О неравенствах типа Колмогорова в пространстве Бергмана для функций двух переменных

Пусть $\mathrm{z}:=(\xi,\zeta)=(re^{it},\rho e^{i\tau}), 0\leq r,\rho<\infty, 0\leq t,\tau\leq 2\pi,$ - точка двумерного комплексного пространства $\mathbb{C}^{2}$, $U^{2}:=\{\mathrm{z}\in\mathbb{C}^{2}: |\xi|<1, |\zeta|<1\}$ - единичный бикруг в $\mathbb{C}^{2}$, $\mathcal{A}(U^{2})$ - класс аналитических в бикруге $U^{2}$ функций, $B_{2}:=B_{2}(U^{2})$ - пространство Бергмана функций $f\in\mathcal{A}(U^{2})$, для которых
$$\begin{equation*} \|f\|_{2}:=\|f\|_{B_{2}(U^{2})}=\left(\frac{1}{4\pi^{2}}\iint_{(U^{2})}|f(\xi,\zeta)|^{2}d\sigma_{\xi}d\sigma_{\zeta}\right)^{1/2}<+\infty, \end{equation*}$$
где $d\sigma_{\xi}:=dxdy, d\sigma_{\zeta}:=dudv$, а интеграл понимается в смысле Лебега. В работе С.Б. Вакарчука и М.Б. Вакарчука (2013) доказано, что при выполнение некоторых условий относительно коэффициентов Тейлора $c_{pq}(f)$ в разложении $f(\xi,\zeta)$ в двойной ряд Тейлора имеет место точное неравенство Колмогорова  вида
$$\left\|f^{(k-\mu,l-\nu)}\right\|_{2}\leq \mathcal{C}_{k,l}(\mu,\nu) \,\|f\|_{2}^{\mu\nu/(kl)}\,\left\|f^{(k,0)}\right\|_{2}^{(1-\mu/k)\nu/l}\,\left\|f^{(0,l)}\right\|_{2}^{(1-\nu/l)\mu/k}\,\left\|f^{(k,l)}\right\|_{2}^{(1-\mu/k)(1-\nu/l)},$$
где числовые коэффициенты $\mathcal{C}_{k,l}(\mu,\nu)$ конкретно определены параметрами $k,l\in\mathbb{N}, \mu,\nu\in\mathbb{Z}_{+}$. В данной статье найдено точное неравенство типа Колмогорова для наилучших приближений $\mathscr{E}_{m-1,n-1}(f)_{2}$ функций $f\in B_{2}(U^{2})$ обобщенными полиномами (квазиполиномами):
$$\begin{equation*}\mathscr{E}_{m-k+\mu-1,n-l+\nu-1}\big(f^{(k-\mu,l-\nu)}\big)_{2}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}\leq\frac{\alpha_{m,k-\mu}\,\alpha_{n,l-\nu}(m-k+1)^{(k-\mu)/(2k)}(n-l+1)^{(l-\nu)/(2l)}(m+1)^{\mu/(2k)}\,(n+1)^{\nu/(2l)}}{(\alpha_{m,k})^{1-\mu/m}\,(\alpha_{n,l})^{1-\nu/l}\left[(m-k+\mu+1)(n-l+\nu+1)\right]^{1/2}} \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} { } \times \big(\mathscr{E}_{m-1,n-1}(f)_{2}\big)^{\frac{\mu\nu}{kl}}\,\big(\mathscr{E}_{m-k-1,n-l}\big(f^{(k,0)}\big)_{2}\big)^{(1-\frac{\mu}{k})\frac{\nu}{l}}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}{ }\times \big(\mathscr{E}_{m-1,n-l-1}\big(f^{(0,l)}\big)_{2}\big)^{\frac{\mu}{k}(1-\frac{\nu}{l})}\,\big(\mathscr{E}_{m-k-1,n-l-1}\big(f^{(k,l)}\big)_{2}\big)^{(1-\frac{\mu}{k})(1-\frac{\nu}{l})},\end{equation*}$$
в том смысле, что существует функция $f_{0}\in B_{2}^{(k,l)}$, для которой полученное неравенства обращается в равенство.