае произвольного пространства $H$ и произвольных полных в $H$ систем функций $\{e_1(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$, $\{e_2(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$ найденное условие всегда является необходимым, т. е. если пространства $\widehat H$ и $\widetilde H$ совпадают (эквивалентны), то это условие выполнено. В случае когда системы функций $\{e_1(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$, $\{e_2(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$ являются ортоподобными системами разложения в пространстве $H$ с разными мерами $\mu_1$ и $\mu_2$, соответственно, заданными на $\Omega_1$, в этой статье построены примеры конкретных пространств $H$, конкретных полных в $H$ систем функций $\{e_1(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$, $\{e_2(\cdot,\xi)\}_{\xi\in \Omega_1}$ таких, что указанное условие выполнено, однако пространства $\widehat H$ и $\widetilde H$ не совпадают (не эквивалентны).