| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Об одном свойстве системы Радемахера и С. В. Асташкинabcd, Е. М. Семеновe a Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова c Московский центр фундаментальной и прикладной математики d Bahcesehir University, Istanbul, Turkey e Воронежский государственный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9922e 
Реферативные базы данных:
     ВведениеСогласно классическому неравенству Хинчина (см., например, [1; теорема V.8.4]) для каждого p⩾1 и любой последовательности вещественных чисел (ak)∞k=1∈ℓ2 имеет место неравенство где r_k – функции Радемахера, r_k(t)=\operatorname{sign} (\sin 2^k \pi t), k \in \mathbb N, t \in [0,1], \|(a_k)\|_{\ell^2}:=\bigl(\sum_{k=1}^\infty a_k^2\bigr)^{1/2}. Применяя (0.1) вместе с разложением в ряд Тейлора функции M(u)=e^{u^2}-1, нетрудно показать, что распределение функции f:=\sum_{k=1}^\infty a_k r_k удовлетворяет соотношению
\begin{equation*}
\lim_{\tau\to\infty}m\{t\in [0,1]\colon |f(t)|>\tau\} e^{\tau^2}=0
\end{equation*}
\notag
(m – мера Лебега на [0,1]). Используя терминологию функциональных пространств, этот результат можно эквивалентно сформулировать следующим образом. Пусть \operatorname{Exp}L^2 – пространство Орлича, построенное по функции M(u)=e^{u^2}-1, а G – замыкание L^\infty в \operatorname{Exp}L^2 (все определения см. в § 1). Тогда если R – замкнутая линейная оболочка системы Радемахера в L^2[0,1], то имеет место непрерывное вложение R\subset G, т.е. для некоторого C>0 и любой последовательности (a_k)_{k=1}^\infty\in \ell^2
\begin{equation}
\biggl\|\sum_{k=1}^\infty a_k r_k\biggr\|_{G} \leqslant C\|(a_k)\|_{\ell^2}.
\end{equation}
\tag{0.2}
Кроме того, как показывает теорема, доказанная в работе [2] (см. также [3; теорема 2.b.4, (i)] или [4; теорема 2.3]), последний результат точен в том смысле, что из неравенства
\begin{equation}
\biggl\|\sum_{k=1}^\infty a_k r_k\biggr\|_{X} \leqslant C\|(a_k)\|_{\ell^2},
\end{equation}
\tag{0.3}
выполненного для некоторого C>0 и всех (a_k)_{k=1}^\infty\in \ell^2 в некотором симметричном пространстве X на [0,1], следует непрерывное вложение X\supset G. Первая цель настоящей работы состоит в том, чтобы усилить последний результат, доказав существование функций со сколь угодно большим распределением, отношение которого к распределению стандартной нормальной величины стремится к нулю, в самой замкнутой линейной оболочке R (а не только в симметричном пространстве X, для которого выполнено условие (0.3), как это вытекает из упомянутой теоремы из [2]). Точнее, мы покажем, что для любой измеримой функции x(t), удовлетворяющей условию
\begin{equation*}
\lim_{\tau\to\infty}m\{t\in [0,1]\colon |x(t)|>\tau\}e^{\tau^2}=0,
\end{equation*}
\notag
существует функция f=\sum_{k=1}^\infty a_kr_k, где (a_k)_{k=1}^\infty\in \ell^2, такая, что для некоторого C>0
\begin{equation*}
m\{t\in [0,1]\colon |x(t)|>\tau\} \leqslant Cm\{t\in [0,1]\colon |f(t)|>\tau\}, \qquad \tau>0.
\end{equation*}
\notag
Переходя к терминологии функциональных пространств и конкретным константам, сформулируем этот результат следующим образом. Теорема 1. Для каждой функции x\in G найдется сумма Радемахера f=\sum_{k=1}^\infty a_kr_k, (a_k)_{k=1}^\infty\in \ell^2, такая, что
\begin{equation}
m\{t\in [0,1]\colon |x(t)|>\tau\}\leqslant 2^7 m\{t\in [0,1]\colon |f(t)|>\tau\} \quad \textit{для всех }\ \tau>0.
\end{equation}
\tag{0.5}
В частности, из (0.5) следует, что \|x\|_X\leqslant 2^{7}\|f\|_X для всякого симметричного пространства X на [0,1]. Заметим, что первая версия теоремы 1 была доказана авторами в работе [5] (см. там теорему 4). Подпространство R, порожденное системой Радемахера в L^2, является модельным примером \Lambda(2)-пространства. Подпространство H пространства L^p[0,1], p\geqslant 1, называется \Lambda(p)-пространством, если в H сходимость в L^p-норме эквивалентна сходимости по мере. Как нетрудно проверить, в этом случае L^p- и L^1-нормы эквивалентны на H (см. также [6; предложение 6.4.5]). Напомним, что изучение \Lambda(p)-пространств было инициировано в классической работе У. Рудина [7], посвященной анализу Фурье на окружности [0,2\pi), и продолжено затем многими авторами (см., в частности, глубокие результаты Ж. Бургейна в работе [8]). Вторая задача, рассматриваемая в работе, состоит в изучении возможности распространения результата теоремы 1 на \Lambda(2)-пространства. Ее постановка возникла в связи с вопросом Б. С. Кашина, заданным одному из авторов настоящей работы: любое ли бесконечномерное подпространство H пространства L^2[0,1] содержит функции с “почти” нормальным (гауссовским) распределением? Как нетрудно видеть (см. предложение 2), без дополнительных предположений относительно подпространства ответ отрицателен. В то же время с помощью известных результатов о сравнении функциональных последовательностей с системой Радемахера (см. [4; теорема 8.2] и [9; теорема V.4.4]) для двух классов \Lambda(2)-пространств удалось получить положительные результаты. А именно, если H содержит ортонормированную последовательность функций, равномерно ограниченных на некотором множестве положительной меры, либо последовательность не тождественно постоянных независимых функций, то справедливы утверждения, аналогичные теореме 1 (см. следствия 1 и 2). Эти результаты делают естественной формулировку следующей проблемы. Проблема. Пусть H – произвольное \Lambda(2)-пространство. Существуют ли константы C_1,C_2>0 такие, что для каждой функции x\in G найдется функция g\in H, удовлетворяющая условиям \|g\|_{L^2}\leqslant C_1\|x\|_G и БлагодарностьАвторы благодарны рецензенту за полезные критические замечания, учет которых позволил значительно улучшить изложение основных результатов. § 1. Предварительные сведенияПриведем необходимые в дальнейшем сведения из теории симметричных пространств. Более подробную информацию см. в монографиях [3], [10]–[13]. Банахово пространство X измеримых на [0,1] функций называется симметричным (или перестановочно-инвариантным), если: 1) из |x(t)| \leqslant|y(t)| для всех t \in[0,1] и y \in X следует x \in X и 2) из равноизмеримости функций x и y (это означает, что m\{t\in [0,1]: |x(t)|> \tau\}=m\{t\in [0,1]\colon |y(t)|>\tau\} для каждого \tau>0) и условия y\in X вытекает, что x\in X и Без ограничения общности будем считать, что \|\chi_{[0,1]}\|_X=1, где \chi_E (t) – характеристическая функция измеримого подмножества E \subset [0,1]. Тогда L^\infty \subset X \subset L^1 и \|x\|_{L^1} \leqslant\|x\|_{X} \leqslant \| x \|_{L^\infty} для любого симметричного пространства X и всякого x\in L^\infty. Через X_0 будем обозначать замыкание L^\infty в симметричном пространстве X. Если X \neq L^\infty, то X_0 сепарабельно. Для сепарабельности симметричного пространства X необходимо и достаточно, чтобы для каждой функции x\in X выполнялось соотношение где x^* – невозрастающая непрерывная слева перестановка функции |x|, которая равноизмерима с x и определяется равенством
\begin{equation*}
x^*(t)=\inf\{\tau>0\colon m\{s\in [0,1]\colon |x(s)|>\tau\}<t\}, \qquad 0<t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
Двойственное (или ассоциированное) к симметричному пространству X пространство X' состоит из всех измеримых функций y, для которых конечна норма
\begin{equation*}
\|y\|_{X'}=\sup_{\| x \|_{X} \leqslant 1} \int_{0}^1 x(t) y (t ) \,dt.
\end{equation*}
\notag
Пространство X' также симметрично и является подпространством сопряженного пространства X^*. Кроме того, X'=X^*, если и только если X сепарабельно. Естественное вложение X в X'' изометрично. Пространство X' максимально, т.е. из того, что x_n\in X', n=1,2,\dots, \sup_{n=1,2,\dots}\|x_n\|_{X'}<\infty и x_n\to{x} п.в. на [0,1], вытекает
\begin{equation*}
x\in X', \qquad \|x\|_{X'}\leqslant \limsup_{n\to\infty}{\|x_n\|_{X'}}.
\end{equation*}
\notag
Приведем примеры симметричных пространств. Естественным обобщением пространств L^p, 1 \leqslant p < \infty, являются пространства Орлича. Пусть M(u) – непрерывная выпуклая возрастающая функция на [0,\infty), M(0)=0, M(1)=1. Пространство Орлича L_M можно определить как множество всех измеримых на [0,1] функций, для которых конечна норма Люксембурга
\begin{equation*}
\|x\|_{L_M}:=\inf \biggl\{\lambda>0\colon \int_{0}^{1} M\biggl(\frac{|x (t)|}{\lambda}\biggr) \,dt \leqslant 1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
В частности, если M(u)=u^p, то L_M=L^p изометрически. Пространство L_M сепарабельно тогда и только тогда, когда функция M удовлетворяет \Delta_2^\infty-условию, т.е. M(2u) \leqslant CM(u) для некоторого C>0 и всех u\geqslant 1. В частности, выпуклая возрастающая функция M_p(u), эквивалентная при больших u функции e^{u^p}-1, p>0, не удовлетворяет этому условию. Поэтому соответствующее экспоненциальное пространство Орлича L_{M_p}, которое обычно обозначается через \operatorname{Exp}L^p, несепарабельно. Во многих вопросах теории симметричных пространств (в том числе рассматриваемых в настоящей работе) важную роль играет сепарабельное пространство (\operatorname{Exp}L^2)_0, которое принято обозначать через G. Пусть \varphi – непрерывная возрастающая вогнутая на [0,1] функция такая, что \varphi(0)=0, \varphi(1)=1, \lim_{t \to 0} \varphi(t)/t=\infty. Пространство Лоренца \Lambda(\varphi) состоит из всех измеримых на [0,1] функций, для которых
\begin{equation*}
\|x\|_{\Lambda(\varphi)}:=\int_{0}^{1} x^*(t) \,d \varphi(t)<\infty.
\end{equation*}
\notag
Каждое пространство Лоренца сепарабельно, и сопряженным к пространству Лоренца \Lambda(\varphi) является пространство Марцинкевича M(\varphi) с нормой
\begin{equation*}
\|x\|_{M (\varphi)}:=\sup_{0<s \leqslant 1} \frac{1}{\varphi(s)} \int_{0}^{s} x^*(t) \, dt.
\end{equation*}
\notag
Всякое пространство Марцинкевича несепарабельно, и M(\varphi)'=\Lambda(\varphi) с совпадением норм. Функция \phi_X(s):=\|\chi_E\|_X, где E\subset[0,1] измеримо и m(E)=s, называется фундаментальной функцией симметричного пространства X. Она квазивогнута, т.е. \phi_X(0)=0, \phi_X(s) не убывает, а функция \phi_X(s)/s не возрастает. В частности, \phi_{\Lambda(\varphi)}(s)=\varphi(s) и \phi_{M(\varphi)}(s)=s/\varphi(s). § 2. Вспомогательные результатыПриведем несколько простых вспомогательных утверждений, которые нам далее потребуются. Лемма 1. Для любой функции x\in \operatorname{Exp}L^2 имеет место неравенство
\begin{equation}
x^*(t)\leqslant \ln^{1/2}\frac2t\, \|x\|_{\operatorname{Exp}L^2},\qquad 0<t\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{2.1}
Кроме того, x\in G, если и только если Доказательство. Так как пространство \operatorname{Exp}L^2 симметрично, то из определения его нормы следует, что для каждого 0<t\leqslant 1
\begin{equation*}
t\exp\biggl(\frac{x^*(t)}{\|x\|_{\operatorname{Exp}L^2}}\biggr)^2 \leqslant\int_0^t\exp\biggl(\frac{x^*(s)}{\|x\|_{\operatorname{Exp}L^2}}\biggr)^2\,ds\leqslant 2,
\end{equation*}
\notag
откуда после элементарных преобразований получаем (2.1).
Далее, как отмечалось в § 1, симметричное пространство X сепарабельно тогда и только тогда, когда для любой функции x\in X выполнено равенство (1.1). Поэтому если x\in G, то \lim _{t \to 0}\|x^{*} \chi_{(0, t)}\|_{\operatorname{Exp}L^2}=0. Следовательно, так как в силу (2.1)
\begin{equation*}
\frac{x^*(t)}{\ln^{1/2}(2/t)}\leqslant \|x^{*} \chi_{(0,t)}\|_{\operatorname{Exp}L^2}, \qquad 0<t\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
получаем (2.2).
Наоборот, пусть для x\in \operatorname{Exp}L^2 выполнено (2.2). Как нетрудно показать, тогда
\begin{equation}
\lim_{v\to 0} \frac{1}{v\ln^{1/2}(2/v)}\int_0^v x^*(s)\,ds=0
\end{equation}
\tag{2.3}
(доказательство более общего факта см. в [10; теорема II.5.3]). Кроме того, непосредственная проверка показывает, что функция \ln^{1/2}(2/t) принадлежит пространству \operatorname{Exp}L^2. Поэтому из неравенства
\begin{equation*}
x^{*}(t) \chi_{(0,u)}(t)\leqslant \ln^{1/2}\frac2t\cdot \sup_{0<v\leqslant u} \frac{1}{v\ln^{1/2}(2/v)}\int_0^v x^*(s)\,ds, \qquad 0<t,u\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
следует
\begin{equation*}
\|x^{*} \chi_{(0,u)}\|_{\operatorname{Exp}L^2}\leqslant \sup_{0<v\leqslant u} \frac{1}{v\ln^{1/2}(2/v)}\int_0^v x^*(s)\,ds\cdot \biggl\|\ln^{1/2}\frac{2}{t}\biggr\|_{\operatorname{Exp}L^2}, \qquad 0<u\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
В итоге отсюда и из (2.3) вытекает, что \lim _{u \to 0}\|x^{*} \chi_{(0,u)}\|_{\operatorname{Exp}L^2}=0, т.е. x\in G.
Лемма доказана. Доказательство следующего утверждения стандартно, и поэтому мы его опускаем. Лемма 2. Пусть \{f_n\}_{n=1}^\infty – последовательность невозрастающих функций на [a,b] такая, что \lim_{n\to\infty}f_n(t)=f(t) для всех t\in [a,b], где f непрерывна на [a,b]. Тогда сходимость последовательности \{f_n\} к f равномерна на [a,b]. И наконец, далее нам будет нужна оценка сверху сумм Радемахера в двоичном пространстве \mathrm{BMO}, которое обозначается обычно как \mathrm{BMO}_d. Напомним его определение. Пусть \mathbb D – семейство всех двоичных интервалов из [0,1], т.е. интервалов вида ((k-1)2^{-n},k2^{-n}), 1\leqslant k\leqslant2^n, n=0,1,\dots . Пространство \mathrm{BMO}_d=\mathrm{BMO}_d[0,1] состоит из всех функций x \in L^2[0, 1] таких, что
\begin{equation*}
\| x \|_{d}:=\sup_I \frac{1}{| I|} \int_I | x(s) - x_I | \, ds < \infty,
\end{equation*}
\notag
где супремум берется по всем интервалам I\in\mathbb D, |I|=m(I), \displaystyle x_I:=\frac{1}{|I|} \int_I x(s) \, ds. Доказательство. Для произвольной функции x \in L^2[0, 1] имеем \|x\|_d\leqslant \|x\|_d', где
\begin{equation*}
\|x\|_d':=\sup_{I\in\mathbb D}\biggl(\frac{1}{|I|}\int_I | x(s) - x_I |^2 \, ds \biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
Непосредственная проверка показывает, что для данной функции f справедливо равенство \|f\|_d'=\|a\|_{\ell^2} (см. также [5; соотношение (1.2) и предложение 3]).
Лемма доказана. § 3. Доказательство теоремы 1Применяя центральную предельную теорему к последовательности функций
\begin{equation*}
u_n(t):=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^nr_k(t), \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
определенных на отрезке [0,1], и учитывая симметричность распределения функций u_n, n=1,2,\dots, получим
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}m\{t\in [0,1]\colon |u_n(t)|>\tau\}=\Psi(\tau), \qquad \tau >0,
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\Psi(\tau):=\frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_{\tau}^\infty e^{-t^2/2}\,dt.
\end{equation*}
\notag
Отсюда после перехода к перестановкам (см., например, [4; лемма 2.1]) следует где u(s):=\Psi^{-1}(s) – функция, обратная к \Psi. Кроме того, так как из оценки
\begin{equation*}
\int_{\tau}^\infty e^{-t^2/2}\,dt\geqslant \int_{\tau}^{\infty}te^{-t^2}\,dt =\frac12\, e^{-\tau^2}, \qquad \tau\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
вытекает \Psi(\tau)\geqslant (1/\sqrt{2\pi})\cdot e^{-{\tau}^2}, \tau\geqslant 0, то, переходя к обратным функциям, имеем
\begin{equation*}
u(s)\geqslant \ln^{1/2}\frac{1}{s\sqrt{2\pi}}, \qquad 0<s\leqslant \frac{1}{\sqrt{2\pi}}.
\end{equation*}
\notag
Тем самым, полагая v(s):=\ln^{1/2}({2}/{s}), получим, что для любого 0<t\leqslant 1
\begin{equation}
\int_0^t v(s)\,ds=2\sqrt{2\pi}\int_0^{t/(2\sqrt{2\pi})} \ln^{1/2}\frac{1}{s\sqrt{2\pi}}\,ds \leqslant 6\int_0^t u(s)\,ds.
\end{equation}
\tag{3.2}
С другой стороны, по лемме 1 (см. (2.1) и (2.2)), если x\in G, то
\begin{equation}
x^*(t)\leqslant \|x\|_G v(t), \quad 0<t\leqslant 1, \qquad \lim_{t\to 0}\frac{x^*(t)}{v(t)}=0.
\end{equation}
\tag{3.3}
Построим такую последовательность t_1>t_2>\dotsb точек из [0,1], что t_k\downarrow 0,
\begin{equation}
x^*(t)\leqslant \|x\|_G v(t)\cdot\sum_{k=1}^\infty 2^{1-k}\chi_{(t_{k+1},t_k]}(t),\qquad 0<t\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{3.4}
\begin{equation}
\int_{t_{k+1}}^\tau u(t)\,dt\geqslant \frac12\int_{0}^\tau u(t)\,dt \quad \text{для всех }\ \tau\in [t_k,t_{k-1}], \quad k=2,3,\dots\,.
\end{equation}
\tag{3.5}
Возьмем t_1=1 и, пользуясь предельным соотношением в (3.3), выберем t_2<1 таким образом, что
\begin{equation}
x^*(t)\leqslant \frac12 \|x\|_G v(t) \quad \text{для всех }\ 0<t\leqslant t_2.
\end{equation}
\tag{3.6}
Для любого \tau\in [t_2,t_1] найдется b(\tau)\in (0,t_1) такое, что причем ввиду абсолютной непрерывности интеграла функция \tau\mapsto b(\tau) непрерывна на [t_2,t_1]. Поэтому существует t_3':=\min_{t_2\leqslant\tau\leqslant t_1} b(\tau)>0. Пусть t_3\in (0,t_3'] таково, что
\begin{equation*}
x^*(t)\leqslant \frac{1}{2^2}\|x\|_G v(t) \quad \text{для всех }\ 0<t\leqslant t_3.
\end{equation*}
\notag
Тогда в силу первого неравенства в (3.3), а также (3.6) соотношение (3.4) выполнено при t\in[t_3,t_1], а выбор t_3 гарантирует, что неравенство (3.5) справедливо при k=2. Выбор последующих точек t_k производится аналогичным образом. В силу леммы 2 сходимость в (3.1) равномерна на промежутке [\lambda,1] для любого \lambda\in (0,1). Поэтому, полагая m_1=0, можно выбрать m_2>m_1 так, что
\begin{equation*}
\biggl(\frac{1}{(m_2-m_1)^{1/2}}\sum_{k=m_1+1}^{m_2} r_k\biggr)^*(t)\geqslant \frac12\, u(t)
\end{equation*}
\notag
для всех t\in[t_2,t_1]. Если m_1<m_2<\dots<m_i уже найдены, то ввиду элементарных свойств функций Радемахера (см., например, [4; предложение 2.2]) имеем
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\biggl(\frac{1}{(n-m_i)^{1/2}}\sum_{k=m_i+1}^{n} r_k\biggr)^*(s)=u(s), \qquad 0< s\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, опять в силу леммы 2 можно выбрать m_{i+1}>m_i таким образом, что
\begin{equation}
\biggl(\frac{1}{(m_{i+1}-m_i)^{1/2}}\sum_{k=m_i+1}^{m_{i+1}} r_k\biggr)^*(t)\geqslant \frac12\, u(t) \quad\text{для всех }\ t\in [t_{i+1},t_1].
\end{equation}
\tag{3.7}
Положим
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_k:=\frac{2^{7-i} \|x\|_G}{(m_{i+1}-m_i)^{1/2}}, \qquad m_i<k\leqslant m_{i+1}, \quad i\in\mathbb N, \\ z_i:=\sum_{k=m_i+1}^{m_{i+1}} a_kr_k, \quad i\in\mathbb N, \qquad g:=\sum_{k=1}^\infty a_kr_k. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Отсюда, если a=(a_k)_{k=1}^\infty, получаем
\begin{equation*}
\|a\|_{\ell^2}\leqslant 128\|x\|_G\biggl(\sum_{i=1}^\infty 4^{-i}\biggr)^{1/2}=128\cdot 3^{-1/2}\|x\|_G< 80 \|x\|_G,
\end{equation*}
\notag
и, значит, g\in L^2 и Так как система Радемахера безусловна с константой 1 в симметричном пространстве (см. [4; предложение 2.2]), в том числе в пространстве L^1 с нормой \displaystyle\int_0^\tau x^*(s)\,ds, 0<\tau\leqslant 1, то для любых i=2,3,\dots и \tau\in [t_i,t_{i-1}] имеем
\begin{equation*}
\int_0^\tau g^*(t)\,dt\geqslant \int_0^\tau z_i^*(t)\,dt\geqslant \int_{t_{i+1}}^\tau z_i^*(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
Кроме того, ввиду (3.7), (3.5) и (3.2) для всех \tau\in [t_i,t_{i-1}]
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{t_{i+1}}^\tau z_i^*(t)\,dt &\geqslant 2^{6-i}\|x\|_G \int_{t_{i+1}}^\tau u(t)\,dt \\ &\geqslant 2^{5-i}\|x\|_G \int_{0}^\tau u(t)\,dt \geqslant 2^{2-i}\|x\|_G \int_{0}^\tau v(t)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В то же время на промежутке (0,t_{i-1}], как показывает неравенство (3.4), мы имеем 2^{2-i}\|x\|_G v(t)\geqslant x^*(t). Таким образом, так как \bigcup_{i=2}^\infty [t_i,t_{i-1}]=(0,1], то из предыдущих неравенств следует, что
\begin{equation}
\int_0^\tau x^*(t)\,dt\leqslant \int_0^\tau g^*(t)\,dt, \qquad 0<\tau\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.9}
Далее, напомним, что для любой функции w\in \mathrm{BMO}_d справедливо неравенство
\begin{equation*}
\frac{1}{t}\int_0^t w^*(s)\,ds-w^*(t)\leqslant 32\|w\|_d, \qquad 0<t\leqslant \frac 14
\end{equation*}
\notag
(см. [14] и [15; теорема 3.3], где это неравенство получено для обычного пространства \mathrm{BMO}, но простой анализ доказательства показывает, что его аналог верен и для \mathrm{BMO}_d). Поэтому в силу (3.9), а также леммы 3 для 0<t\leqslant 1/4
\begin{equation}
\begin{aligned} \, x^*(t) &\leqslant \frac{1}{t}\int_0^t x^*(s)\,ds\leqslant \frac{1}{t}\int_0^t g^*(s)\,ds \nonumber \\ &\leqslant g^*(t)+32\|g\|_{d}\leqslant g^*(t)+32\|a\|_{\ell^2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
Заметим, что последнее неравенство выполнено также при 1/4<t\leqslant 1, так как в этом случае, применяя (3.9) еще раз, имеем
\begin{equation*}
x^*(t)\leqslant \frac{1}{t}\int_0^t x^*(s)\,ds\leqslant 4\int_0^t g^*(s)\,ds\leqslant 4\|g\|_{L^2}=4\|a\|_{\ell^2}.
\end{equation*}
\notag
Так как в силу неравенства Хинчина (см. (0.1)) \|g\|_{L^p}\leqslant \sqrt{p}\, \|g\|_{L^2}, p\geqslant 1, то, рассуждая стандартным образом (см., например, теорему 2.7 в [16] и ее доказательство), получаем
\begin{equation*}
m\biggl\{t\in [0,1]\colon |g(t)|\geqslant \frac{\|a\|_{\ell^2}}{2}\biggr\}\geqslant \frac{1}{128}
\end{equation*}
\notag
или, по определению перестановки,
\begin{equation*}
g^*\biggl(\frac{t}{128}\biggr)\geqslant \frac{\|a\|_{\ell^2}}{2}, \qquad 0<t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
Отсюда и из (3.10) получаем или, переходя к функциям распределения,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, m\{t\in [0,1]\colon |x(t)|>\tau\} &\leqslant m\biggl\{t\in [0,1]\colon 65\biggl|g\biggl(\frac{t}{128}\biggr)\biggr|>\tau\biggr\} \\ &=128m\{t\in [0,1]\colon 65|g(t)|>\tau\}, \qquad \tau>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В итоге соотношения (0.4) и (0.5) вытекают из последнего неравенства и (3.8), если положить f:=65g. Теорема 1 доказана. Замечание. Согласно теореме 1 существует оператор A, действующий из пространства G в пространство \ell^2, такой, что \|Ax\|_{\ell^2}\asymp \|x\|_G, x\in G. Как видно из доказательства, оператор A не линеен. Более того, линейного оператора с подобным свойством не существует, так как в противном случае G было бы изоморфно гильбертову пространству. В частности, ортогональный проектор
\begin{equation*}
Qx(t):=\sum_{k=1}^\infty \int_0^1x(s)r_k(s)\,ds\cdot r_k(t)
\end{equation*}
\notag
имеет норму 1 в L^2, и поэтому тем более \|Qx\|_{L^2}\leqslant \|x\|_G для каждого x\in G. Таким образом, для функции f:=Qx выполнен аналог неравенства (0.4). В то же время, как нетрудно убедиться, аналог соотношения (0.5) для произвольной функции x\in G и такой f уже не верен. В следующем параграфе мы перенесем результат теоремы 1 на некоторые более общие подпространства. § 4. Подпространства, содержащие ортонормированную последовательность, равномерно ограниченную на множестве положительной мерыТеорема 2. Пусть последовательность \{y_n\}\subset L^2 удовлетворяет хотя бы одному из двух наборов условий:
Существуют подпоследовательность \{y_{n_k}\}\subset\{y_n\} и константы C_1,C_2>0 такие, что для каждой функции x\in G найдется функция g:=\sum_{k=1}^\infty a_ky_{n_k}, где (a_k)\in \ell^2, удовлетворяющая условиям \|g\|_{L^2}\leqslant C_1\|x\|_G и
\begin{equation*}
m\{t\in [0,1]\colon |x(t)|>\tau\}\leqslant C_2 m\{t\in [0,1]\colon |g(t)|>\tau\} \quad \textit{для всех }\ \tau>0.
\end{equation*}
\notag
В частности, это утверждение верно для произвольной равномерно ограниченной ортонормированной последовательности функций на [0,1]. Доказательство. Пусть сначала выполнены условия a1), b1). Так как \{y_n\} удовлетворяет условиям теоремы 8.2 из [4] (см. также [17]), то существует подпоследовательность \{y_{n_k}\}\subset \{y_n\}, эквивалентная по распределению системе Радемахера. Это означает, что для некоторого C\geqslant 1, а также всех \tau>0 и a_k\in\mathbb{R} выполняются неравенства
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &C^{-1}m\biggl\{t\colon \biggl|\sum_{k=1}^\infty a_kr_{k}\biggr|>C\tau\biggr\} \\ &\qquad\leqslant m\biggl\{t\colon \biggl|\sum_{k=1}^\infty a_ky_{n_k}\biggr|>\tau\biggr\} \leqslant Cm\biggl\{t\colon \biggl|\sum_{k=1}^\infty a_kr_{k}\biggr|>\frac{\tau}{C}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
Согласно теореме 1 для каждой функции x\in G найдется такая сумма Радемахера f=\sum_{k=1}^\infty a_kr_k, (a_k)_{k=1}^\infty\in \ell^2, что выполнены соотношения (0.4) и (0.5). Значит, в силу предыдущих неравенств для функции g':=\sum_{k=1}^\infty a_ky_{n_k} имеем
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|g'\|_{L^2}\leqslant C^2\|f\|_{L^2}\leqslant 5200C^2\|x\|_{G}, \\ \begin{split} &m\{t\in [0,1]\colon |x(t)|>\tau\} \\ &\qquad\leqslant 2^7 m\{t\in [0,1]\colon |f(t)|>\tau\} \leqslant 2^7C m\biggl\{t\in [0,1]\colon |g'(t)|>\frac{\tau}{C}\biggr\} \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
для всех \tau>0. Таким образом, полагая g:=Cg', C_1=5200C^3 и C_2=2^7C, получаем нужные соотношения.
Пусть теперь выполнены условия a2), b2). Так как в силу a2) y_n\chi_E\to 0 слабо в L^2, то последовательность функций u_n:=y_n\chi_E, n=1,2,\dots, удовлетворяет условиям a1), b1). Следовательно, как и ранее, существует подпоследовательность \{u_{n_k}\}\subset \{u_n\}, эквивалентная по распределению системе Радемахера, т.е. выполнены соотношения (4.1) с заменой y_{n_k} на u_{n_k}. Пусть x\in G и f=\sum_{k=1}^\infty a_kr_k, (a_k)_{k=1}^\infty\in \ell^2, удовлетворяет соотношениям (0.4) и (0.5). Положим g=C\sum_{k=1}^\infty a_ky_{n_k}, g'':=\sum_{k=1}^\infty a_ku_{n_k}. Тогда, так как \{y_n\} ортонормирована, Кроме того, из определения функций g и g'' получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &m\{t\in [0,1]\colon |x(t)|>\tau\} \\ &\qquad\leqslant2^7 m\{t\in [0,1]\colon |f(t)|>\tau\}\leqslant 2^7C m\biggl\{t\in [0,1]\colon |g''(t)|>\frac{\tau}{C}\biggr\} \\ &\qquad= 2^7C m\{t\in E\colon |g(t)|>\tau\} \leqslant 2^7C m\{t\in [0,1]\colon |g(t)|>\tau\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
для всех \tau>0.
Теорема 2 доказана. Следствие 1. Предположим, что подпространство H пространства L^2 содержит последовательность \{y_n\}, удовлетворяющую условиям a1), b1) или a2), b2) теоремы 2. Существуют константы C_1,C_2>0 такие, что для каждой функции x\in G найдется такая функция g\in H, что \|g\|_{L^2}\leqslant C_1\|x\|_G и
\begin{equation*}
m\{t\in [0,1]\colon |x(t)|>\tau\}\leqslant C_2 m\{t\in [0,1]\colon |g(t)|>\tau\} \quad \textit{для всех }\ \tau>0.
\end{equation*}
\notag
В частности, это выполнено, если H – \Lambda(2)-пространство, которое содержит такую ортонормированную последовательность \{z_n\}_{n=1}^\infty, что Доказательство. В доказательстве нуждается только второе утверждение. При этом достаточно показать, что существует последовательность \{y_n\}, удовлетворяющая условиям a2), b2) теоремы 2.
Прежде всего, так как H – \Lambda(2)-пространство, существует D\geqslant 1 такое, что
\begin{equation}
\|u\|_{L^2}\leqslant D\|u\|_{L^1}\quad \text{для всех }\ u\in H.
\end{equation}
\tag{4.2}
Покажем, что для некоторого \delta=\delta(D) и всех u\in H имеет место неравенство
\begin{equation}
m\{t\in [0,1]\colon |u(t)|>\delta\|u\|_{L^2}\}\geqslant\delta.
\end{equation}
\tag{4.3}
Предположим, что 0<\eta<1, u\in H, u\ne 0 и m(E_u)<\eta, где E_u:=\{t\in [0,1]\colon |u(t)|>\eta\|u\|_{L^1}\}. В силу неравенства Гёльдера и оценки (4.2) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|u\|_{L^{3/2}} &=\biggl(\int_{E_u} |u(t)|^{3/2}\,dt+\int_{[0,1]\setminus E_u} |u(t)|^{3/2}\,dt\biggr)^{2/3} \\ &\leqslant \biggl\{m(E_u)^{1/4}\biggl(\int_{E_u} |u(t)|^{2}\,dt\biggr)^{3/4}+\eta^{3/2}\|u\|_{L^1}^{3/2}\biggr\}^{2/3} \\ &\leqslant(\eta^{1/4}D^{3/2}\|u\|_{L^1}^{3/2}+\eta^{3/2}\|u\|_{L^1}^{3/2})^{2/3}= (D^{3/2}\eta^{1/4}+\eta^{3/2})^{2/3}\|u\|_{L^1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда получаем
\begin{equation*}
\|u\|_{L^{1}}\leqslant (D^{3/2}\eta^{1/4}+\eta^{3/2})^{2/3}\|u\|_{L^1}< 2^{2/3}D\eta^{1/6}\|u\|_{L^1},
\end{equation*}
\notag
и, значит, \eta>\frac{1}{16}D^{-6}. Таким образом, если 0<\eta\leqslant\frac{1}{16}D^{-6}, то Поэтому в силу (4.2) получим, что для u\in H
\begin{equation*}
m\biggl\{t\in [0,1]\colon |u(t)|>\frac{\eta}{D}\|u\|_{L^2}\biggr\}\geqslant m\{t\in [0,1]\colon |u(t)|>\eta\|u\|_{L^1}\}\geqslant\eta,
\end{equation*}
\notag
откуда следует, что неравенство (4.3) выполнено, если только 0<\delta\leqslant\frac{1}{16}D^{-7}. Зафиксируем одно из таких чисел.
Пусть теперь \{z_n\}_{n=1}^\infty – последовательность из подпространства H, удовлетворяющая условиям следствия. Так как \|z_n\|_{L^2}=1, n=1,2,\dots, то из (4.3) следует
\begin{equation}
m\{t\in [0,1]\colon |z_n(t)|>\delta\}\geqslant\delta, \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{4.4}
Кроме того, по условию существуют A>0 и подпоследовательность \{z_{n_k}\}\subset \{z_n\} такие, что
\begin{equation*}
m\biggl([0,1]\setminus\bigcap_{k=1}^\infty\{t\in [0,1]\colon |z_{n_k}(t)|\leqslant A\}\biggr)\leqslant\sum_{k=1}^\infty(1-m\{t\in [0,1]\colon |z_{n_k}(t)|\leqslant A\})\leqslant \frac{\delta}{2}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда и из (4.4) получаем, что
\begin{equation*}
m\biggl(\bigcap_{k=1}^\infty\{t\in [0,1]\colon \delta<|z_{n_k}(t)|\leqslant A\}\biggr)\geqslant\frac{\delta}{2}.
\end{equation*}
\notag
Тем самым для y_k:=z_{n_k}, k=1,2,\dots, и E:=\bigcap_{k=1}^\infty\{t\in [0,1]\colon \delta\leqslant |z_{n_k}(t)|\leqslant A\} выполнены условия a2), b2) теоремы 2, и поэтому следствие доказано. Рассмотрим теперь другую ситуацию. § 5. Подпространства, содержащие последовательность независимых функцийБудем говорить, что последовательность измеримых на [0,1] функций \{y_n\}_{n=1}^\infty мажорирует по распределению систему Радемахера, если для некоторого C\geqslant 1 и всех \tau>0, a_n\in\mathbb{R}
\begin{equation*}
m\biggl\{t\colon \biggl|\sum_{n=1}^\infty a_nr_{n}\biggr|>\tau\biggr\}\leqslant Cm\biggl\{t\colon \biggl|\sum_{n=1}^\infty a_ny_{n}\biggr|>\frac{\tau}{C}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Начнем с рассмотрения случая, когда функции y_n, n=1,2,\dots, имеют нулевые средние интегральные значения. Предложение 1. Предположим, что \{y_n\}_{n=1}^\infty – последовательность независимых функций на [0,1] такая, что \displaystyle\int_0^1 y_n(t)\,dt=0, \|y_n\|_{L^2}=1 и \|y_n\|_{L^1}\geqslant\alpha для некоторого \alpha>0 и всех n=1,2,\dots . Тогда \{y_n\}_{n=1}^\infty мажорирует по распределению систему Радемахера. Доказательство. Рассмотрим естественную “симметризацию” последовательности \{y_n\}_{n=1}^\infty, а именно функции z_n(s,t):=y_n(s)-y_n(t), (s,t)\in [0,1]^2:=[0,1]\times [0,1], n=1,2,\dots . Покажем, что последовательности \{r_n\}_{n=1}^\infty и \{z_n\}_{n=1}^\infty удовлетворяют условиям известного признака сравнения Квапеня–Рыхлика (см., например, [9; теорема V.4.4]). Так как обе они состоят из независимых, симметрично распределенных функций, нужно лишь проверить, что для некоторого C_1>0 и всех n\in\mathbb{N}
Во-первых, в силу условий предложения для всех n=1,2,\dots
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|z_n\|_{L^1}&=\int_0^1\int_0^1 |y_n(s)-y_n(t)|\,ds\,dt \nonumber \\ &\geqslant \int_0^1\biggl|\int_0^1 (y_n(s)-y_n(t))\,ds\biggr|\,dt =\|y_n\|_{L^1}\geqslant\alpha. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.2}
Далее, действуя так же, как М. И. Кадец и А. Пелчинский в известной работе [18] (см. доказательство теоремы 1e), покажем, что при условии 0<\varepsilon\leqslant\alpha^2/8
\begin{equation}
m\{(s,t)\in [0,1]^2\colon |z_n(s,t)|>\varepsilon\|z_n\|_{L^2}\}\geqslant \varepsilon.
\end{equation}
\tag{5.3}
Действительно, предположим, что 0<\varepsilon<1 и m(E_n)<\varepsilon, где
\begin{equation*}
E_n:=\{(s,t)\in [0,1]^2\colon |z_n(s,t)|>\varepsilon\|z_n\|_{L^2}\}.
\end{equation*}
\notag
Тогда, применяя неравенство Коши–Буняковского, получим
\begin{equation*}
\|z_n\|_{L^1}=\int_{E_n}|z_n(s,t)|\,ds\,dt +\int_{[0,1]^2\setminus E_n}|z_n(s,t)|\,ds\,dt\leqslant (m(E_n)^{1/2}+\varepsilon)\|z_n\|_{L^2}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда в силу (5.2) и равенства \|z_n\|_{L^2}=\sqrt{2}\, \|y_n\|_{L^2}=\sqrt{2} предположение, что m(E_n)<\varepsilon, приводит к неравенству \alpha<2\sqrt{2}\, \varepsilon^{1/2} или \varepsilon>\alpha^2/8. Тем самым, если \varepsilon\leqslant\alpha^2/8, получаем (5.3).
В частности, из (5.3) следует, что для всех 0<\tau\leqslant 1
\begin{equation*}
m\biggl\{(s,t)\in [0,1]^2\colon |z_n(s,t)|>\frac{\alpha^2\tau}{4\sqrt{2}}\biggr\}\geqslant \frac{\alpha^2}{8}, \qquad n=1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
откуда, учитывая определение функций Радемахера, для всех n=1,2,\dots и \tau>0 получаем
\begin{equation*}
m\{t\in [0,1]\colon |r_n(t)|>\tau\}\leqslant \frac{8}{\alpha^2}m\biggl\{(s,t)\in [0,1]^2\colon |z_n(s,t)|>\frac{\alpha^2\tau}{4\sqrt{2}}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, неравенство (5.1) выполнено с константой C_1={8}/{\alpha^2}, и, значит, по теореме V.4.4 из [9] существует константа C'=C'(\alpha) такая, что для произвольных \tau>0 и a_n\in\mathbb{R}
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, m\biggl\{t\in [0,1]\colon \biggl|\sum_{n=1}^\infty a_nr_n(t)\biggr|>\tau\biggr\} &\leqslant C'm\biggl\{(s,t)\in [0,1]^2\colon \biggl|\sum_{n=1}^\infty a_nz_n(s,t)\biggr|>\frac{\tau}{C'}\biggr\} \\ &\leqslant2C'm\biggl\{t\in [0,1]\colon \biggl|\sum_{n=1}^\infty a_ny_n(t)\biggr|>\frac{\tau}{2C'}\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где второе из неравенств – непосредственное следствие определения функций z_n.
Предложение доказано. Для того чтобы избавиться от условия равенства нулю средних интегральных значений функций, нам понадобится следующая лемма, отражающая простой и хорошо известный факт: если проекция вектора u на нормированный вектор v в гильбертовом пространстве равна \|u\|, то u и v коллинеарны. Лемма 4. Предположим, что u\in L^2[0,1], \displaystyle\|u\|_{L^2}\,{=}\int_0^1 u(t)\,dt. Тогда u(t)= c для некоторого c\geqslant 0 и п.в. t\in [0,1]. Теорема 3. Если \Lambda(2)-пространство H содержит последовательность не тождественно постоянных независимых функций, то в H есть последовательность, которая мажорирует по распределению систему Радемахера. Доказательство. Достаточно показать, что H содержит последовательность \{y_n\}_{n=1}^\infty, удовлетворяющую условиям предложения 1.
Пусть \{u_n\}_{n=1}^\infty – последовательность не тождественно постоянных независимых функций на [0,1], u_n\in H, n=1,2,\dots . Не ограничивая общности, будем считать, что \displaystyle I_n:=\int_0^1 u_n(t)\,dt\ne 0 для всех n=1,2,\dots . Рассмотрим функции v_n:=a_nu_{2n}-u_{2n-1}, где a_n:=I_{2n-1}/I_{2n}, n=1,2,\dots . Ясно, что v_n независимы, v_n\in H и \displaystyle\int_0^1 v_n(t)\,dt=0, n=1,2,\dots . Кроме того, так как функции u_n, n=1,2,\dots, независимы, то в силу условий теоремы, а также леммы 4 получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|v_n\|_{L^2}^2 &=a_n^2\|u_{2n}\|_{L^2}^2+\|u_{2n-1}\|_{L^2}^2-2a_nI_{2n-1}I_{2n} \\ &=\frac{I_{2n-1}^2}{I_{2n}^2}\|u_{2n}\|_{L^2}^2+\|u_{2n-1}\|_{L^2}^2-2I_{2n-1}^2 \geqslant \|u_{2n-1}\|_{L^2}^2-I_{2n-1}^2>0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Если теперь y_n:={v_n}/{\|v_n\|_{L^2}}, n=1,2,\dots, то y_n\in H и, как легко видеть, эти функции удовлетворяют всем условиям предложения 1.
Теорема доказана. Применяя теоремы 1, 3 и рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 2, получаем следующий результат. Следствие 2. Предположим, что \Lambda(2)-пространство H содержит последовательность не тождественно постоянных независимых функций. Существуют константы C_1,C_2>0 такие, что для каждой функции x\in G найдется такая функция g\in H, что \|g\|_{L^2}\leqslant C_1\|x\|_G и § 6. Один контрпримерПредположим, что X – произвольное симметричное пространство на [0,1], X\ne L^\infty. Приведем пример, показывающий, что без условия эквивалентности L^2- и L^1-норм функций некоторой последовательности из подпространства H из L^2, вообще говоря, нельзя утверждать, что в H существуют функции с распределением, мажорирующим распределение любой функции из пространства X. Поэтому в ранее доказанных утверждениях (см. также проблему, представленную во введении) H в определенном смысле с необходимостью должно быть \Lambda(2)-пространством. Предложение 2. Пусть F\colon (0,\infty)\to (0,1) – произвольная невозрастающая функция. Существуют последовательности попарно дизъюнктных промежутков \Delta_n\subset [0,1], n=1,2,\dots, и положительных чисел \tau_n\uparrow\infty при n\to\infty такие, что
\begin{equation*}
\sup_{\|(a_k)\|_{\ell^2}\leqslant 1}m\biggl\{t\in [0,1]\colon \biggl|\sum_{k=1}^\infty a_k\frac{\chi_{\Delta_k}(t)}{m(\Delta_k)^{1/2}}\biggr|>\tau_n\biggr\}\leqslant\frac{F(\tau_n)}{n}, \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, если H – замкнутая линейная оболочка функций \chi_{\Delta_n}, n=1,2,\dots, в пространстве L^2[0,1], то Доказательство. В качестве \Delta_1 возьмем любой промежуток из [0,1] такой, что m(\Delta_1)<1. Кроме того, пусть \tau_1:=m(\Delta_1)^{-1/2}. Предполагая, что попарно дизъюнктные промежутки \Delta_k\subset [0,1], k=1,\dots,n, удовлетворяющие условию \sum_{k=1}^nm(\Delta_k)<1, уже выбраны, положим \tau_n:=\max_{k=1,\dots,n}m(\Delta_k)^{-1/2} и \alpha_n:=F(\tau_n)/n.
Пусть теперь \Delta_{n+1} – такой промежуток, что \Delta_{n+1}\subset [0,1]\setminus \bigcup_{k=1}^n \Delta_k и
\begin{equation}
m(\Delta_{n+1})<\min\biggl(\min_{k=1,\dots,n}2^{k-n-1}\alpha_k,\,1-\sum_{i=1}^nm(\Delta_i)\biggr).
\end{equation}
\tag{6.1}
Полагая далее \tau_{n+1}:=\max_{k=1,\dots,n+1}m(\Delta_k)^{-1/2} и продолжая аналогичным образом, получаем последовательности попарно дизъюнктных промежутков \Delta_n\subset [0,1], n=1,2,\dots, и положительных чисел \tau_n\uparrow\infty.
Пусть (a_k)\in \ell^2, \|(a_k)\|_{\ell^2}\leqslant 1. Тогда |a_k|\leqslant 1, k=1,2,\dots, и поэтому для каждого n\in\mathbb{N} в силу выбора чисел \tau_n и попарной дизъюнктности промежутков \Delta_k имеем
\begin{equation*}
\biggl|\sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{m(\Delta_k)^{1/2}}\chi_{\Delta_k}(t)\biggr|\leqslant \max_{k=1,\dots,n}{m(\Delta_k)^{-1/2}}=\tau_{n}.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, в силу (6.1) и определения чисел \alpha_n получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &m\biggl\{t\in [0,1]\colon \biggl|\sum_{k=1}^\infty a_k\frac{\chi_{\Delta_k}(t)}{m(\Delta_k)^{1/2}}\biggr|>\tau_n\biggr\} \\ &\qquad=m\biggl\{t\in [0,1]\colon \biggl|\sum_{k=n+1}^\infty a_k\frac{\chi_{\Delta_k}(t)}{m(\Delta_k)^{1/2}}\biggr|>\tau_n\biggr\} \\ &\qquad\leqslant \sum_{k=n+1}^\infty m(\Delta_k)\leqslant \sum_{k=1}^\infty \frac{\alpha_n}{2^{k}}=\frac{F(\tau_n)}{n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Тем самым первое утверждение предложения доказано. Так как последовательность \{\chi_{\Delta_n}/m(\Delta_n)^{1/2}\}_{n=1}^\infty является ортонормированным базисом подпространства H и \tau_n\uparrow\infty при n\to\infty, то второе утверждение – непосредственное следствие первого.
Предложение доказано. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AstSem24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|