| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Краткие сообщения О сходимости рациональных аппроксимаций Эрмита–Паде С. П. Суетин Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10144e 
Реферативные базы данных:
     1.Пусть функция f задана степенным рядом в бесконечно удаленной точке z=∞: Если известны N первых коэффициентов c0,…,cN−1 ряда (1), то на их основе можно определить несколько конструктивных аппроксимаций исходной функции f (см. [10]; “конструктивность” понимается здесь в том смысле, как это сформулировано в [2; § 2]). Естественно поставить вопрос об оптимальности таких аппроксимаций. В дальнейшем предполагается, что N=2n+1=3m+1=4ℓ+1, где n,m,ℓ∈N. Это условие не связано с существом дела, а носит чисто технический характер (см. (2)–(4)).Наиболее известные, востребованные и исследованные конструктивные аппроксимации степенного ряда – это аппроксимации Паде (АП) [n/n]f=Pn/Qn, где полиномы Pn,Qn≢0, degPn,degQn⩽, определяются из соотношения Сходимость АП в классе многозначных аналитических функций с конечным числом особых точек вытекает из теории Шталя 1985–1986 гг. [7]. Вместе с тем существуют и другие способы конструктивной аппроксимации степенного ряда (1) по заданному набору из N его первых коэффициентов, которые не так известны, как АП. Здесь мы обсудим рациональные аппроксимации, построенные по полиномам Эрмита–Паде 2-го типа для систем f, f^2 и f, f^2, f^3. Оказывается, с точки зрения оптимального использования N коэффициентов ряда (1) рациональные аппроксимации Эрмита–Паде имеют определенные преимущества перед АП (см. (10), а также [4], [3]). Сходимость таких аппроксимаций исследована пока только для частных случаев (см. [1], [6], [5], [4]). В работе [3] представлены некоторые численные результаты, связанные с уравнением Ван дер Поля. Эти результаты показывают, что использование полиномов Эрмита–Паде для систем f, f^2 и f, f^2, f^3 существенно расширяет возможности численного анализа свойств функции f на основе коэффициентов ряда (1). В частности, таким образом можно распознать квадратичные точки ветвления функции, заданной рядом (см. [9]). Цель настоящей работы – представить теоретические результаты, показывающие, что рациональные аппроксимации Эрмита–Паде оказываются более оптимальными, чем АП.Для системы f, f^2 определим полиномы Эрмита–Паде P^{(2)}_{2m,0}\not\equiv 0, P^{(2)}_{2m,1}, P^{(2)}_{2m,2}, \deg{P^{(2)}_{2m,j}}\leqslant 2m, из соотношений
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} (P^{(2)}_{2m,0}f-P^{(2)}_{2m,1})(z)&=O(z^{-m-1}),&\qquad z&\to\infty, \\ (P^{(2)}_{2m,0}f^2-P^{(2)}_{2m,2})(z)&=O(z^{-m-1}),&\qquad z&\to\infty. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3}
Аналогично для системы f, f^2, f^3 определим полиномы Эрмита–Паде P^{(3)}_{3\ell,0}\not\equiv0, P^{(3)}_{3\ell,1}, P^{(3)}_{3\ell,2}, P^{(3)}_{3\ell,3}, \deg{P^{(3)}_{3\ell,j}}\leqslant 3\ell, из соотношений
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} (P^{(3)}_{3\ell,0}f-P^{(3)}_{3\ell,1})(z)&=O(z^{-\ell-1}),&\qquad z&\to\infty, \\ (P^{(3)}_{3\ell,0}f^2-P^{(3)}_{3\ell,2})(z)&=O(z^{-\ell-1}),&\qquad z&\to\infty, \\ (P^{(3)}_{3\ell,0}f^3-P^{(3)}_{3\ell,3})(z)&=O(z^{-\ell-1}),&\qquad z&\to\infty. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4}
2.Пусть функция f\in\mathcal{H}(\infty) задана явным представлением: f(z):=[(A-1/{\varphi(z)})\times(B-1/{\varphi(z)})]^{-1/2}, z\notin E:=[-1,1], где 1<A<B, \varphi(z)=z+(z^2-1)^{1/2} и выбрана такая ветвь функции (\,\cdot\,)^{1/2}, что \varphi(z)\sim 2z при z\to\infty. Класс таких функций обозначим через \mathcal Z(E). Функция f – алгебраическая функция 4-го порядка с четырьмя точками ветвления \pm1, a, b, где a=(A+1/A)/2, b=(B+1/B)/2, 1<a<b. Все точки ветвления f – 2-го порядка. В [8] показано, что f, f^2, f^3 – система Никишина:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, f(z)=(AB)^{-1/2}+\widehat{\sigma}(z),\qquad f^2(z)=(AB)^{-1}+(AB)^{-1/2}\,\widehat{\sigma}(z)+\widehat{s}_1(z), \\ f^3(z)=(AB)^{-3/2}+(AB)^{-1}\,\widehat{\sigma}(z)+(AB)^{-1/2}\,\widehat{s}_1(z)+ \widehat{s}_2(z), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5}
где \operatorname{supp}\sigma=\operatorname{supp}{s}_1= \operatorname{supp}{s}_2=E, \operatorname{supp}{\sigma}_2=F:=[a,b], s_1:=\langle\sigma,\sigma_2\rangle, s_2:=\langle\sigma,\sigma_2,\sigma\rangle. Обозначим через M_1(F) класс всех единичных (борелевских) мер с носителем на F. Пусть g_E(t,z) – функция Грина для области D:=\widehat{\mathbb{C}}\setminus{E} с особенностью в точке t=z, и пусть V^\mu(z) – логарифмический, а G^\mu_E(z) – гринов потенциалы меры \mu\in M_1(F):
\begin{equation}
V^\mu(z):=\int\log\frac{1}{|t-z|}\,d\mu(t),\quad G^\mu_E(z):=\int g_E(t,z)\,d\mu(t),\qquad z\in\widehat{\mathbb{C}}\setminus{F}.
\end{equation}
\tag{6}
Для любого \theta\in(0,\infty) существует [6] единственная мера \lambda=\lambda(\theta)\in M_1(F) такая, что выполняется условие равновесия \theta V^\lambda(x)+G^\lambda_E(x)+ \theta g_E(x,\infty)\equiv\operatorname{const}, x\in F. Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Пусть f\in\mathcal Z(E). Тогда при N\to\infty равномерно внутри D Из теоремы Шталя вытекает, что
\begin{equation}
\lim_{N\to\infty}|f(z)-[n/n]_f(z)|^{1/N}=\exp\{-g_E(z,\infty)\}=:\delta_1(z).
\end{equation}
\tag{9}
Можно показать, что G^{\lambda(1)}_E(z)>2G^{\lambda(3)}_E(z)/3, z\in D. Из (9), (7) и (8) получаем, что
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sue23}
Эта публикация цитируется в следующих 4 статьяx:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|