Неравенства типа Бернштейна для производных рациональных функций в пространствах $L_p$ при $p<1$

В работе показано, что если $r$ – рациональная функция степени $n$, $0<p<1$, причем $1/p\notin\mathbb N$, и $r\in L_p(-1,1)$, то для любого $s\in\mathbb N$ выполняется неравенство
$$\begin{equation} \left(\int _{-1}^1|r^{(s)}(x)|^\sigma\,dx\right)^{1/\sigma} \leqslant cn^s\left(\int _{-1}^1|r(x)|^p\,dx\right )^{1/p}, \tag{1} \end{equation}$$
где $\sigma =(s+1/p)^{-1}$, а $c>0$ и зависит лишь от $p$ и $s$.
Задача о получении неравенства (1) поставлена Е. А. Севастьяновым в 1973 г. и была решена до настоящего времени для $1<p\leqslant\infty$. В случае $1/p\in\mathbb N$ это неравенство не выполняется. В работе даны также некоторые приложения (1) к задачам рациональной аппроксимации. Аналогичные вопросы рассматриваются для прямой и окружности.
Библиография: 10 названий.