Т. В. Богачев, А. В. Колесников, “О задаче монополиста и двойственной к ней”, Матем. заметки, 114:2 (2023), 181–194; Math. Notes, 114:2 (2023), 147

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

Математические заметки

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математические заметки, 2023, том 114, выпуск 2, страницы 181–194
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13933 (Mi mzm13933)

О задаче монополиста и двойственной к ней

Т. В. Богачев, А. В. Колесников

Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва

PDF полного текста (581 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13933

Аннотация: В работе изучается функционал

$\Phi$ , возникающий в многочисленных экономических приложениях, в частности, в задаче монополиста. Особенностью данных задач являются неклассические области определения таких функционалов (в нашем случае – возрастающие выпуклые функции). Доказано соотношение двойственности для

$\Phi$ с помощью подходящей теоремы о минимаксе. В частности, получено важное следствие, что двойственный функционал (определенный на пространстве мер и известный как “функционал Бекмана”) достигает своего минимума. Также настоящий подход дает более простые доказательства некоторых известных ранее результатов.
Библиография: 16 названий.

Ключевые слова: задача монополиста, функционал Дирихле, принцип минимакса.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Программа фундаментальных исследований НИУ ВШЭ
Российский научный фонд	22-21-00566
Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ. Работа поддержана проектом РНФ № 22-21-00566, https://rscf.ru/project/22-21-00566/.

Поступило: 22.02.2023

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages 147–158
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070167

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 517.51+519.86+517.97

MSC: 49Q22, 28A33, 28A99

1. Введение

Предметом иccледования настоящей работы является функционал типа Дирихле

$\begin{equation*} \Phi(u)=\int_{X}\bigl( \langle x, \nabla u(x) \rangle-u(x)- \varphi(\nabla u(x)) \bigr)\rho(x)\,dx, \end{equation*} \notag$

где

$X=[0,1]^n$ ,

$\varphi$ – выпуклая функция на

$X$ ,

$\rho$ – вероятностная плотность на

$X$ . Целью исследования является максимизация функционала

$\Phi$ . Данная проблема возникает в экономических приложениях, а именно, в задачах монополиста, многомерного скрининга и аукциона [1]–[4].

Из соображенией экономической целесообразности вытекает выбор класса функций, на котором максимизируется $\Phi$ . В отличие от классического случая, где на множество определения $\Phi$ не налагается ограничений геометрического характера, мы будем рассматривать функционал $\Phi$ на множестве $\mathcal{U}_0(X)$ выпуклых и покоординатно возрастающих функций на $X$ , равных нулю в начале координат. Такой выбор множества функций делает задачу поиска максимума $\Phi$ существенно отличной от классической. Например, в этом случае точка максимума $\overline{u}$ удовлетворяет соответствующему квазилинейному эллиптическому уравнению в частных производных не во всех точках $X$ , а только в некоторой области, где $\overline{u}$ строго выпукла.

Исследование таких задач сопряжено с рядом трудностей. В частности, очень редки ситуации, когда возможно найти явное решение (см., впрочем, примеры в [3], [4]), что в первую очередь востребовано в приложениях. Можно получить достаточно точное численное моделирование решений (см. [4]), но и оно в настоящий момент не дает ясные ответы о свойствах решений. Исследования классическими вариационными методами также затруднено из-за неклассической области определения. Естественным методом исследования представляется метод двойственности, т.е. описание двойственного функционала и использование этой техники для описания свойств решения.

Изначальная постановка многих задач такого типа была дана в терминах отображений, называемых механизмами и удовлетворяющих некоторым естественным аксиомам, вытекающим из экономической целесообразности. В работе [1] была получена эквивалентная формулировка задачи монополиста в форме поиска максимума функционала $\Phi$ на множестве $\mathcal{U}_0$ (максимизация полной выручки). Также в этой работе был подробно изучен случай квадратичной функции $\varphi$ и исследованы основные свойства решений.

Между задачей аукциона (см. классическую работу [5]) и задачей монополиста существует тесная, но неочевидная связь. В работе [3] была изучена задача аукционов для одного покупателя, которая является частным случаем задачи монополиста для функции

$\begin{equation*} \varphi(x)=\sum_{i=1}^n \delta_{[0,1]}(x_i), \end{equation*} \notag$

где

$\delta_{[0,1]}(t)=0$ , если

$t \in [0,1]$ и

$\delta_{[0,1]}(t)=+\infty$ , если

$t>1$ . Таким образом, ищется максимум функционала

$\begin{equation*} \int_{X} ( \langle x, \nabla u \rangle-u ) \rho\,dx \end{equation*} \notag$

на множестве

$\mathcal{U}_0(X) \cap \operatorname{Lip}_1(X)$ всех

$1$ -липшицевых функций из

$\mathcal{U}_0(X)$ . Отметим, что липшицевость понимается в смысле

$\ell ^{1}$ -нормы, т.е. функция тогда считается

$1$ -липшицевой, если выполнено неравенство

$\begin{equation*} |u(x+t e_i)-u(x)| \leqslant |t| \end{equation*} \notag$

для всех

$x, x+te_i \in X$ и всех ортов

$e_i$ ,

$1 \leqslant i \leqslant n$ .

В работе [3] было предложено другое представление функционала $\Phi$ . В предположении достаточной гладкости $\rho$ проинтегрируем по частям слагаемое с $\langle x, \nabla u \rangle \rho$ . Это даст следующее представление на множестве всех липшицевых функций:

$\begin{equation*} \int_{X} ( \langle x, \nabla u \rangle-u )\rho\,dx+u(0)=\int_{X} u\,dm, \end{equation*} \notag$

где

$m$ – мера конечной вариации со свойством

$m(X)=0$ . Отметим, что

$m$ содержит сингулярные компоненты, в том числе дельта-функцию в нуле и нетривиальную меру на

$\partial X$ . Таким образом, задача аукциона для одного покупателя сводится к задаче поиска

$\begin{equation*} \int_X u\,dm \to \max \end{equation*} \notag$

на множестве

$\mathcal{U}(X) \cap \operatorname{Lip}_1(X)$ , где

$\mathcal{U}(X)$ есть множество выпуклых и покоординатно возрастающих функций на

$X$ . Как показано в работе [3], это представление позволяет установить связь исходной задачи с задачей Монжа–Канторовича с функцией стоимости

$\begin{equation*} c(x,y)=\sum_{i=1}^n |x_i-y_i| \end{equation*} \notag$

и соответствующим расстоянием

$W_1$ (подробнее об этом см. [6], [7]). А именно, задача аукциона оказывается двойственной к транспортной в следующем смысле:

$\begin{equation} \max_{u \in \mathcal{U}(X) \cap \operatorname{Lip}_1(x) } \int_X u\,dm =\min_{m_+\preceq \gamma_1, m_{-} \succeq \gamma_2} W_1(\gamma_1, \gamma_2). \end{equation} \tag{1.1}$

Здесь

$m=m_+- m_{-}$ – разложение

$m$ на положительную и отрицательную части,

$\gamma_i$ – неотрицательные меры со свойством

$m_+(X)=m_{-}(X)=\gamma_1(X)=\gamma_2(X)$ ;

$\mu_1 \preceq \mu_2$ означает, что для всех функций

$u \in \mathcal{U}$ выполнено неравенство

$\begin{equation*} \int_X u\,d\mu_1 \leqslant \int_X u\,d\mu_2. \end{equation*} \notag$

Отметим, что последнее условие означает, что двойственная задача является вариантом транспортной задачи, в которой возникают ограничения типа стохастического доминирования. Такого рода задачи (например, мартингальная транспортная задача или задача о слабом расстоянии) приобрели за последнее время большую популярность в приложениях (см. [8]–[10]).

Дальнейшие обобщения на случай многих покупателей были получены в работе [4]. Прежде чем изложить основной результат этой работы, обсудим важное соотношение двойственности для функционала

$\begin{equation*} \Phi(u)=\int_X u\,dm-\int_X \varphi(\nabla u) \rho\,dx. \end{equation*} \notag$

Величину

$\sup_{u \in C(X)} \Phi(u)$ , где

$\sup$ взят по множеству всех непрерывных функций (можно также ограничиться подходящим соболевским классом), естественно понимать как преобразование Лежандра энергетического функционала

$\begin{equation*} u \mapsto \int_X \varphi(\nabla u) \rho\,dx. \end{equation*} \notag$

Оказывается, это преобразование совпадает с функционалом Бекмана

$\begin{equation*} \operatorname{Beck}_{\rho, \varphi^*}(m)=\inf_{c\colon \operatorname{div} (c \cdot \rho)=-m} \int_X \varphi^*(c) \rho\,dx, \end{equation*} \notag$

предложенным в работе [11] для моделирования транспортных потоков, т.е. имеет место равенство

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \sup_{u \in C(X)} \Phi(u) &=\sup_{u \in C(X)} \biggl( \int_X u\,dm-\int_X \varphi(\nabla u) \rho\,dx \biggr) \\ &=\inf_{c\colon\operatorname{div} (c \cdot \rho)=-m} \int_X \varphi^*(c) \rho\,dx=\operatorname{Beck}_{\rho, \varphi^*}(m) \end{aligned} \end{equation*} \notag$

(см. детали в лемме 6). Здесь

$\varphi^*$ – преобразование Лежандра

$\varphi$ ,

$c$ – интегрируемое векторное поле на

$X$ , причем равенство

$\operatorname{div} (c \cdot \rho)=-m$ понимается в смысле интегрирования по частям:

$\begin{equation*} \int_X \xi\,dm=\int_X \langle \nabla \xi, c \rangle \rho\,dx, \end{equation*} \notag$

где

$\xi$ – произвольная гладкая функция на

$X$ (обращаем внимание, что

$\xi$ не предполагается зануляющейся на

$\partial X$ и что

$m$ содержит сингулярные компоненты). О связи задачи Бекмана с теорией оптимальной транспортировки см. книгу [12].

В работе [4], а также независимо от нее в работе [13] было доказано следующее важное соотношение, обобщающее (1.1):

$\begin{equation} \sup_{u \in \mathcal{U}(X)} \Phi(u) =\inf_{c \in \mathcal{C}} \int_X \varphi^*(c) \rho\,dx, \end{equation} \tag{1.2}$

где

$\mathcal{C}$ – множество интегрируемых векторных полей со свойством

$\begin{equation*} \mathcal{C}=\biggl\{ c\colon \int_X u\,dm \leqslant \int_X \langle \nabla u, c \rangle \rho\,dx \ \forall\, u \in \mathcal{U}(X)\biggr\}. \end{equation*} \notag$

Для достаточно регулярных полей это соотношение можно переписать в виде

$\begin{equation*} m \preceq-\operatorname{div} ( c \cdot \rho), \end{equation*} \notag$

поэтому соотношение (1.2) приобретает форму

$\begin{equation} \sup_{u \in \mathcal{U}(X)} \Phi(u)=\inf_{ m \preceq \pi } \operatorname{Beck}_{\rho, \varphi^*} (\pi). \end{equation} \tag{1.3}$

Закончим введение описанием связи общей задачи аукционов с задачей монополиста, задачей Бекмана и порядком на пространстве мер. В работе [4] с помощью результата [2] о так называемых редуцированных формах механизмов было доказано, что задача аукционов с $B$ покупателями эквивалентна задаче поиска максимума функционала

$\begin{equation*} u \mapsto \int_X u\,dm \end{equation*} \notag$

на множестве

$u \in \mathcal{U}$ с дополнительными ограничениями

$\begin{equation*} \nu_i \preceq \eta, \end{equation*} \notag$

в которых

$\eta$ – распределение случайной величины

$\xi^{B-1}$ , где

$\xi$ имеет равномерное распределение на

$[0,1]$ ,

$\nu_i$ – образ меры

$\rho\,dx$ относительно отображения

$x \mapsto \partial_{x_i} u(x)$ . Несмотря на то, что в заданном функционале отсутствует нелинейная часть

$\varphi$ , задача оказывается эквивалентной задаче монополиста

$\Phi(u) \to \max$ для некоторой экзогенной функции

$\varphi$ . Более точно, имеет место соотношение двойственности

$\begin{equation} \max_{u \in \mathcal{U}(x), \nu_i \preceq \eta} \int_X u\,dm =\inf_{\varphi_i \in \mathcal{U}([0,1]),\, c \in \mathcal{C}} \biggl( \sum_{i=1}^n \varphi_i^*(c_i) \rho\,dx+\int_{0}^{1} \varphi_i\,d\eta \biggr). \end{equation} \tag{1.4}$

То же самое соотношение можно представить в такой форме:

$\begin{equation} \max_{u \in \mathcal{U}(x),\, \nu_i \preceq \eta} \int_X u\,dm =\inf_{\varphi_i \in \mathcal{U}([0,1]), \,m \preceq \pi } \biggl( \operatorname{Beck}_{\rho, \varphi^*} (\pi) + \int_0^1 \varphi_i\,d\eta \biggr). \end{equation} \tag{1.5}$

При этом существуют минимизирующие функции $\overline{\varphi}_i$ и точка максимума $\overline{u}$ функционала в левой части также является точкой максимума функционала $\Phi$ для функции $\overline{\varphi}=\sum_{i=1}^n \overline{\varphi}_i$ .

Приведем список наших обозначений.

• $E=C([0,1]^n)$ – пространство непрерывных функций на $X=[0,1]^n$ с равномерной нормой, $E_0 \subset E$ – подпространство функций со свойством $x(0)=0$ .
• $\mathcal{M}$ – множество знакопеременных борелевских мер конечной вариации на $X$ , $\mathcal{M}_0$ – подмножество $\mathcal{M}$ со свойством $\mu(X)=0$ .
• $\rho$ – вероятностная плотность на $[0,1]^n$ , ограниченная и отделенная от нуля.
• $\mathcal{U}=\mathcal{U}(X)$ – множество конечных выпуклых покоординатно возрастающих функций на $[0,1]^n$ ; $\mathcal{U}_0$ – множество функций из $\mathcal{U}$ со свойством $u(0)=0$ .
• $\varphi$ – выпуклая неотрицательная функция на $\mathbb{R}^{n}$ . В основной теореме будем предполагать, что $\varphi$ – полунепрерывная снизу функция, конечная на $X=[0,1]^n$ и равная $+\infty$ вне $X$ , но в ряде вспомогательных утверждений для полноты рассмотрен и случай конечной функции. В обоих случаях функция $\varphi$ ограничена на $X$ .
• $W^{p,1}([0,1]^n)$ – соболевский класс функций из $L^p(X)$ , обладающих слабыми производными первого порядка в $L^p(X)$ .
• $\mathcal{K}= E_0 \cap W^{1,1}(X) \cap \{u\colon \nabla u \in [0,1]^n \text{ почти всюду}\}$ – компакт в $E$ , на котором функционал $\Phi$ принимает конечные значения (но не только на нем).
• Пусть $\mu_i \in \mathcal{M}$ – две меры со свойством $\mu_1(X)= \mu_2(X)$ . Тогда $\mu_1 \preceq \mu_2$ означает, что для всякой функции $u \in \mathcal{U}$ выполнено неравенство
$\begin{equation*} \int_X u\,d\mu_1 \leqslant \int_X u\,d\mu_2. \end{equation*} \notag$
• $V_{\rho}(m)(X)$ – множество интегрируемых относительно $\rho dx$ (в данном случае это равносильно интегрируемости относительно меры Лебега) векторных полей со свойством
$\begin{equation} \operatorname{div}(\rho \cdot V)=- m, \end{equation} \tag{1.6}$
где $m \in \mathcal{M}_0$ , а соотношение (1.6) понимается в смысле интегрирования по частям:
$\begin{equation*} \int_X \langle \nabla \xi, V \rangle \rho\,dx=\int_X \xi\,dm \end{equation*} \notag$
для всякой непрерывно дифференцируемой функции $\xi$ на $X$ .

2. Основные результаты

В настоящей работе получены следующие результаты:

1) получено новое доказательство соотношения (1.3) на основе варианта принципа минимакса, не требующего компактность пространства функций;
2) доказано cледующее усиление (1.3):
$\begin{equation} \max_{u \in \mathcal{U}(X)} \Phi(u) =\min_{ m \preceq \pi } \operatorname{Beck}_{\rho, \varphi^*} (\pi); \end{equation} \tag{2.1}$
таким образом, функционал в правой части достигает минимума.

Отметим, что доказательство (1.3) в [4] использовало классическую форму теоремы о минимаксе, известную как теорема Сиона. В последней предполагается компактность одного из пространств, что во многих приложениях не выполнено. Конкретно в нашем случае это пространство $E$ , которое некомпактно. Преодоление этого ограничения делает доказательство более громоздким (хотя по пути в [4] были доказаны разные полезные вспомогательные результаты, например, априорные оценки решения). Доказательство из настоящей работы (см. п. 3.1) проще и основано на применении адаптированной версии теоремы 1.9 из [7].

Существование минимума $\overline{\pi}$ (формула (2.1)) неочевидно и известно только в тех случаях, когда функция $\varphi^*$ имеет суперлинейный рост. Действительно, из условия дополняющей нежесткости вытекает, что решение $\overline{c}$ обладает свойством

$\begin{equation*} \overline{c }\in \partial \varphi(\nabla \overline{u}), \end{equation*} \notag$

где

$\partial \varphi$ – субдифференциал

$\varphi$ . В частности, если

$\varphi$ – дифференцируемая функция, то

$\overline{c}=\nabla \varphi (\nabla \overline{u})$ . Тогда точка минимума

$\operatorname{Beck}_{\rho, \varphi^*}$ ищется в виде

$\overline{\pi}=- \operatorname{div}(\overline{c} \cdot \rho)$ .

Этот подход не работает, если $\varphi$ конечна только на компактном множестве. Именно это имеет место в двойственной задаче аукциона: функции $\varphi_i$ в (1.4) обращаются в $+\infty$ вне отрезка $[0,1]$ , поэтому $\varphi_i^*$ имеют линейный рост. Также условие $\overline{c }\in \partial \varphi(\nabla \overline{u})$ не задает никаких оценок сверху, потому что $\partial \varphi_i(1)$ – неограниченное множество и определить $\overline{\pi}$ как дивергенцию не представляется возможным. Также открыт вопрос, всегда ли достигается минимум $\int_X \varphi^*(c) \rho\,dx$ на $\mathcal{C}$ . В работе [4] доказано (см. теорема 2), что минимум в двойственном функционале достигается, если расширить его область определения до более широкого множества, чем $\mathcal{C}$ , а именно, до пространства векторнозначных мер. Ситуация вполне аналогична утверждению о минимуме в задаче Бекмана для функции $c$ линейного роста (см. [12; теорема 4.6]). В работе [4] приведен пример, когда минимум действительно достигается на векторнозначной мере. В то же время во всех известных примерах можно было показать, что минимум также достигается в том числе и на множестве $\mathcal{C}$ .

Основной результат состоит в следующем утверждении.

Теорема 1. Пусть $\varphi$ – выпуклая полунепрерывная снизу функция, конечная на $X=[0,1]^n$ и равная $+\infty$ вне $X$ , $m \in \mathcal{M}_0$ , где $\mathcal{M}_0$ – множество мер конечной вариации со свойством $m(X)=0$ . Тогда выполнено следующее соотношение (часть утверждения состоит в том, что и минимум и максимум достигаются):

$\begin{equation*} \max_{u \in \mathcal{U}(X)}\Phi(u) =\min_{\pi \in \mathcal{M}_0\colon m \preceq \pi} \operatorname{Beck}_{ \rho, \varphi^*}(\pi), \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \Phi(u)=\biggl( \int_X u\,dm-\int_X \varphi(\nabla u) \rho\,dx\biggr), \qquad \operatorname{Beck}_{\rho, \varphi^*}(\pi) =\inf_{c\colon \pi+\operatorname{div}(c \cdot \rho)=0} \int_X \varphi^*(c) \rho\,dx. \end{equation*} \notag$

3. Вспомогательные утверждения

Рассмотрим более общий вариант функции $\varphi$ , а именно, конечной на кубе и растущей на бесконечности быстрее некоторой степени, т.е.

$\begin{equation} \varphi(y)\geqslant C|y|^p \quad\text{при}\ \ |y|\geqslant 1, \qquad\text{где}\quad C>0, \quad p>n. \end{equation} \tag{3.1}$

Рассмотрим два функционала на $E$ :

$\begin{equation*} \Theta (u)= \begin{cases} \displaystyle \int_X \varphi(\nabla u) \rho\,dx, & u \in W^{1,1}([0,1]^n), \\ +\infty & \text{в противном случае,} \end{cases} \end{equation*} \notag$

$\begin{equation*} \Xi (u)= \begin{cases} \displaystyle -\int_X u\,dm, & u \in \mathcal{U} \\ +\infty & \text{в противном случае.} \end{cases} \end{equation*} \notag$

Нетрудно видеть, что оба функционала выпуклы, а

$E^*$ есть пространство мер конечной вариации.

Лемма 1. Для преобразования Лежандра имеет место равенство

$\begin{equation*} \Xi^*(\mu)= \begin{cases} 0, & \textit{если} \ \mu(X)=0 \ \textit{и} \ \mu \preceq-m, \\ +\infty & \textit{иначе}. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Доказательство. Выполнено равенство

$\begin{equation*} \Xi^*(\mu) =\sup_{u \in E} \biggl( \int_X u\,d\mu+\int_X u\,dm \biggr) =\begin{cases} +\infty , & \text{если} \ \mu(X) \ne 0, \\ \displaystyle \sup_{u \in \mathcal{U}} \int_X u\,d(\mu+m), & \text{если} \ \mu(X)=0, \end{cases} \end{equation*} \notag$

дающее наше утверждение.

В дальнейших рассуждениях нам потребуется, что функционал

$\begin{equation*} \Phi_\mu(u)=\int_X u\,d\mu-\Theta(u), \end{equation*} \notag$

где

$\mu$ – некоторая мера из

$\mathcal{M}$ , достигает максимума. Заметим, что

$\Phi_m=\Phi$ . Первое слагаемое есть линейный непрерывный функционал. Про второе слагаемое докажем следующие утверждения. Для удобства рассмотрим

$\psi=-\varphi$ .

Лемма 2. Пусть $\psi$ – полунепрерывная сверху функция на $[0,1]^n$ , $U$ – множество всех выпуклых функций на $[0,1]^n$ , для которых $\nabla u(x)\in [0,1]^n$ почти всюду, наделенное $\sup$ -метрикой. Тогда функция

$\begin{equation*} \Psi(u)=\int \psi(\nabla u(x))\, dx \end{equation*} \notag$

полунепрерывна сверху. В частности, ее сумма со всякой непрывной функцией достигает максимума на замкнутых подмножествах

$U$ .

Если же функция $\psi$ непрерывна, то и $\Psi$ тоже будет непрерывной.

Доказательство. Сначала предположим, что функция $\psi$ непрерывна. Пусть $u_k\to u$ в $U$ . Тогда $\nabla u_k(x)\to \nabla u(x)$ почти всюду, а именно, во всех точках, где все функции $u_k$ и $u$ дифференцируемы (т.е. почти всюду, ибо $u$ тоже выпукла). Для этого достаточно проверить сходимость частных производных в таких точках, что сводит все к одномерному случаю. В этом случае сходимость производных следует из оценки

$\begin{equation*} u_k(x+h)\geqslant u_k'(x)h+u_k(x), \end{equation*} \notag$

верной при всех

$h$ . Значит,

$\psi(\nabla u_k(x))\to \psi(\nabla u(x))$ почти всюду, причем эти функции равномерно ограничены числом

$\max_{y} |\psi(y)|$ . По теореме Лебега получаем сходимость

$\Psi(u_k)\to \Psi(u)$ , что будет давать непрерывность

$\Psi$ .

В общем случае (полунепрерывности сверху) найдется последовательность непрерывных функций $\psi_j$ , поточечно убывающих к $\psi$ . Для них соответствующие функции $\Psi_j$ непрерывны и убывают на $U$ к функции $\Psi$ . Следовательно, она полунепрерывна сверху. Остается воспользоваться тем, что полунепрерывная сверху функция достигает максимума на компакте.

Лемма 3. Пусть $\psi$ – полунепрерывная сверху вогнутая функция на $[0,1]^n$ , $W$ – множество всех липшицевых функций на $[0,1]^n$ , для которых $\nabla u(x)\in [0,1]^n$ почти всюду, наделенное $\sup$ -метрикой. Тогда функция

$\begin{equation*} \Psi(u)=\int \psi(\nabla u(x))\, dx \end{equation*} \notag$

полунепрерывна сверху. В частности, ее сумма со всякой непрерывной функцией достигает максимума на

$W$ .

Доказательство. Как и в предыдущей лемме, утверждение сводится к случаю непрерывной функции $\psi$ . Заметим, что можно перейти к подмножеству $\mathcal{K}\subset W$ функций, равных нулю в нуле. Это подмножество компактно, ибо равномерно липшицево. Функция $\Psi$ ограничена на $W$ , поэтому можно взять последовательность функций $w_j\in \mathcal{K}$ , для которых значения $\Psi(w_j)$ стремятся к супремуму $S$ функции $\Psi$ . Перейдя к подпоследовательности, можно считать, что эти функции равномерно сходятся к функции $w_0\in \mathcal{K}$ . В силу равномерной ограниченности отображений $\nabla w_j$ можно воспользоваться теоремой Банаха–Сакса и перейти к дальнейшей подпоследовательности (обозначаемой прежними индексами), для которой средние $v_j=(\nabla w_1+\cdots+\nabla w_j)/j$ сходятся в $L^2(X)$ . Ясно, что предел есть $\nabla w_0$ . В силу вогнутости $\psi$ имеем $\Psi(v_j)\geqslant [\Psi(w_1)+\cdots+\Psi(w_j)]/j$ . Поэтому $\Psi(v_j)\to S$ . С другой стороны, $\psi(v_j)\to \psi(w_0)$ по мере на $X$ . По теореме Лебега $\Psi(v_j)\to \Psi(w_0)$ , откуда $\Psi(w_0)=S$ .

Замечание 1. В лемме 2 мы показываем достижимость максимума функционала $\Phi_\mu$ на множестве всех выпуклых на кубе функций, градиент которых также окажется в кубе почти всюду. Когда $\varphi$ бесконечна вне куба, это эквивалентно достижимости максимума $\Phi_\mu$ на $\mathcal{U}_0$ . При этом выпуклость $\varphi$ не требуется. В то же время лемма 3 требует выпуклость $\varphi$ и констатирует достижимость максимума $\Phi_\mu$ на классе $W$ всех липшицевых функций на кубе, для которых $\nabla u(x)\in [0,1]^n$ почти всюду. Для случая, когда $\varphi$ бесконечна вне куба, это утверждение эквивалентно достижимости максимума функционала $\Phi_\mu$ на $E$ .

Далее мы докажем утверждения про случай, в котором $\varphi$ конечна и вне куба и удовлетворяет условию (3.1).

Лемма 4. Пусть $\varphi\geqslant 0$ – выпуклая конечная функция на $\mathbb{R}^n$ , причем $\varphi(y)\geqslant C|y|^p$ при $|y|\geqslant 1$ , где $C>0$ , $p>n$ . Тогда для всякой ограниченной меры $\mu$ на $X$ и всякого числа $M$ множество $W_M$ таких непрерывных функций $u\in E_0\cap W^{p,1}(X)$ , что

$\begin{equation} \Phi_\mu (u)= \int_X u\, d\mu -\int_X \varphi(\nabla u)\rho\, dx\geqslant -M, \end{equation} \tag{3.2}$

выпукло, ограничено в

$W^{p,1}(X)$ и компактно в

$E_0$ .

Доказательство. Выпуклость $W_M$ вытекает из выпуклости $\varphi$ . В силу известного неравенства Морри (см. [14; с. 167]) существует такое число $N(n,p)$ , что

$\begin{equation*} \sup_X |u(x)|\leqslant N(n,p)\|\nabla u\|_{L^p(X)} \end{equation*} \notag$

для всех

$u\in E_0\cap W^{p,1}(X)$ . Чтобы применить эту оценку, надо продолжить

$u$ на множество

$[-1,1]^n$ несколькими отражениями. Поэтому в силу условия на

$\varphi$ имеем

$\begin{equation*} \int_{|\nabla u|\geqslant 1} C |\nabla u|^p\rho\, dx \leqslant M+\|\mu\| N(n,p)\|\nabla u\|_{L^p(X)} . \end{equation*} \notag$

При этом

$\rho\geqslant c_1$ , где

$c_1>0$ . Поэтому с некоторым числом

$N(n,p,C,M, \|\mu\|, c_1)$ получаем

$\begin{equation*} \|u\|_{p,1}\leqslant N(n,p,C,M,c_1)\qquad \forall\,u\in E_0\cap W^{p,1}(X). \end{equation*} \notag$

Остается воспользоваться компактностью вложения

$W^{p,1}(X)$ в

$E_0$ .

Лемма 5. Пусть $\varphi\geqslant 0$ – выпуклая конечная функция на $\mathbb{R}^n$ , причем $\varphi(y)\geqslant C|y|^p$ при $|y|\geqslant 1$ , где $C>0$ , $p>n$ . Тогда функция

$\begin{equation*} F(u)=-\int_X \varphi(\nabla u)\rho\, dx \end{equation*} \notag$

со значениями в

$[-\infty,0]$ полунепрерывна сверху на

$E_0$ . Поэтому для всякой меры

$\mu$ на

$X$ функция

$\begin{equation*} \Phi_\mu(u)=\int u\, d\mu -\int_X \varphi(\nabla u)\rho\, dx \end{equation*} \notag$

имеет максимум на всяком компакте в

$E_0$ , на котором она не равна тождественно

$-\infty$ .

Доказательство. Пусть $u_j\to u$ в $E_0$ . Покажем, что $\limsup_j F(u_j)\leqslant F(u_0)$ . Если $F(u_j)\to -\infty$ , то это верно. Поэтому перейдем к случаю, когда $F(u_j)\geqslant -M$ для некоторого $M>0$ и $F(u_j)\to \limsup_j F(u_j)$ . Тогда $u_j\in W^{1,1}(X)$ ; более того, $u_j\in W^{p,1}(X)$ в силу условия $\varphi(y)\geqslant C|y|^p$ при $|y|\geqslant 1$ . Согласно лемме 4 последовательность $\{u_j\}$ ограничена в $W^{p,1}(X)$ и содержится в компакте из $E_0$ . Поэтому $u_0\in W^{p,1}(X)$ . Пользуясь теоремой Банаха–Сакса и перейдя к подпоследовательности, можно считать, что градиенты средних арифметических $w_j=(u_1+\cdots+u_j)/j$ сходятся в $L^p(X)$ , тогда их предел есть $\nabla u_0$ . Поэтому $\varphi(\nabla w_j)\to \varphi(\nabla u_0)$ по мере на $X$ . По теореме Фату получаем $-F(u_0)\leqslant \liminf_j -F(w_j)$ , т.е. $\limsup_j F(w_j)\leqslant F(u_0)$ . В силу вогнутости $-\varphi$ заключаем, что $F(u_j)\leqslant (F(w_1)+\cdots+F(w_j))/j$ , откуда следует нужное неравенство.

Далее мы хотим показать, что преобразование Лежандра функционала Дирихле совпадает с функционалом Бекмана. Это соотношение фактически известно специалистам (см. [12], [16]), но в известных нам работах в доказательствах используются другие предположения о функции $\varphi$ . Поэтому мы приведем независимое доказательство.

Лемма 6. Пусть выпуклая функция $\varphi\geqslant 0$ либо полунепрерывна снизу и конечна на $X$ и равна $+\infty$ вне $X$ , либо конечна на всем $\mathbb{R}^n$ и удовлетворяет оценке $\varphi(y)\geqslant C|y|^p$ с некоторыми $C>0$ , $p>n$ при $|y|\geqslant 1$ . Тогда справедливо равенство

$\begin{equation*} \Theta^*(\mu)= \begin{cases} +\infty , & \textit{если} \ \mu(X) \ne 0, \\ \displaystyle \inf_{ c \in V_{\rho}(\mu)} \int_X \varphi^*(c) \rho\, dx, & \textit{если} \ \mu(X)=0. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Таким образом, если

$\mu(X)=0$ , то

$\begin{equation*} \Theta^*(\mu)= \operatorname{Beck}_{\rho,\varphi^*}(\mu) \end{equation*} \notag$

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда $\varphi=+\infty$ вне $X$ . Имеем

$\begin{equation*} \Theta^*(\mu) =\sup_{u \in E} \biggl( \int_X u\,d\mu -\int_X \varphi(\nabla u)\rho\,dx \biggr)=\sup_{u \in E} \Phi_\mu(u). \end{equation*} \notag$

Заметим, что

$\Theta^*(\mu)=+\infty$ , если

$\mu(X)\ne 0$ . Пусть

$\mu(X)=0$ . Докажем сначала, что

$\Theta^*(\mu) \leqslant \operatorname{Beck}_{\rho,\varphi^*}(\mu)$ . В самом деле, если

$\mu=- \operatorname{div}_{\rho}(c)$ , то для непрерывно дифференцируемой функции

$u$ имеем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag \int_X u\,d\mu -\int_X \varphi(\nabla u)\rho\,dx &=- \int_X u\,d\operatorname{div}_{\rho}(c) -\int_X \varphi(\nabla u)\rho\,dx \\ &=\int_X \langle \nabla u, c \rangle \rho\,dx -\int_X \varphi(\nabla u)\rho\,dx \leqslant \int_X \varphi^*(c) \rho\,dx. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.3}$

Очевидно, что при вычислении

$\Theta^*(\mu) =\sup_{u \in E} \Phi_\mu(u)$ достаточно брать супремум по меньшему множеству, например, по

$W^{1,1}(X)$ или даже по непрерывно дифференцируемым функциям (в силу плотности последних в

$W^{1,1}(X)$ ). Если учесть тот факт, что

$\Theta$ обладает свойством

$\Theta(u)= \Theta(u+c)$ , а также бесконечность

$\varphi$ вне

$X$ (напомним, мы пока рассматриваем такой случай), то получается, что достаточно рассматривать

$\Phi_\mu$ на компакте

$\mathcal{K}$ . Согласно (3.3) для всех полей

$c \in V_{\rho}(\mu)$ выполнено неравенство

$\begin{equation*} \Theta^*(\mu) \leqslant \int_X \varphi^*(c) \rho\,dx, \end{equation*} \notag$

следовательно,

$\begin{equation*} \Theta^*(\mu) \leqslant \inf_{c \in V_{\rho}(\mu)} \int_X \varphi^*(c) \rho\, dx=\operatorname{Beck}_{\rho,\varphi^*}(\mu). \end{equation*} \notag$

В силу леммы 3 и непрерывности первого слагаемого функционал

$\begin{equation*} \Phi_\mu(u)=\int_X u\,d\mu-\Theta(u) \end{equation*} \notag$

полунепрерывен сверху и достигает максимума на

$E$ (см. замечание 1).

Вернемся к доказательству соотношения $\Theta^*(\mu)=\operatorname{Beck}_{\rho,\varphi^*}(\mu)$ . Предположим сначала, что $\varphi$ – непрерывно дифференцируемая функция. Тогда равенство получается, если в качестве $u$ взять точку максимума $\overline{u}$ функционала $\Phi_\mu$ и положить $c=\nabla \varphi(\nabla \overline{u})$ . Действительно, стандартным образом вычисляя вариацию этого функционала в точке максимума, получаем, что для любой непрерывно дифференцируемой функции $v$ верно равенство

$\begin{equation*} \int_X v\,d\mu=\int_X \langle \nabla v, c \rangle \rho\,dx. \end{equation*} \notag$

Следовательно,

$\operatorname{div}_{\rho}(c)=- \mu$ . Из двойственности Лежандра получаем

$\begin{equation*} \varphi(\nabla \overline{u})+\varphi^*(c)= \varphi(\nabla \overline{u})+\varphi^*(\nabla \varphi(\overline{u}))= \langle c, \nabla \overline{u}\rangle. \end{equation*} \notag$

Интегрируя это соотношение по

$\rho dx$ , получаем

$\begin{equation*} \Theta(u)+\int_X \varphi^*(c) \rho\,dx=\int_X \langle c, \nabla \overline{u}\rangle\,dx=\int_X \overline{u}\,d\mu. \end{equation*} \notag$

Для непрерывно дифференцируемых

$\varphi$ лемма доказана. В общем случае приблизим

$\varphi$ монотонно возрастающей последовательностью гладких выпуклых функций, равномерно сходящейся на

$X$ . Пусть

${u}_j$ – точка максимума функционала

$\begin{equation*} \Phi_j(u)=\int_X u\,d\mu-\int_X \varphi_j(\nabla u) \rho\,dx. \end{equation*} \notag$

Получили последовательность полунепрерывных сверху функций

$\Phi_j$ на компакте

$\mathcal{K}$ , равномерно сходящейся к функции

$\Phi_\mu$ . Функция

$\Phi_\mu$ тоже полунепрерывна, причем максимумы функций

$\Phi_j$ убывают к максимуму функции

$\Phi_\mu$ . Как было показано выше,

$\Phi_j(u_j)=\int_X \varphi_j^*(c_j) \rho\,dx$ ,

$c_j=\nabla\varphi_j(\nabla u_j)$ , причем

$\operatorname{div}_{\rho}(c_j)=-\mu$ . Таким образом,

$\begin{equation*} \lim_j \int_X \varphi_j^*(c_j) \rho\,dx=\Phi(\overline{u}). \end{equation*} \notag$

Учитывая, что

$\varphi^*_j \geqslant \varphi^*$ и

$c_j \in V_{\rho}(\mu)$ , получаем

$\begin{equation*} \Phi(\overline{u}) \geqslant \overline\lim_j \int_X \varphi^*(c_j) \rho\,dx \geqslant \inf_{c \in V_{\rho}(\mu)} \int_X \varphi^*(c) \rho\,dx=\operatorname{Beck}_{\rho,\varphi^*}(\mu). \end{equation*} \notag$

Так как

$\sup_{u \in E} \Phi(u) \leqslant \operatorname{Beck}_{\rho,\varphi^*}(\mu)$ , то получаем, что

$\overline{u}$ – точка максимума

$\Phi(u)$ , причем верно равенство

$\Phi(u)=\lim_j \int_X \varphi^*(c_j) \rho\,dx$ , что и требовалось доказать.

Теперь укажем необходимую модификацию доказательства во втором случае, когда функция $\varphi$ конечна. Здесь вместо компакта $\mathcal{K}$ надо брать подходящие компакты $W_M$ из леммы 4, заданные условием (3.2). Гладкие выпуклые функции $\varphi_j$ , возрастающие к $\varphi$ , можно взять даже равномерно сходящимися на всем пространстве; см. [15], где показано, что для всякой выпуклой функции $f$ при каждом $\varepsilon>0$ найдется такая бесконечно дифференцируемая выпуклая функция $g$ , что $f-\varepsilon< g <f$ . Возрастающую последовательность можно получить, применяя этот результат к функциям $f-\delta$ . Для соответствующих функций $\Phi_j$ при всех достаточно больших $j$ максимумы будут достигаться на компакте $W_M$ с $M=\Phi(\overline{u})-1$ .

Замечание 2. Отметим, что в лемме не утверждается, что функционал $\Theta^*$ достигает минимума на $V_{\rho}(\mu)$ . Результат о достижении минимума требует расширения множества $V_{\rho}(\mu)$ до пространства векторнозначных мер (см. [12], [4]).

Лемма 7. Пусть $E$ – сепарабельное нормированное пространство, $A$ , $B$ – выпуклые непересекающиеся множества. Предположим, что $A$ замкнуто, а $B$ имеет вид

$\begin{equation*} B=\bigcup_{n=1}^{\infty} K_n, \end{equation*} \notag$

где

$K_n \subset K_{n+1}$ – компактные выпуклые множества. Тогда существует такой линейный функционал

$l \in E^*$ , что

$\begin{equation*} \inf_{x \in A} l(x) \geqslant \sup_{y \in B} l(y). \end{equation*} \notag$

Доказательство. В силу известной версии теоремы об отделимости для любого $n$ существует такой функционал $l_n \in E^*$ , что $l_n(x) > l_n(y)$ для всех $x \in A, y \in K_n$ . Можно считать, что $\|l_n\|=1$ . Пользуясь теоремой Банаха–Алаоглу, извлекаем слабо сходящую подпоследовательность $l_{n_m} \to l$ . Это и есть нужный функционал. Действительно, пользуясь тем, что произвольный вектор $y \in B$ принадлежит всем $K_n$ для достаточно больших $n$ , из неравенства $l_{n_m}(x) > l_{n_m}(y)$ предельным переходом получаем искомое неравенство $l(x) \geqslant l(y)$ для всех $x \in A, y \in B$ .

3.1. Принцип минимакса

Следующее утверждение также верно как для случая бесконечной вне куба функции $\varphi$ , так и для конечной с условием (3.1).

Лемма 8 (о минимаксе). Справедливо равенство

$\begin{equation} \inf_{ u \in E} ( \Theta(u)+\Xi(u)) =-\min_{\mu \in \mathcal{M}(X)} ( \Theta^*(-\mu)+\Xi^*(\mu))) . \end{equation} \tag{3.4}$

Доказательство. Применим рассуждение из [7; теорема 1.9]. Соотношение (3.4) эквивалентно следующему:

$\begin{equation*} \inf_{ u \in E} ( \Theta(u)+\Xi(u)) =\sup_{\mu \in E^*} \inf_{u,v \in E} \biggl( \Theta(u)+\Xi(v)+\int_X (u-v)\,d\mu\biggr). \end{equation*} \notag$

Так как

$\begin{equation*} \Theta(u)+\Xi(u) \geqslant \inf_{u,v \in E} \biggl( \Theta(u)+\Xi(v)+\int_X (u-v)\,d\mu\biggr), \end{equation*} \notag$

ибо справа можно взять

$u=v$ , получаем оценку

$\begin{equation*} \inf_{ u \in E} ( \Theta(u)+\Xi(u)) \geqslant \sup_{\mu \in E^*} \inf_{u,v \in E} \biggl( \Theta(u)+\Xi(v)+\int_X (u-v)\,d\mu\biggr). \end{equation*} \notag$

Поэтому достаточно доказать существование

$\mu \in \mathcal{M}$ со свойством

$\begin{equation*} \Theta(u)+\Xi(v)+\int_X (u-v)\,d\mu \geqslant \min=\inf_{ u \in E} ( \Theta(u)+\Xi(u)) \qquad \forall\,\, u,v \in E. \end{equation*} \notag$

Заметим, что поскольку функционалы

$\Theta, \Xi$ инвариантны относительно добавления константы к аргументу, то нужное неравенство возможно только при

$\mu \in \mathcal{M}_0$ . Поэтому с самого начала можно считать, что

$u,v \in E_0$ . При этом любой функционал из

$E^*_0$ можно естественным образом отождествить с

$\mathcal{M}_0$ . Действительно, любой функционал вида

$u \mapsto \int_X u\, d \mu$ на

$E_0$ распространяется на

$E$ по формуле

$u \mapsto \int_X u\,d\mu'$ , где

$\mu'=\mu-\mu(X) \delta_0$ .

Таким образом, достаточно доказать существование $\mu \in \mathcal{M}_0$ со свойством

$\begin{equation*} \Theta(u)+\Xi(v)+\int_X (u-v)\,d\mu \geqslant \min=\inf_{ u \in E_0} ( \Theta(u)+\Xi(u)) \qquad \forall\,u,v \in E_0. \end{equation*} \notag$

Положим

$\begin{equation*} C_1=\bigl\{ (u,t) \in E_0 \times \mathbb{R};\, t > \Theta(u) \bigr\}, \qquad C_2=\bigl\{ (v,s) \in E_0 \times \mathbb{R};\, s \leqslant \min-\Xi(v) \bigr\}. \end{equation*} \notag$

Множества

$C_1$ и

$C_2$ не пересекаются. Они выпуклы, так как выпуклы

$\Theta$ ,

$\Xi$ . Заметим, что

$C_2$ – замкнутое множество. Далее, любое множество вида

$\begin{equation*} A_r=\bigl\{ u \in E_0,\, \Theta(u) \leqslant r\bigr\} \end{equation*} \notag$

компактно в топологии

$E$ . В случае функции

$\varphi$ , бесконечной вне

$X$ , оно равномерно липшицево. Во втором случае применима лемма 4.

Дальнейшее рассуждение необходимо, если $\varphi$ не бесконечна вне куба (если бесконечна, то $C_{1}$ само явлется компактом). Заметим, что $C_{1}$ является счетным объединением возрастающих выпуклых компактов, например,

$\begin{equation*} C_{1}=\bigcup_{n=1}^{\infty} \biggl\{ (u,t) \in E_0 \times \mathbb{R};\,t \geqslant \frac{1}{n}+\Theta(u),\,t \in [-n,n] \biggr\}. \end{equation*} \notag$

Следовательно, по лемме 7 существует ненулевой непрерывный линейный функционал

$(\omega, \alpha)$ ,

$\omega \in E^*_0=\mathcal{M}_0$ ,

$\alpha \in \mathbb{R}$ , разделяющий

$C_{i}$ , т.е.

$\begin{equation*} \omega(u)+\alpha t \geqslant \omega(v)+\alpha s, \end{equation*} \notag$

если

$t > \Theta(u)$ ,

$s \leqslant \min-\Xi(v)$ ,

$u,v \in E_0$ . Это возможно только при

$\alpha>0$ . Положим

$\mu=\omega/\alpha$ . Поделив неравенство на

$\alpha$ , получим

$\begin{equation*} \int_X u\,d\mu+\Theta(u) \geqslant \int_X v\,d\mu+\min-\Xi(v), \end{equation*} \notag$

что и требовалось.

4. Доказательство основной теоремы

Напомним, что

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \Theta (u)= \begin{cases} \displaystyle \int_X \varphi(\nabla u) \rho\,dx, & u \in W^{1,1}([0,1]^n), \\ \Theta (u)=+\infty & \text{в противном случае,} \end{cases} \\ \Xi (u)= \begin{cases} \displaystyle -\int_X u\,dm, & u \in \mathcal{U} \\ +\infty & \text{в противном случае.} \end{cases} \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Во-первых, вследствие леммы 2 функционал $\Phi$ достигает максимума на $\mathcal{U}_0$ . Заметим, что

$\begin{equation*} - \max_{u \in \mathcal{U}_0} \biggl( \int_X u\,dm-\int_X \varphi(\nabla u)\rho\,dx \biggr) =\min_{ u \in E} ( \Theta(u)+\Xi(u)). \end{equation*} \notag$

В леммах 1 и 6 был показан вид преобразований Лежандра функционалов

$\Theta$ и

$\Xi$ . Затем воспользуемся принципом минимакса (3.4), который был приведен и доказан в лемме 8. Получим, что

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, & \max_{u \in \mathcal{U}_0} \biggl( \int_X u\,dm-\int_X \varphi(\nabla u)\rho\,dx \biggr) =\min_{\mu \in \mathcal{M}(X)} ( \Theta^*(-\mu)+ \Xi^*(\mu))) \\ &\qquad=\min_{\mu \in \mathcal{M}_0, \mu \preceq-m} \Theta^*(-\mu) =\min_{\nu \in \mathcal{M}_0, m \preceq \nu} \Theta^*(\nu) =\min_{\nu \in \mathcal{M}_0, m \preceq \nu} \operatorname{Beck}_{\rho,\varphi^*}(\nu), \end{aligned} \end{equation*} \notag$

что завершает доказательство теоремы 1.



СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	J.-P. Rochet, P. Choné, “Ironing, sweeping, and multidimensional screening”, Econometrica, 66:4 (1998), 783–826
2.	S. Hart, P. J. Reny, “Implementation of reduced form mechanisms: a simple approach and a new characterization”, Econ. Theory Bull., 3:1 (2015), 1–8
3.	C. Daskalakis, A. Deckelbaum, C. Tzamos, “Strong duality for a multiple-good monopolist”, Econometrica, 85:3 (2017), 735–767
4.	A. Kolesnikov, F. Sandomirskiy, A. Tsyvinski, A. Zimin, Beckmann's approach to multi-item multi-bidder auctions, arXiv: 2203.06837
5.	R. B. Myerson, “Optimal auction design”, Math. Oper. Res., 6:1 (1981), 58–73
6.	В. И. Богачев, А. В. Колесников, “Задача Монжа–Канторовича: достижения, связи и перспективы”, УМН, 67:5(407) (2012), 3–110
7.	C. Villani, Topics in Optimal Transportation, Graduate Stud. in Math., 58, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003
8.	В. И. Богачев, “Задача Канторовича оптимальной транспортировки мер: новые направления исследований”, УМН, 77:5 (467) (2022), 3–52
9.	В. И. Богачев, А. В. Резбаев, “Существование решений нелинейной задачи Канторовича оптимальной транспортировки”, Матем. заметки, 112:3 (2022), 360–370
10.	В. И. Богачев, А. Н. Доледенок, И. И. Малофеев, “Задача Канторовича с параметром и ограничениями на плотность”, Матем. заметки, 110:6 (2021), 922–926
11.	M. Beckmann, “A continuous model of transportation”, Econometrica, 20 (1952), 643–660
12.	F. Santambrogio, Optimal Transport for Applied Mathematicians. Calculus of Variations, PDEs, and Modeling, Birkäuser, Cham, 2015
13.	R. McCann, K. S. Zhang, A Duality and Free Boundary Approach to Adverse Selection, arXiv: 2301.07660
14.	C. Evans, R. F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, Studies in Adv. Math., CRC Press, Boca Raton, FL, 1992
15.	D. Azagra, “Global and fine approximation of convex functions”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 107:4 (2013), 799–824
16.	L. Brasco, M. Petrache, “A continuous model of transportation revisited”, J. Math. Sci. (N.Y.), 196:2 (2014), 119–137

Образец цитирования: Т. В. Богачев, А. В. Колесников, “О задаче монополиста и двойственной к ней”, Матем. заметки, 114:2 (2023), 181–194; Math. Notes, 114:2 (2023), 147–158

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{BogKol23}

\by Т.~В.~Богачев, А.~В.~Колесников

\paper О задаче монополиста и двойственной к~ней

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 114

\issue 2

\pages 181--194

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13933}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13933}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=412438}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2023

\vol 114

\issue 2

\pages 147--158

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623070167}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85168562086}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/mzm13933

https://doi.org/10.4213/mzm13933

https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v114/i2/p181

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	257
PDF полного текста:	49
HTML русской версии:	169
Список литературы:	44
Первая страница:	7

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Введение

2. Основные результаты

3. Вспомогательные утверждения

3.1. Принцип минимакса

4. Доказательство основной теоремы

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ