Б. С. Кашин, А. В. Мелешкина, “Об абсолютной сходимости рядов Фурье функций двух переменных из пространства $C^{1,\omega}$”, Матем. заметки, 114:4 (2023), 633–636; Math. Notes, 114:4 (2023), 635

Пусть

$T^2=(-\pi,\pi)^2$ – двумерный тор,

$x=(x_1,x_2)\in T^2$ и для функции

$f(x)$ из пространства

$L^1(T^2)$

Пусть

$A$ – пространство функций на

$T^2$ , для которых имеет место (2). Ясно, что сумма ряда (2) задает норму на

$A$ . Классические результаты Бохнера [1] и Вейнгера [2], распространившие на кратный случай одномерные теоремы Бернштейна, применительно к функциям двух переменных утверждают, что

$C^{1+\varepsilon}\subset A$ ,

$C^{1}\not\subset A$ . Здесь

$C^{1}$ – пространство непрерывных на

$T^2$ функций, имеющих непрерывные частные производные первого порядка.

Мы рассматриваем более узкие, чем

$C^{1}$ , пространства

$C^{1,\omega}$ , где

$\omega(\delta)$ ,

$\delta\in\mathbb{R}_{+}$ , – некоторый модуль непрерывности, с нормой

При

$\omega(\delta)=\delta^{\varepsilon}$ ,

$0<\varepsilon<1$ , пространство

$C^{1,\omega}$ совпадает с

$C^{1+\varepsilon}$ . В одномерном случае вероятностные методы построения достаточно гладких функций с рядом Фурье не сходящимся абсолютно были разработаны Бочкаревым [3]. Для функций четного числа переменных вероятностный подход требует некоторой модификации. Вероятностное доказательство результата Вейнгера было предложено в [4]. Ниже с использованием простых вероятностных соображений мы уточняем результат Вейнгера и показываем, что имеет место

Доказательство. Пусть

$\widetilde{\psi}(x)$ ,

$x\in\mathbb{R}^1$ , – bump-функция класса

$C^{\infty}$ с носителем

$(-\pi,\pi)$ , например,

$\begin{equation*} \widetilde{\psi}(x)=\begin{cases} \exp\biggl(-\dfrac{1}{1-(x/\pi)^2}\biggr), & |x|<\pi, \\ 0, & |x|\geqslant\pi, \end{cases} \end{equation*} \notag$

и для

$x=(x_1,x_2)\in T^2$ пусть

$\psi(x)=\widetilde{\psi}(x_1)\cdot\widetilde{\psi}(x_2)$ . Для квадрата

$\begin{equation} \Delta\subset T^2, \qquad \Delta=[x_1,x_1+\rho]\times[x_2,x_2+\rho] \end{equation} \tag{4}$

через

$\psi_{\Delta}$ обозначим преобразованную с помощью сдвига и сжатия носителя функцию

$\psi$ такую, что носитель

$\psi_{\Delta}$ – внутренность квадрата

$\Delta$ . Несложно проверить, что для квадрата

$\Delta$ вида (4)

$\begin{equation} \|\psi_{\Delta}\|_{C^{1,\omega}} \leqslant \frac{C}{\rho\cdot\omega(\rho)}. \end{equation} \tag{5}$

Определим для

$\eta>0$ , заданного по условиям теоремы 1, последовательность

$\begin{equation} \rho_k=\frac{\alpha}{k^{1/2}(\log{3k})^{1/2+\varepsilon}}, \qquad k=1,2,\dots, \quad 0<\varepsilon<\eta, \end{equation} \tag{6}$

где абсолютная постоянная

$\alpha>0$ настолько мала, что

$T^2$ содержит совокупность непересекающихся квадратов

$\Delta_k$ со стороной

$\rho_k$ суммарной площади

$\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty}|\Delta_k|=\sum_{k=1}^{\infty}\rho^2_k<\frac{1}{10}. \end{equation*} \notag$

Легко понять, учитывая регулярность убывания чисел

$\rho_k$ ,

$k=1,2,\dots$ , что квадраты

$\Delta_k$ можно последовательно укладывать в полосы

$\begin{equation*} \Lambda_s=\{a_s<x_1<a_{s+1},\, x_2\in(-\pi,\pi)\},\qquad s=1,2,\dots, \end{equation*} \notag$

где

$0\leqslant a_1<a_2<\cdots$ ,

$\lim_{s\to\infty}a_s=A<\pi$ , заполняя при этом более половины площади каждой полосы.

Считая модуль непрерывности $\omega(\delta)$ (т.е. число $\eta>0$ ) фиксированным, рассмотрим функцию на $T^2$ , зависящую от случайного параметра $t$ :

$\begin{equation} f_t(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\rho_k\omega(\rho_k)}{\log\log{10 k}} r_k(t)\psi_{\Delta_k}(x), \end{equation} \tag{7}$

где

$r_k(t)$ ,

$t\in(0,1)$ ,

$k=1,2,\dots$ , – функции Радемахера (см. [5]). Так как квадраты

$\Delta_k$ не пересекаются, то из (5), (7) легко следует, что для любого

$t\in(0,1)$ частные суммы ряда (7) образуют фундаментальную последовательность в пространстве

$C^{1,\omega}$ , а значит,

$f_t(x)\in C^{1,\omega}$ . Оценим коэффициенты Фурье функции

$f_t(x)$ . В [4] уже использовался тот факт, что при

$k\geqslant k_0$

$\begin{equation} |c_n(\psi_{\Delta_k}(x))|>c\rho_k^2,\qquad \text{если}\quad n=(n_1,n_2), \quad \frac{\beta}{2\rho_k}\leqslant|n_1|\leqslant\frac{\beta}{\rho_k}, \qquad \frac{\beta}{2\rho_k}\leqslant|n_2|\leqslant\frac{\beta}{\rho_k}, \end{equation} \tag{8}$

где

$c>0$ ,

$\beta>0$ – абсолютные постоянные,

Если точка $n=(n_1,n_2)\in\mathbb{Z}^2$ , $n\ne 0$ , фиксирована и лежит в достаточно малом угле с‘биссектрисой, совпадающей с одной из биссектрисс координатных углов, то соотношение (8) выполняется для таких $k$ , что

$\begin{equation} \frac{\beta'}{|n_1|}\leqslant\frac{1}{k^{1/2}(\log{3k})^{1/2+\varepsilon}} \leqslant\frac{\beta''}{|n_1|}, \end{equation} \tag{9}$

где

$0<\beta'\leqslant\beta''$ – абсолютные постоянные.

Нетрудно проверить, что соотношению (9) удовлетворяют номера $k$ , для которых

$\begin{equation} \frac{\gamma'n_1^2}{(\log{3|n_1|})^{1+2\varepsilon}}\leqslant k \leqslant \frac{\gamma''n_1^2}{(\log{3|n_1|})^{1+2\varepsilon}}, \end{equation} \tag{10}$

где

$0<\gamma'\leqslant\gamma''$ – абсолютные постоянные.

Пусть область $\Gamma$ в $\mathbb{R}^2$ образована малыми углами вокруг биссектрисс координатных углов. При помощи классической нижней оценки для $L^1$ нормы полиномов по системе Радемахера (см. [5; теорема 2.7]) и оценки (8) (см. также (10)) для $n\in \Gamma$ в среднем по $t$ коэффициент Фурье функции $f_t(x)$ с номером $n$ для достаточно больших $|n|$ может быть оценен снизу следующим образом:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_0^1|c_n(f_t)|\,dt&\geqslant\frac{c}{|n_1|^2}\cdot \frac{1}{|n_1|}\cdot\frac{1}{(\log{c'|n_1|})^{1/2-\eta}\log\log{|n_1|}} \cdot\frac{|n_1|}{(\log{3|n_1|})^{1/2+\varepsilon}} \\ &\geqslant \frac{c''}{n_1^2(\log{3|n_1|})^{1+\varepsilon-\eta}\log\log{|n_1|}}, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$c$ ,

$c'$ ,

$c''$ – положительные абсолютные постоянные.

Представим $\Gamma$ в виде

$\begin{equation*} \Gamma=\bigcup_{s=0}^{s+1}\Gamma_s, \qquad\text{где}\quad \Gamma_s=\{n\in\Gamma\colon |n|\in[2^s, 2^{s+1})\}. \end{equation*} \notag$

Тогда для всех достаточно больших

$s$

$\begin{equation*} \int_0^1\sum_{n\in\Gamma_s}|c_n(f_t)|\,dt\geqslant \frac{c\cdot2^{2s}} {2^{2s}(\log{3\cdot 2^{s+1}})^{1+\varepsilon-\eta}\log{s}}, \end{equation*} \notag$

откуда с учетом выбора числа

$\varepsilon$ вытекает, что

$\begin{equation*} \int_0^1\|f_t\|_A\,dt \geqslant \sum_{s=s_0}^{\infty}\frac{1}{s^{1+\varepsilon-\eta}\log{s}}=\infty. \end{equation*} \notag$

Из последнего соотношения непосредственно вытекает утверждение теоремы 1.

Что касается достаточных условий на модуль непрерывности

$\omega(\delta)$ , гарантирующих выполнение

$C^{1,\omega} \subset A$ , то из результатов работы Тимана [6] следует в двумерном случае

Естественно возникает вопрос об окончательных условиях на модуль неперывности

$\omega(\delta)$ , гарантирующих вложение

$C^{1,\omega} \subset A$ .

Авторы благодарят И. Р. Лифлянда и В. Н. Темлякова за полезные обсуждения.

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{KasMel23}

\by Б.~С.~Кашин, А.~В.~Мелешкина

\paper Об абсолютной сходимости рядов Фурье функций двух переменных

из пространства~$C^{1,\omega}$

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 114

\issue 4

\pages 633--636

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm14089}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm14089}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4658807}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2023

\vol 114

\issue 4

\pages 635--638

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623090328}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001089580100027}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85174575625}

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ