В. И. Иванов, “Недеформированное обобщенное преобразование Данкля на прямой”, Матем. заметки, 114:4 (2023), 509–524; Math. Notes, 114:4 (2023), 443

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

Математические заметки

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математические заметки, 2023, том 114, выпуск 4, страницы 509–524
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm14021 (Mi mzm14021)

Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях)

Недеформированное обобщенное преобразование Данкля на прямой

В. И. Иванов^abc

^a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
^b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
^c Тульский государственный университет

PDF полного текста (626 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (4)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm14021

Аннотация: Обобщением преобразования Данкля может служить

$(k,a)$ -обобщенное преобразование Фурье, но оно деформирует хорошие классы функций, например, пространство Шварца. В работе изучается недеформированное обобщенное преобразование Данкля на прямой. Определены два оператора обобщенного сдвига. Для них получены интегральные представления и доказана

$L_p$ -ограниченность. Определены две свертки, для которых установлена теорема Юнга. В качестве приложения изучены условия

$L_p$ -сходимости обобщенных средних.
Библиография: 20 названий.

Ключевые слова: обобщенное преобразование Фурье, обобщенное преобразование Данкля, операторы обобщенного сдвига, свертки и обобщенные средние.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	23-71-30001
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 23-71-30001) в МГУ им. М. В. Ломоносова.

Поступило: 01.05.2023

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 4, Pages 443–456
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090171

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 517.5

MSC: 42A38

1. Введение

Пусть $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ – пространство Шварца бесконечно дифференцируемых на $\mathbb{R}$ и быстро убывающих на бесконечности функций, $J_{\alpha}(x)$ – функция Бесселя первого рода порядка $\alpha\geqslant -1/2$ , $j_{\alpha}(x)= 2^{\alpha}\Gamma(\alpha+1)x^{-\alpha}J_{\alpha}(x)$ – нормированная функция Бесселя, $(\alpha)_n=\Gamma(\alpha+n)/\Gamma(\alpha)= \alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+n-1)$ – символ Похгаммера.

Одномерное унитарное преобразование Данкля (см. [1], [2]) имеет вид

$\begin{equation*} \mathcal{F}_k(f)(y)=c_k\int_{\mathbb{R}}f(x)E_k(-xy)|x|^{2k}\,dx, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} k\geqslant 0, \qquad c_k^{-1}=2^{k+1/2}\Gamma\biggl(k+\frac{1}{2}\biggr), \quad E_k(x)=j_{k-1/2}(x)+\frac{ix}{2k+1}j_{k+1/2}(x). \end{equation*} \notag$

Классическое преобразование Фурье получается при $k=0$ . В 2012 г. Бен Саид, Кобаяши и Орстед [3] предложили двупараметрическое $(k,a)$ -обобщенное унитарное преобразование Фурье, которое в одномерном случае имеет вид

$\begin{equation} \mathcal{F}_{k,a}(f)(y)= c_{k,a}\int_{\mathbb{R}}b_{k,a}(xy)f(x)|x|^{2k+a-2}\,dx,\qquad a>0, \quad 2k+a-1>0, \end{equation} \tag{1.1}$

где

$\lambda=(2k-1)/a$ ,

$c_{k,a}^{-1}=2a^{\lambda}\Gamma(\lambda+1)$ ,

$\begin{equation*} b_{k,a}(x)=j_{\lambda}\biggl(\frac{2}{a}\,|x|^{a/2}\biggr)+ \frac{\Gamma(\lambda+1)}{\Gamma(\lambda+1+2/a)}\, \frac{x}{(ai)^{2/a}}\, j_{\lambda+2/a} \biggl(\frac{2}{a}\,|x|^{a/2}\biggr). \end{equation*} \notag$

Преобразование Данкля получается при $a=2$ . Но если для преобразования Данкля $\mathcal{F}_k(\mathcal{S}(\mathbb{R}))=\mathcal{S}(\mathbb{R})$ , то обобщенное преобразование Фурье при $a\ne 2$ деформирует хорошие классы функций. Например, $\mathcal{F}_{k,a}(\mathcal{S}(\mathbb{R}))=\mathcal{S}(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда $a=2$ . Более точно, множество $\mathcal{F}_{k,a}(\mathcal{S}(\mathbb{R}))\subset C^{\infty}(\mathbb{R})$ , если только $a=2n$ . Оно состоит из быстро убывающих на бесконечности функций, если только $a=2/n$ , $n\in\mathbb{N}$ . Если $a$ иррациональное, то для любой нетривиальной $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ выполнено $\mathcal{F}_{k,a}(f)\not\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ [4]. Поэтому обобщенное преобразование Фурье не является в полной мере недеформированным обобщением преобразования Данкля.

Пусть $\lambda\geqslant -1/2$ , $d\nu_{\lambda}(x)= (2^{\lambda+1}\Gamma(\lambda+1))^{-1}|x|^{2\lambda+1}\,dx$ – мера на $\mathbb{R}$ , $1\leqslant p\leqslant \infty$ , $L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ – лебегово пространство измеримых комплекснозначных функций с конечной нормой

$\begin{equation*} \|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}=\biggl(\int_{\mathbb{R}} |f(x)|^p\,d\nu_{\lambda}(x)\biggr)^{1/p},\quad 1\leqslant p<\infty,\qquad \|f\|_{\infty}=\operatorname*{vrai\,sup}_{\mathbb{R}}|f(x)|,\quad p=\infty, \end{equation*} \notag$

$C_b(\mathbb{R})$ – подмножество

$L_{\infty}(\mathbb{R})$ непрерывных функций,

$C_0(\mathbb{R})$ – подмножество

$C_b(\mathbb{R})$ бесконечно малых на бесконечности функций,

$C_K(\mathbb{R})$ – подмножество

$C_0(\mathbb{R})$ функций с компактным носителем.

В [4], отправляясь от преобразования (1.1) при $a=2/(2r+1)$ , с помощью замены переменной получено двупараметрическое семейство недеформированных унитарных преобразований

$\begin{equation} \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(x)= \int_{\mathbb{R}}f(x)e_{r,\lambda}(-xy)\,d\nu_{\lambda}(x), \end{equation} \tag{1.2}$

где

$\lambda\geqslant -1/2$ ,

$r\in\mathbb{Z}_+$ ,

$\begin{equation} e_{r,\lambda}(x)=j_{\lambda}(x)+i(-1)^{r} \frac{x^{2r+1}}{2^{2r+1}(\lambda+1)_{2r+1}}j_{\lambda+2r+1}(x). \end{equation} \tag{1.3}$

Назовем (1.2) $(r,\lambda)$ -обобщенным преобразованием Данкля. Преобразование Данкля получаем при $r=0$ , $\lambda=k-1/2$ . Ядро преобразования (1.2) является ограниченной целой функцией экспоненциального типа по каждой переменной и справедливо вложение $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\mathcal{S}(\mathbb{R}))\subset C^{\infty}(\mathbb{R})$ , но преобразование $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)$ для $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ , к сожалению, может не иметь быстрого убывания на бесконечности. Точное описание инвариантного для преобразования $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}$ подпространства бесконечно дифференцируемых функций выглядит следующим образом [4]. Пусть

$\begin{equation*} \mathcal{S}_{0}(\mathbb{R})=\mathcal{S}(\mathbb{R}),\qquad \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})=\bigl\{f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})\colon f^{(2s+1)}(0)=0,\, s=0,1,\dots,n-1\bigr\},\qquad n\geqslant 1. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\begin{equation*} \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R}))= \mathcal{S}_{r}(\mathbb{R}). \end{equation*} \notag$

Таким образом, преобразование (1.2) при

$r\geqslant 1$ имеет свои особенности.

В настоящей работе в п. 2 приводятся некоторые свойства обобщенного преобразования Данкля. В п. 3 определены два оператора обобщенного сдвига. Опираясь на новую теорему умножения для нормированных функций Бесселя [5], для них получены интегральные представления и доказана $L_p$ -ограниченность. С помощью операторов обобщенного сдвига определены две свертки, и для них доказана теорема Юнга. В пп. 4, 5 с помощью сверток определяются обобщенные средние и исследуется их $L_p$ -сходимость.

2. Некоторые свойства обобщенного преобразования Данкля

Пусть $\{P_n^{(\alpha)}(t)\}_{n=0}^{\infty}$ – многочлены Гегенбауэра, ортогональные на отрезке $[-1,1]$ с весом $(1-t^2)^{\alpha}$ , $\alpha>-1$ , и нормированные условием $P_n^{(\alpha)}(1)=1$ ,

$\begin{equation} d_{n,\alpha}=\max_{[-1,1]}|P_n^{(\alpha)}(t)|. \end{equation} \tag{2.1}$

При

$\alpha\geqslant -1/2$ ,

$d_{n,\alpha}=1$ (см. [4]). С многочленами Гегенбауэра

$C_n^{\lambda}(t)$ , ортогональными с весом

$(1-t^2)^{\lambda-1/2}$ (см. [6; гл. X, 10.9]), многочлены

$P_n^{(\alpha)}(t)$ связаны соотношением

$\begin{equation} \frac{1}{\lambda}\,C_n^{\lambda}(t)= \frac{2\Gamma(2\lambda+n)}{n!\,\Gamma(2\lambda+1)}\, P_n^{(\lambda-1/2)}(t),\qquad \lambda>-\frac{1}{2}\,. \end{equation} \tag{2.2}$

Пусть $\lambda> -1/2$ , $dm_{\lambda}(t)=c_{\lambda}(1-t^2)^{\lambda-1/2}\,dt$ – вероятностная мера на отрезке $[-1,1]$ ,

$\begin{equation} c_{\lambda}^{-1}=\int_{-1}^{1}(1-t^2)^{\lambda-1/2}\,dt= \frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma(\lambda+1/2)}{\Gamma(\lambda+1)}\,. \end{equation} \tag{2.3}$

Приведем некоторые свойства преобразования $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}$ , $\lambda\geqslant -1/2$ , $r\geqslant 0$ , из [4].

Для ядра преобразования $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}$ при $\lambda\geqslant -1/2$ выполняется оценка

$\begin{equation*} |e_{r,\lambda}(xy)|\leqslant M_{r,\lambda}<\infty. \end{equation*} \notag$

При

$\lambda> -1/2$ для него справедливо представление

$\begin{equation} e_{r,\lambda}(xy)=\int_{-1}^{1}(1+P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t))\, e^{ixyt}\,dm_{\lambda}(t). \end{equation} \tag{2.4}$

Из (2.1)–(2.4) вытекают оценки

$\begin{equation*} M_{r,\lambda}\leqslant 1+d_{2r+1,\lambda-1/2},\quad -\frac{1}{2}<\lambda<0, \qquad M_{r,\lambda}=1, \quad \lambda\geqslant 0. \end{equation*} \notag$

Преобразование $\mathcal{F}_{r}^{\lambda}$ – унитарный оператор, и для $f\in L^{2}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ справедливо равенство Планшереля

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}}|\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(y)|^2\, d\nu_{\lambda}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2\,d\nu_{\lambda}(x). \end{equation*} \notag$

Обратный оператор имеет вид

$\begin{equation*} (\mathcal{F}_{r}^{\lambda})^{-1}(g)(x)= \int_{-\infty}^{\infty}e_{r,\lambda}(xy)g(y)\,d\nu_{\lambda}(y). \end{equation*} \notag$

Равенство

$\begin{equation} f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e_{r,\lambda}(xy) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(y)\,d\nu_{\lambda}(y) \end{equation} \tag{2.5}$

справедливо не только в

$L^{2}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ , но и поточечно, если

$f$ принадлежит классу

$\begin{equation*} \mathcal{A}=\bigl\{f\in C_b(\mathbb{R})\colon f,\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})\bigr\}. \end{equation*} \notag$

Отметим, что

$\mathcal{S}_r(\mathbb{R})\subset\mathcal{A}$ и

$\mathcal{S}_r(\mathbb{R})$ плотно в пространствах

$L^{p}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ ,

$1\leqslant p<\infty$ .

Неравенство Хаусдорфа–Юнга имеет вид

$\begin{equation*} \|\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)\|_{p',d\nu_{\lambda}}\leqslant M_{r,\lambda}^{2/p-1}\|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}, \qquad 1\leqslant p\leqslant 2,\quad \frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1. \end{equation*} \notag$

Для веса $|x|^{2\lambda+1}$ дифференциально-разностный оператор Данкля первого порядка и лапласиан Данкля имеют вид

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \nonumber D_{\lambda+1/2}f(x)&=f'(x)+\biggl(\lambda+\frac12\biggr)\frac{f(x)-f(-x)}{x}\,, \\ \Delta_{\lambda+1/2}f(x)&=D_{\lambda+1/2}^2f(x)= f''(x)+\frac{2\lambda+1}{x}\,f'(x)- \biggl(\lambda+\frac12\biggr)\frac{f(x)-f(-x)}{x^2}\,. \end{aligned} \end{equation} \tag{2.6}$

При

$r=0$ ядро Данкля

$e_{0,\lambda}(xy)$ является собственной функцией лапласиана Данкля

$\begin{equation*} (\Delta_{\lambda+1/2})_{x}e_{0,\lambda}(xy)=-|y|^2e_{0,\lambda}(xy). \end{equation*} \notag$

При

$r\geqslant 1$ ядро является собственной функцией более сложного дифференциально-разностного оператора

$\begin{equation} \delta_{\lambda,r}f(x)=\Delta_{\lambda+1/2}f(x)- 2r(\lambda+r+1)\,\frac{f(x)-f(-x)}{x^2}\,, \end{equation} \tag{2.7}$

т.е.

$\begin{equation*} (\delta_{\lambda,r})_{x}e_{r,\lambda}(xy)=-|y|^2e_{r,\lambda}(xy). \end{equation*} \notag$

Лемма 1. Оператор

$\begin{equation} \delta_{\lambda,r}\colon\mathcal{S}_r(\mathbb{R})\to \mathcal{S}_r(\mathbb{R}). \end{equation} \tag{2.8}$

Если

$f\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$ и

$n\in\mathbb{N}$ , то

$\begin{equation} \int_{\mathbb{R}}\delta_{\lambda,r}^nf(x) e_{r,\lambda}(xy)\,d\nu_{\lambda}(x)=(-1)^n|y|^{2n} \int_{\mathbb{R}}f(x)e_{r,\lambda}(xy)\,d\nu_{\lambda}(x). \end{equation} \tag{2.9}$

Доказательство. Произвольная функция

$f\in\mathcal{S}_{r}(\mathbb{R})$ имеет вид

$\begin{equation*} f(x)=f_1(x)+x^{2r+1}f_2(x),\qquad f_1,f_2\in\mathcal{S}(\mathbb{R})\quad\text{четные}. \end{equation*} \notag$

Доказательство (2.8) основано на легко проверяемом равенстве

$\delta_{\lambda,r}x^{2r+1}=0$ . Применяя (2.6), (2.7), получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \delta_{\lambda,r}f(x)&=f_1''(x)+\frac{2\lambda\,{+}\,1}{x}f_1'(x) +x^{2r+1}\biggl(f_2''(x)+(4r\,{+}\,2\lambda\,{+}\,3) \frac{f_2'(x)}{x}\biggr) +f_2(x)\delta_{\lambda,r}x^{2r+1} \\ &=g_1(x)+x^{2r+1}g_2(x), \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} g_1(x)=f_1''(x)+\frac{2\lambda+1}{x}\,f_1'(x)\in \mathcal{S}(\mathbb{R}),\qquad g_2(x)=f_2''(x)+(4r+2\lambda+3)\frac{f_2'(x)}{x}\in \mathcal{S}(\mathbb{R}) \end{equation*} \notag$

$g_1(x)$ ,

$g_2(x)$ – четные функции. Следовательно,

$\delta_{\lambda,r}f\in\mathcal{S}_r(\mathbb{R})$ . Равенство (2.9) с использованием (2.8) устанавливается так же, как в [4]. Лемма 1 доказана.

3. Операторы обобщенного сдвига и свертки

Для $y\in\mathbb{R}$ рассмотрим два оператора обобщенного сдвига

$\begin{equation} \tau^{y}f(x) =\int_{-\infty}^{\infty}e_{r,\lambda}(yz) e_{r,\lambda}(xz)\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)\,d\nu_{\lambda}(z), \end{equation} \tag{3.1}$

$\begin{equation} T^{y}f(x) =\frac{\tau^{y}f(x)+\tau^{-y}f(x)}{2}= \int_{-\infty}^{\infty}j_{\lambda}(yz) e_{r,\lambda}(xz)\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)\,d\nu_{\lambda}(z). \end{equation} \tag{3.2}$

Для многомерного преобразования Данкля аналог оператора $\tau^y$ определен в [7], [8], аналог оператора $T^y$ – в [9], [10]; для обобщенного преобразования Фурье аналог оператора $\tau^y$ был определен в [11]. С помощью операторов (3.1), (3.2) в дальнейшем будут определяться потенциал и преобразование Рисса (см. [12]).

В пространстве $L^{2}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ для них справедливы оценки

$\begin{equation*} \|\tau^{y}f\|_{2,d\nu_{\lambda}}\leqslant M_{r,\lambda}\|f\|_{2,d\nu_{\lambda}},\quad \|T^{y}f\|_{2,d\nu_{\lambda}}\leqslant \|f\|_{2,d\nu_{\lambda}},\qquad y\in\mathbb{R},\quad\lambda\geqslant -\frac{1}{2}\,. \end{equation*} \notag$

Получим для операторов (3.1), (3.2) интегральные представления. Напомним теорему сложения Гегенбауэра для нормированной функции Бесселя [13; гл. XI, 11.4]:

$\begin{equation*} j_{\lambda}(A)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k+\lambda}{\lambda}\, \frac{x^k}{2^k(\lambda+1)_{k}}j_{\lambda+k}(x) \frac{y^k}{2^k(\lambda+1)_{k}}j_{\lambda+k}(y)C_{k}^{\lambda}(t), \end{equation*} \notag$

где

$\lambda>-1/2$ ,

$A=\sqrt{x^2+y^2-2xyt}$ ,

$x,y\in\mathbb{R}$ ,

$|t|\leqslant 1$ .

Используя ортогональность многочленов Гегенбауэра, из теоремы сложения легко получаются следующие известные теоремы умножения:

$\begin{equation} j_{\lambda}(xz)j_{\lambda}(yz) = \int_{-1}^{1}j_{\lambda}(Az)\,dm_{\lambda}(t), \end{equation} \tag{3.3}$

$\begin{equation} \frac{(xz)^{2r+1}j_{\lambda+2r+1}(xz)}{2^{2r+1}(\lambda+1)_{2r+1}}\, \frac{(yz)^{2r+1}j_{\lambda+2r+1}(yz)}{2^{2r+1}(\lambda+1)_{2r+1}} = \int_{-1}^{1}j_{\lambda}(Az)P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)\, dm_{\lambda}(t). \end{equation} \tag{3.4}$

С использованием многочлена

$P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)$ , (2.2) формула (3.4) записана в более компактной, чем это принято, форме. Более сложно доказывается следующая теорема умножения [5]:

$\begin{equation} (xz)^{2r+1}j_{\lambda+2r+1}(xz)j_{\lambda}(yz)= \int_{-1}^{1}j_{\lambda+2r+1}(Az)(Az)^{2r+1} P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)\, dm_{\lambda}(t). \end{equation} \tag{3.5}$

Если $f_{\mathrm e}(z)$ , $f_{\mathrm o}(z)$ – четная и нечетная составляющие функции $f(z)$ , $z\in\mathbb{R}$ , то, применяя (1.3), (3.3)–(3.5), получим

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \nonumber &e_{r,\lambda}(yz)e_{r,\lambda}(xz)=j_{\lambda}(xz)j_{\lambda}(yz) \\ \nonumber &\qquad\qquad+\frac{i(-1)^r}{2^{2r+1}(\lambda+1)_{2r+1}} \bigl\{(xz)^{2r+1}j_{\lambda+2r+1}(xz)j_{\lambda}(yz)+ (yz)^{2r+1}j_{\lambda+2r+1}(yz)j_{\lambda}(xz)\bigr\} \\ \nonumber &\qquad\qquad-\frac{(xz)^{2r+1}j_{\lambda+2r+1}(xz)} {2^{2r+1}(\lambda+1)_{2r+1}}\, \frac{(yz)^{2r+1}j_{\lambda+2r+1}(yz)}{2^{2r+1}(\lambda+1)_{2r+1}} \\ \nonumber &\qquad=\int_{-1}^{1} \biggl\{(e_{r,\lambda}(Az))_{\mathrm e}(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)) \\ \nonumber &\qquad\qquad+(e_{r,\lambda}(Az))_{\mathrm o} \biggl(P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)} \biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)+P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)} \biggl(\frac{y-xt}{A}\biggr)\biggr)\biggr\}\,dm_{\lambda}(t) \\ \nonumber &\qquad=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\biggl\{e_{r,\lambda}(Az) \biggl(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)+P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)} \biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)+ P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{y-xt}{A}\biggr)\biggr) \\ \nonumber &\qquad\qquad+e_{r,\lambda}(-Az) \biggl(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)} \biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr) \\ &\qquad\qquad-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)} \biggl(\frac{y-xt}{A}\biggr)\biggr)\biggr\}\,dm_{\lambda}(t). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.6}$

Аналогично,

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \nonumber j_{\lambda}(yz)e_{r,\lambda}(xz)&=j_{\lambda}(xz)j_{\lambda}(yz)+ \frac{i(-1)^r(xz)^{2r+1}}{2^{2r+1}(\lambda+1)_{2r+1}} j_{\lambda+2r+1}(xz)j_{\lambda}(yz) \\ \nonumber &=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\biggl\{e_{r,\lambda}(Az) \biggl(1+P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)\biggr) \\ &\qquad+e_{r,\lambda}(-Az)\biggl(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)} \biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)\biggr)\biggr\}\,dm_{\lambda}(t). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.7}$

Отметим, что при $|t|\leqslant 1$

$\begin{equation} 1-\frac{(x-yt)^2}{A^2}=\frac{(1-t^2)y^2}{A^2}\geqslant 0,\qquad \frac{|x-yt|}{A}\leqslant 1. \end{equation} \tag{3.8}$

Пусть $y\in\mathbb{R}$ . Опираясь на (3.6) и (3.7), определим два линейных оператора

$\begin{equation} \nonumber \tau_{1}^{y}f(x) =\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} \biggl\{f(A)\biggl(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)+ P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)+ P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{y-xt}{A}\biggr)\biggr) \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \nonumber \qquad+f(-A)\biggl(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)- P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr) \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)} \biggl(\frac{y-xt}{A}\biggr)\biggr)\biggr\}\,dm_{\lambda}(t), \end{equation} \tag{3.9}$

$\begin{equation} \nonumber T_1^yf(x) =\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\biggl\{f(A) \biggl(1+P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}\biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)\biggr) \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad+f(-A)\biggl(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)} \biggl(\frac{x-yt}{A}\biggr)\biggr)\biggr\}\,dm_{\lambda}(t), \end{equation} \tag{3.10}$

где, как обычно,

$A=\sqrt{x^2+y^2-2xyt}$ . Интересно сравнить операторы (3.9), (3.10) с соответствующими операторами в работах [14], [15].

Лемма 2. Если $g(t)$ – действительная непрерывная нечетная на отрезке $[-1,1]$ функция, $\|g\|_{\infty}\leqslant 1$ , $y\in\mathbb{R}$ , и линейный оператор

$\begin{equation*} T_g^yf(x)=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} \biggl\{f(A)\biggl(1+g\biggl(\frac{x-ty}{A}\biggr)\biggr)+ f(-A)\biggl(1-g\biggl(\frac{x-ty}{A}\biggr)\biggr\}\, dm_{\lambda}(t), \end{equation*} \notag$

то

$T_g^yf(x)$ – положительный оператор,

$T_g^{-y}f(x)=T_g^yf(x)$ и для любой функции

$f\in L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ ,

$1\leqslant p\leqslant\infty$ , выполняется неравенство

$\begin{equation} \|T_g^yf\|_{p\,d\nu_{\lambda}}\leqslant \|f\|_{p\,d\nu_{\lambda}}, \qquad y\in\mathbb{R}. \end{equation} \tag{3.11}$

Доказательство. Если

$f(x)\geqslant 0$ , то

$T_g^{y}f(x)\geqslant 0$ . При заменах

$y\to -y$ ,

$t\to -t$ ,

$yt$ и

$A=\sqrt{x^2+y^2-2xyt}$ не изменятся, поэтому

$T_g^{-y}f(x)=T_g^yf(x)$ .

Если $p=\infty$ , то согласно (2.3), (3.8)

$\begin{equation*} |T_g^{y}f(x)|\leqslant \frac{1}{2}\int_{-1}^{1} \biggl\{\|f\|_{\infty}\biggl(1+g\biggl(\frac{x-ty}{A}\biggr)\biggr)+ \|f\|_{\infty}\biggl(1-g\biggl(\frac{x-ty}{A}\biggr)\biggr\}\, dm_{\lambda}(t)=\|f\|_{\infty}. \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$\begin{equation*} \|T_g^{y}f\|_{\infty}\leqslant \|f\|_{\infty}. \end{equation*} \notag$

Если $p=1$ , то, делая замены $x\to -x$ , $t\to -t$ и учитывая нечетность функции $g(t)$ , получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &2\int_{-\infty}^{\infty}|T_g^{y}f(x)|\,d\nu_{\lambda}(x) \leqslant\int_{0}^{\infty}\int_{-1}^{1} \biggl\{|f(A)|\biggl(1+g\biggl(\frac{x-ty}{A}\biggr)\biggr) \\ &\qquad\qquad\qquad+|f(-A)|\biggl(1-g\biggl(\frac{x-ty}{A}\biggr)\biggr\}\, dm_{\lambda}(t)\,d\nu_{\lambda}(x) \\ &\qquad+\int_{0}^{\infty}\int_{-1}^{1} \biggl\{|f(A)|\biggl(1-g\biggl(\frac{x-ty}{A}\biggr)\biggr) +|f(-A)|\biggl(1+g\biggl(\frac{x-ty}{A}\biggr)\biggr\}\, dm_{\lambda}(t)\,d\nu_{\lambda}(x) \\ &\qquad=2\int_{0}^{\infty}\int_{-1}^{1}\{|f(A)|+|f(-A)|\}\, dm_{\lambda}(t)\,d\nu_{\lambda}(x). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Так как

$\begin{equation*} \int_{0}^{\infty}\int_{-1}^{1}|f(A)|\,dm_{\lambda}(t)\, d\nu_{\lambda}(x)\leqslant\int_{0}^{\infty}|f(x)|\,d\nu_{\lambda}(x) \end{equation*} \notag$

(см., например, [16]), то

$\begin{equation*} \|T_g^{y}f\|_{1,d\nu_{\lambda}}\leqslant \int_{0}^{\infty}|f(x)|\,d\nu_{\lambda}(x)+ \int_{0}^{\infty}|f(-x)|\,d\nu_{\lambda}(x)= \|f\|_{1,d\nu_{\lambda}}. \end{equation*} \notag$

Применяя интерполяционную теорему Рисса–Торина, получим неравенство (3.11) для всех

$1\leqslant p\leqslant\infty$ . Лемма 2 доказана.

Пусть

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, M_{r,\lambda}^{\tau}&=\begin{cases} 1+3d_{2r+1,\lambda-1/2}, & -\dfrac{1}{2}<\lambda<0, \\ 4, & \lambda\geqslant 0, \end{cases} \\ M_{r,\lambda}^{T}&=\begin{cases} 1+d_{2r+1,\lambda-1/2}, & -\dfrac{1}{2}<\lambda<0, \\ 1, & \lambda\geqslant 0. \end{cases} \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Так как для линейных операторов (3.9), (3.10) справедливы оценки

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{2} |\tau_{1}^{y}f(x)|&\leqslant\frac{1}{2}(1+3d_{2r+1,\lambda-1/2}) \int_{-1}^{1}\{|f(A)|+|f(-A)|\}\,dm_{\lambda}(t),&&\qquad -\frac{1}{2}<\lambda<0, \\ |\tau_{1}^{y}f(x)|&\leqslant 2\int_{-1}^{1}\{|f(A)|+|f(-A)|\}\,dm_{\lambda}(t),&&\qquad \lambda\geqslant 0, \\ |T_{1}^{y}f(x)|&\leqslant\frac{1}{2}(1+d_{2r+1,\lambda-1/2}) \int_{-1}^{1}\{|f(A)|+|f(-A)|\}\,dm_{\lambda}(t),&&\qquad -\frac{1}{2}<\lambda<0, \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

то, применяя лемму 2 для

$g(t)=0$ ,

$P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t)$ , придем к следующему утверждению.

Лемма 3. Для всех $1\leqslant p\leqslant\infty$ , $y\in\mathbb{R}$ , $r\in\mathbb{Z}_+$ , $\lambda> -1/2$ , линейные операторы (3.9) и (3.10) ограничены в пространствах $L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ и для их норм справедливы оценки

$\begin{equation} \|\tau_{1}^{y}\|_{p\to p}\leqslant M_{r,\lambda}^{\tau},\qquad \|T_{1}^{y}\|_{p\to p}\leqslant M_{r,\lambda}^{T}. \end{equation} \tag{3.12}$

Замечание 1. На подпространстве четных функций

$\begin{equation*} \tau_1^{y}f(x)=\int_{-1}^{1} f(A) (1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t))\,dm_{\lambda}(t), \end{equation*} \notag$

поэтому для норм оператора

$\tau_1^{y}$ на этом подпространстве справедливы оценки (3.12) для оператора

$T_1^{y}$ .

Оценки $L_p$ -норм оператора обобщенного сдвига для обобщенного преобразования Фурье, аналогичного оператору $\tau^y$ , при $\lambda\geqslant 0$ получены в [5] (см. также [15]).

Лемма 4. Линейные операторы (3.1) и (3.9), а также (3.2) и (3.10) как операторы из $L^2(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ в $L^2(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ совпадают.

Доказательство. Пусть

$R>0$ ,

$f\in L^2(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ ,

$\begin{equation*} S_R(x,f)=\int_{-R}^{R}e_{r,\lambda}(xz) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)\,d\nu_{\lambda}(z) \end{equation*} \notag$

– частичный интеграл для (2.5). Согласно (3.6) и (3.9)

$\tau_1^{y}e(xz)=e(xz)e(yz)$ , поэтому

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \tau_1^{y}S_r(x,f)&=\int_{-R}^{R}\tau_1^{y}e_{r,\lambda}(xz) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)\,d\nu_{\lambda}(z) \\ &=\int_{-R}^{R}e_{r,\lambda}(xz)e_{r,\lambda}(yz) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)\,d\nu_{\lambda}(z) =\tau^{y}S_r(x,f). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Из ограниченности операторов

$\tau_1^{y}$ ,

$\tau^{y}$ в

$L^2(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ ,

$\tau_1^{y}f(x)=\tau^{y}f(x)$ . Случай операторов (3.2) и (3.10) разбирается аналогично. Лемма 4 доказана.

Таким образом, операторы (3.9), (3.10) являются продолжениями операторов (3.1), (3.2) на пространства $L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ , $p\ne 2$ . В дальнейшем операторы (3.9), (3.10) будем обозначать $\tau^{y}$ , $T^{y}$ соответственно.

Лемма 5. Для всех $1\leqslant p\leqslant\infty$ , $x\in\mathbb{R}$ , $r\in\mathbb{Z}_+$ , $\lambda> -1/2$ справедливы оценки

$\begin{equation} \biggl(\int_{\mathbb{R}}|T^yf(x)|^p\,d\nu_{\lambda}(y)\biggr)^{1/p} \leqslant (1+d_{2r+1,\lambda-1/2})\|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}, \qquad -\frac{1}{2}<\lambda<0, \end{equation} \tag{3.13}$

$\begin{equation} \biggl(\int_{\mathbb{R}}|T^yf(x)|^p\,d\nu_{\lambda}(y)\biggr)^{1/p} \leqslant \|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}, \qquad \lambda\geqslant 0. \end{equation} \tag{3.14}$

Доказательство. Для

$x\in\mathbb{R}$ рассмотрим линейный оператор

$B^{x}f(y)=T^yf(x)$ . Неравенство (3.13) вытекает из оценки

$\begin{equation*} |B^{x}f(y)|\leqslant\frac{1}{2}(1+d_{2r+1,\lambda-1/2}) \int_{-1}^{1}\{|f(A)|+|f(-A)|\}\,dm_{\lambda}(t),\qquad -\frac{1}{2}<\lambda<0, \end{equation*} \notag$

и леммы 2.

При $\lambda\geqslant 0$ применяем интерполяционную теорему Рисса–Торина. Как и в лемме 2, $\|B^{x}f\|_{\infty}\leqslant \|f\|_{\infty}$ , поэтому достаточно доказать (3.14) для $p=1$ . Так как $T^y=T^{-y}$ , то

$\begin{equation*} \|B^{x}f\|_{1,d\nu_{\lambda}}=\sup\biggl\{\int_{\mathbb{R}} T^yf(x)\overline{g(y)}\,d\nu_{\lambda}(y)\colon \|g\|_{\infty}\leqslant 1,\, g\in C_K(\mathbb{R}),\, g\text{ четная}\biggr\}. \end{equation*} \notag$

Применяя равенство Планшереля и (3.2), получим

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}}T^yf(x)\overline{g(y)}\,d\nu_{\lambda}(y) =\int_{\mathbb{R}}\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z) \overline{e_{r,\lambda}(xz) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(g)(z)}\,d\nu_{\lambda}(z) =\int_{\mathbb{R}}f(y)\overline{\tau^{-x}g(y)}\,d\nu_{\lambda}(y), \end{equation*} \notag$

поэтому

$\begin{equation*} \|Bf\|_{1,d\nu_{\lambda}}\leqslant \|f\|_{1,d\nu_{\lambda}} \sup\{\|\tau^{-x}g(y)\|_{\infty}\colon \|g\|_{\infty}\leqslant 1,\, g\in C_K(\mathbb{R}),\, g\text{ четная}\}. \end{equation*} \notag$

Если

$\|g\|_{\infty}\leqslant 1$ , то согласно (3.9)

$\begin{equation*} \|\tau^{-x}g(t)\|_{\infty}\leqslant \int_{-1}^{1}(1-P_{2r+1}^{(\lambda-1/2)}(t))\,dm_{\lambda}(t)=1. \end{equation*} \notag$

Лемма 5 доказана.

Соберем вместе некоторые свойства операторов обобщенного сдвига. Далее до конца статьи $\lambda>-1/2$ , $r\in\mathbb{Z}_+$ .

Лемма 6. Для операторов обобщенного сдвига $\tau^y$ , $T^y$ справедливы следующие свойства:

1) если $\lambda\geqslant 0$ , $f(x)\geqslant 0$ , то $T^tf(x)\geqslant 0$ ;

2) $\tau^0f(x)=T^0f(x)=f(x)$ ;

3) $\tau^t1=T^t1=1$ ;

4) $\tau^ye_{r,\lambda}(xz)=e_{r,\lambda}(yz)e_{r,\lambda}(xz)$ , $T^ye_{r,\lambda}(xz)=j_\lambda(yz)e_{r,\lambda}(xz)$ ;

5) если $f,g\in L^{2}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ , то

$\begin{equation} \int_{\mathbb{R}}\tau^{y}f(x)g(x)\,d\nu_\lambda(x) = \int_{\mathbb{R}}f(x)\tau^{-y}g(x)\,d\nu_\lambda(x), \end{equation} \tag{3.15}$

$\begin{equation} \int_{\mathbb{R}}T^{y}f(x)g(x)\,d\nu_\lambda(x) = \int_{\mathbb{R}}f(x)T^{y}g(x)\,d\nu_\lambda(x); \end{equation} \tag{3.16}$

6) если $f\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ , то

$\begin{equation} \int_{\mathbb{R}}\tau^tf(x)\,d\nu_\lambda(x) = \int_{\mathbb{R}}f(x)\,d\nu_\lambda(x), \end{equation} \tag{3.17}$

$\begin{equation} \int_{\mathbb{R}} T^tf(x)\,d\nu_\lambda(x) = \int_{\mathbb{R}}f(x)\,d\nu_\lambda(x); \end{equation} \tag{3.18}$

7) пусть $\delta>0$ , $\operatorname{supp}f\subset[-\delta,\delta]$ ; если $|y|\leqslant\delta$ , то

$\begin{equation*} \operatorname{supp}\tau^yf,\operatorname{supp}T^yf\subset \bigl[-|y|-\delta,\,|y|+\delta\bigr]; \end{equation*} \notag$

если

$|y|>\delta$ , то

$\begin{equation} \operatorname{supp}\tau^yf,\operatorname{supp} T^yf\subset \bigl[-|y|-\delta,\,-|y|+\delta\bigr]\cup \bigl[|y|-\delta,\,|y|+\delta\bigr]. \end{equation} \tag{3.19}$

Доказательство. Свойства 1)–4) получаются из леммы 2, (3.1), (3.2), (3.6), (3.7), (3.9), (3.10). Свойство 5) вытекает из равенства Планшереля.

Если $\chi_R(x)$ – характеристическая функция отрезка $[-R,R]$ , то $\lim_{R\to\infty}\chi_R(x)=1$ для всех $x$ , поэтому по теореме Лебега об ограниченной сходимости согласно (3.10) $\lim_{R\to\infty}T^y\chi_R(x)=1$ для всех $x$ и $y$ . Для любой $f\in L^1(\mathbb{R},d\nu_{\lambda}) \cap L^2(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ по теореме Лебега об ограниченной сходимости при $R\to\infty$

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}}T^yf(x)\chi_R(x)\,d\nu_{\lambda}(x)\to \int_\mathbb{R} T^yf(x)\,d\nu_{\lambda}(x), \quad\ \ \int_{\mathbb{R}} fT^y\chi_R(x)\,d\nu_{\lambda}(x)\to \int_{\mathbb{R}} f(x)\,d\nu_{\lambda}(x). \end{equation*} \notag$

Но для таких

$f$ по свойству (3.16)

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}}T^yf(x)\chi_R(x)\,d\nu_{\lambda}(x)= \int_{\mathbb{R}} f(x)T^y\chi_R(x)\,d\nu_{\lambda}(x), \end{equation*} \notag$

и для них свойство (3.18) выполнено. Так как множество

$L^1(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})\cap L^2(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ плотно в

$L^1(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ , то в силу непрерывности оператора

$T^y$ в

$L^1(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ свойство (3.18) выполнено для всех

$f\in L^1(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ . Свойство (3.17) для оператора

$\tau^y$ доказывается аналогично.

Свойство 7) вытекает из неравенства $x^2+y^2-2xyt\geqslant(|x|-|y|)^2>\delta^2$ . Лемма 6 доказана.

С помощью операторов $\tau^y$ и $T^y$ определим две свертки

$\begin{equation} (f\ast_{\tau}g)(x) = \int_{\mathbb{R}}f(y)\tau^{-x}g(y)\,d\nu_{\lambda}(y), \end{equation} \tag{3.20}$

$\begin{equation} (f\ast_{T}g_{\mathrm e})(x) = \int_{\mathbb{R}}T^yf(x)g_{\mathrm e}(y)\,d\nu_{\lambda}(y). \end{equation} \tag{3.21}$

Лемма 7. Если $f\in \mathcal{A}$ , $g\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ и $g$ четная, то для всех $x,y\in\mathbb{R}$

$\begin{equation} (f\ast_{\tau}g)(x) =(f\ast_{T}g)(x)= \int_{\mathbb{R}}\tau^{y}f(x)g(y)\,d\nu_{\lambda}(y), \end{equation} \tag{3.22}$

$\begin{equation} \mathcal{F}_r^{\lambda}(f\ast_{\tau}g)(y) = \mathcal{F}_r^{\lambda}(f\ast_{T}g)(y)= \mathcal{F}_r^{\lambda}(f)(y)\mathcal{F}_r^{\lambda}(g)(y). \end{equation} \tag{3.23}$

Доказательство. Пусть сначала

$g\in\mathcal{A}$ . В силу (3.1), (3.15) и (3.20)

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, (f\ast_{\tau}g)(x)&= \int_{\mathbb{R}}f(y)\tau^{-x}g(y)\,d\nu_{\lambda}(y)= \int_{\mathbb{R}}\tau^{y}f(x)g(y)\,d\nu_{\lambda}(y) \\ &=\int_{\mathbb{R}}g(y)\int_{\mathbb{R}^d}e_{r,\lambda}(yz) e_{r,\lambda}(xz)\mathcal{F}_{r}^{\lambda} (f)(z)\,d\mu_{\lambda}(z)\,d\nu_{\lambda}(y) \\ &=\int_{\mathbb{R}}e_{r,\lambda}(xz)\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z) \mathcal{F}_{}^{\lambda}(g)(z)\,d\nu_{\lambda}(z). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Аналогично, применяя (3.2) и (3.21), получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, (f\ast_{T}g)(x)&=\int_{\mathbb{R}}T^yf(x)g(y)\,d\nu_{\lambda}(y) \\ &=\int_{\mathbb{R}}g(y) \int_{\mathbb{R}}j_{\lambda}(yz)e_{r,\lambda}(xz) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)\,d\nu_{\lambda} (z)\,d\nu_{\lambda}(y) \\ &=\int_{\mathbb{R}}e_{r,\lambda}(xz)\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z) \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(g)(z)\,d\nu_{\lambda}(z) =\int_{\mathbb{R}}\tau^{y}f(x)g(y)\,d\nu_{\lambda}(y). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Равенства (3.22) и (3.23) для

$g\in\mathcal{A}$ доказаны. Случай

$g\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ получается предельным переходом. Если

$g_{\varepsilon}\in\mathcal{A}$ и

$\|g-g_{\varepsilon}\|_{1,d\nu_{\lambda}}\to 0$ при

$\varepsilon\to 0$ , то применяя леммы 3, 5, получим равномерную ограниченность

$\tau^yf(x)$ ,

$T^yf(x)$ и при

$\varepsilon\to 0$

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \int_{\mathbb{R}}f(y)\tau^{x}(g(y)- g_{\varepsilon}(y))\,d\nu_{\lambda}(y)\to 0, \qquad \int_{\mathbb{R}}\tau^{y}f(x)(g(y)- g_{\varepsilon}(y))\,d\nu_{\lambda}(y)\to 0, \\ \int_{\mathbb{R}}T^{y}f(x)(g(y)- g_{\varepsilon}(y))\,d\nu_{\lambda}(y)\to 0, \qquad \|\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(g)(z)- \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(g_{\varepsilon})(z)\|_{\infty}\to 0. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Лемма 7 доказана.

Теперь мы можем доказать неравенство Юнга для сверток (3.20) и (3.21). При доказательстве следуем [10].

Теорема 1. Пусть $1\leqslant p,q\leqslant\infty$ , $1/p+1/q\geqslant 1$ и $1/s=1/p+1/q-1$ . Если $f\in L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ , $g\in L^q(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ , то

$\begin{equation} \|(f\ast_{\tau}g)\|_{s,d\nu_{\lambda}} \leqslant M_{r,\lambda}^{\tau}\|f\|_{p,d\nu_{\lambda}} \|g\|_{q,d\nu_{\lambda}}, \end{equation} \tag{3.24}$

$\begin{equation} \|(f\ast_{T}g_{\mathrm e})\|_{s,d\nu_{\lambda}} \leqslant M_{r,\lambda}^{T}\|f\|_{p,d\nu_{\lambda}} \|g_{\mathrm e}\|_{q,d\nu_{\lambda}}. \end{equation} \tag{3.25}$

Доказательство. Пусть

$1/\mu=1/p-1/s$ и

$1/\nu=1/q-1/s$ . Тогда

$1/\mu\geqslant 0$ ,

$1/\nu\geqslant 0$ и

$1/s+1/\mu+1/\nu=1$ .

Применяя неравенство Гёльдера, получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\biggl|\int_{\mathbb{R}}f(y)\tau^xg(y)\,d\nu_{\lambda}(y)\biggr| \\ &\qquad\leqslant\biggl(\int_{\mathbb{R}}|f(y)|^p |\tau^xg(y)|^q\,d\nu_{\lambda}(y)\biggr)^{1/s} \biggl(\int_{\mathbb{R}}|f(y)|^p\,d\nu_{\lambda}(y)\biggr)^{1/\mu} \biggl(\int_{\mathbb{R}}|\tau^xg(y)|^q\, d\nu_{\lambda}(y)\biggr)^{1/\nu} \\ &\qquad=\biggl(\int_{\mathbb{R}}|f(y)|^p|\tau^xg(y)|^q\, d\nu_{\lambda}(y)\biggr)^{1/s}\|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}^{p/\mu} \|\tau^xg\|_{q,d\nu_{\lambda}}^{q/\nu}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Отсюда и из (3.12)

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\|(f\ast_{\tau}g)\|_{s,d\nu_{\lambda}} \\ &\qquad\leqslant \biggl(\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}|f(y)|^p |\tau^yg(x)|^q\,d\nu_{\lambda}(y)\,d\nu_{\lambda}(x)\biggr)^{1/s} \|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}^{p/\mu} \|\tau^yg(x)\|_{q,d\nu_{\lambda}}^{q/\nu} \\ &\qquad\leqslant \|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}\|\tau^yg\|_{q,d\nu_{\lambda}}\leqslant M_{r,\lambda}^{\tau}\|f\|_{p,d\nu_{\lambda}} \|g\|_{q,d\nu_{\lambda}}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Неравенство (3.24) доказано.

Аналогично,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\biggl|\int_{\mathbb{R}}T^yf(x)g_{\mathrm e}(y)\, d\nu_{\lambda}(y)\biggr|\leqslant\biggl(\int_{\mathbb{R}}|T^yf(x)|^p |g_{\mathrm e}(y)|^q\,d\nu_{\lambda}(y)\biggr)^{1/s} \\ &\qquad\qquad\times \biggl(\int_{\mathbb{R}} |T^yf(x)|^p\,d\nu_{\lambda}(y)\biggr)^{1/\mu} \biggl(\int_{\mathbb{R}}|g_{\mathrm e}(y)|^q\, d\nu_{\lambda}(y)\biggr)^{1/\nu} \\ &\qquad \leqslant\biggl(\int_{\mathbb{R}}|T^yf(x)|^p |g_{\mathrm e}(y)|^q\,d\nu_{\lambda}(t)\biggr)^{1/s} \|T^yf\|_{p,d\nu_{\lambda}}^{p/\mu} \|g_{\mathrm e}\|_{q,d\nu_{\lambda}}^{q/\nu}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Отсюда и из (3.12)

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \|(f\ast_{T}g_{\mathrm e})\|_{s,d\nu_{\lambda}}&\leqslant \biggl(\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}|T^yf(x)|^p |g_{\mathrm e}(y)|^q\,d\nu_{\lambda}(y)\,d\nu_{\lambda}(x)\biggr)^{1/s} \\ &\qquad \times \|T^yf\|_{p,d\nu_{\lambda}}^{p/\mu} \|g_{\mathrm e}\|_{q,d\nu_{\lambda}}^{q/\nu}\leqslant M_{r,\lambda}^{T} \|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}\|g_{\mathrm e}\|_{q,d\nu_{\lambda}}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Неравенство (3.25) и теорема 1 доказаны.

Замечание 2. Если $f\in L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ при $1\leqslant p<\infty$ , $f\in C_0(\mathbb{R})$ при $p=\infty$ , $f_{\varepsilon}\in\mathcal{A}$ , $\|f-f_{\varepsilon}\|_{p,d\nu_{\lambda}}\to 0$ при $\varepsilon\to 0$ и $g\in L^1(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ , $g$ четная, то, применяя лемму 6 и теорему 1, получим

$\begin{equation*} \|(f\ast_{\tau}g)(x)-(f\ast_{T}g)(x)\|_{p,d\nu_{\lambda}}\leqslant \{M_{r,\lambda}^{\tau}+M_{r,\lambda}^{T}\} \|f-f_{\varepsilon}\|_{p,d\nu_{\lambda}}\|g\|_{1,d\nu_{\lambda}}, \end{equation*} \notag$

следовательно,

$\|(f\ast_{\tau}g)(x)-(f\ast_{T}g)(x)\|_{p,d\nu_{\lambda}}=0$ и

$(f\ast_{\tau}g)(x)=(f\ast_{T}g)(x)$ почти всюду.

4. Сходимость обобщенных средних в пространствах $L_p$

Пусть $\varepsilon>0$ , $\widehat{\varphi}=\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi)$ , $\varphi,\widehat{\varphi}\in \mathcal{A}$ , $\varphi(0)=1$ , $\widehat{\varphi}_{\varepsilon}(y)= \mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi(\varepsilon(\,\cdot\,)))(y)$ . Тогда

$\begin{equation*} \widehat{\varphi}_{\varepsilon}(y)= \varepsilon^{-2(\lambda+1)}\widehat{\varphi} (\varepsilon^{-1}y),\qquad \widehat{\varphi}_{\varepsilon}\in L^1(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})\cap C_0(\mathbb{R}),\qquad \int_{\mathbb{R}} \widehat{\varphi}_{\varepsilon}(y)\,d\nu_{\lambda}(y)=1. \end{equation*} \notag$

В этом пункте под $L^{\infty}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ мы понимаем $C_0(\mathbb{R})$ . В соответствии с теоремой 1 для $f\in L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ , $1\leqslant p\leqslant\infty$ , мы можем определить $(r,\lambda)$ -обобщенные средние

$\begin{equation} \Phi_{\varepsilon}^{\tau}f(x)=(f\ast_{\tau} \widehat{\varphi}_{\varepsilon})(x)= \int_{\mathbb{R}}f(y)\tau^{-x} \widehat{\varphi}_{\varepsilon}(y)\,d\nu_{\lambda}(y). \end{equation} \tag{4.1}$

Функцию

$\varphi$ будем называть генератором обобщенных средних (4.1). Если

$\varphi(x)=\varphi_{\mathrm e}(x)$ , то согласно замечанию 2 почти всюду

$\begin{equation*} \Phi_{\varepsilon}^{\tau}f(x)=\Phi_{\varepsilon}^{T}f(x)= (f\ast_{T}(\widehat{\varphi}_{\varepsilon})_{\mathrm e})(x)= \int_{\mathbb{R}}T^yf(x) (\widehat{\varphi}_{\varepsilon})_{\mathrm e}(y)\,d\nu_{\lambda}(y). \end{equation*} \notag$

В силу (3.24), (3.25)

$\begin{equation} \|\Phi_{\varepsilon}^{\tau}f\|_{p,d\nu_{\lambda}}\leqslant M_{r,\lambda}^{\tau} \|(\widehat{\varphi}_{\varepsilon})\|_{1,d\nu_{\lambda}} \|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}, \end{equation} \tag{4.2}$

$\begin{equation} \|\Phi_{\varepsilon}^{T}f\|_{p,d\nu_{\lambda}}\leqslant M_{r,\lambda}^{T} \|(\widehat{\varphi}_{\varepsilon})_{\mathrm e}\|_{1,d\nu_{\lambda}} \|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}. \end{equation} \tag{4.3}$

Исследуем $L^p$ -сходимость обобщенных средних. Пусть

$\begin{equation*} \omega_{\tau}(\delta,f)_{p,d\nu_{\lambda}}=\sup_{|y|\leqslant \delta}\|\tau^yf-f\|_{p,d\nu_{\lambda}},\qquad \omega_T(\delta,f)_{p,d\nu_{\lambda}}= \sup_{|y|\leqslant\delta}\|T^yf-f\|_{p,d\nu_{\lambda}} \end{equation*} \notag$

– модули непрерывности функции

$f\in L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ ,

$1\leqslant p\leqslant\infty$ .

Лемма 8. Если $f\in L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ , $1\leqslant p\leqslant\infty$ , то

$\begin{equation} \omega_{\tau}(\delta,f)_{p,d\nu_{\lambda}}\leqslant (1+M_{r,\lambda}^{\tau})\|f\|_{p,d\nu_{\lambda}},\qquad \omega_{T}(\delta,f)_{p,d\nu_{\lambda}}\leqslant (1+M_{r,\lambda}^{T})\|f\|_{p,d\nu_{\lambda}}, \end{equation} \tag{4.4}$

$\begin{equation} \lim_{\delta\to 0}\omega_{\tau}(\delta,f)_{p,d\nu_{\lambda}}=0,\qquad \lim_{\delta\to 0}\omega_{T}(\delta,f)_{p,d\nu_{\lambda}}=0. \end{equation} \tag{4.5}$

Доказательство. Применяя (3.12), получим (4.4). В силу (3.12) равенства (4.5) можно доказывать для функций из плотного множества. Пусть

$f\in\mathcal{S}_r(\mathbb{R})\cap C_K(\mathbb{R})$ ,

$|y|\leqslant 1$ ,

$R\geqslant 2$ выбрано так, что

$\operatorname{supp}f\subset [-R+1,R-1]$ . Будем писать

$A\lesssim B$ , если выполнено неравенство

$A\leqslant CB$ с константой

$C$ , зависящей от несущественных параметров.

Так как для нормированной функции Бесселя

$\begin{equation*} j_{\lambda}'(z)=-\frac{z}{2(\lambda+1)}j_{\lambda+1}(z) \end{equation*} \notag$

[17; гл. V], то

$|j_{\alpha}(z)-1|\leqslant|z|/(2(\lambda+1))$ и из (1.3)

$|e_{r,\lambda}(yz)-1|\lesssim |y|\,|z|$ . Следовательно,

$\begin{equation*} |\tau^tf(x)-f(x)|\leqslant M_{r,\lambda}\int_{\mathbb{R}}|e_{r,\lambda}(yz)-1|\, |\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)|\,d\nu_{\lambda}(z) \lesssim |y|\int_{\mathbb{R}}|z|\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(f)(z)|\, d\nu_{\lambda}\lesssim |y|. \end{equation*} \notag$

Равенство (4.5) для модуля непрерывности

$\omega_{\tau}(\delta,f)_{p,d\nu_{\lambda}}$ при

$p=\infty$ доказано.

Если $p<\infty$ , то, применяя (3.19), получим $\operatorname{supp}\tau^yf(x)\subset [-R,R]$ , поэтому

$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}}|\tau^yf(x)-f(x)|^p\,d\nu_{\lambda}\lesssim |y|^p\int_{-R}^{R}d\nu_{\lambda}. \end{equation*} \notag$

Равенство (4.5) для модуля непрерывности

$\omega_{\tau}(\delta,f)_{p,d\nu_{\lambda}}$ при

$p<\infty$ также доказано. Случай модуля непрерывности

$\omega_{T}(\delta,f)_{p,d\nu_{\lambda}}$ разбирается аналогично. Лемма 8 доказана.

Теорема 2. Пусть $\widehat{\varphi}=\mathcal{F}_{r}^{\lambda}(\varphi)$ , функции $\varphi,\widehat{\varphi}\in \mathcal{A}$ , $\varphi(0)=1$ . Если $f\in L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ при $1\leqslant p<\infty$ или $f\in C_0(\mathbb{R})$ при $p=\infty$ , то

$\begin{equation*} \|f(x)-\Phi_{\varepsilon}^{\tau} f(x)\|_{p,d\nu_{\lambda}}\to 0,\qquad \varepsilon\to 0. \end{equation*} \notag$

Доказательство. Учитывая (4.2) и теорему Банаха–Штейнгауза, теорему 2 достаточно доказывать на плотном множестве

$\mathcal{S}_r(\mathbb{R})$ . Если

$f\in\mathcal{S}_r(\mathbb{R})$ , то в силу (3.15)

$\begin{equation*} \Phi_{\varepsilon}f(x)= (f\ast_{\tau}\widehat{\varphi}_{\varepsilon})(x)= \int_{\mathbb{R}}f(y)\tau^{-x} \widehat{\varphi}_{\varepsilon}(y)\,d\nu_{\lambda}(y)= \int_{\mathbb{R}}\tau^{y}f(x) \widehat{\varphi}_{\varepsilon}(y)\,d\nu_{\lambda}(y), \end{equation*} \notag$

поэтому

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\|f(x)-\Phi_{\varepsilon}f(x)\|_{p,d\nu_{\lambda}}= \biggl\|\int_{\mathbb{R}}(\tau^{\varepsilon y}f(x)-f(x)) \widehat{\varphi}(y)\,d\nu_{\lambda}(y)\biggr\|_{p,d\nu_{\lambda}} \\ &\qquad\leqslant \int_{\mathbb{R}} \|\tau^{\varepsilon y}f(x)-f(x)\|_{p,d\nu_{\lambda}} |\widehat{\varphi}(y)|\,d\nu_{\lambda}(y) \leqslant \int_{\mathbb{R}} \omega_{\tau}(\varepsilon y,f)_{p,d\nu_{\lambda}} |\widehat{\varphi}(y)|\,d\nu_{\lambda}(y). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Утверждение теоремы 2 вытекает из (4.4), (4.5) и оценки

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\int_{\mathbb{R}}\omega_{\tau}(\varepsilon y,f)_{p,d\nu_{\lambda}} |\widehat{\varphi}(y)|\,d\nu_{\lambda}(y) \\ &\qquad\leqslant \omega_{\tau}(\varepsilon R,f)_{p,d\nu_{\lambda}} \int_{|y|\leqslant R}|\widehat{\varphi}(y)|\,d\nu_{\lambda}(y) +\bigl(1+M_{r,\lambda}^{\tau}\bigr)\|f\|_{p,d\nu_{\lambda}} \int_{|y|\geqslant R}|\widehat{\varphi}(y)|\,d\nu_{\lambda}(y). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Теорема 2 доказана.

Следствие 1. Если в условиях теоремы 2 $\varphi=(\varphi)_{\mathrm e}$ , то, учитывая неравенство (4.3), имеем

$\begin{equation*} \|f(x)-\Phi_{\varepsilon}^{T}f(x)\|_{p,d\nu_{\lambda}}\to 0,\qquad \varepsilon\to 0. \end{equation*} \notag$

Обобщенные средние $\Phi_{\varepsilon}f$ , для которых имеет место сходимость в пространствах $L^p(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ , $1\leqslant p\leqslant\infty$ , назовем регулярными.

5. Примеры обобщенных средних

Для четного генератора $\varphi$ обобщенное преобразование Данкля $\widehat{\varphi}$ также является четным и совпадает с преобразованием Ганкеля

$\begin{equation*} \widehat{\varphi}(y)=2\int_{\mathbb{R}_+}j_{\lambda}(yx) f(x)\,d\nu_{\lambda}(x)=H_{\lambda}(f)(y), \end{equation*} \notag$

поэтому обобщенное преобразование Данкля

$(r\geqslant 0)$ четного генератора обобщенных средних совпадает с обычным преобразованием Данкля

$(r=0)$ и даже преобразованием Ганкеля. В [18] рассмотрены следующие примеры средних для преобразования Данкля с четными генераторами: средние Гаусса–Вейерштрасса, Пуассона, Бохнера–Рисса. Они будут примерами и обобщенных средних. Для обобщенных средних Гаусса–Вейерштрасса

$\varphi(x)=\widehat{\varphi}(x)=e^{-x^2/2}\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ . Для обобщенных средних Пуассона

$\begin{equation*} \varphi(x)=e^{-|x|}\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda}), \qquad \widehat{\varphi}(y)=\frac{c_{\lambda}}{(1+y^2)^{\lambda+3/2}}\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda}). \end{equation*} \notag$

Таким образом, обобщенные средние Гаусса–Вейерштрасса и Пуассона являются регулярными. Для обобщенных средних Бохнера–Рисса

$\begin{equation*} \varphi(x)=\begin{cases} (1-|x|^2)^{\delta}, & |x|\leqslant 1, \\ 0, & |x|\geqslant 1, \end{cases}\qquad \widehat{\varphi}(y)=c_{\lambda,\delta}j_{\lambda+\delta+1}(y),\qquad \delta>0. \end{equation*} \notag$

Генератор

$\varphi\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ . Функция

$\widehat{\varphi}\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ , если только

$\delta>\delta_0=\lambda+1/2$ . Число

$\delta_0$ называют критическим показателем. Если

$\delta>\delta_0$ , то обобщенные средние Бохнера–Рисса являются регулярными. При

$\delta\leqslant\delta_0$ они не являются регулярными.

Рассмотрим пример генератора $\varphi_{s,a}(x)=(1+ax^{2s+1})e^{-x^2/2}$ , $s\in\mathbb{Z}_+$ , $a\in\mathbb{R}$ , не являющегося четным. Функция $\varphi_{s,a}\in \mathcal{S}_r(\mathbb{R})$ при $s\geqslant r$ . Обобщенное преобразование Данкля

$\begin{equation*} \widehat{\varphi}_{s,a}(y)=e^{-y^2/2}+iac_{r,\lambda,s}y^{2r+1} \begin{cases} \Phi\biggl(\lambda+r+s+2,\lambda+2r+2,-\dfrac{y^2}{2}\biggr),&s<r, \\ e^{-y^2/2}L_{s-r}^{\lambda+2r+1}\biggl(\dfrac{y^2}{2}\biggr),&s\geqslant r. \end{cases} \end{equation*} \notag$

(см. [20; гл. VIII, (8.6.13), (8.6.14)]). Здесь

$L_s^{\lambda}(x)$ – обобщенные многочлены Лагерра (см. [6; гл. X, 10.12]). Следовательно,

$\widehat{\varphi}_{s,a}\in\mathcal{S}_r(\mathbb{R})$ при

$s\geqslant r$ . Согласно асимптотике вырожденной гипергеометрической

$\Phi$ -функции [19; гл. VI, (6.13.1)] при

$s<r$ и

$y\to\infty$

$\begin{equation*} \Phi\biggl(\lambda+r+s+2,\lambda+2r+2,-\frac{y^2}{2}\biggr) =\frac{\Gamma(\lambda+2r+2)}{\Gamma(r-s)}\biggl(\frac{y^2}{2}\biggr)^{-(\lambda+r+s+2)} \biggl(1+O\biggl(\frac{1}{y^2}\biggr)\biggr), \end{equation*} \notag$

поэтому

$\widehat{\varphi}_{s,a}\in L^{1}(\mathbb{R},d\nu_{\lambda})$ , но

$\widehat{\varphi}_{s,a}\not\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ . Обобщенные средние с генератором

$\varphi_{s,a}$ являются регулярными. Они обобщают средние Гаусса–Вейерштрасса.



СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	C. F. Dunkl, “Integral kernels with reflection group invariance”, Canad. J. Math., 43:6 (1991), 1213–1227
2.	M. Rösler, “Dunkl operators: theory and applications”, Orthogonal Polynomials and Special Functions (Leuven, 2002), Lecture Notes in Math., 1817, Springer-Verlag, Berlin, 2003, 93–135
3.	S. Ben Saïd, T. Kobayashi, B. Ørsted, “Laguerre semigroup and Dunkl operators”, Compos. Math., 148:4 (2012), 1265–1336
4.	D. V. Gorbachev, V. I. Ivanov, S. Yu. Tikhonov, On the Kernel of $(\kappa,a)$ -generalized Fourier Transform, arXiv: 2210.15730
5.	M. A. Boubatra, S. Negzaoui, M. Sifi, “A new product formula involving Bessel functions”, Integral Transforms Spec. Funct., 33:3 (2022), 247–263
6.	A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi, Higher Transcendental Functions, v. II, McGraw Hill, New York, 1953
7.	M. Rösler, “Generalized Hermite polynomials and the heat equation for Dunkl operators”, Comm. Math. Phys., 192:3 (1998), 519–542
8.	K. Trimèche, “Paley–Wiener theorems for the Dunkl transform and Dunkl translation operators”, Integral Transforms Spec. Funct., 13:1 (2002), 17–38
9.	M. Rösler, “A positive radial product formula for the Dunkl kernel”, Trans. Amer. Math. Soc., 355:6 (2003), 2413–2438
10.	D. V. Gorbachev, V. I. Ivanov, S. Yu. Tikhonov, “Positive $L^p$ -bounded Dunkl-type generalized translation operator and its applications”, Constr. Approx., 49:3 (2019), 555–605
11.	D. V. Gorbachev, V. I. Ivanov, S. Yu. Tikhonov, “Pitt's inequalities and uncertainty principle for generalized Fourier transform”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 23 (2016), 7179–7200
12.	В. И. Иванов, “Преобразование Рисса для одномерного $(k,1)$ -обобщенного преобразования Фурье”, Матем. заметки, 113:3 (2023), 360–373
13.	G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1966
14.	H. Mejjaoli, “Deformed Stockwell transform and applications on the reproducing kernel theory”, Int. J. Reprod. Kernels, 1:1 (2022), 1–39
15.	H. Mejjaoli, K. Trimèche, “Localization operators and scalogram associated with the deformed Hankel wavelet transform”, Mediterr. J. Math., 20:3 (2023), 186
16.	С. С. Платонов, “Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:5 (2007), 149–196
17.	Б. М. Левитан, И. С. Саргсян, Введение в спектральную теорию. Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы, Наука, М., 1970
18.	S. Thangavelu, Y. Xu, “Convolution operator and maximal function for the Dunkl transform”, J. Anal. Math., 97 (2005), 25–55
19.	A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi, Higher Transcendental Functions, v. I, McGraw Hill, New York, 1953
20.	A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi, Tables of Integral Transforms, v. II, McGraw Hill, New York, 1954

Образец цитирования: В. И. Иванов, “Недеформированное обобщенное преобразование Данкля на прямой”, Матем. заметки, 114:4 (2023), 509–524; Math. Notes, 114:4 (2023), 443–456

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Iva23}

\by В.~И.~Иванов

\paper Недеформированное обобщенное преобразование Данкля на прямой

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 114

\issue 4

\pages 509--524

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm14021}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm14021}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2023

\vol 114

\issue 4

\pages 443--456

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623090171}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85174702215}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/mzm14021

https://doi.org/10.4213/mzm14021

https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v114/i4/p509

Эта публикация цитируется в следующих 4 статьяx:

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	255
PDF полного текста:	37
HTML русской версии:	169
Список литературы:	51
Первая страница:	13

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Введение

2. Некоторые свойства обобщенного преобразования Данкля

3. Операторы обобщенного сдвига и свертки

4. Сходимость обобщенных средних в пространствах L_pL_p

5. Примеры обобщенных средних

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

4. Сходимость обобщенных средних в пространствах $L_p$