| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Регуляризация обобщенных функций А. Л. Павловab a Донецкий национальный университет b Институт прикладной математики и механики, г. Донецк
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9803e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеМногие задачи анализа и его применений приводят к необходимости продолжения обобщенной функции, заданной в области, на более широкую область. Один из подходов в решении некоторых таких задач основан на построении регуляризации обобщенной функции (см. [1], [2]). Пусть N – относительно замкнутое подмножество области Ω⊂Rn, а E′(Ω) – некоторое пространство обобщенных функций над основным пространством E(Ω)⊃C∞0(Ω). Под регуляризацией обобщенной f∈E′(Ω∖N) будем понимать ее продолжение до обобщенной функции ˜f∈E′(Ω). Следовательно, для любой функции φ∈C∞0(Ω∖N) справедливо равенство (f,φ)=(˜f,φ). В общем случае проблема регуляризации имеет отрицательное решение (см. соответствующие примеры в [1]). Ее решение зависит от выбора пространства обобщенных функций E′(Ω) и поведения обобщенной функции в окрестности множества N. Обобщенные функции, имеющие, грубо говоря, степенные сингулярности, допускают регуляризацию в достаточно широких пространствах обобщенных функций. В настоящей работе в качестве пространства E′(Ω) используются пространства D′(Ω), E′(Ω) и их подпространства. Полученные результаты аналогичны изложенным в статье [3], в которой в качестве E′(Ω) рассмотрено пространство медленно растущих обобщенных функций S′(Rn) и его подпространства. Основной целью работы является функциональное описание обобщенных функций пространства E′(Ω∖N), допускающих продолжение до обобщенной функции пространства E′(Ω). Для решения указанной задачи конструируется специальные шкалы пространств обобщенных функций, рассматриваются их свойства. С помощью этих пространств интерпретируются обобщенные функции пространства D′(Ω∖N), допускающие продолжение до обобщенных функций, принадлежащих D′(Ω). Описание указанных шкал пространств и мультипликаторов в них представляют самостоятельный интерес по мнению автора. Существуют различные методы построения регуляризаций обобщенных функций (см. [1], [2]). В настоящей работе используется метод вычитания. Он основан на том, что каждой основной функции φ∈E(Ω) ставится в соответствие функция φjN, обращающаяся в нуль на заданном множестве N⊂Ω вместе с производными до порядка j. Если это отображение непрерывно, а обобщенная функция f∈E′(Ω∖N) имеет конечный порядок сингулярности, то в некоторых случаях регуляризацию [f]j обобщенной функции f можно определить при достаточно большом j формулой Для приложений важным является случай, когда f=a(σ)g, g∈E′(Ω), а функция a(σ)∈C∞(Ω∖N) и удовлетворяет в окрестности N неравенствам где d(σ,N) – расстояние от точки σ до множества N, cα>0, qα⩽0 – некоторые числа. В этом случае формула (1.1) принимает видПостроение функции φjN связано с вычитанием из функции φ функции, совпадающей с φ на множестве N вместе с производными до некоторого порядка. Это и оправдывает название метода регуляризации. Если N={0}, то построение функции φjN сводится к применению формулы Тейлора где μ(σ)∈C∞0(Rn), μ(σ)=1 в некоторой окрестности нуля. В общем случае для построения функции φjN может быть использована теорема Уитни о продолжении (см., например, [4]).Одним из основных результатов в настоящей работе (теорема 4.3) является доказательство существования регуляризации обобщенной функции a(σ)f, где a(σ) – функция, удовлетворяющая условию (1.2), а f – обобщенная функция конечного порядка. Регуляризация обобщенных функций может быть использована для построения фундаментальных решений дифференциальных уравнений, решения краевых задач, задачи Коши для уравнений, не разрешенных относительно производной по времени. Например, в [5] построение решения модельной краевой задачи в полупространстве в классе обобщенных функций медленного роста сведено к построению регуляризации линейной комбинации преобразований Фурье граничных данных, коэффициентами которой являются частичные преобразования Фурье ядер Пуассона и построению решения краевой задачи, преобразование Фурье граничных данных которой сосредоточено на множестве, состоящем из конечных точек и сводится к решению системы линейных уравнений. В [6] этот подход использован для получения необходимых и достаточных условий существования решения задачи Коши для одного уравнения соболевского типа в классе обобщенных функций медленного роста. В указанных работах рассматривалась регуляризация обобщенных функций, получающихся умножением обобщенных функций на бесконечно дифференцируемую функцию вне некоторого конечного множества, имеющую степенные особенности производных на этом множестве. Частным случаем таких функций является функция 1/P(σ), где P(σ) – многочлен. Задача об умножении обобщенных функций на эту функцию равносильна поиску решения уравнения Проблема разрешимости уравнения (1.4) хорошо известна как проблема деления. Она непосредственно связана с разрешимостью уравнения P(D)v=g, где D=(D1,…,Dn), Dk=(1/i)d/dxk в некоторых пространствах функций, так как преобразование Фурье переводит это уравнение в задачу на деление на P(σ). Ей посвящено много работ (см. краткий обзор в [2]). Решение этой проблемы зависит от выбора пространства обобщенных функций, в котором ищется решение. Для пространства медленно растущих обобщенных функций S′ проблема деления решена независимо Л. Хёрмандером в [7] и С. Лоясевичем в [8]. Ими доказано, что любую обобщенную функцию из пространства S′ можно разделить в S′ на многочлен (и даже на аналитическую функцию, как показал Лоясевич). Однако доказательства этого результата и его обобщения в [9] не позволяют проследить связь свойств правой части и решения. Представляет интерес конструктивное построение решения уравнения (1.4), позволяющее эту связь отслеживать. В работе [10] содержатся такого типа результаты в случае, когда множество вещественных нулей многочлена P(σ) дискретно. Построение искомого решения сведено к построению регуляризации обобщенной функции (1/P(σ))f∈D′(Rn∖N), где N – множество вещественных нулей многочлена P(σ), а затем к построению обобщенной функции, сосредоточенной в N, которая в сумме с построенной регуляризацией является решением уравнения (1.4). В работе [11] эта схема реализована в случае, когда множество N является гладким многообразием размерности n−1. Пользуясь гладкостью алгебраического многообразия N и свойством локальности уравнения (1.1), которое состоит в том, что локальные решения уравнения можно склеивать с помощью разбиения единицы, решение уравнения (1.4) можно найти, решив его в окрестностях точек N, покрывающих Ω∩N. Для этого с помощью теоремы Уитни о продолжении строятся регуляризации [(1/P(σ))φif] обобщенных функций (1/P(σ))φif∈D′(Ω∖N), φi∈D(Ω) и ищется решение уравнения (1.4) в таком виде: Тогда обобщенная функция υi является решением уравнения где hi(f)=φif−P(σ)[(1/P(σ))φif], supphi(f)⊂N∩Ω.Разрешимость уравнения (1.6) за счет выбора разбиения единицы заменой координат сводится к случаю, когда N локально является линейным многообразием. С помощью теоремы о структуре обобщенной функции, сосредоточенной на линейном многообразии [12], построение решения уравнения (1.6) в рассматриваемой окрестности сведено к построению решения системы линейных уравнений с коэффициентами в кольце аналитических функций. Искомое решение уравнения (1.4) находим, складывая решение (1.5) и решения в областях, не содержащих нулей P(σ), пользуясь локальной конечностью покрытия разбиения единицы. В настоящей работе указанный подход реализован для конструктивного построения решения уравнения (1.4) при некоторых предположениях о структуре множества вещественных нулей многочлена P(σ). А именно, если множество вещественных нулей N многочлена P(σ) является гладким многообразием и все точки N удовлетворяют некоторому условию (условие (5.2)), то для любой обобщенной функции f конечного порядка построено решение уравнения (1.4), порядок которого зависит от порядка f и свойств многочлена P(σ). § 2. Функциональные пространстваДля произвольного открытого множества Ω⊂Rn через D(Ω) обозначают множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в Ω, а через D′(Ω) пространство, состоящее из линейных форм на D(Ω) таких, что для всякого компакта K⋐Ω существуют постоянные C(K), p(K) и выполняется неравенство Выражения в правой части неравенства (2.1) определяют полунормы на подпространстве D(Ω), состоящем из функций, носители которых принадлежат компакту K⊂Ω. В пространстве D(Ω) рассматривается топология, заданная этими полунормами.Обобщенная функция f∈D′(Ω) имеет порядок не выше p, если в (2.1) можно использовать одно и то же целое число p для всех компактов K⋐Ω. Множество обобщенных функций, имеющих порядок не выше p, обозначается через D′p(Ω). Через D′F(Ω) обозначают объединение пространств D′p(Ω), p∈Z+, и называют его пространством обобщенных функций конечного порядка (см. [12]). Пространство p раз непрерывно дифференцируемых функций в области Ω обозначают через Cp(Ω), а его подпространство, состоящее из функций с компактным носителем через Cp0(Ω). Топология в Cp0(Ω) вводится с помощью полунорм, как и в D(Ω), только рассматриваемых для α∈Zn+, |α|⩽p. Последовательность функций φn∈Cp0(Ω) является сходящейся к функции φ∈Cp0(Ω), если существует компакт K⋐Ω такой, что suppφn⊂K, suppφ⊂K и справедливо равенство Пространство Cp0(Ω) является секвенциально полным и пространство D(Ω) плотно в нем. Каждый элемент пространства D′p(Ω) можно единственным образом продолжить до непрерывного отображения Cp0(Ω) в R и неравенство (2.1) остается справедливым для всех φ∈Cp0(Ω) (см. [12; теорема 2.1.6]). Через E(Ω) обозначают пространство бесконечно дифференцируемых функций C∞(Ω), наделенное топологией, задаваемой полунормами где K – произвольное компактное подмножество \Omega, j \in \mathbb{Z}_+.Пространство \mathcal{E}'(\Omega) состоит из обобщенных функций с компактным носителем, принадлежащем \Omega. Для любого p \in \mathbb{Z}_+ и компактного множества K \Subset \Omega через \mathcal{E}'^p(K) обозначим множество обобщенных функций f \in \mathcal{E}'(\Omega), удовлетворяющих условию
\begin{equation}
|(f,\varphi)|\leqslant C \sup_{|\alpha|\leqslant p,\,\sigma \in K} | \partial^\alpha\varphi(\sigma) |, \qquad\varphi \in C^\infty(\Omega).
\end{equation}
\tag{2.2}
Лемма 2.1. Множество \mathcal{E}'^p(K) является линейным подпространством пространства \mathcal{E}'(\Omega), банаховым относительно нормы Доказательство. Из определения множества \mathcal{E}'^p(K) следует, что оно является линейным подпространством \mathcal{E}'(\Omega) и для каждой функции из \mathcal{E}'^p(K) определено число, заданное равенством (2.3). Свойства нормы для \|f\|_{\mathcal{E}'^p(K)} проверяются непосредственно. Докажем полноту нормированного пространства \mathcal{E}'^p(K).
Пусть последовательность \{ f_n \in \mathcal{E}'^p(K),\, n \in \mathbb{N} \} фундаментальна в пространстве \mathcal{E}'^p(K). Так как из определения нормы (2.3) следует неравенство
\begin{equation}
|(f,\varphi)|\leqslant \|f\|_{\mathcal{E}'^p(K)}\sup_{|\alpha|\leqslant p,\,\sigma \in K}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|, \qquad \varphi \in C^\infty(\Omega),
\end{equation}
\tag{2.4}
то для любой функции \varphi \in C^\infty(\Omega) последовательность (f_n,\varphi ) имеет предел. Следовательно, на пространстве C^\infty(\Omega) определена линейная форма f:
\begin{equation*}
(f,\varphi)=\lim _{n\to +\infty}(f_n,\varphi), \qquad \varphi \in C^\infty(\Omega).
\end{equation*}
\notag
Для нее справедливо неравенство (2.4), где \|f\|_{\mathcal{E}'^p(K)}=\lim_{n\to\infty}\|f_n\|_{\mathcal{E}'^p(K)}. Из этого неравенства следует, что (f,\varphi)=0 для \varphi \in C^\infty_0(\Omega\setminus K). Покажем, что для линейной формы f справедливо неравенство (2.1), т.е. f \in D'(\Omega). Для всякого компакта K_1 \Subset\Omega, не имеющего с K общих точек, неравенство (2.1) справедливо, так как (f,\varphi)=0 для \varphi \in C^\infty_0(\Omega\setminus K). Если K_1\cap K\neq\varnothing и \varphi \in C^\infty_0(\Omega),\operatorname{supp} \varphi\subset K_1, то из справедливости неравенства (2.4) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |(f,\varphi)| &\leqslant\|f\|_{\mathcal{E}'^p(K)}\sup_{|\alpha|\leqslant p,\,\sigma \in K}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|=\|f\|_{\mathcal{E}'^p(K)}\sup_{|\alpha|\leqslant p,\,\sigma \in K\cap K_1}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)| \\ &\leqslant\|f\|_{\mathcal{E}'^p(K)}\sup_{|\alpha|\leqslant p,\,\sigma \in K_1}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|\leqslant C \|f\|_{\mathcal{E}'^p(K)}\sum_{|\alpha|\leqslant p}\sup_{\sigma \in K_1}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно, f \in D'^p(\Omega). Так как \operatorname{supp} f\subset K, то f \in \mathcal{E}'(\Omega) и выполняется неравенство (2.4), т.е. f \in \mathcal{E}'^p(K) и число \|f\|_{\mathcal{E}'^p(K)} – норма f. Лемма доказана. Каждый элемент пространства \mathcal{E}'^p(K) можно единственным образом продолжить до непрерывного отображения C^p(\Omega) в \mathbb{R} и неравенство (2.2) остается справедливым для всех \varphi \in C^p(\Omega). Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 2.1.6 в [12]. Лемма 2.2. Если f – линейная форма на C^p_0(\Omega) и для любой функции \varphi \in C^p_0(\Omega) выполняется неравенство
\begin{equation}
|(f,\varphi)|\leqslant C \sup_{|\alpha|\leqslant p,\,\sigma \in K}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|,
\end{equation}
\tag{2.5}
где K\Subset\Omega, то f \in \mathcal{E}'^p(K). Доказательство. Из неравенства (2.5) следует, что f{\kern1pt}{\in}{\kern1pt}D'^p(\Omega) и \operatorname{supp}f{\kern1pt}{\subset}{\kern1pt}K. Для произвольной функции \varphi \in C^p(\Omega) рассмотрим последовательность функций \varphi_n \in D(\Omega), сходящуюся к \varphi в C^p(\Omega). Существование такой последовательности следует из плотности D(\Omega) в C^p(\Omega).
Из неравенства (2.5) следует фундаментальность последовательности (f,\varphi_n). Следовательно, существует предел последовательности (f,\varphi_n) при n\to +\infty. Он не зависит от выбора последовательности \varphi_n. Обозначим его (f,\varphi). Таким образом, существует продолжение линейной формы f на пространство C^\infty(\Omega). Для него справедливо неравенство (2.5). Следовательно, f \in \mathcal{E}'^p(K). Лемма доказана. Лемма 2.3. Если f \in D'^p(\Omega), то для всякого компакта K \subset \Omega существует константа C(K, f) такая, что для любой функции \varphi \in D(\Omega), \operatorname{supp}\varphi\subset K обобщенная функция \varphi f принадлежит \mathcal{E}'^p(K) и справедливо неравенство Доказательство. Из условия следует, что \operatorname{supp}\varphi f\subset K. Следовательно, \varphi f \in \mathcal{E}'(\Omega). Из неравенства (2.1) и формулы Лейбница следует справедливость для произвольной функции \psi \in C^\infty(\Omega) неравенств
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |(\varphi f,\psi)| &=|(f,\varphi \psi)|\leqslant C_1(k,f)\sum_{|\alpha|\leqslant p}\sup_{\sigma \in K}|\partial^\alpha(\varphi\psi)(\sigma)| \\ &\leqslant C_2(k,f)\sum_{|\alpha|\leqslant p}\sum_{\beta\leqslant\alpha}\sup_{\sigma \in K}|\partial^{\alpha - \beta}\varphi(\sigma)|\sup_{\sigma \in K}|\partial^\beta\psi(\sigma)| \\ &\leqslant C(k,f)\sup_{|\alpha|\leqslant p,\,\sigma \in K}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|\sup_{|\beta|\leqslant p,\,\sigma \in K}|\partial^\beta\psi(\sigma)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Из определения пространства \mathcal{E}'^p(K) следует, что \varphi f \in \mathcal{E}'^p(K) и справедливо неравенство (2.6). Лемма доказана. Для каждого из рассмотренных пространств основных функций можно рассмотреть подпространство, состоящее из тех элементов \varphi пространства, которые удовлетворяют условию где N – относительно замкнутое множество в \Omega.Для пространства C^j_0(\Omega) указанное подпространство обозначим через C^j_{0N}(\Omega), а для пространства C^j(\Omega) – через C^j_N(\Omega). Принадлежность носителя обобщенной функции компакту K является необходимым условием ее принадлежности некоторому пространству \mathcal{E}'^p(K). Для некоторых компактов оно является и достаточным. Из [12; теорема 2.3.10] следует, что для компактов с конечным числом связных компонент, в которых любые две точки связной компоненты можно соединить гладкой кривой из точек этой компоненты, пространство \mathcal{E}'^p(K) состоит из всех обобщенных функций, порядок которых не превосходит p, а носитель принадлежит K. Если область \Omega можно представить в виде объединения компактов K_i, i\in \mathbb{N}, удовлетворяющих приведенному выше условию, то справедливо равенство
\begin{equation*}
\mathcal{E}'(\Omega)=\bigcup_{i \in \mathbb{N},\,p \in \mathbb{Z}_+}\mathcal{E}'^p(K_i).
\end{equation*}
\notag
Действительно, если f\,{\in}\, \mathcal{E}'(\Omega), то существует компакт K_i такой, что \operatorname{supp}f \,{\subset}\, K_i. Из неравенства (2.2) следует, что существует число p \in \mathbb{Z}_+ такое, что f \in \mathcal{E}'^p(K_i). Нетрудно показать, что приведенное равенство справедливо для любой области с гладкой границей. Рассмотрим для произвольного относительно замкнутого подмножества N области \Omega линейное пространство
\begin{equation*}
D^\infty_N(\Omega)=\bigl\{\varphi \in D(\Omega)\colon \partial^\alpha\varphi|_N=0,\,\alpha \in \mathbb{Z}^n_+ \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Множество D^\infty_N(\Omega) является замкнутым подпространством пространства D(\Omega), инвариантным относительно дифференцирования и умножения на бесконечно дифференцируемые функции. Для дальнейшего изложения понадобятся функции \mu_\mathcal{E}(\sigma) \,{\in}\, C^\infty(\mathbb{R}^n), 0\,{<}\,\varepsilon\,{<}\,1, удовлетворяющие условиям:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &1)\qquad \operatorname{supp}\mu_\varepsilon\subset N^\varepsilon=\{\sigma \in \mathbb{R}^n\colon d(\sigma, N)\leqslant \varepsilon \}, \qquad d(\sigma, N)=\inf_{\eta \in N}|\eta - \sigma|; \nonumber
\\
&2)\qquad \mu_\varepsilon(\sigma)=1, \qquad \sigma \in N^{\varepsilon/4};
\end{aligned}
\end{equation*}
\notag
\begin{equation}
3)\qquad |\partial^\alpha\mu_\varepsilon(\sigma)|\leqslant c_\alpha\varepsilon^{-|\alpha|}, \qquad \alpha \in \mathbb{Z}^n_+. \kern70mm\
\end{equation}
\tag{2.7}
Построение такого семейства функций аналогично приведенному в [12; 1.4] для компактов и основано на рассмотрении свертки характеристической функции оболочки N с функцией \chi_\varepsilon \in C^\infty_0(B_\varepsilon), где B_\varepsilon – шар радиуса \varepsilon и \displaystyle\int\chi_\varepsilon d\sigma=1. Обозначим через D(\Omega, N) замыкание в пространстве D(\Omega) подпространства C^\infty_0(\Omega\setminus N). Доказательство. Вложение D(\Omega, N)\subset D^\infty_N(\Omega) следует из определения этих пространств. Очевидно, что C^\infty_0(\Omega\setminus N)\subset D^\infty_N(\Omega). Пусть \varphi \in D(\Omega, N) и \varphi=\lim_{n\to+\infty}\varphi_n, \varphi_n \in C^\infty_0(\Omega\setminus N), в пространстве D(\Omega). Следовательно существует компакт K\subset\Omega, содержащий носители \varphi_n, и для любого \alpha \in \mathbb{Z}^n_+ справедливо равенство
\begin{equation*}
\lim_{n\to +\infty}\sup_{\sigma \in K}| \partial^\alpha(\varphi-\varphi_n)(\sigma)|=0.
\end{equation*}
\notag
Тогда для любой точки \sigma_0 \in N и любого \alpha \in \mathbb{Z}^n_+ справедливо равенство
\begin{equation*}
\partial^\alpha\varphi(\sigma_0)=\lim_{n\to +\infty}\partial^\alpha\varphi_n(\sigma_0)=0,
\end{equation*}
\notag
так как \operatorname{supp}\varphi_n\subset \Omega\setminus N. Следовательно \varphi \in D^\infty_N(\Omega).
Докажем справедливость вложения D^\infty_N(\Omega)\subset D(\Omega, N). Пусть \varphi \in D^\infty_N(\Omega) и \mu_{1/m}, m \in \mathbb{N}, – последовательность функций из указанного выше семейства функций. Тогда последовательность функций \psi_m=(1-\mu_{1/m})\varphi \in C^\infty_0(\Omega\setminus N). Покажем, что последовательность функций \mu_{1/m}\varphi сходится к нулю в пространстве D(\Omega). Тогда из равенства \varphi=(1-\mu_{1/m})\varphi+\mu_{1/m}\varphi будет следовать, что последовательность функций (1-\mu_{1/m})\varphi\in C^\infty_0(\Omega\setminus N) сходится в пространстве D(\Omega) к функции \varphi. Следовательно, \varphi\in D(\Omega, N). Используя формулу Лейбница и неравенства (2.7), получим неравенства
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sup_{\sigma \in \operatorname{supp}\varphi} |\partial^\alpha(\mu_{1/m}(\sigma)\varphi(\sigma)) | < c'_\alpha\sup_{\sigma \in N^{1/m} \cap\operatorname{supp}\varphi} \biggl[\sum_{\beta\leqslant\alpha}|\partial^\beta\mu_{1/m}(\sigma) |\,|\partial^{\alpha-\beta}\varphi(\sigma) |\biggr] \\ &\qquad \leqslant c''_\alpha\sum_{\beta\leqslant\alpha}m^{|\beta|}\sup_{\sigma \in N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi}|\partial^{\alpha-\beta}\varphi(\sigma) |. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.8}
Докажем, что для любых \gamma\in \mathbb{Z}_+^n и k\in \mathbb{N} справедливо неравенство
\begin{equation}
\sup_{\sigma\in N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi} |\partial^\gamma \varphi(\sigma)| \leqslant c_k m^{-k} \sum_{|\alpha|=k}\sup_{\sigma\in N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi} |\partial^{\gamma+\alpha} \varphi(\sigma)|.
\end{equation}
\tag{2.9}
Так как функция \varphi(\sigma) и ее производные любого порядка равны нулю на множестве N, то для любого \eta\in N и любого натурального числа k справедливо равенство
\begin{equation*}
\sup_{\sigma\in N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi} |\varphi(\sigma)| =\sup_{\sigma\in N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi} \biggl|\varphi(\sigma)- \sum_{|\alpha|\leqslant k-1} \varphi^\alpha(\eta) \frac{(\sigma-\eta)^\alpha}{\alpha!} \biggr|.
\end{equation*}
\notag
Воспользовавшись формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, получим равенство
\begin{equation*}
\sup_{\sigma\in N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi} |\varphi(\sigma)| =\sup_{\sigma\in N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi} \biggl|\sum_{|\alpha|=k} \varphi^\alpha(\sigma+t(\eta-\sigma)) \frac{(\sigma-\eta)^\alpha}{\alpha!} \biggr|,
\end{equation*}
\notag
где t=t(\sigma), 0\leqslant t(\sigma)\leqslant 1. Из этого равенства следует неравенство
\begin{equation}
\sup_{\sigma\in N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi} |\varphi(\sigma)|\leqslant c_km^{-k}\sup_{\sigma\in N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi}\sum_{|\alpha|=k} \frac{1}{\alpha!}\varphi^\alpha(\sigma+t(\eta-\sigma))|,
\end{equation}
\tag{2.10}
где \eta=\eta(\sigma) выбрано так, что d(\sigma,N)=|\sigma-\eta(\sigma)|, \sigma\in N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi.
При достаточно больших m это можно сделать, так как N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi – компакт при достаточно больших m. При получении (2.10) использовано неравенство
\begin{equation*}
\frac{|(\sigma-\eta)^\alpha|}{|\sigma-\eta|^k} \leqslant \frac{c_k|(\sigma-\eta)^\alpha|}{(\sum_{i=1}^n |\sigma_i-\eta_i|)^k}= \frac{c_k|\sigma_1-\eta_1|^{\alpha_1} \dotsb |\sigma_n-\eta_n|^{\alpha_n}} {(|\sigma_1-\eta_1|+\dots+|\sigma_n-\eta_n|)^{\alpha_1+\dots+\alpha_n}} \leqslant c_k.
\end{equation*}
\notag
Если \sigma\in N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi и |\sigma-\eta(\sigma)|=d(\sigma,N), то справедливо неравенство
\begin{equation*}
d(\sigma+t(\eta(\sigma)-\sigma),N) \leqslant d(\sigma+t(\eta(\sigma)-\sigma),\eta(\sigma))=(1-t) |\sigma-\eta(\sigma)|\leqslant \frac {1} {m}.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, \sigma+t(\eta(\sigma)-\sigma)\in N^{1/m}.
Так как вне \operatorname{supp}\varphi функция \varphi и ее производные равны нулю, то неравенство (2.10) можно записать в таком виде:
\begin{equation}
\sup_{\sigma\in N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi} |\varphi(\sigma)| \leqslant c_km^{-k} \sup_{\sigma\in N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi} \biggl[\sum_{|\alpha|=k} \frac{1}{\alpha!} |\varphi^\alpha(\sigma)|\biggr].
\end{equation}
\tag{2.11}
Неравенство (2.9) для \gamma=(0,\dots,0) доказано. Его справедливость для производных функции \varphi(\sigma) получается непосредственной подстановкой в неравенство (2.11) вместо функции ее производных. Для завершения доказательства леммы достаточно правую часть неравенства (2.8) оценить с помощью неравенства (2.9). Получим неравенства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{\sigma\in \operatorname{supp}\varphi} |\partial^\alpha (\mu_{1/m}(\sigma)\varphi(\sigma)) | \leqslant c_\alpha'' \sum_{i=0}^{|\alpha|} m^i \sum_{\beta\leqslant\alpha,\,|\beta|=i} \sup_{\sigma\in N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi} |\partial^{\alpha-\beta}\varphi(\sigma)| \\ &\qquad \leqslant \widetilde{c}_\alpha \sum_{i=0}^{|\alpha|} m^i \sum_{|\beta|=i,\,\beta\leqslant\alpha} m^{-i-1} \sum_{|\gamma|=i+1} \sup_{\sigma\in N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi} |\partial^{\alpha-\beta+\gamma}\varphi(\sigma)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Из этих неравенств следует неравенство
\begin{equation}
\sup_{\sigma\in\operatorname{supp}\varphi} |\partial^\alpha (\mu_{1/m}(\sigma)\varphi(\sigma)) | \leqslant \frac{1}{m}\widetilde{c}_\alpha \sum_{|\beta|\leqslant 2|\alpha|+1}\sup_{\sigma\in N^{1/m}\cap\operatorname{supp}\varphi} |\partial^\beta\varphi(\sigma)|.
\end{equation}
\tag{2.12}
Из полученного неравенства следует, что последовательность функций \mu_{1/m}\varphi стремится к нулю при m\to +\infty в пространстве D(\Omega). Поэтому справедливо равенство Из этого равенства следует, что \varphi \in D(\Omega, N). Теорема доказана.Для дальнейших построений рассмотрим для произвольного компакта K\,{\Subset}\,\Omega, пересечение которого с относительно замкнутым множеством N\subset\Omega непусто, множество
\begin{equation*}
(K\cap N^\varepsilon)_N=\bigl\{ \eta \in N\colon \exists\,\sigma \in K\cap N^\varepsilon,\, d(\sigma,N)=|\eta - \sigma|\bigr\},
\end{equation*}
\notag
где N^\varepsilon=\{\sigma \in \mathbb{R}^n\colon d(\sigma, N)\leqslant \varepsilon \}. Множество (K\cap N^\varepsilon)_N является “метрической проекцией” множества K\cap N^\varepsilon на N. Доказательство. Для произвольной последовательности \eta_n\in (K\cap N^\varepsilon)_N, n \in \mathbb{N}, рассмотрим последовательность \sigma_n \in K\cap N^\varepsilon ей соответствующую: |\eta_n - \sigma_n|=d(\sigma_n,N).
Так как множество N относительно замкнуто в \Omega, а K – компакт, принадлежащий \Omega, то K\cap N^\varepsilon – компакт. Следовательно, существует подпоследовательность \sigma_{n_k}, сходящаяся к \sigma_0 \in K\cap N^\varepsilon. Тогда справедливы равенства
\begin{equation*}
\lim_{k\to+\infty}|\sigma_{n_k}-\eta_{n_k}|=\lim_{k\to+\infty}d(\sigma_{n_k},N)=d(\sigma_0,N).
\end{equation*}
\notag
Так как \lim_{k\to+\infty}\sigma_{n_k}=\sigma_0, то из приведенных равенств следует, что существует \lim_{k\to +\infty}\eta_{n_k}=\eta_0 и d(\sigma_0,N)=|\sigma_0 - \eta_0|. Если \varepsilon достаточно малое, то \eta_0 \in (K\cap N^\varepsilon)_N. Следовательно, множество (K\cap N^\varepsilon)_N компактно при достаточно малом \varepsilon. Лемма доказана. Рассмотрим множество, состоящее из отрезков, соединяющих точки \sigma и \eta(\sigma), где \sigma \in K\cap N^\varepsilon, а \eta(\sigma) – ее любая “метрическая проекция” на N. Обозначим это множество через (K\cap N^\varepsilon)_\varepsilon. Лемма 2.5. При достаточно малом \varepsilon множество (K\cap N^\varepsilon)_\varepsilon компактно и принадлежит \Omega. Доказательство. Так как при достаточно малом \varepsilon по лемме 2.4 множество (K\cap N^\varepsilon)_N компактно и принадлежит \Omega, то его \varepsilon-окрестность (K\cap N^\varepsilon)_N^\varepsilon принадлежит \Omega при может быть еще меньшем \varepsilon.
Если \sigma \in K\cap N^\varepsilon, то \sigma \in (K\cap N^\varepsilon)^\varepsilon_N, так как d(\sigma,N)\leqslant \varepsilon и d(\sigma,N)=|\sigma - \eta(\sigma)|, \eta(\sigma) \in (K\cap N^\varepsilon)_N. Следовательно, точки \sigma+t(\eta(\sigma)-\sigma), 0\leqslant t \leqslant 1, отрезка, соединяющего \sigma и \eta(\sigma), принадлежат \Omega. Покажем, что их объединение компактно. Рассмотрим произвольную последовательность \sigma_n+t_n(\eta_n(\sigma)-\sigma_n), 0\,{\leqslant}\, t_n\,{\leqslant}\, 1, точек указанных отрезков. Так как \sigma_n \in K\cap N^\varepsilon и множество K\cap N^\varepsilon компактно, то существует подпоследовательность \sigma_{n_k}, сходящаяся к \sigma_0 \in K\cap N^\varepsilon при k\to +\infty. Выберем из последовательности \{t_{n_k}\} сходящуюся к t_0 подпоследовательность t_{n_{kj}} при j\to +\infty. Тогда последовательность точек \sigma_{n_{kj}}+t_{n_{kj}}(\eta_{n_{kj}}- \sigma_{n_{kj}}) сходится к точке \sigma_0+t_0(\eta_0(\sigma_0)-\sigma_0)\in(K\cap N^\varepsilon)_\varepsilon. Следовательно, множество (K\cap N^\varepsilon)_\varepsilon компактно при достаточно малом \varepsilon. Лемма доказана. Аналогично пространству D^\infty_N(\Omega) вводится и исследуется пространство \mathcal{E}^\infty_N(\Omega)=\{\varphi \in \mathcal{E}(\Omega)\colon \partial^\alpha\varphi|_N=0,\, \alpha \in \mathbb{Z}^n_+\}. Оно является замкнутым подпространством пространства \mathcal{E}(\Omega), инвариантным относительно дифференцирования и умножения на бесконечно дифференцируемую функцию. Теорема 2.2. Подпространство D(\Omega\setminus N) пространства \mathcal{E}^\infty_N(\Omega) плотно в нем. Доказательство. Выберем последовательность компактов K_m, m \in \mathbb{N}, исчерпывающих область \Omega Для ограниченных областей \Omega эти компакты состоят из точек \Omega, удаленных от границы на расстояние не меньше 1/m. Неограниченные области можно исчерпать ограниченными.
Построим функции \varphi_m(\sigma) \in D(\Omega) такие, что 0\leqslant\varphi_m\leqslant1, \varphi_m|_{K_m}=1, \varphi_m|_{\Omega\setminus \mathring{K}_{m+1}}=0. Это можно сделать, пользуясь [12; теорема 1.4.1]. Пусть \varphi\in \mathcal{E}^\infty_N (\Omega). Последовательность функций \psi_m=\varphi_m\varphi\in D^\infty_N(\Omega) и сходится к \varphi в \mathcal{E}(\Omega), так как для любого компакта K\Subset\Omega существует число m_0 такое, что K\subset K_{m_0} и для m>m_0, любого j \in \mathbb{Z}_+ справедливо равенство
\begin{equation*}
\sum_{|\alpha|\leqslant j}\sup_{\sigma \in K}|\partial^\alpha(\varphi-\psi_m)|=0.
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим последовательность функций \nu_m=(1-\mu_{1/m})\psi_m, где \mu_{1/m} – последовательность функций из семейства функций, удовлетворяющих (2.7). По построению \nu_m(\sigma)\in D(\Omega \setminus N). Покажем, что последовательность функций \mu_{1/m}\varphi_m\in D^\infty_N(\Omega) сходится к нулю при m\to +\infty в пространстве \mathcal{E}^\infty_N(\Omega). Пользуясь рассуждениями, приведенными в доказательстве теоремы 2.1, и тем, что для любого компакта K\Subset\Omega существует число m_0 такое, что \mu_{1/m}\psi_m|_K=\mu_{1/m}\varphi|_K, m>m_0, для любого \alpha \in \mathbb{Z}^n_+ получим неравенства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{\sigma \in K}|\partial^\alpha(\mu_{1/m}\psi_m)(\sigma) |\leqslant c'_\alpha\sum_{\beta\leqslant\alpha}m^{|\beta|}\sup_{\sigma \in K\cap N^{1/m}}|\partial^{\alpha-\beta}\varphi(\sigma) | \\ &\qquad \leqslant c''_\alpha\sum^{|\alpha|}_{i=0}m^i\sum_{|\beta|=i,\, \beta\leqslant\alpha}m^{-i-1}\sum_{|\gamma|=i+1}\sup_{\sigma\in K\cap N^{1/m}}| \partial^{\alpha-\beta+\gamma}\varphi(\sigma+t(\eta(\sigma)-\sigma))|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \eta=\eta(\sigma) выбрано так, что |\eta(\sigma)-\sigma|=d(\sigma, N), 0\leqslant t\leqslant 1.
Из леммы 2.5 следует, что множество точек \sigma+t(\eta(t)-\sigma) принадлежит компакту, содержащемуся в \Omega при достаточно большом m. Из полученных неравенств следует, что последовательность функций \mu_{1/m}\psi_m сходится к нулю при m\to+\infty в пространстве \mathcal{E}^\infty_N(\Omega). Из равенства \psi_m=\varphi_m\varphi=\nu_m+\mu_{1/m}\psi_m следует, что последовательность функций \nu_m\in D(\Omega\setminus N) сходится к \varphi в пространстве \mathcal{E}^\infty_N(\Omega). Теорема доказана. Рассмотрим пространство {D^\infty_N}'(\Omega), сопряженное пространству D^\infty_N(\Omega). По определению линейная форма f на D^\infty_N(\Omega) принадлежит {D^\infty_N}'(\Omega), если для всякого компакта K\Subset\Omega существуют постоянные j(K) и C(K) такие, что
\begin{equation}
|(f,\varphi)|\leqslant C(K)\sum_{|\alpha|\leqslant j(K)}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|, \qquad \varphi \in D^\infty_N(\Omega), \qquad\operatorname{supp}\varphi\subset K.
\end{equation}
\tag{2.13}
Условие (2.13) равносильно секвенциальной непрерывности: линейная форма f на D^\infty_N(\Omega) принадлежит {D^\infty_N}'(\Omega) тогда и только тогда, когда (f, \varphi_m)\to 0 при m\to+\infty для любой последовательности \varphi_m\in D^\infty_N(\Omega), сходящейся к нулю (для любого \alpha\in \mathbb{Z}^n_+\sup_{\sigma \in K}|\partial^\alpha\varphi_m(\sigma)|\to 0 при m\to+\infty, \operatorname{supp}\varphi_m\subset K\Subset\Omega). Из непрерывности вложения следует существование сопряженного отображенияОбозначим через E^\infty_N(\Omega) ядро отображения i^*_\infty, а через D'(\Omega, N) – множество обобщенных функций пространства D'(\Omega), носители которых принадлежат множеству N. Доказательство. Если f \in E^\infty_N(\Omega), то (f,\varphi)=0 для любой функции \varphi \in D^\infty_N(\Omega). Так как D(\Omega\setminus N)\subset D^\infty_N(\Omega), то, следовательно, \operatorname{supp}f\subset N и справедливо вложение E^\infty_N(\Omega)\subset D'(\Omega, N).
Если f \in D'(\Omega, N), то (f,\varphi)=0 для любой функции \varphi \in D(\Omega\setminus N). Из теоремы 2.1 следует, что это равенство выполняется для любой функции f \in D^\infty_N(\Omega), т.е. справедливо вложение D'(\Omega, N)\subset E^\infty_N(\Omega). Следовательно D'(\Omega, N)=E^\infty_N(\Omega). Лемма доказана. Так как непрерывно вложение
\begin{equation*}
j_\infty \colon D^\infty_N(\Omega)\to \mathcal{E}^\infty_N(\Omega),
\end{equation*}
\notag
то справедливо вложение
\begin{equation*}
j^*_\infty\colon {\mathcal{E}^\infty_N}'(\Omega)\to {D^\infty_N}'(\Omega).
\end{equation*}
\notag
Пространство {\mathcal{E}^\infty_N}'(\Omega) аналогично по своим свойствам пространству {D^\infty_N}'(\Omega): 1) f \in {\mathcal{E}^\infty_N}'(\Omega), если существуют компакт K\Subset\Omega и число p \in \mathbb{Z}_+ такие, что для любой функции \varphi \in \mathcal{E}^\infty_N(\Omega) выполняется неравенство
\begin{equation}
|(f,\varphi)|\leqslant C(K)\sum_{|\alpha|\leqslant p}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|,
\end{equation}
\tag{2.14}
где C(K)>0 – некоторое число, зависящее от K; 2) ядро отображения \nu_\infty^*\colon \mathcal{E}'(\Omega) \to {\mathcal{E}^\infty_N}'(\Omega), сопряженное отображению \nu_\infty: \mathcal{E}^\infty_N(\Omega)\to \mathcal{E}(\Omega), совпадает с множеством обобщенных функций пространства \mathcal{E}'(\Omega), носители которых принадлежит N. Множество обобщенных функций пространства {\mathcal{E}^\infty_N}'(\Omega), удовлетворяющих (2.14) с фиксированными K и p, обозначим через {\mathcal{E}^{\infty}_N}'^p(K). Множество {\mathcal{E}^{\infty}_N}'^p(K) является замкнутым подпространством {\mathcal{E}^\infty_N}'(\Omega). Из его определения следуют вложения
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {\mathcal{E}^\infty_N}'^p(K)\subset {\mathcal{E}^{\infty}_N}'^{p'}(K), \qquad p\leqslant p', \\ {\mathcal{E}^\infty_N}'^p(K)\subset {\mathcal{E}^{\infty}_N}'^ {p}(K'), \qquad K\subset K'\Subset\Omega. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Пространство {\mathcal{E}^\infty_N}'(\Omega) является строгим индуктивным пределом пространств {\mathcal{E}^\infty_N}'^p(K)
\begin{equation*}
{\mathcal{E}^\infty_N}'(\Omega)=\bigcup_{K\Subset \Omega,\, p\in \mathbb{Z}_+}{\mathcal{E}^\infty_N}'^p(K).
\end{equation*}
\notag
В пространстве {\mathcal{E}^\infty_N}'^p(K) можно ввести норму, как это сделано в лемме 2.1. Рассмотрим подпространства {D^\infty_N}'(\Omega), аналогичные пространствам D'^p(\Omega) и D'_F(\Omega). Подпространство {D^{\infty}_N}'^p(\Omega) состоит из тех элементов {D^\infty_N}'(\Omega), для которых неравенство (2.13) справедливо для всех компактов K\Subset\Omega при одном и том же j=p. Объединение подпространств {D^\infty_N}'^p(\Omega) обозначим через {D^\infty_{NF}}'(\Omega). Введем еще одно семейство подпространств D(\Omega)
\begin{equation*}
D^k_N(\Omega)=\{\varphi \in D(\Omega)\colon \partial^\alpha\varphi(\sigma)|_N=0,\, |\alpha|\leqslant k\}.
\end{equation*}
\notag
Из определения пространств D^k_N(\Omega) следуют вложения
\begin{equation*}
D^\infty_N(\Omega)\subset\dots\subset D^{k+1}_N(\Omega)\subset D^k_N(\Omega)\subset\dots\subset D(\Omega)
\end{equation*}
\notag
и равенство D^\infty_N(\Omega)=\bigcap_{k \in \mathbb{Z}_+} D^k_N(\Omega). Пространство D^\infty_N(\Omega) является строгим проективным пределом отделимых локально выпуклых пространств D^k_N(\Omega), а пространство {D^\infty_N}'(\Omega) – строгим индуктивным пределом пространств {D^k_N}'(\Omega). Для дальнейших построений понадобится следующее утверждение. Доказательство. Произвольную функцию \varphi\in C^p_{0N}(\Omega) можно представить в таком виде \varphi=(1-\mu_{4/n})\varphi+\mu_{4/n}\varphi, где последовательность функций \mu_{4/n}(\sigma) принадлежит семейству функций \mu_\varepsilon(\sigma), удовлетворяющему (2.7).
Докажем, что последовательность функций \mu_{4/n}\varphi сходится к нулю при n\to +\infty в пространстве C^p_{0N}(\Omega). Воспользовавшись формулой Лейбница и неравенствами (2.7), получим неравенства
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \sup_{\sigma\in\operatorname{supp}\varphi}|\partial^\alpha(\mu_{4/n}\varphi)(\sigma) | &\leqslant c_\alpha\sup_{\sigma \in \operatorname{supp}\varphi}\sum_{\beta\leqslant\alpha}|\partial^\beta\mu_{4/n}(\sigma) |\,|\partial^{\alpha-\beta}\varphi(\sigma)| \\ &\leqslant c'_\alpha\sum_{\beta\leqslant\alpha}n^{|\beta|}\sup_{\sigma\in\operatorname{supp}\varphi\cap N^{4/n}}| \partial^{\alpha-\beta}\varphi(\sigma)|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
Так как при доказательстве неравенства (2.9) использовались только производные функции \varphi(\sigma) до заданного порядка, то из него следует неравенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sup_{\sigma\in\operatorname{supp}\varphi\cap N^{4/n}}|\partial^{\alpha-\beta}\varphi(\sigma) | \\ &\qquad \leqslant c_{\alpha\beta}n^{-p+|\alpha|-|\beta|}\sum_{|\gamma|=p-|\alpha|+|\beta|,\,\beta\leqslant\alpha} \sup_{\sigma\in\operatorname{supp}\varphi\cap N^{4/n}}|\partial^{\alpha-\beta+\gamma}\varphi(\sigma) |. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.16}
Используя эту оценку в правой части (2.15), получим
\begin{equation*}
\sup_{\sigma\in\operatorname{supp}\varphi}|\partial^\alpha(\mu_{4/n}\varphi)(\sigma) |\leqslant c''_\alpha\sum_{\beta\leqslant\alpha}n^{-p+|\alpha|}\sum_{|\gamma|=p-|\alpha|+|\beta|} \sup_{\sigma\in\operatorname{supp}\varphi\cap N^{4/n}}|\partial^{\alpha-\beta+\gamma}\varphi(\sigma)|.
\end{equation*}
\notag
В правой части полученного неравенства все слагаемые стремятся к нулю при n\to+\infty, так как последовательность n^{-p+|\alpha|} ограничена при |\alpha|\leqslant p и справедливо равенство
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}\sup_{\sigma\in\operatorname{supp}\varphi\cap N^{4/n}}| \partial^\gamma\varphi(\sigma)|=0, \qquad \partial^\gamma\varphi|_N=0, \qquad |\gamma|\leqslant p.
\end{equation}
\tag{2.17}
Из равномерной непрерывности функции \partial^\gamma\varphi(\sigma), |\gamma|\leqslant p, следует, что для любого \varepsilon>0 существует \delta(\varepsilon)>0 такое, что |\partial^\gamma\varphi(\sigma) |=|\partial^\gamma\varphi(\sigma)-\partial^\gamma\varphi(\eta) |<\varepsilon, |\sigma - \eta|\leqslant\delta(\varepsilon), \eta\in N. Следовательно, указанное равенство справедливо и для всех \alpha, |\alpha|\leqslant p, последовательность \sup_{\sigma\in\operatorname{supp}\varphi}|\partial^\alpha(\mu_{4/n}\varphi)(\sigma) | стремится к нулю при n\to +\infty, т.е. последовательность функций \mu_{4/n}\varphi сходится к нулю в пространстве C^p_{0N}(\Omega).
Рассмотрим последовательность функций \varphi_n=(1-\mu_{4/n})\varphi. По построению K_n=\operatorname{supp}\varphi_n\Subset\Omega\setminus N^{1/n}, \varphi_n\in C^p_0(\Omega\setminus N^{1/n}). Функции \psi_n=\varphi_n*\chi_{1/(4n)}\in D(\Omega\,{\setminus}\, N), где \chi_\varepsilon\in C^\infty_0(B_\varepsilon), \displaystyle\int\chi_\varepsilon d(\sigma)=1, B_\varepsilon – шар радиуса \varepsilon (см. [12; теорема 1.4.1]), \operatorname{supp}\psi_n\subset K^{1/(2n)}_n\subset\Omega\setminus N^{1/(2n)}. Докажем, что последовательность функций \nu_n=\varphi_n-\psi_n сходится к нулю при n\to +\infty в пространстве C^p_0(\Omega). По построению \operatorname{supp}\varphi_n\subset K_0=(\operatorname{supp}\varphi)^{\varepsilon_0}\Subset \Omega при достаточно большом n и некоторым числом \varepsilon_0>0. Имеем при |\alpha|\leqslant p
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{\sigma\in K_0}| \partial^\alpha\nu_n(\sigma)|=\sup_{\sigma\in K_0}|\partial^\alpha\varphi_n-\partial^\alpha\varphi_n*\chi_{1/(4n)} | \\ &\qquad =\sup_{\sigma\in K_0}\biggl|\int(\partial^\alpha\varphi_n(\sigma)-\partial^\alpha\varphi_n(\sigma-\eta)) \chi_{1/(4n)}(\eta)\,d\eta\biggr| \\ &\qquad\leqslant\sup_{\sigma\in K_0,\,|\eta|\leqslant1/(2n)}|\partial^\alpha\varphi_n(\sigma) -\partial^\alpha\varphi_n(\sigma-\eta)| \\ &\qquad\leqslant\sup_{\sigma\in K_0,\,|\eta|\leqslant1/(2n)}|\partial^\alpha ((1-\mu_{4/n}(\sigma))\varphi(\sigma) -(1-\mu_{4/n}(\sigma-\eta))\varphi(\sigma-\eta))| \\ &\qquad\leqslant \sup_{\sigma\in K_0,\,|\eta|\leqslant1/(2n)}|\partial^\alpha\varphi(\sigma) -\partial^\alpha\varphi(\sigma-\eta)| \\ &\qquad\qquad +\sup_{\sigma\in K_0,\,|\eta|\leqslant1/(2n)}|\partial^\alpha(\mu_{4/n}(\sigma-\eta) -\mu_{4/n}(\sigma))\varphi(\sigma-\eta)| \\ &\qquad\qquad+\sup_{\sigma\in K_0,\,|\eta|\leqslant1/(2n)}|\partial^\alpha\mu_{4/n}(\sigma) (\varphi(\sigma-\eta)-\varphi(\sigma))|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Каждое из слагаемых полученного выражения в оценке производных \partial^\alpha\nu_n(\sigma), |\alpha|\leqslant p, может быть сделано меньше заданного \varepsilon>0 при всех n>n(\varepsilon). Первое слагаемое удовлетворяет этому требованию, так как функции \partial^\alpha\varphi(\sigma), |\alpha|\in p, равномерно непрерывны в K_0. Для оценивания второго слагаемого воспользуемся формулой Лейбница и неравенствами (2.7), (2.16):
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{\sigma\in K_0,\,|\eta|\leqslant1/(2n)}|\partial^\alpha(\mu_{4/n}(\sigma-\eta) -\mu_{4/n}(\sigma))\varphi(\sigma-\eta)| \\ &\qquad \leqslant c_\alpha\sup_{\sigma\in K_0,\,|\eta|\leqslant1/(2n)}\sum_{\beta<\alpha} \bigl(|\partial^\beta\mu_{4/n}(\sigma-\eta)|+|\partial^\beta\mu_{4/n}(\sigma)|\bigr) |\partial^{\alpha-\beta}\varphi(\sigma-\eta)| \\ &\qquad \leqslant c'_\alpha\sum_{\beta\leqslant\alpha}n^{|\beta|}\sup_{\sigma\in\operatorname{supp}\varphi\cap N^{1/n}|\eta|\leqslant1/(2n)}|\partial^{\alpha-\beta} \varphi(\sigma-\eta)| \\ &\qquad\leqslant c''_\alpha\sum_{\beta\leqslant\alpha}n^{|\beta|}n^{-p+|\alpha|-|\beta|} \sum_{|\gamma|=p-|\alpha|+|\beta|}\sup_{\sigma\in\operatorname{supp}\varphi\cap N^{1/n}|\eta|\leqslant1/(2n)}|\partial^{\alpha-\beta+\gamma} \varphi(\sigma-\eta)| \\ &\qquad\leqslant \widetilde{C}_\alpha n^{|\alpha|-p}\sum_{\beta\leqslant\alpha,\,|\gamma|=p-|\alpha|+\beta} \sup_{\sigma\in\operatorname{supp}\varphi\cap N^{1/n}|\eta|\leqslant1/(2n)}|\partial^{\alpha-\beta+\gamma} \varphi(\sigma-\eta)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Пользуясь рассуждением, аналогичным использованному при доказательстве равенства (2.17), можно сделать вывод о том, что второе слагаемое стремится к нулю при n\to+\infty. Аналогичное оценивание третьего слагаемого позволяет утверждать, что последовательность функций \nu_n(\sigma) сходится к нулю в пространстве C^p_0(\Omega).
Из равенства \varphi=\psi_n+\varphi_n-\psi_n+\mu_{1/n}\varphi следует, что последовательность функций \psi_n\in D(\Omega\setminus N) сходится к \varphi в пространстве C^p_0(\Omega). Лемма 2.7 доказана. Лемма 2.8. Каждый элемент пространства {D^\infty_N}'^j(\Omega) можно единственным образом продолжить до непрерывного отображения C^j_{0N}(\Omega) в \mathbb{R} и неравенство (2.13) остается справедливым для всех \varphi\in C^j_{0N}(\Omega). Доказательство леммы аналогично доказательству [12; теорема 2.1.6]. Из леммы 2.7 следует, что для всякой функции \varphi\in C^j_{0N}(\Omega) можно найти последовательность функций \varphi_n\in D^\infty_N(\Omega) с носителями в некоторой фиксированной компактной окрестности K носителя \varphi такую, что
\begin{equation*}
\sum_{|\alpha|\leqslant j}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha(\varphi-\varphi_n)(\sigma) |\to 0 \quad \text{при } \ n\to +\infty.
\end{equation*}
\notag
Пусть f\in {D^\infty_N}'^j(\Omega). Из неравенств (2.13) следует, что последовательность (f,\varphi_n) фундаментальна. Следовательно, существует \lim_{n\to +\infty}(f,\varphi_n). Обозначим его (f,\varphi). От выбора последовательности, сходящейся к \varphi, этот предел не зависит в силу неравенств (2.13). Следовательно, на пространстве C^j_{0N}(\Omega) определена линейная форма (f,\varphi). Ее непрерывность следует из неравенства для всех \varphi\in C^j_{0N}(\Omega), \operatorname{supp}\varphi\subset K, которое получается переходом к пределу в неравенствах (2.13). Рассмотрим регуляризированное расстояние \triangle(\sigma, N) от точки \sigma до множества N, под которым понимается функция, принадлежащая пространству C^\infty(\Omega\setminus N) и удовлетворяющая условиям
\begin{equation}
c_1d(\sigma,N)\leqslant\triangle(\sigma,N)\leqslant c_2d(\sigma,N), \qquad \sigma\in\Omega\setminus N,
\end{equation}
\tag{2.18}
\begin{equation}
|\partial^\alpha\triangle(\sigma, N)|\leqslant c_\alpha[d(\sigma, N)]^{1-|\alpha|}, \qquad \alpha\in \mathbb{Z}^n_+,
\end{equation}
\tag{2.19}
где c_1, c_2, c_\alpha – некоторые положительные числа. Доказательство существования такой функции приведено в [13; гл. VI. § 2, теорема 2]. Лемма 2.9. Функция \varphi\in D^\infty_N(\Omega) может быть представлена в таком виде \varphi(\sigma)=\psi_k(\sigma)\triangle^k(\sigma, N), где k \in \mathbb{Z}_+, \psi_k(\sigma)\in D^\infty_N(\Omega) и отображение F_k(\varphi)=\psi_k непрерывно в пространстве D^\infty_N(\Omega). Доказательство. Воспользуемся представлением функции \varphi\in D^\infty_N(\Omega) в виде \varphi=(1-\mu_\varepsilon)\varphi+\mu_\varepsilon\varphi, где функция \mu_\epsilon(\sigma) удовлетворяет 2.7.
Для функции (1-\mu_\varepsilon)\varphi утверждение леммы справедливо, так как функция (1-\mu_\varepsilon(\sigma))\triangle^{-k}(\sigma, N)\in C^\infty(\Omega), k \in \mathbb{Z}_+, является мультипликатором в пространстве D^\infty_N(\Omega). Для функции \mu_\varepsilon(\sigma)\varphi(\sigma) справедливость утверждения основана, как и в доказательстве теоремы 2.1, на представлении
\begin{equation*}
\mu_\varepsilon(\sigma) \varphi(\sigma)=\mu_\epsilon(\sigma) \biggl(\varphi(\sigma)- \sum_{|\gamma|\leqslant j-1} \partial^\gamma \varphi(\eta)\frac{(\sigma-\eta)^\gamma}{\gamma!}\biggr) = \mu_\varepsilon(\sigma) R_j(\sigma,\eta),
\end{equation*}
\notag
где \eta=\eta(\sigma)\in N, d(\sigma,N)=|\sigma-\eta(\sigma)|, R_j(\sigma,\eta) – остаточный член в формуле Тейлора.
Рассмотрим функцию \psi_{k\epsilon}(\sigma)=\mu_\epsilon(\sigma)\varphi(\sigma)\Delta^{-k}(\sigma,N), k\in\mathbb{Z}_+, \sigma\in\Omega\setminus N. Очевидно, что \psi_k(\sigma)\in C^\infty(\Omega\setminus N). Воспользовавшись формой Лагранжа остаточного члена R_j(\sigma,\eta), получим неравенство
\begin{equation*}
|\psi_{k\epsilon}(\sigma)| \leqslant \Delta^{-k}(\sigma,N) |\mu_\epsilon(\sigma)| \biggl|\sum_{|\alpha|=j} \varphi^\alpha(\sigma+t(\eta-\sigma))\frac{(\sigma-\eta)^\alpha}{\alpha!}\biggr|, \qquad 0\leqslant t\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
Из неравенств (2.18) при |\alpha|=j следует неравенство
\begin{equation*}
|(\sigma-\eta(\sigma))^\alpha | \Delta^{-k}(\sigma,N) \leqslant d^j(\sigma,N) \Delta^{-k}(\sigma,N) \leqslant c_j d^{j-k}(\sigma,N).
\end{equation*}
\notag
Следовательно, справедливо неравенство
\begin{equation*}
|\psi_{k\epsilon}(\sigma)| \leqslant c_j' |\mu_\epsilon(\sigma)| d^{j-k}(\sigma,N) \sum_{|\alpha|=j} |\varphi^\alpha(\sigma+t(\eta-\sigma))|.
\end{equation*}
\notag
Так как правая часть полученного неравенства стремится к нулю, когда \sigma_n\to\sigma_0\in N, n\to\infty, при j>k, то функцию \psi_{k\epsilon}(\sigma) можно продолжить на N, положив \psi_{k\epsilon}(\sigma)=0, \sigma\in N. При этом \psi_{k\epsilon}(\sigma)\in C(\Omega). Аналогично устанавливается существование производных функции \psi_{k_\varepsilon}(\sigma) любого порядка и их равенство нулю в точках множества N. При этом используется формула Лейбница, неравенства (2.18), (2.19) и неравенство
\begin{equation}
| \partial^\alpha\triangle^{-p}(\sigma, N)|\leqslant C_\alpha(K, p)[d(\sigma, N)]^{-p-|\alpha|}, \qquad \sigma \in K\setminus N,
\end{equation}
\tag{2.20}
где K\Subset\Omega, p \in \mathbb{N}, \alpha\in \mathbb{Z}^n_+.
Его справедливость при |\alpha|=1 следует из неравенств (2.18), (2.19):
\begin{equation*}
|\partial_i\triangle^{-p}(\sigma, N) | =p|\triangle^{-p-1}(\sigma, N)\partial_i\triangle(\sigma, N)|\leqslant c_i[d(\sigma, N)]^{-p-1}.
\end{equation*}
\notag
Предположим, что неравенство (2.20) справедливо для всех \alpha \in \mathbb{Z}^n_+, |\alpha|\leqslant j, и \alpha'=\alpha+\gamma_i, |\gamma_i|=1. Воспользовавшись формулой Лейбница и неравенствами (2.19) при \sigma\in K\setminus N получим неравенства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &| {\partial^\alpha}'\triangle^{-p}(\sigma, N)|=p|\partial^\alpha(\triangle^{-p-1}(\sigma, N)\partial_i\triangle(\sigma, N)| \\ &\qquad \leqslant c'_\alpha(p)\sum_{\beta\leqslant\alpha}|\partial^{\alpha-\beta}\triangle^{-p-1}(\sigma, N)|\,|\partial^\beta\partial_i\triangle(\sigma, N)| \\ &\qquad\leqslant c'_\alpha(P, K)\sum_{\beta\leqslant\alpha}[d(\sigma,N)]^{-p-|\alpha|+|\beta|-1}[d(\sigma, N)]^{1-|\beta|-1} \\ &\qquad\leqslant c_\alpha(p, k)[d(\sigma, N)]^{-p-|\alpha'|}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно, \psi_{k\varepsilon}\in D(\Omega) и \partial^\alpha\psi_{k\varepsilon}(\sigma)|_N=0, k \in \mathbb{Z}^n_+, т.е. \psi_{k\varepsilon} \in D^\infty_N(\Omega). Лемма доказана. § 3. Мультипликаторы в функциональных пространствахОдной из целей введения функциональных пространств {D^\infty_N}'(\Omega), {D^\infty_{NF}}'(\Omega), {\mathcal{E}^\infty_N}'(\Omega) является построение расширений оператора умножения обобщенных функций на функцию, имеющую особенности производных на относительно замкнутом множестве N \subset \Omega. В соответствии с идеологией теории обобщенных функций это осуществимо за счет расширения класса рассматриваемых функций. Пусть a(\sigma)\in C^\infty(\Omega\setminus N) и для всякого компакта K\Subset\Omega и любого \alpha\in \mathbb{Z}^n_+ существуют числа C_\alpha(K)>0 и q_\alpha(K)\leqslant0 такие, что справедливы неравенства
\begin{equation}
|\partial^\alpha a(\sigma)|\leqslant C_\alpha(K)[d(\sigma, N)]^{q_\alpha(K)}, \qquad \sigma\in K\setminus N.
\end{equation}
\tag{3.1}
Теорема 3.1. Умножение на функцию a(\sigma)\in C^\infty(\Omega\setminus N), удовлетворяющую неравенствам (3.1), определено и непрерывно в пространстве D^\infty_N(\Omega). Доказательство. Докажем, что элементы пространства D^\infty_N(\Omega) можно умножать на функцию a(\sigma), удовлетворяющую неравенствам (3.1). А точнее, для любой функции \varphi\in D^\infty_N(\Omega) функция a(\sigma)\varphi(\sigma), \sigma\in\Omega\setminus N, может быть единственным способом доопределена до функции из пространства D^\infty_N(\Omega). Для этого достаточно показать, что для любого мультииндекса \alpha, любой точки \sigma_0\in N и любой последовательности \sigma_n, сходящейся к \sigma_0 при n\to +\infty, справедливо равенство С использованием формулы Лейбница доказательство этого равенства сводится к доказательству равенства
Воспользовавшись рассуждениями, приведенными в доказательстве теоремы 2.1, запишем равенство
\begin{equation*}
\psi(\sigma_n)\partial^\alpha a(\sigma_n)=\partial^\alpha a(\sigma_n)\biggl(\psi(\sigma_n)-\sum_{|\gamma|\leqslant j-1}\partial^\gamma\psi(\eta_n)\frac{(\sigma_n-\eta_n)^\gamma}{\gamma!}\biggr),
\end{equation*}
\notag
где \eta_n(\sigma_n)\in N, |\sigma_n-\eta_n |=d(\sigma_n, N). Для достаточно больших n это можно сделать.
Пользуясь неравенствами (3.1) и оценкой остаточного члена в формуле Тейлора, как и в доказательстве теоремы 2.1, получим при достаточно больших n неравенство
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &|\psi(\sigma_n)\partial^\alpha a(\sigma_n) | \\ &\qquad \leqslant c'_\alpha[d(\sigma_n, N)]^{q_\alpha(K_0)}[d(\sigma_n, N)]^j\sum_{|\gamma|=j}|\partial^\gamma\psi(\sigma_n+t_n(\eta_n-\sigma_n))|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
где 0\leqslant t_n(\sigma_n)\leqslant 1, K_0 – некоторый шар с центром в точке \sigma_0.
Так как j можно выбрать сколько угодно большим, то правая часть полученного неравенства стремится к нулю, когда \sigma_n\to\sigma_0\in N при n\to +\infty. Следовательно, справедливо равенство (3.3), а стало быть, и (3.2). Из равенства (3.2) следует, что продолжение функции a(\sigma)\varphi(\sigma) на N по непрерывности принадлежит пространству D^\infty_N(\Omega). Будем в дальнейшем это продолжение обозначать a\varphi. Так как функция (1-\mu_\varepsilon(\sigma))a(\sigma)\in C^\infty(\Omega), где \mu_\varepsilon(\sigma) – функция, удовлетворяющая (2.7), то она является мультипликатором в пространстве D^\infty_N(\Omega). Это следует из справедливости для всякого компакта K\Subset \Omega неравенств
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha[(1-\mu_\varepsilon(\sigma))a(\sigma)]|\leqslant C_\alpha\sup_{\sigma\in K}\sum_{\beta\leqslant\alpha}|\partial^{\alpha-\beta}(1-\mu_\varepsilon(\sigma))|\,| \partial^\beta a(\sigma)| \\ &\qquad \leqslant C_\alpha(K, \varepsilon)\sum_{\beta\leqslant\alpha}\sup_{\sigma\in K\setminus N^{\varepsilon/4}}[d(\sigma, N)]^{q_\beta(K)}\leqslant C'_\alpha(K, \varepsilon), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где C_\alpha>0, C_\alpha(K,\varepsilon)>0, C'_\alpha(K,\varepsilon)>0 – некоторые числа, зависящие от \alpha\in \mathbb{Z}^n_+, компакта K и фиксированного числа \varepsilon>0.
Из полученных неравенств следует, что для всякого компакта K\Subset\Omega, любого p \in \mathbb{Z}_+ и произвольной функции \varphi\in D^\infty_N(\Omega), \operatorname{supp}\varphi\subset K, справедливо неравенство
\begin{equation}
\sum_{|\alpha|\leqslant p}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha[(1-\mu_\varepsilon(\sigma))a(\sigma)\varphi(\sigma)]|\leqslant C_p(K, \varepsilon)\sum_{|\alpha|\leqslant p}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|.
\end{equation}
\tag{3.5}
Следовательно, умножение на функцию (1-\mu_\varepsilon(\sigma))a(\sigma) является непрерывным в D^\infty_N(\Omega).
Покажем, что умножение на функцию \mu_\varepsilon(\sigma)a(\sigma) тоже является непрерывным в пространстве D^\infty_N(\Omega). Воспользовавшись формулой Лейбница и неравенством, аналогичным (3.4), для любых \alpha\in \mathbb{Z}^n_+, j\in \mathbb{Z}_+, компакта K\Subset \Omega и произвольной функции \varphi\in D^\infty_N(\Omega), \operatorname{supp}\varphi\subset K, при \sigma\in K\setminus N получим неравенства
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &|\partial^\alpha(\mu_\varepsilon(\sigma)a\varphi(\sigma)) |\leqslant C_\alpha\sum_{\beta\leqslant\alpha}|\partial^\beta a(\sigma)|\,|\partial^{\alpha-\beta}(\mu_\varepsilon(\sigma)\varphi(\sigma))| \\ &\qquad\leqslant C_\alpha(K)\sum_{\beta\leqslant\alpha}[d(\sigma, N)]^{q_\beta(K)}[d(\sigma, N)]^j\sum_{|\gamma|=j}|\partial^{\alpha-\beta+\gamma}(\mu_\varepsilon\varphi) (\sigma+t(\eta(\sigma)-\sigma))|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
Правая часть в (3.6) корректно определено при достаточно малом \varepsilon, так как \mu_\varepsilon\varphi\in D^\infty_N(\Omega)\subset D(\mathbb{R}^n), K\cap N^\varepsilon\Subset \Omega, если \varepsilon достаточно мало и для \sigma\in K\cap N^\varepsilon существует \eta\in N такое, что d(\sigma, N)=|\eta-\sigma| на основании лемм 2.4 и 2.5. При этом точки отрезка \sigma+t(\eta(\sigma)-\sigma), 0\leqslant t\leqslant 1, либо принадлежат K, либо функция \mu_\varepsilon\varphi и ее производные равны нулю в этих точках, так как \operatorname{supp}\varphi\subset K. Обозначим [\sup_{|\beta|\leqslant p}|q_\beta(K)|]+ 1, где [a] – целая часть a, через q_p(K). Тогда справедливо неравенство
\begin{equation*}
\sup_{\sigma\in K\cap N^\varepsilon}[d(\sigma, N)]^{q_\beta(K)}[d(\sigma, N)]^{q_{|\alpha|}(K)}\leqslant C_1, \qquad \beta\leqslant\alpha.
\end{equation*}
\notag
Из этого неравенства и (3.6) следует неравенство
\begin{equation*}
\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha(\mu_\varepsilon(\sigma)a\varphi(\sigma))|\leqslant C'_\alpha(K)\sum_{\beta\leqslant\alpha}\sum_{|\gamma|=q_{|\alpha|}(K)}\sup_{\sigma\in K\cap N^\varepsilon}|\partial^{\alpha-\beta+\gamma}(\mu_\varepsilon\varphi)(\sigma)|.
\end{equation*}
\notag
Применив в правой части полученного неравенства формулу Лейбница и воспользовавшись неравенством (2.7), получим
\begin{equation*}
\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha(\mu_\varepsilon(\sigma)a\varphi(\sigma))|\leqslant C'_p(K,\varepsilon)\sum_{|\alpha|\leqslant p+q_p(K)}\sup_{\sigma\in K\cap N^\varepsilon}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|, \qquad |\alpha|\leqslant p.
\end{equation*}
\notag
Из этого неравенства и неравенства (3.5) для любого компакта K\Subset\Omega и любого p\in \mathbb{Z}_+ для произвольной функции \varphi\in D^\infty_N(\Omega), \operatorname{supp}\varphi\subset K, следует неравенство
\begin{equation}
\sum_{|\alpha|\leqslant p}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha a\varphi(\sigma)|\leqslant \widetilde{C}_p(K, \varepsilon)\sum_{|\alpha|\leqslant p+q_p(K)}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|,
\end{equation}
\tag{3.7}
где \widetilde{C}_p(K,\varepsilon)>0 – некоторое число, зависящее от K и \varepsilon>0.
Следовательно, умножение на функцию a(\sigma)\in C^\infty(\Omega\setminus N), удовлетворяющую условиям теоремы 3.1, непрерывно в пространстве D^\infty_N(\Omega). Теорема доказана. Аналогичное утверждение справедливо и для пространства \mathcal{E}^\infty_N(\Omega). Теорема 3.2. Умножение на функцию a(\sigma)\in C^\infty(\Omega\setminus N), удовлетворяющую неравенствам (3.1), определено и непрерывно в пространстве \mathcal{E}^\infty_N(\Omega). Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 3.1 обосновывается возможность продолжения функции a(\sigma)\varphi(\sigma)\in C^\infty(\Omega\setminus N), \varphi\in C^\infty(\Omega), по непрерывности до функции, принадлежащей пространству \mathcal{E}^\infty_N(\Omega).
Точно так же доказывается, что функция (1-\mu_\varepsilon(\sigma))a(\sigma), где \mu_\varepsilon(\sigma) – функция, удовлетворяющая (2.7), является мультипликатором в \mathcal{E}^\infty_N(\Omega) и для всякого компакта K\Subset\Omega, любого p\in \mathbb{Z}_+ и произвольной функции \varphi\in \mathcal{E}^\infty_N(\Omega) справедливо неравенство
\begin{equation}
\sum_{|\alpha|\leqslant p}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha[(1-\mu_\varepsilon(\sigma))a(\sigma)\varphi(\sigma)]|\leqslant C_p(K, \varepsilon)\sum_{|\alpha|\leqslant p}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|.
\end{equation}
\tag{3.8}
Докажем, что умножение на функцию \mu_\varepsilon(\sigma)a(\sigma) является непрерывным отображением \mathcal{E}^\infty_N(\Omega) в себя. Воспользовавшись формулой Лейбница, неравенствами (3.1) и оценкой вида (3.4) для любого \alpha\in \mathbb{Z}^n_+, |\alpha|\leqslant p, произвольной функции \varphi\in \mathcal{E}^\infty_N(\Omega) и компакта K\Subset\Omega, получим при достаточно малом \varepsilon для \sigma\in K\setminus N неравенства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\partial^\alpha(\mu_\varepsilon(\sigma)a\varphi(\sigma))|\leqslant C'_\alpha\sum_{\beta\leqslant\alpha}|\partial^\beta a(\sigma)|\,|\partial^{\alpha-\beta}(\mu_\varepsilon\varphi)(\sigma)| \\ &\qquad \leqslant C_\alpha\sum_{\beta\leqslant\alpha}[d(\sigma,N)]^{q_\beta(K)}[d(\sigma, N)]^j\sum_{|\gamma|=j}|\partial^{\alpha-\beta+\gamma}(\mu_\varepsilon\varphi) (\sigma+t(\eta(\sigma)-\sigma))|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Возможность указанной оценки основана на том, что \mu_\varepsilon\varphi\,{\in}\, \mathcal{E}^\infty_N(\Omega), \operatorname{supp}\mu_\varepsilon\varphi\,{\subset} N^\varepsilon и для \sigma\in K\cap N^\varepsilon точки \sigma+t(\eta(\sigma)-\sigma) принадлежат по лемме 2.5 компакту K_\varepsilon=(K\cap N^\varepsilon)_\varepsilon\Subset\Omega при достаточно малом \varepsilon. Если j=q_{|\alpha|}(K)=[\sup_{|\beta|\leqslant|\alpha|}|q_\beta(K)|]+1, то из полученного неравенства следует неравенство
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha(\mu_\varepsilon(\sigma)a\varphi(\sigma))| \\ &\qquad\leqslant C'_\alpha(K,\varepsilon)\sum_{\beta\leqslant\alpha}\sum_{|\gamma|=q_{|\alpha|}(K)}\sup_{\sigma\in K\cap N^\varepsilon}|\partial^{\alpha-\beta+\gamma}(\mu_\varepsilon\varphi)(\sigma+t(\eta(\sigma)-\sigma))|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Применив в правой части полученного неравенства формулу Лейбница, неравенство (2.7) и используя принадлежность точек (\sigma+t(\eta(\sigma)-\sigma)), \sigma\in K\cap N^\varepsilon, множеству (K\cap N^\varepsilon)_\varepsilon, которое по лемме 2.5 компактно и принадлежит \Omega, получим неравенство
\begin{equation*}
\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha(\mu_\varepsilon(\sigma)a\varphi(\sigma))|\leqslant C_\alpha(K, \varepsilon)\sum_{|\beta|\leqslant|\alpha|+q_{|\alpha|}(K)}\sup_{\sigma\in (K\cap N^\varepsilon)_\varepsilon}|\partial^\beta\varphi(\sigma)|.
\end{equation*}
\notag
Из полученного неравенства и неравенства (3.8) следует, что для любого компакта K\Subset\Omega и любого p\in \mathbb{Z}_+ для произвольной функции \varphi\in \mathcal{E}^\infty_N(\Omega) справедливо неравенство
\begin{equation}
\sup_{|\alpha|\leqslant p,\, \sigma\in K}|\partial^\alpha(a\varphi)(\sigma)|\leqslant C_p(K,\varepsilon)\sum_{|\alpha|\leqslant p+q_p(K)}\sup_{\sigma\in K'_\varepsilon}|\partial^\beta\varphi(\sigma)|,
\end{equation}
\tag{3.9}
где K'_\varepsilon=K\cup(K\cap N^\varepsilon)_\varepsilon\Subset\Omega, C_p(K,\varepsilon)>0 – некоторое число, зависящее от компакта K, p и выбора \varepsilon>0.
Следовательно, умножение на функцию a(\sigma)\in C^\infty(\Omega\setminus N), удовлетворяющую неравенствам (3.1), непрерывно в пространстве \mathcal{E}^\infty_N(\Omega). Теорема доказана. Из теоремы 3.1 следует справедливость следующего утверждения. Теорема 3.3. Функция a(\sigma)\in C^\infty(\Omega\setminus N), удовлетворяющая неравенствам (3.1), является мультипликатором в пространстве {D^\infty_N}'(\Omega). Доказательство. По теореме 3.1 для произвольной функции \varphi\in D^\infty_N(\Omega) определена функция a\varphi\in D^\infty_N(\Omega).
Пусть f\in {D^\infty_N}'(\Omega). Тогда на пространстве D^\infty_N(\Omega) определена линейная форма af:
\begin{equation*}
(af,\varphi)\equiv (f,a\varphi), \qquad \varphi\in D^\infty_N(\Omega).
\end{equation*}
\notag
Из неравенств (2.13) и (3.7) для всякого компакта K\Subset\Omega и произвольной функции \varphi\in D^\infty_N(\Omega), \operatorname{supp}\varphi\subset K, следует справедливость неравенств
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |(af,\varphi| &\leqslant C(K)\sum_{|\alpha|\leqslant j(K)}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha a\varphi(\sigma)| \\ &\leqslant C'(K)\sum_{|\beta|\leqslant j(K)+q_j(K)}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\beta\varphi(\sigma)|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
Следовательно, линейная форма af непрерывна на пространстве D^\infty_N(\Omega), т.е. af\in {D^\infty_N}'(\Omega).
Если последовательность f_n\in {D^\infty_N}'(\Omega) сходится к f\in {D^\infty_N}'(\Omega), то справедливы равенства
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}(af_n,\varphi)=\lim_{n\to+\infty}(f_n,a\varphi)=(f, a\varphi)=(af,\varphi), \qquad \varphi\in D^\infty_N(\Omega).
\end{equation*}
\notag
Следовательно, умножение на функцию a(\sigma)\in C^\infty(\Omega\setminus N), удовлетворяющую неравенствам (3.1), является непрерывным отображением {D^\infty_N}'(\Omega) в себя. Теорема доказана. Из теоремы 3.2, неравенств (2.14) и (3.9) следует, что для любой обобщенной функции f\in {\mathcal{E}^\infty_N}'^p(\Omega), \operatorname{supp}f\subset K, справедливо неравенство
\begin{equation}
|(af,\varphi)|\leqslant C_p(K, \varepsilon)\sum_{|\alpha|\leqslant p+q_p(K)}\sup_{\sigma\in K'_\varepsilon}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|, \qquad \varphi\in C^\infty(\Omega),
\end{equation}
\tag{3.11}
где C_p(K,\varepsilon)>0 – некоторое число, зависящее от K и \varepsilon>0, K'_\varepsilon – компакт, указанный в доказательстве теоремы 3.2. Следовательно, справедливо следующее утверждение. Теорема 3.4. Функция a(\sigma)\in C^\infty(\Omega\setminus N), удовлетворяющая неравенствам (3.1), является мультипликатором в пространстве {\mathcal{E}^\infty_N}'(\Omega). При рассмотрении умножения элементов пространства {D^\infty_{NF}}'(\Omega) на функцию a(\sigma)\in C^\infty(\Omega\setminus N), удовлетворяющую неравенствам (3.1), естественно предполагать, что для всякого p \in \mathbb{Z}_+ выполнено условие
\begin{equation}
q_p=\Bigl[\sup_{|\alpha|\leqslant p,\,K\Subset\Omega}|q_\alpha(K)|\Bigr]+ 1 < +\infty.
\end{equation}
\tag{3.12}
Теорема 3.5. Если функция a(\sigma)\,{\in}\, C^\infty(\Omega\setminus N), для всякого компакта K\,{\Subset}\,\Omega справедливы неравенства (3.1) и выполнено условие (3.12), то для любой обобщенной функции f\in {D^\infty_N}'^p(\Omega) обобщенная функция af\in {D^\infty_N}'^{p+q_p}(\Omega) и справедливо неравенство Справедливость теоремы 3.5 следует из определения пространства {D^\infty_N}'^p(\Omega), неравенств (3.10) и (3.12). Важным примером функции a(\sigma)\in C^\infty(\Omega\setminus N), удовлетворяющей неравенствам (3.1), является функция a(\sigma)=1/{P(\sigma)}, где P(\sigma) – многочлен, а N – его множество вещественных нулей. Из известной оценки модуля многочлена от вещественных переменных [4; дополнение, теорема А.3]
\begin{equation}
\frac{1}{|P(\sigma)|}\leqslant C(1+|\sigma|)^\rho d^\varkappa(\sigma,N), \qquad \sigma\in \mathbb{R}^n\setminus N,
\end{equation}
\tag{3.14}
где C>0, \rho\geqslant 0, \varkappa <0 – некоторые числа, следует справедливость неравенств вида (3.1)
\begin{equation}
|\partial^\alpha\frac{1}{P(\sigma)}|\leqslant C_\alpha(K)[d(\sigma, N)]^{\varkappa_\alpha}, \qquad \sigma\in K\setminus N,
\end{equation}
\tag{3.15}
где C_\alpha(K)>0 – некоторые числа, зависящие от компакта K, \alpha\in \mathbb{Z}^n_+ и (|\alpha|\,{+}\,1)\varkappa\leqslant\varkappa_\alpha<0. Справедливость неравенств (3.15) для \alpha, |\alpha|=1, проверяется непосредственно:
\begin{equation*}
|\partial_i\frac{1}{P(\sigma)}|=\frac{1}{|P^2(\sigma)|}|\partial_i P(\sigma)|\leqslant C_i(K)d^{2\varkappa}(\sigma,N), \qquad \sigma\in K\setminus N.
\end{equation*}
\notag
Предположим, что неравенство (3.15) справедливо для всех \alpha\in \mathbb{Z}^n_+, |\alpha|=p и \alpha'=\alpha+\gamma_i, |\gamma_i|=1. При \sigma\in K\setminus N имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|{\partial^\alpha}'\frac{1}{P(\sigma)}\biggr| &=\biggl|\partial^\alpha\biggl(\partial_i\frac{1}{P(\sigma)}\biggr)\biggr| =\biggl|\partial^\alpha\biggl(\frac{1}{P^2(\sigma)}\partial_i P(\sigma) \biggr)\biggr| \\ &\leqslant C_\alpha\sum_{\beta\leqslant\alpha}\biggl|\partial^\beta\frac{1}{P(\sigma)}\biggr|\, \biggl|\partial^{\alpha-\beta}\frac{\partial_iP(\sigma)}{P(\sigma)}\biggr| \\ &\leqslant C'_\alpha\sum_{\beta\leqslant\alpha}\biggl|\partial^\beta\frac{1}{P(\sigma)}\biggr| \sum_{\gamma\leqslant\beta}\biggl|\partial^{\alpha-\beta-\gamma}\frac{1}{P(\sigma)}\biggr|\, |\partial^\gamma\partial_iP(\sigma)| \\ &\leqslant C''_\alpha(K)\sum_{\gamma\leqslant\beta\leqslant\alpha} [d(\sigma,N)]^{\varkappa_\beta+\varkappa_{\alpha-\beta-\gamma}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Так как \varkappa_\beta+\varkappa_{\alpha-\beta-\gamma}\geqslant(|\beta|+1+|\alpha|-|\beta|-|\gamma|+1)\varkappa\geqslant(|\alpha|-|\gamma|+2)\varkappa\geqslant(|\alpha'+1)\varkappa, то справедливо неравенство
\begin{equation*}
\biggl|\partial^{\alpha'}\frac{1}{P(\sigma)}\biggr| \leqslant C_{\alpha'}(K)[d(\sigma, N)]^{\varkappa_{\alpha'}}, \qquad \sigma\in K\setminus N, \quad (|\alpha'|+1)\varkappa\leqslant\varkappa_{\alpha'}.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, неравенство (3.15) справедливо. Таким образом доказано следующее утверждение. Теорема 3.6. Функция a(\sigma)={1}/{P(\sigma)}, где P(\sigma) – многочлен, а N – множество его вещественных нулей, является мультипликатором в пространствах D^\infty_{N\cap\Omega}(\Omega), {D^\infty_{N\cap \Omega}}'(\Omega), D^\infty_{N\cap\Omega F}(\Omega), \mathcal{E}^\infty_{N\cap\Omega}(\Omega), {\mathcal{E}^\infty_{N\cap\Omega}}'(\Omega) для любой области \Omega\subset \mathbb{R}^n. Еще одним важным примером мультипликатора в указанных в теореме 3.6 пространствах является регуляризованное расстояние \triangle(\sigma, N). Это следует из неравенств (2.18), (2.19) и теорем 3.1–3.5. Мультипликаторами в этих пространствах являются также функции b(\sigma)\triangle^k(\sigma, N), где b(\sigma)\in C^\infty(\Omega), k\in \mathbb{N}, так как применив формулу Лейбница и воспользовавшись для любого компакта K\Subset\Omega и p\in \mathbb{N} неравенством
\begin{equation}
|\partial^\alpha\triangle^p(\sigma, N)|\leqslant C_\alpha(K, p)[d(\sigma, N)]^{p-|\alpha|}, \qquad \sigma\in K\setminus N,
\end{equation}
\tag{3.16}
получим неравенства вида (3.1). При этом выполнено условие (3.12). Справедливость неравенства (3.16) устанавливается так же, как неравенства (2.20). Функциями, удовлетворяющими неравенствам (3.1), исчерпываются мультипликаторы в пространстве D^\infty_N(\Omega). Теорема 3.7. Функция a(\sigma) является мультипликатором в пространстве D^\infty_N(\Omega) тогда и только тогда, когда a(\sigma)\in C^\infty(\Omega\setminus N) и выполняются неравенства (3.1). Доказательство. Функция, удовлетворяющая неравенствам (3.1), является мультипликатором в пространстве D^\infty_N(\Omega) по теореме 3.1.
Докажем справедливость обратного утверждения. Пусть функция a(\sigma) является мультипликатором в D^\infty_N(\Omega), т.е. каждый элемент пространства D^\infty_N(\Omega) можно умножить на a(\sigma) и соответствующее отображение непрерывно в D^\infty_N(\Omega). Очевидно, что такая функция принадлежит пространству C^\infty(\Omega\setminus N). Из непрерывности умножения на функцию a(\sigma) в пространстве D^\infty_N(\Omega) следует, что для всякого компакта K\Subset\Omega и любого r\in \mathbb{Z}_+ существуют числа C_r(K) и m_r(K) такие, что для любой функции \varphi\in D^\infty_N(\Omega), \operatorname{supp}\varphi\subset K, справедливы неравенства
\begin{equation}
|\partial^\alpha(a\varphi)(\sigma)|\leqslant C_r(K)\sum_{|\beta|\leqslant m_r(K)}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\beta\varphi(\sigma)|, \qquad |\alpha|\leqslant r, \qquad \sigma\in K.
\end{equation}
\tag{3.17}
Из этих неравенств следует, что умножение на функцию a(\sigma) можно продолжить до непрерывного отображения из пространства C^{m_r(K)}_{0N}(\mathring{K}) в C^r_{0N}(\mathring{K}), если \mathring{K} – множество внутренних точек K – непусто. Для этого для произвольной функции \varphi\in C^{m_r(K)}_{0N}(\Omega) выберем последовательность \varphi_n\in D^\infty_N(\Omega), сходящуюся к \varphi в пространстве C^{m_r(K)}_{0N}(\Omega). Ее существование следует из леммы 2.7. Из неравенства (3.17) следует, что последовательность a\varphi_n\in C^r_{0N}(\Omega) фундаментальна в C^r_{0N}(\Omega). Следовательно, существует ее предел при n\to+\infty, который обозначим через a\varphi. Нетрудно показать, что от выбора последовательности \varphi_n он не зависит и для него справедливо неравенство (3.17). Следовательно, существует указанное продолжение оператора умножения на функцию a(\sigma). Пусть \mathring{K}\cap N\neq \varnothing и \psi(\sigma)\in C^{m_r(K)}_0(\mathring{K}). Рассмотрим функцию \varphi_0(\sigma)=\psi(\sigma)\triangle^p(\sigma, N). Если p=m_r(K)+1, то \partial^\alpha\varphi_0(\sigma)|_N=0, |\alpha|\leqslant m_r(K), и функция \varphi_0\in C^{m_r(K)}_{0N}(\mathring{K}). Это следует из неравенства (3.16). Выберем функцию \psi(\sigma) так, что на заданном компакте K'\Subset \mathring{K}, K'\cap N\neq \varnothing выполняется условие Используя конструкцию функции \varphi_0(\sigma) и неравенство (3.17), получим для \sigma\in K'\setminus N неравенства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |a(\sigma)[\triangle(\sigma, N)]^{m_r(K)+1}| &\leqslant \biggl|\frac{1}{b}a(\sigma)[\triangle(\sigma, N)]^{m_r(K)+1}\psi(\sigma)\biggr| \\ &\leqslant\frac{c_r(K)}{b}\sum_{|\beta|\leqslant m_r(K)}\sup_{\sigma\in K'}|\partial^\alpha\varphi_0(\sigma)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Правая часть полученного неравенства – фиксированное число для выбранного компакта K'. Следовательно, справедливо неравенство
\begin{equation*}
|a(\sigma)|\leqslant \widetilde{C}_0(K')[\triangle(\sigma, N)]^{-m_r(K)-1}\leqslant c'_0(K')[d(\sigma, N)]^{-m_r(K)-1}, \qquad \sigma\in K'\setminus N.
\end{equation*}
\notag
Так как K'^\varepsilon\Subset\Omega при достаточно малом \varepsilon, то приведенное рассуждение означает, что для любого компакта K'\Subset\Omega справедливо полученное неравенство. Аналогично доказываются оценки вида (3.1) для производных функции a(\sigma), так как они также являются мультипликаторами. Для доказательства этого рассмотрим для любой функции \varphi\in D(\Omega\setminus N) равенство
\begin{equation}
\partial_i a(\sigma)\varphi(\sigma)=\partial_i(a\varphi)(\sigma)-a\partial_i\varphi(\sigma)\in D(\Omega\setminus N).
\end{equation}
\tag{3.18}
Так как пространство D(\Omega\setminus N) плотно в D^\infty_N(\Omega) по теореме 2.1, то для любой функции \varphi\in D^\infty_N(\Omega) существует последовательность функций \varphi_n\in D(\Omega\setminus N), сходящаяся к \varphi в D^\infty_N(\Omega). Поскольку a(\sigma) – мультипликатор в D^\infty_N(\Omega), то существует
\begin{equation*}
\lim_{n\to+\infty}[\partial_i(a\varphi_n)(\sigma)-a\partial_i\varphi_n(\sigma)],
\end{equation*}
\notag
принадлежащий D^\infty_N(\Omega). Тогда из равенства (3.18) следует, что существует \lim_{n\to+\infty}\partial_i a(\sigma)\varphi_n(\sigma) в пространстве D^\infty_N(\Omega). Следовательно, существует продолжение оператора умножения на функцию \partial_i a(\sigma) на все пространство D^\infty_N(\Omega) и справедливо равенство (3.18) для \varphi\in D^\infty_N(\Omega), из которого следует непрерывность рассматриваемого оператора.
Пользуясь индукцией, нетрудно доказать по указанной схеме, что производная любого порядка функции a(\sigma) является мультипликатором в D^\infty_N(\Omega). Следовательно, неравенства (3.1) справедливы для всех \alpha\in \mathbb{Z}^n_+. Теорема доказана. Теорема 3.8. Функция a(\sigma) является мультипликатором в пространстве \mathcal{E}^\infty_N(\Omega) тогда и только тогда, когда a(\sigma)\in C^\infty(\Omega\setminus N) и выполняются неравенства (3.1). Справедливость теоремы 3.8 следует из теорем 3.2 и 3.7, так как мультипликатор в пространстве \mathcal{E}^\infty_N(\Omega) является мультипликатором в пространстве D^\infty_N(\Omega). § 4. Построение регуляризаций обобщенных функцийРассмотрим множество обобщенных функций пространства D'(\mathbb{R}^n\setminus N), где N – замкнутое множество, имеющее продолжение до обобщенных функций пространства D'(\mathbb{R}^n). Обозначим это множество через D'(\mathbb{R}^n\setminus N, \mathbb{R}^n), а через D'_F(\mathbb{R}^n\setminus N, \mathbb{R}^n) – его подмножество, состоящее из продолжаемых до обобщенных функций пространства D'_F(\mathbb{R}^n). Разность двух продолжений одной обобщенной функции f \in D'(\mathbb{R}^n\setminus N) равна обобщенной функции h \in D'(\mathbb{R}^n), \operatorname{supp}h\subset N. Следовательно, образы двух продолжений одной обобщенной функции совпадают при вложении D'(\mathbb{R}^n) в {D^\infty_N}'(\mathbb{R}^n). Поэтому описания обобщенных функций пространства D'(\mathbb{R}^n\setminus N), допускающих указанное продолжение, естественно рассматривать в пространстве {D^\infty_N}'(\mathbb{R}^n). Из непрерывности вложения
\begin{equation*}
\tau_\infty \colon D(\mathbb{R}^n\setminus N)\to D^\infty_N(\mathbb{R}^n)
\end{equation*}
\notag
следуют вложения
\begin{equation*}
\tau^*_\infty \colon {D^\infty_N}'(\mathbb{R}^n)\to D'(\mathbb{R}^n\setminus N), \qquad \tau^*_\infty \colon {D^\infty_{NF}}'(\mathbb{R}^n)\to D'_F(\mathbb{R}^n\setminus N).
\end{equation*}
\notag
Следующая теорема дает описание пространства \tau^*_\infty({D^\infty_{NF}}'(\mathbb{R}^n)) в D'_F(\mathbb{R}^n\setminus N). Теорема 4.1. Отображение \tau^* является линейным инъективным отображением {D^\infty_{NF}}'(\mathbb{R}^n) на D'_F(\mathbb{R}^n\setminus N, \mathbb{R}^n). Доказательство. Инъективность отображения \tau^* следует из теоремы 2.1.
Пусть f \in {D^\infty_{NF}}'(\mathbb{R}^n). Тогда существует j \in \mathbb{Z}_+ такое, что f \in {D^\infty_N}'^j(\mathbb{R}^n). Композиция f \circ\tau_\infty принадлежит пространству D'^j(\mathbb{R}^n\setminus N). Это следует из неравенства
\begin{equation*}
|(f \circ \tau_\infty, \varphi)| =|(f, \varphi)|\leqslant C(K)\sum_{|\alpha|\leqslant j}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|,
\end{equation*}
\notag
которое справедливо для любого компакта K\Subset \mathbb{R}^n\setminus N и для всех функций \varphi\in D(\mathbb{R}^n\setminus N)\subset D^\infty_N(\mathbb{R}^n), \operatorname{supp} \varphi\subset K, по предположению. Следовательно, \tau^*_\infty({D^\infty_{NF}}'(\mathbb{R}^n))\subset D'_F(\mathbb{R}^n\setminus N).
Пусть f\in D'_F(\mathbb{R}^n\setminus N, \mathbb{R}^n) и \widetilde{f}\in D'_F(\mathbb{R}^n) – ее продолжение, т.е. (f, \varphi)=(\widetilde{f}, \varphi), \varphi\in D(\mathbb{R}^n\setminus N). Из неравенств (2.1), (2.13) и теоремы 2.1 следует, что
\begin{equation*}
i^*_\infty(\widetilde{f})\in {D^\infty_{NF}}'(\mathbb{R}^n), \qquad \tau^*_\infty(i^*_\infty(\widetilde{f}))=f.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, каждый элемент пространства D'_F(\mathbb{R}^n\setminus N, \mathbb{R}^n) принадлежит \tau^*_\infty({D^\infty_{NF}}'(\mathbb{R}^n)).
Чтобы доказать, что \tau^*_\infty(f)\in D'_F(\mathbb{R}^n\setminus N, \mathbb{R}^n) для любого f\in {D^\infty_{NF}}'(\mathbb{R}^n), построим для любого j \in \mathbb{Z}_+ линейное непрерывное отображение F_j из пространства D(\mathbb{R}^n) в пространство C^j_{0N}(\mathbb{R}^n), пользуясь одной из теорем продолжения Уитни. Из [4; теорема 17.2] следует существование для любого j\in \mathbb{Z}_+ линейного отображения из пространства D(\mathbb{R}^n) в пространство C^j(\mathbb{R}^n), ставящего в соответствие функции \varphi\in D(\mathbb{R}^n) функцию \widetilde{\varphi}_j\in C^j(\mathbb{R}^n), обладающую свойствами: 1) \partial^\alpha\widetilde{\varphi}_j(\sigma)=\partial^\alpha\varphi(\sigma), \sigma\in N, |\alpha|\leqslant j; 2) справедливо неравенство
\begin{equation}
\sup_{|\alpha|\leqslant j}|\partial^\alpha\widetilde{\varphi}_j(\sigma)|\leqslant C\sup_{|\alpha|\leqslant j,\,\eta\in N_\sigma} \biggl\{|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|, \frac{|\partial^\alpha_\sigma R_j (\sigma, \eta)|}{|\sigma-\eta|^{j-|\alpha|}}\biggr\},
\end{equation}
\tag{4.1}
где R_j(\sigma,\eta)=\varphi(\sigma)-\sum_{|\alpha|\leqslant j}\varphi^\alpha(\eta)(\sigma-\eta)^\alpha/{\alpha!}, N_\sigma=\{\eta\in N\colon |\sigma-\eta|\leqslant 10 \sqrt{n}\}.
Из неравенства (4.1) и компактности \operatorname{supp}\varphi следует компактность \operatorname{supp}\widetilde{\varphi}_j(\sigma). Воспользовавшись формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, неравенство (4.1) можно записать в таком виде:
\begin{equation}
\sup_{|\alpha|\leqslant j}|\partial^\alpha\widetilde{\varphi}_j(\sigma)|\leqslant C'\sup_{|\alpha|\leqslant j+1,\,\sigma\in\operatorname{supp}\varphi}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|.
\end{equation}
\tag{4.2}
Искомое отображение определяется формулой
\begin{equation*}
F_j(\varphi)\equiv \varphi^j_N(\sigma)=\varphi(\sigma)-\widetilde{\varphi}_j(\sigma).
\end{equation*}
\notag
Из построения функции \varphi^j_N следует, что \varphi^j_N(\sigma)\in C^j_{0N}(\mathbb{R}^n) и справедливо неравенство
\begin{equation}
\sum_{|\alpha|\leqslant j}\sup_{\sigma\in\operatorname{supp}\varphi^j_N}|\partial^\alpha\varphi^j_N(\sigma)|\leqslant C_j\sum_{|\alpha|\leqslant j+1}\sup_{\sigma\in\operatorname{supp}\varphi}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|,
\end{equation}
\tag{4.3}
которое следует из неравенства (4.2).
Если f \in {D^\infty_N}'^j(\mathbb{R}^n), то из леммы (2.8) следует, что для каждой функции f\in D(\mathbb{R}^n) определено число (f,\varphi^j_N). Следовательно, на пространстве D(\mathbb{R}^n) задана линейная форма [f]_j:
\begin{equation*}
([f]_j, \varphi)=(f, \varphi^j_N), \qquad \varphi\in D(\mathbb{R}^n).
\end{equation*}
\notag
Из этого равенства и неравенств (4.3), (2.13) следует, что для всякого компакта K и любой функции \varphi\in D(\mathbb{R}^n), \operatorname{supp}\varphi\subset K, справедливы неравенства
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |([f]_j, \varphi)| &=|(f, \varphi^j_N)|\leqslant C'(K)\sum_{|\alpha|\leqslant j}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha\varphi^j_N(\sigma)| \\ &\leqslant C(K)\sum_{|\alpha|\leqslant j+1}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
Следовательно, [f]_j\in D'^{j+1}(\mathbb{R}^n), так как от компакта K число не зависит.
Для произвольной функции \varphi\in D(\mathbb{R}^n\setminus N) справедливо равенство \varphi^j_N\,{=}\,\varphi. Следовательно, ([f]_j, \varphi)=(f,\varphi) для \varphi\in D(\mathbb{R}^n\setminus N), т.е. [f]_j является продолжением обобщенной функции \tau^*_\infty(f)\in D'_F(\mathbb{R}^n\setminus N). Таким образом, равенство \tau^*_\infty({D^\infty_{NF}}'(\mathbb{R}^n))=D'_F(\mathbb{R}^n\setminus N, \mathbb{R}^n) доказано. Теорема доказана. Обобщенную функцию [f]_j\in D'_F(\mathbb{R}^n) будем называть регуляризацией обобщенной функции \tau^*_\infty(f)\in D_F(\mathbb{R}^n\setminus N). Аналогичный результат справедлив для пространства \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n\setminus N). Теорема 4.2. Линейное инъективное отображение \tau^*_\infty отображает пространство {\mathcal{E}^\infty_N}'(\mathbb{R}^n) на подпространство пространства D'_F(\mathbb{R}^n\setminus N), состоящее из обобщенных функций, продолжаемых до обобщенных функций пространства \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n). Доказательство. Так как {\mathcal{E}^\infty_N}'(\mathbb{R}^n) – подпространство {D^\infty_{NF}}'(\mathbb{R}^n), то из теоремы 4.1 следует, что
Докажем, что для элементов подпространства \tau^*_\infty({\mathcal{E}^\infty_N}'(\mathbb{R}^n)) существуют продолжения, принадлежащие пространству \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n). Если f\in {\mathcal{E}^\infty_N}'(\mathbb{R}^n), то существуют компакт K и число j\in \mathbb{Z}_+ такие, что f\in {\mathcal{E}^\infty_N}'^j(K) и для любой функции \varphi\in \mathcal{E}^\infty_N(\mathbb{R}^n) справедливо неравенство
\begin{equation}
|(f,\varphi)|\leqslant C(K)\sum_{|\alpha|\leqslant j}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|.
\end{equation}
\tag{4.5}
Используя это неравенство, можно продолжить обобщенную функцию f до отображения из пространства C^j_N(\mathbb{R}^n) в \mathbb{R} с сохранением неравенства (4.5). Для произвольной функции \varphi\in C^j_N(\mathbb{R}^n) рассмотрим функцию \psi_\varepsilon=\chi_\varepsilon\varphi, где \chi_\varepsilon(\sigma)\in C^\infty_0(\mathbb{R}^n), \chi_\varepsilon(\sigma)=1, \sigma\in K^\varepsilon. Из леммы 2.8 следует, что существует последовательность \varphi_n(\sigma)\in D(\Omega\setminus N), сходящаяся к функции \psi_\varepsilon при n\to +\infty в пространстве C^j_N(\mathbb{R}^n). Следовательно, \lim_{n\to +\infty}\sup_{\sigma\in K^\varepsilon}|\partial^\alpha\varphi_n(\sigma)-\partial^\alpha\varphi(\sigma)|=0, |\alpha|\leqslant j. Из неравенства (4.5) следует, что последовательность (f,\varphi_n) фундаментальна и имеет предел, который от выбора последовательности \varphi_n, сходящейся к \psi_\varepsilon, не зависит. Следовательно, каждой функции \psi_\varepsilon соответствует число (f,\psi_\varepsilon). Так как \operatorname{supp}f\subset K, то это число от \varepsilon не зависит. Следовательно, на пространстве C^j_N(\mathbb{R}^n) задана линейная форма, удовлетворяющая неравенству (4.5) для произвольной функции \varphi\in C^j_N(\mathbb{R}^n). Аналогично доказательству теоремы 4.1 построим для j\in \mathbb{Z}_+ линейное отображение H_j из пространства \mathcal{E}(\mathbb{R}^n) в C^j_N(\mathbb{R}^n). Из [4; теорема 17.2] следует существование для любого j\in \mathbb{Z}_+ линейного отображения из пространства \mathcal{E}(\mathbb{R}^n) в пространство C^j(\mathbb{R}^n), ставящего в соответствии функции \varphi\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^n) функцию \widetilde{\varphi}_j\in C^j(\mathbb{R}^n), обладающую свойствами, указанными в доказательстве теоремы 4.1. Искомое отображение H_j определяется формулой
\begin{equation*}
H_j(\varphi)\equiv \varphi^j_N(\sigma)=\varphi(\sigma)-\widetilde{\varphi}_j(\sigma).
\end{equation*}
\notag
Из построения функции \varphi^j_N(\sigma) следует, что \varphi^j_N\in C^j_N(\mathbb{R}^n) и справедливо неравенство
\begin{equation}
\sum_{|\alpha|\leqslant j}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha\varphi^j_N(\sigma)|\leqslant C'_j(K)\sum_{|\alpha|\leqslant j+1}\sup_{\sigma\in K'}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|,
\end{equation}
\tag{4.6}
где K' – компакт, построенный по компакту K.
Неравенство (4.6) следует из неравенства (4.1). Если в нем воспользоваться формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, то получим неравенство
\begin{equation*}
\sum_{|\alpha|\leqslant j}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha\widetilde{\varphi}_j(\sigma)|\leqslant C''_j(K)\sum_{|\alpha|\leqslant j+1}\sup_{\sigma\in K'}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|,
\end{equation*}
\notag
где K'=\{\xi\in \mathbb{R}^n\colon \xi=\sigma+t(\eta-\sigma),\, \sigma\in K, \, 0\leqslant t\leqslant 1, \, \eta\in N, \, (\sigma-\eta)\leqslant 10\sqrt{n}\}.
Применив его для оценивания |\partial^\alpha\varphi^j_N(\sigma)|, получим (4.6). Следовательно, на пространстве \mathcal{E}(\mathbb{R}^n) может быть задана линейная форма [f]_j:
\begin{equation*}
([f]_j,\varphi)=(f,\varphi^j_N), \qquad \varphi\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^n).
\end{equation*}
\notag
Из этого равенства и неравенств (4.5), (4.6) следует, что для любой функции \varphi\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^n) справедливы неравенства
\begin{equation*}
|([f]_j, \varphi)|=|(f,\varphi^j_N)|\leqslant C_j(K)\sum_{|\alpha|\leqslant j}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha\varphi^j_N(\sigma)|\leqslant C_j(K)\sum_{|\alpha|\leqslant j+1}\sup_{\sigma\in K'}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|,
\end{equation*}
\notag
где K' – некоторый компакт, построенный по K.
Следовательно, [f]_j\in \mathcal{E}'^{j+1}(K'). Теорема доказана. Применим полученные результаты для построения регуляризации обобщенной функции a(\sigma)f, где f\in D'(\mathbb{R}^n), a(\sigma)\in C^\infty(\mathbb{R}^n\setminus N). Теорема 4.3. Если функция a(\sigma)\in C^\infty(\mathbb{R}^n\setminus N) удовлетворяет неравенствам (3.1) и выполнено условие (3.12), то существует регуляризация [af] обобщенной функции a(\sigma)f\in D'(\mathbb{R}^n\setminus N), f\in D'_F(\mathbb{R}^n), принадлежащая пространству D'_F(\mathbb{R}^n). Доказательство. Так как D'_F(\mathbb{R}^n)\subset {D^\infty_{NF}}'(\mathbb{R}^n), то af\in {D^\infty_{NF}}'(\mathbb{R}^n) по теореме 3.5. Следовательно, по теореме 4.1 \tau^*_\infty(af)=a(\sigma)f \in D'(\mathbb{R}^n\setminus N) имеет продолжение до обобщенной функции из пространства D'_F(\mathbb{R}^n).
Если f \in D'^j(\mathbb{R}^n), j \in \mathbb{Z}_+, то указанное продолжение определяется для произвольной функции \varphi\in D(\mathbb{R}^n) равенством где \varphi^{j+q_j}_N\in C^{j+q_j}_{0N}(\mathbb{R}^n) – функция, построенная по функции \varphi в доказательстве теоремы 4.1.Из неравенств (4.4), (3.7) для любого компакта K и произвольной функции \varphi\in D(\mathbb{R}^n), \operatorname{supp}\varphi\subset K, следуют неравенства
\begin{equation*}
|([af]_j,\varphi)|\leqslant C_j(K)\sum_{|\alpha|\leqslant j+1}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha(a\varphi^{j+q_j}_N)(\sigma)|\leqslant C'_j(K)\sum_{|\alpha|\leqslant j+q_j+1}\sup_{\sigma\in K}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, [af]_j\in D'^{j+q_j+1}(\mathbb{R}^n). Теорема доказана. Так как две регуляризации обобщенной функции пространства D'(\mathbb{R}^n\setminus N) отличаются на обобщенную функцию, носитель которой принадлежит N, то из теоремы 4.3 следует справедливость утверждения. Следствие 4.1. Если функция принадлежит C^\infty(\mathbb{R}^n\setminus N), удовлетворяет неравенствам (3.1) и выполнено условие (3.12), то для любой обобщенной функции f\in D'^j(\mathbb{R}^n) существует регуляризация [af]_j\in D'^{j+q_j+1}(\mathbb{R}^n) обобщенной функции a(\sigma)f\in D'(\mathbb{R}^n\setminus N) и множество всех ее регуляризаций имеет вид Аналогичное теореме 4.3 утверждение имеет место для пространства \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n). Теорема 4.4. Если функция a(\sigma)\in C^\infty(\mathbb{R}^n\setminus N) удовлетворяет неравенствам (3.1) для всех \alpha\in \mathbb{Z}^n_+, |\alpha|\leqslant j, то для любой обобщенной функции f \in \mathcal{E}'^j(K), где K – компакт, K\cap N\neq \varnothing, существует регуляризация [af]_j обобщенной функции a(\sigma)f \in D'(\mathbb{R}^n\setminus N), принадлежащая пространству \mathcal{E}'^{j+q_j+1}(K'), где K' – компакт, зависящий от K, и справедливо неравенство
\begin{equation}
\|[af]_j\|_{\mathcal{E}'^{j+q_j+1}(K')}\leqslant C_j(K)\|f\|_{\mathcal{E}'^j(K)},
\end{equation}
\tag{4.7}
где C_j(K)>0 – число, зависящее от компакта K. Доказательство. Так как f\in \mathcal{E}'^j(K), то для любой функции \varphi\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^n) справедливо неравенство
\begin{equation}
|(f,\varphi)|\leqslant\|f\|_{\mathcal{E}'^j(K)}\sup_{|\alpha|\leqslant j,\,\sigma\in K}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|.
\end{equation}
\tag{4.8}
Из неравенства (3.11) следует, что af\in {\mathcal{E}^\infty_N}'^{j+q_j}(K'), где K' – некоторый компакт, построенный по K. Следовательно, по теореме 4.2 \tau^*_\infty(af)\in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n\setminus N) имеет продолжение до обобщенной функции из пространства \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n). Это продолжение [af]_j определяется равенством
\begin{equation}
([af]_j,\varphi)=(f, a\varphi^{j+q_j}_N), \qquad \varphi\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^n),
\end{equation}
\tag{4.9}
где \varphi^{j+q_j}_N\in C^{j+q_j}_N(\mathbb{R}^n) – функция, используемая в доказательстве теоремы 4.2.
Применив в равенстве (4.9) неравенства (4.7), (3.9) и (4.2), получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |([af]_j,\varphi)| &\leqslant \|f\|_{\mathcal{E}'^j(K)}\sup_{|\alpha|\leqslant j,\, \sigma\in K}|\partial^\alpha(a\varphi^{j+q_j}_N)(\sigma)| \\ &\leqslant C'_j(K)\|f\|_{\mathcal{E}'^j(K)}\sum_{|\alpha|\leqslant j+q_j}\sup_{\sigma\in K''}|\partial^\alpha\varphi^{j+q_j}_N(\sigma)| \\ & \leqslant C''_j(K)\|f\|_{\mathcal{E}'^j(K)}\sum_{|\alpha|\leqslant j+q_j+1}\sup_{\sigma\in K'}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно, [af]_j\in \mathcal{E}'^{j+q_j+1}(K') и неравенство (4.7) справедливо: Теорема доказана. Применив теорему 4.4 для функции a(\sigma)={1}/{P(\sigma)}, где P(\sigma) – многочлен, получим следующее утверждение. Следствие 4.2. Для любой обобщенной функции f \in \mathcal{E}'^p(K), где K – компакт, K\cap N\neq \varnothing, существует регуляризация [({1}/{P(\sigma)})f]_p обобщенной функции ({1}/{P(\sigma)})f \in D'(\mathbb{R}^n\setminus N), принадлежащая пространству \mathcal{E}'^{\varkappa_p}(K'), где K' – компакт, зависящий от K, \varkappa_p=[p(1+ |\varkappa|]+1, \varkappa – показатель степени в (3.14), и справедливо неравенство
\begin{equation}
\biggl\|\biggl[\frac{1}{P(\sigma)f}\biggr]_p \biggr\|_{\mathcal{E}'^{\varkappa_p}(K')}\leqslant C_p(K)\|f\|_{\mathcal{E}'^p(K)},
\end{equation}
\tag{4.10}
где C_p(K) – число, зависящее от компакта K. Справедливость утверждения следует непосредственно из теоремы 4.4, неравенств (3.14), (3.15). § 5. Применение регуляризации обобщенной функции в задаче о деленииВо многих задачах анализа возникает “потребность” умножить обобщенную функцию на функцию, имеющую особенности производных. Одной из таких задач является задача о делении обобщенной функции на многочлен. Рассмотрим уравнение где g\in D'(\mathbb{R}^n), а P(\sigma) – многочлен. Обозначим через N множество его вещественных нулей.Для построения решения уравнения (5.1) воспользуемся его свойством “локальности”: решения в окрестностях отдельных точек можно склеить с помощью разбиения единицы. В окрестности точки, где P(\sigma)\,{\neq}\, 0, решение уравнения (5.1) равно ({1}/{P(\sigma)})f. Построим решение уравнения (5.1) в окрестности произвольной неособой точки \sigma_0 многообразия N. Рассмотрим точку \sigma_0\in N, у которой существует окрестность U(\sigma_0) такая, что выполнено условие
\begin{equation}
U(\sigma_0)\cap N=\biggl\{\sigma\in U(\sigma_0)\colon \partial^\alpha P(\sigma)=0,\, |\alpha|\leqslant k-1, \, \sum_{|\alpha|=k}|\partial^\alpha P(\sigma_0)|\neq 0 \biggr\}.
\end{equation}
\tag{5.2}
Теорема 5.1. Если у точки \sigma_0\in N существует окрестность U(\sigma_0), удовлетворяющая условию (5.2) и множество U(\sigma_0)\cap N является гладким многообразием, то существует ее окрестность U'(\sigma_0) такая, что уравнение
\begin{equation}
P(\sigma)u=f, \qquad f\in \mathcal{E}'^p(K), \qquad K\Subset U'(\sigma_0),
\end{equation}
\tag{5.3}
имеет решение u \in \mathcal{E}'^{\varkappa_p}(K'), где \varkappa_p=[p(1+|\varkappa|)]+1,\varkappa – показатель степени в неравенстве (3.14), K' – компакт, построенный по компакту K, и справедливо неравенство
\begin{equation}
\|u\|_{\mathcal{E}'^{\varkappa_p}(K')}\leqslant C(K)\|f\|_{\mathcal{E}'^p(K)},
\end{equation}
\tag{5.4}
C(K)>0 – число, зависящее от компакта K. Доказательство. Пусть U – некоторая окрестность точки \sigma_0 \in N, выбор которой будет уточнен далее.
Решение уравнения (5.3) будем искать в виде где [({1}/{P(\sigma)})f] – регуляризация обобщенной функции ({1}/{P(\sigma)})f\in D'(U \setminus N).Существование этой регуляризации представлено в следствии 4.2. По построению [({1}/{P(\sigma)}) f ] \in \mathcal{E}'^{\varkappa_p}(K'), где K' – компакт, построенный по компакту K. Из неравенства (4.10) следует непрерывная зависимость [({1}/{P(\sigma)})f] от f. Чтобы функция u в (5.5) была решением уравнения (5.3), необходимо и достаточно, чтобы обобщенная функция v была решением уравнения
\begin{equation}
P(\sigma) v=g \equiv f - P(\sigma) \biggl[ \frac{1}{P(\sigma)} f \biggr].
\end{equation}
\tag{5.6}
Из построения регуляризации следует, что
\begin{equation*}
P(\sigma) \biggl[ \frac{1}{P(\sigma)} f\biggr] =P(\sigma) \frac{1}{P(\sigma)}f=f, \qquad \sigma \in U \setminus N.
\end{equation*}
\notag
Следовательно, \operatorname{supp}g \subset K'\cap N. Из равенства (5.6) следует, что g \in \mathcal{E}'^{\varkappa_p}(K'\cap N). Задача о разрешимости уравнения (5.3) сведена к задаче о разрешимости уравнения
\begin{equation}
P(\sigma)v=h, \qquad h \in \mathcal{E}'^s(K'\cap N), \qquad K' \Subset U.
\end{equation}
\tag{5.7}
Из условия следует, что существует аналитический диффеоморфизм \psi некоторой окрестности U' точки \sigma_0 на область V \subset R^n такой, что
\begin{equation*}
\psi(U'\cap N)=V\cap \bigl\{ (\eta', \eta'') \in R^{n_1+n_2}\colon \eta''=0\bigr\}\equiv W.
\end{equation*}
\notag
Без ограничения общности будем предполагать, что U'=U и \psi(\sigma_0)=0.
После “выпрямления” множества N в окрестности U уравнение (5.7) принимает вид
\begin{equation}
b(\eta)\widetilde{v}=\widetilde{h}, \qquad h \in \mathcal{E}'^s(\widetilde{K}), \qquad \widetilde{K} \Subset W,
\end{equation}
\tag{5.8}
где b(\eta)=P(\psi^{-1}(\eta)), b(\eta',0)=0, (\eta',0) \in W, \widetilde{K}=\psi(K'\cap N).
Так как функция b(\eta) аналитическая, то в окрестности точки \eta''=0 ее можно представить в виде ряда
\begin{equation*}
b(\eta)=\sum ^{\infty}_{|\alpha|=0}b_\alpha(\eta') \frac{\eta''^\alpha}{\alpha!}, \qquad \alpha\in Z^{n_2}_+,
\end{equation*}
\notag
где b_\alpha(\eta') – аналитические функции.
Из условия теоремы следует, что b_\alpha(\eta')=\partial_{\eta''}b(\eta', 0), (\eta', 0)\in W, \forall\,\alpha, |\alpha|\leqslant k-1, b_\alpha(\eta')=0 и \exists\,\gamma_0\in Z^n_+, |\gamma_0|=k, b_{\gamma_0}(0)\neq 0. Будем предполагать, что b_{\gamma_0}(\eta')\neq 0 для всех (\eta',0)\in W. Это можно обеспечить на этом выборе окрестности U за счет ее уменьшения. Из описания обобщенных функций с компактным носителем, сосредоточенных на линейном многообразии (см. [12; теорема 2.3.5]), следует равенство
\begin{equation*}
\widetilde{h}=\sum_{|\alpha|\leqslant q} h_\alpha\otimes \delta^\alpha_{\eta''}, \qquad h_\alpha \in \mathcal{E}'^{s-|\alpha|}(\widetilde{\widetilde{K}}), \qquad q\leqslant s, \qquad \widetilde{\widetilde{K}} \times \{\eta''=0\}=\widetilde{K}.
\end{equation*}
\notag
Решение уравнения (5.8) будем искать в таком же виде
\begin{equation*}
\widetilde{v}=\sum_{|\alpha|\leqslant r} v_\alpha\otimes \delta^\alpha_{\eta''}, \qquad v_\alpha \in \mathcal{E}'^{s-|\alpha|}(\widetilde{\widetilde{K}}), \qquad r\geqslant q.
\end{equation*}
\notag
Для любой функции \varphi \in C^\infty(V) должно выполняться равенство
\begin{equation*}
\sum_{|\alpha|\leqslant r}(v_\alpha,(-1)^{|\alpha|} \partial^\alpha_{\eta''}(b\varphi)(\eta',0) )=\sum_{|\beta|\leqslant q}(h_\beta,(-1)^{|\beta|} \partial^\beta_{\eta''} \varphi(\eta',0) ).
\end{equation*}
\notag
Пользуясь формулой Лейбница, это равенство можно записать в таком виде:
\begin{equation*}
\sum_{|\alpha|\leqslant r}(\omega_\alpha,(-1)^{|\alpha|} \partial^\alpha_{\eta''}\varphi(\eta',0) )=\sum_{|\alpha|\leqslant q}(h_\alpha,(-1)^{|\alpha|} \partial^\alpha_{\eta''} \varphi(\eta',0) ),
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \omega_\alpha=\sum_{\beta\leqslant r}(-1)^{|\beta|-|\alpha|}\varepsilon_{\beta-\alpha} \partial^{\beta-\alpha}_{\eta''}b(\eta',0)v_\beta, \\ \varepsilon_{\beta-\alpha}=\begin{cases} \dfrac{\beta!}{\alpha!\,(\beta-\alpha)!}, & \beta-\alpha \in Z_+, \\ 0, &\beta-\alpha \not\in Z_+. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
В силу произвольности выбора функции \varphi полученное равенство равносильно системе равенств
\begin{equation*}
\sum_{|\beta| \leqslant r}(-1)^{|\beta|-|\alpha|}\varepsilon_{\beta-\alpha}\,\partial^{\beta-\alpha}_{\eta''} b(\eta',0)v_\beta=\widehat{h}_\alpha, \qquad |\alpha|\leqslant r,
\end{equation*}
\notag
где \widehat{h}_\alpha=0, если |\alpha|>q, и \widehat{h}_\alpha=h, если |\alpha|\leqslant q.
Запишем эти равенства, сделав замену \beta-\alpha=\gamma и обозначив через b'_\gamma(\eta') производную (-1)^{|\gamma|} \partial^\gamma_{\eta''} b (\eta',0)\equiv (-1)^{|\gamma|} b_\gamma (\eta'):
\begin{equation}
\sum_{|\gamma|\leqslant r-|\alpha|}C^\alpha_{\gamma_\alpha} b'_\gamma(\eta')v_{\gamma+\alpha}=\widehat{h}_\alpha, \qquad |\alpha|\leqslant r.
\end{equation}
\tag{5.9}
Существование решения уравнения (5.8) указанного вида равносильно разрешимости системы линейных уравнений (5.9). Для описания схемы решения системы (5.9) введем во множество мультииндексов следующее отношение порядка:
\begin{equation*}
\alpha>\beta, \quad \text{если } \ |\alpha|>|\beta|, \qquad \alpha_i=\beta_i, \quad 1\leqslant i \leqslant m, \qquad \alpha_m>\beta_m.
\end{equation*}
\notag
Покажем, что система (5.9) имеет решение указанного вида, если r=q+k. Коэффициенты в уравнениях системы (5.9), соответствующие мультииндексам \alpha, удовлетворяющим неравенствам q<|\alpha|\leqslant r, тождественно равны нулю, так как |\gamma|\leqslant r-|\alpha|<k. Поэтому уравнения системы (5.9), соответствующие этим мультииндексам, являются тождествами. Рассмотрим уравнения системы (5.9), соответствующие мультииндексам, порядок которых q:
\begin{equation}
\sum_{|\gamma|=k}C^\alpha_{\gamma+\alpha}b'_\pi(\eta')v_{\gamma+\alpha}=h_\alpha, \qquad |\alpha|=q.
\end{equation}
\tag{5.10}
Расположим уравнения системы (5.10) и слагаемые в уравнениях в порядке “уменьшения” мультииндексов. По предположению b_\gamma(\eta')\equiv 0 для всех \gamma, |\gamma|< k. Без ограничения общности можно считать, что \gamma_0=(k,0,\dots, 0) и b_{\gamma_0}(\eta')\neq 0.
Рассмотрим схему нахождения решения системы (5.10). 1) В последнем уравнении значения всех неизвестных с индексами \gamma<\gamma_0+(0,\dots, 0, q)=(k,0,\dots,0,q) положим равными нулю, v_{(k,0,\dots,0,q)} определим из уравнения
\begin{equation*}
v_{(k,0,\dots,0,q)}=\frac{1}{C^{(0,\dots,0,q)}_{(k,0,\dots,0,q)}} \,\frac{}{b'^{(\gamma')}_{(k,0,\dots,0)}}h_{(0,\dots,0,q)}.
\end{equation*}
\notag
2) В предпоследнем уравнении подставим значения неизвестных, найденных на предыдущем этапе, остальные с индексами \gamma<(k,0,\dots, 0,1,q-1) выберем равными нулю, v_{(k,0,\dots,0,1,q-1)} определим из уравнения
\begin{equation*}
v_{(k,0,\dots,0,1,q-1)}=\frac{1}{C^{(0,\dots,0,1,q-1)}_{(k,0,\dots,0,1,q-1)}}\, \frac{}{b'^{(\gamma')}_{(k,0,\dots,0)}}\widehat{h}_{(0,\dots,0,1,q-1)},
\end{equation*}
\notag
где \widehat{h}_{(0,\dots,0,1,q-1)} отличается от h_{(0,\dots,0,1,q-1)} на уже определенные слагаемые вида b'_\gamma(\eta')v_{\gamma+\alpha}.
3) Переход к следующему уравнению аналогичен переходу от последнего уравнения к предпоследнему. Реализуемость указанной схемы для решения системы (5.10) следует из того, что неизвестное v_{\gamma_0+\alpha_0}, определяемое из уравнения, соответствующего мультииндексу \alpha_0, с помощью деления на функцию b'_{\gamma_o}(\eta'), не могло быть найдено таким же способом в силу единственности индекса с заданными свойствами слагаемых. Неизвестные v_{\gamma'+\alpha'}, значения которых выбраны равными нулю на предыдущем этапе, не могли на данном этапе находиться с помощью деления на функции b'_\gamma(\sigma). Пусть \gamma_0+\alpha_0=\gamma'+\alpha'. Если v_{\gamma'+\alpha'}\equiv 0 и \gamma'<\gamma_0, то \alpha'>\alpha_0, т.е. уравнения, соответствующего мультииндексу \alpha', не было на предыдущем этапе. Применив указанную схему, получим значения части неизвестных. Положив равными нулю значения остальных неизвестных, получим решение системы (5.10). Рассмотрим теперь уравнения системы (5.9), соответствующие мультииндексам, порядок которых равен q-1:
\begin{equation*}
\sum_{k\leqslant|\gamma|\leqslant k+1}C^\alpha_{\alpha+\gamma}b'_\gamma(\eta')v_{\gamma+\alpha}=h_\alpha, \qquad |\alpha|=q-1.
\end{equation*}
\notag
Подставив в эту систему значения неизвестных, найденные из уравнений, соответствующих мультииндексам, порядок которых равен q+k, получим систему, аналогичную системе (5.10):
\begin{equation}
\sum_{|\gamma|=k}C^\alpha_{\alpha+\gamma}b'_\gamma(\eta')v_{\gamma+\alpha}=\widehat{h}_\alpha, \qquad |\alpha|=q-1,
\end{equation}
\tag{5.11}
где \widehat{h}_\alpha=h_\alpha-\sum_{|\gamma|=k+1}C^\alpha_{\alpha+\gamma}b'_\gamma(\eta')v_{\gamma+\alpha}.
Применив указанную схему, найдем решение системы (5.11). Продолжая описанную процедуру для систем уравнений, соответствующих мультииндексам, порядок которых равен q-2, q-3, \dots, получим решения системы (5.9). При нахождении решения системы (5.9) использовались линейные операции над слагаемыми в уравнениях, умножение на аналитические функции, а также деление на аналитическую функцию b'_{\gamma_0}(\eta')\neq 0, (\eta',0)\in W. Следовательно, искомые неизвестные в системе (5.9) принадлежат пространствам \mathcal{E}'^p(\widetilde{\widetilde{K}}), где p зависит от s и порядка уравнения, из которого было найдено неизвестное. По построению h_\alpha\in \mathcal{E}'^{s-|\alpha|}(\widetilde{\widetilde{K}}). Из приведенной схемы следует, что обобщенные функции v_\alpha являются линейными комбинациями элементов h_\beta, |\beta|\geqslant |\alpha|-k, с коэффициентами, являющимися аналитическими функциями. Следовательно, v_\alpha\in \mathcal{E}'^{s-|\alpha|+k}(\widetilde{\widetilde{K}}) и справедливо неравенство
\begin{equation}
\|v_\alpha\|_{\mathcal{E}'^{s-|\alpha|+k}(\widetilde{\widetilde{K}})}\leqslant C_\alpha(\widetilde{\widetilde{K}})\sum^q_{|\beta|\geqslant |\alpha|-k}\|h_\beta\|_{\mathcal{E}'^{s-|\beta|}(\widetilde{\widetilde{K}})}.
\end{equation}
\tag{5.12}
Если
\begin{equation*}
\varphi(\eta')\in C^\infty(\mathbb{R}^{n_1}), \qquad \psi_\alpha(\eta'')\in C^\infty(\mathbb{R}^{n_2}), \qquad \partial^\beta_{\eta''}\psi_\alpha(0)=\delta_{\alpha\beta}=\begin{cases} 1, &\alpha=\beta, \\ 0, &\alpha\neq\beta, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
то справедливы неравенства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |(\upsilon_\alpha,\varphi)| &=\biggl|\sum^r_{|\beta|=0}(\upsilon_\beta,\varphi)\partial^\beta_{\eta''}\psi_\alpha(0)\biggr| =|(\widetilde{\upsilon},\varphi\psi_\alpha)| \\ &\leqslant\|\widetilde{\upsilon}\|_{\mathcal{E}'^{s+k}(\widetilde{K})}\sup_{\substack {\eta\in \widetilde{K} \\ |\nu|\leqslant s+k}}|\partial^\nu_\eta(\varphi\psi_\alpha)(\eta)| \\ &\leqslant C'_\alpha(\widetilde{K})\|\widetilde{\upsilon}\|_{\mathcal{E}'^{s+k}(\widetilde{K})} \sup_{\substack{\eta\in \widetilde{K} \\ |\nu|\leqslant s+k}}\sum_{\gamma<v}|\partial^{\nu-\gamma}_\eta\varphi(\eta')|\, |\partial^\gamma_\eta\psi_\alpha(\eta'')| \\ &\leqslant C''_\alpha(\widetilde{K})\|\widetilde{\upsilon}\|_{\mathcal{E}'^{s+k}(\widetilde{K})} \sup_{\substack{ \eta\in \widetilde{K} \\ |\beta|\leqslant s+k-|\alpha|}}\sum|\partial^\beta\varphi(\eta')|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
так как по построению
\begin{equation*}
|\partial^\gamma_\eta\psi_\alpha(a)|=\partial^{\gamma_1}_{\eta'} \partial^{\gamma_2}_{\eta''}\psi_\alpha(0)= \begin{cases} 0, & \text{если }\gamma_1\neq 0\text{ или }\gamma_2\neq\alpha, \\ 1, & \text{если } \gamma_1=0,\ \gamma_2=\alpha. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation}
\|\upsilon_\alpha\|_{\mathcal{E}'^{s+k-|\alpha|}(\widetilde{\widetilde{K}})}\leqslant C_\alpha(\widetilde{K})\|\widetilde{\upsilon}\|_{\mathcal{E}'^{s+k}(\widetilde{K})}.
\end{equation}
\tag{5.13}
Аналогично устанавливается неравенство
\begin{equation}
\|h_\beta\|_{\mathcal{E}'^{s-|\beta|}(\widetilde{\widetilde{K}})}\leqslant \widetilde{C}_\beta(\widetilde{K})\|\widetilde{h}\|_{\mathcal{E}'^s(\widetilde{K})}.
\end{equation}
\tag{5.14}
Из неравенств (5.12), (5.14) и структуры функции \widetilde{\upsilon} следует справедливость неравенств
\begin{equation}
\|\widetilde{\upsilon}\|_{\mathcal{E}'^{s+k}(\widetilde{K})}\leqslant C_1\sum^r_{|\alpha|=0}\|\upsilon_\alpha\|_{\mathcal{E}'^{s+k-|\alpha|}(\widetilde{\widetilde{K}})}\leqslant C_2\|\widetilde{h}\|_{\mathcal{E}'^s(\widetilde{K})}.
\end{equation}
\tag{5.15}
Из неравенства (5.15) следует, что решение \widetilde{\upsilon} уравнения (5.8) непрерывно зависит от \widetilde{h}.
Разрешимость уравнения (5.7) эквивалентна разрешимости уравнения (5.8). Из доказательства [7; теорема 6.1.2] следует, что выбранный диффеоморфизм \psi\colon U\to V порождает изоморфизм
\begin{equation*}
\psi*\colon \mathcal{E}'^s(\widetilde{K})\to\mathcal{E}'^s(K).
\end{equation*}
\notag
Следовательно, неравенства вида (5.15) справедливы для решения уравнения (5.7):
\begin{equation}
\|v\|_{{\mathcal{E}'^{s+k}(K)}}\leqslant C \|h\|_{\mathcal{E}'^s(K)}.
\end{equation}
\tag{5.16}
Применив полученный результат для решения уравнения (5.6), получим решение уравнения (5.3) вида (5.5). Из неравенств (4.10) и (5.16) следует справедливость неравенства (5.4). Теорема 5.1 доказана. Пользуясь теоремой 5.1 о локальной разрешимости уравнения (5.1) в окрестности неособой точки многообразия вещественных нулей N многочлена P(\sigma), можно построить глобальное решение этого уравнения с помощью разбиения единицы в случае, когда N не содержит особых точек. Теорема 5.2. Если N является гладким многообразием и все точки N удовлетворяют условию (5.2), то уравнение (5.1) имеет решение для любой обобщенной функции f\in D'^p(\mathbb{R}^n), принадлежащее пространству D'^{\varkappa_p}(\mathbb{R}^n), где \varkappa_p=[p(1+|\varkappa|)]+1, \varkappa – показатель степени в неравенстве (3.14). Доказательство. Для каждой точки \sigma \in N\subset \mathbb{R}^n по теореме 5.1 существует окрестность, в которой “локализованное” уравнение (5.1) разрешимо. Совокупность этих окрестностей вместе с множеством \mathbb{R}^n\setminus N является открытым покрытием \mathbb{R}^n. Пользуясь рассуждениями в [14; § 1.2], выберем локально конечное подпокрытие и построим разбиение единицы \{(\varphi_i,U_i), i \in N\}, подчиненное этому покрытию так, что компакты K_i=\operatorname{supp}\varphi_i удовлетворяют условию K'_i=K_i.
В каждом открытом множестве U_i рассмотрим уравнение Из леммы 2.3 следует, что \varphi_if \in \mathcal{E}'^p(K_i).Если U_i\cap N\neq \varnothing, то по теореме 5.1 существует решение уравнения (5.17) u_i \in \mathcal{E}'^{\varkappa_p}(K'_i), удовлетворяющее неравенству
\begin{equation}
\|u_i\|_{\mathcal{E}'^{\varkappa_p}(K_i)}\leqslant C_i(K_i)\|\varphi_if\|_{\mathcal{E}'^p(K_i)}.
\end{equation}
\tag{5.18}
Если U_i\cap N=\varnothing, то u_i=({1}/{P(\sigma)})\varphi_if \in \mathcal{E}'^p(K_i) и из неравенств (3.13) следует оценка
\begin{equation}
\|u_i\|_{\mathcal{E}'^p(K_i)}\leqslant C'_i(K_i)\|\varphi_if\|_{\mathcal{E}'^p(K)}.
\end{equation}
\tag{5.19}
Рассмотрим обобщенную функцию Так как для любого компакта K существует лишь конечное число слагаемых в (5.20), отличных от нуля, то линейная форма u корректна определена и для всякой функции \varphi \in D(\mathbb{R}^n), \operatorname{supp}\varphi\subset K, имеем равенство где k – некоторое число, зависящее от компакта K.Из равенства (5.21) и неравенств (5.18), (5.19) следуют неравенства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |(u,\varphi)| &\leqslant \sum^{k}_{j=1}|(u_{i_j},\varphi)|\leqslant C_1\sum^{k}_{j=1}\|u_{i_j}\|_{\mathcal{E}'^{\varkappa_p}(K_{i_j})}\sup_{\sigma \in K'_{ij}|\alpha|\leqslant \varkappa_p}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)| \\ &\leqslant C_2\sum^{k}_{j=1}\|\varphi_{i_j}f\|_{\mathcal{E}'^p(K_{i_j})}\sup_{\sigma \in K|\alpha|\leqq \varkappa_p}|\partial^\alpha\varphi(\sigma)|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно, u является обобщенной функцией, принадлежащей пространству D'^{\varkappa_p}(\mathbb{R}^n). Обобщенная функция u является решением уравнения (5.1): Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pav23}
Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|