Оценка сумм Клоостермана с простыми числами и применение

Пусть $p$ – большое простое число. В работе доказывается, что для любого натурального числа $N<p$ имеет место оценка
$$\max_{(a,p)=1}\biggl|\sum_{q\le N}e^{2\pi iaq^*/p}\biggr|\le(N^{15/16}+N^{2/3}p^{1/4})p^{o(1)},$$
где $q$ обозначает простое число, а $q^*$ обозначает наименьшее натуральное число такое, что $qq^*\equiv1\,(\operatorname{mod}p)$. Следствием этой оценки является следующее утверждение: если $p>N>p^{16/17+\varepsilon}$, где $\varepsilon>0$, и если $\lambda\not\equiv0\,(\operatorname{mod}p)$, то число $J$ решений сравнения
$$q_1(q_2+q_3)\equiv\lambda\quad(\operatorname{mod}p)$$
в простых числах $q_1,q_2,q_3\le N$ может быть представлено в виде
$$J=\frac{\pi(N)^3}p(1+O(p^{-\delta})),\qquad \delta=\delta(\varepsilon)>0.$$
Оно улучшает недавний результат Фридландера, Курлберга и Шпарлинского, в котором требовалось условие $p>N>p^{38/39+\varepsilon}$.
Библиография: 11 названий.