О неравенствах типа Колмогорова для периодических функций двух переменных в $L_2$

Пусть $L_{2}:=L_{2}(Q), \, Q:=\{0 \leq x, y \leq 2\pi\}$ – гильбертово пространство суммируемых с квадратом функций $f(x,y)$ в области $Q$ с конечной нормой
$$\begin{equation*} \|f\|_{2}:=\|f\|_{L_{2}(Q)}:=\left\{\frac{1}{4\pi^{2}}\iint_{(Q)}|f(x,y)|^2dxdy\right\}^{1/2} < \infty, \end{equation*}$$
а $L_{2}^{(r,s)}(Q)$ – класс функций $f\in L_{2}$, у которых производные $f^{(k,l)}\in C(Q)$, а $f^{(r,l)}, \, f^{(k,s)}$ $(0\leq k\leq r-1$, $0\leq l\leq s-1, \, r,s\geq 2, r,s\in\mathbb{N})$, $f^{(r,s)}$ – кусочно-непрерывны и $f^{(r,s)}\in L_{2}$. В работе доказано, что для произвольной $f\in L_{2}^{(r,s)}$ имеет место точное неравенство типа Колмогорова следующего вида
$$\begin{equation*} \|f^{(r-k,s-l)}\|_{L_2(Q)}\leq\|f\|^{kl/rs}_{L_2(Q)}\cdot\|f^{(r,0)}\|^{(1-\frac{k}{r})\frac{l}{s}}_{L_2(Q)}\cdot \|f^{(0,s)}\|^{\frac{k}{r}(1-\frac{l}{s})}_{L_2(Q)}\cdot\|f^{(r,s)}\|^{(1-\frac{k}{r})(1-\frac{l}{s})}_{L_2(Q)}. \end{equation*}$$
Найдено также точное неравенство типа Колмогорова для наилучших приближений $\mathscr{E}_{m-1,n-1}(f^{(r-k,s-l)})_{2}$ промежуточных производных $f^{(r-k,s-l)}$ функций $f\in L_{2}^{(r,s)}$ тригонометрическими “углами”, имеющее вид
$$\begin{equation*} \mathscr{E}_{m-1,n-1}(f^{(r-k,s-l)})_{2}\leq \end{equation*}$$

$$\begin{equation*}\displaystyle\leq\left(\mathscr{E}_{m-1,n-1}\left(f\right)_{2}\right)^{kl/rs}\cdot\left(\mathscr{E}_{m-1,n-1}\left(f^{(r,0)}\right)_{L_{2}}\right)^{\left(1-\frac{k}{r}\right)\frac{l}{s}}\cdot\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \cdot\left(\mathscr{E}_{m-1,n-1}\left(f^{(0,s)}\right)_{2}\right)^{\frac{k}{r}\left(1-\frac{l}{s}\right)}\cdot\left(\mathscr{E}_{m-1,n-1}\left(f^{(r,s)}\right)_{2}\right)^{\left(1-\frac{k}{r}\right)\left(1-\frac{l}{s}\right)}, \end{equation*}$$
и дано приложение к задаче об одновременном приближении функции и ее промежуточных производных в $L_{2}$. Вычислены точные значения линейных и колмогоровских квазипоперечников некоторых классов функций.