Аннотация:
Пусть переменные в $R^{k+n}$ разбиты на две группы $x=(x',y)$, $x'\in R^k$, $y\in R^n$.
Рассматриваются дифференциальные операторы $p(x,D)$ с полиномиальными символами вида
$$
p(x,D)=\sum_{|\alpha|+|\beta|\leqslant m,\,|\gamma|\leqslant m\delta}a_{\alpha\beta\gamma}y^\gamma D_{x'}^\beta D_y^\alpha,\qquad(\xi,\eta)\in R^k\times R^n,
$$
где $\delta>0$. Предполагается, что символ $p(x,\xi,\eta)$ обладает свойством квазиоднородности:
$$
p\biggl(\frac y\lambda;\lambda^{1+\delta}\xi,\lambda\eta\biggr)=\lambda^mp(y;\xi,\eta)\quad\forall\lambda>0
$$
и $p(x,D)$ эллиптичен при $y\ne0$. Найдено необходимое и достаточное условие для гипоэллиптичности операторов этого класса, которое состоит в том, что уравнение $p(y;\xi,D_y)v(y)=0$, $\xi\ne0$, не должно иметь нетривиальных решений из $S(R_y^n)$. Так, например, оператор $\Delta_y^l+|y|^{2r}\Delta_{x'}^l$ гипоэллиптичен при любых целых $l>0$ и $r>0$, оператор $\Delta^2_y+|y|^4\Delta_{x'}^2+\lambda\Delta_{x'}$ гипоэллиптичен тогда и только тогда, когда $\lambda$ не является собственным числом для оператора $\Delta^2_y+|y|^4$ в $L_2(R_y^n)$. Частично эти результаты распространяются на операторы с переменными коэффициентами и псевдодифференциальные операторы.
Библиография: 22 названия.
Образец цитирования:
В. В. Грушин, “Об одном классе гипоэллиптических операторов”, Матем. сб., 83(125):3(11) (1970), 456–473; V. V. Grushin, “On a class of hypoelliptic operators”, Math. USSR-Sb., 12:3 (1970), 458–476
Эта публикация цитируется в следующих 103 статьяx:
Min Liu, Rui Sun, “Non-degeneracy of bubbling solutions and applications for a critical Grushin-type problem”, CPAA, 24:5 (2025), 773
Olivier Druet, Emmanuel Hebey, “Extremal functions for twisted sharp Sobolev inequalities with lower order remainder terms”, Nonlinear Analysis, 255 (2025), 113758
Hua Chen, Xin Liao, “Liouville theorem for Lane-Emden equation of Baouendi-Grushin operators”, Journal of Differential Equations, 430 (2025), 113201
Claudianor Oliveira Alves, Angelo Roncalli Furtado de Holanda, “Existence of the solution for a class of the semilinear degenerate elliptic equation involving the Grushin operator in R2$\mathbb {R}^2$: The interaction between Grushin's critical exponent and exponential growth”, Mathematische Nachrichten, 297:3 (2024), 861
Antonio Bove, “Analytic and Gevrey regularity for certain sums of two squares in two variables”, Tohoku Math. J. (2), 76:1 (2024)
Claudianor O. Alves, Somnath Gandal, Annunziata Loiudice, Jagmohan Tyagi, “A Brézis–Nirenberg Type Problem for a Class of Degenerate Elliptic Problems Involving the Grushin Operator”, J Geom Anal, 34:2 (2024)
Luiz C. B. da Silva, Rafael López, “Catenaries in Riemannian surfaces”, São Paulo J. Math. Sci., 2024
Hairong Liu, Xiaoping Yang, “Strong unique continuation property for fourth order Baouendi-Grushin type subelliptic operators with strongly singular potential”, Journal of Differential Equations, 385 (2024), 57
Hua Chen, Xin Liao, Ming Zhang, “Dirichlet problem for a class of nonlinear degenerate elliptic operators with critical growth and logarithmic perturbation”, Calc. Var., 63:5 (2024)
Г. Г. Казарян, “Коэрцитивные оценки для многослойно-вырождающихся дифференциальных операторов”, Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы
математического образования, СМФН, 70, № 1, Российский университет дружбы народов, М., 2024, 99–120
Claudianor O. Alves, Angelo R. F. de Holanda, “A Berestycki–Lions type result for a class of degenerate elliptic problems involving the Grushin operator”, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics, 153:4 (2023), 1244
Ji Zheng Huang, Xin Xin Yang, “P-Laplace Equation for the Grushin Type Operator”, Acta. Math. Sin.-English Ser., 39:5 (2023), 923
Г. Г. Казарян, В. Н. Маргарян, “Об одном классе вырождающихся гипоэллиптических многочленов”, Тр. ММО, 83, № 1, МЦНМО, М., 2022, 181–217
Setsuo TANIGUCHI, “ON THE TRANSITION DENSITY FUNCTION OF THE DIFFUSION PROCESS GENERATED BY THE GRUSHIN OPERATOR”, Kyushu J. Math., 76:1 (2022), 187
Cyprien Tamekue, “Null Controllability of the Parabolic Spherical Grushin Equation”, ESAIM: COCV, 28 (2022), 70
Jingbo Dou, Liming Sun, Lei Wang, Meijun Zhu, “Divergent operator with degeneracy and related sharp inequalities”, Journal of Functional Analysis, 282:2 (2022), 109294
Valentina Casarino, Paolo Ciatti, Alessio Martini, “Weighted Spectral Cluster Bounds and a Sharp Multiplier Theorem for Ultraspherical Grushin Operators”, International Mathematics Research Notices, 2022:12 (2022), 9209
Ahmed Alsaedi, Vicenţiu D. Rădulescu, Bashir Ahmad, “Bifurcation analysis for degenerate problems with mixed regime and absorption”, Bull. Math. Sci., 11:01 (2021), 2050017
Hairong Liu, Xiaoping Yang, “Critical points and level sets of Grushin-Harmonic functions in the plane”, JAMA, 143:2 (2021), 435
M. D'Abbicco, K. Fujiwara, “A test function method for evolution equations with fractional powers of the Laplace operator”, Nonlinear Analysis, 202 (2021), 112114