| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Теоремы типа Куна–Таккера в конус-пространствах и линейных нормированных пространствах И. Г. Царьковab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462311069X 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеВ этой работе мы рассмотрим теоремы типа Куна–Таккера в форме отделимости множеств. При этом мы рассмотрим соответствующие утверждения сначала в случае конус-пространств, а затем в случае линейных нормированных пространств, где будут рассмотрены уже, вообще говоря, невыпуклые множества. Отметим, что с теоремами типа Куна–Таккера для линейных пространств можно познакомиться в книгах [1] и [2], а с различными теоремами отделимости для конус-пространств (полулинейных пространств) – в работе [3]. Отметим, что теоремы Куна–Таккера в форме отделимости перекликаются с различными вариантами теоремы Хана–Банаха для линейных функционалов на линейных несимметричных (симметричных) пространствах или для аффинных функционалов на конусах (см. [4]–[7]). Вообще, интерес к различным утверждениям, представленным в форме отделимости некоторого множества от некоторой точки или другого множества связан с многочисленными приложениями, в особенности в численных алгоритмах. Также это полезно для теоретических исследований в геометрической теории приближения, которая активно применяет аппарат, разработанный для линейных нормированных пространств, в случае несимметричных и полулинейных пространств (конусов). В этой работе нами будут получены теоремы типа Куна–Таккера в форме отделимости для выпуклых множеств и выпуклых функционалов в полулинейных пространствах (теоремы 1 и 2), затем мы проиллюстрируем их работу для конуса V=V(K) всех выпуклых подмножеств некоторого конуса K (см. пример 1). На V мы рассмотрим либо хаусдорфово расстояние, либо одностороннее хаусдорфово расстояние до какого-нибудь фиксированного множества. Эти расстояния и породят выпуклые функционалы на V, также мы рассмотрим некоторое выпуклое множество A в V, которое, конечно, есть класс выпуклых подмножеств конуса K. Дальнейшие наши исследования будут ориентированы на перенос теорем отделимости на случай множеств, не являющихся, вообще говоря, выпуклыми. Вместо выпуклости будет рассматриваться монотонная линейная связность в пространстве C(Q) (следствие 2). Также мы рассмотрим нелинейные приближения с ограничениями, где в роли аппроксимирующего множества будет выступать множество обобщенных дробно-рациональных функций в пространстве C(Q) (пример 2). Отметим, что наиболее полный разбор основных свойств (существование, единственность, устойчивость) дробно-рациональных приближений в пространствах C(Q) можно посмотреть в работах [8]–[12]. В этих же работах обсуждаются свойства солнечности, которые, на самом деле, представляют собой также утверждения отделимости (некоторым конусом). 2. Теоремы отделимости для полулинейных пространствОпределение 1. Множество X будем называть конусом (или полулинейным пространством) над полем R, если на этом множестве определены операции сложения элементов (векторов) и умножения их на неотрицательные числа, и выполняются следующие свойства для произвольных x,y,z∈X и α,β∈R+: Дополнительно будем полагать, что отрезок – выпуклое множество.Определение 2. Пусть K – конус над полем R. Функция f:X→¯R называется выпуклой (соответственно вогнутой), если для любых векторов x,y∈K и чисел α,β>0 таких, что α+β=1, верно следующее неравенство: Функция ℓ:K→R называется аффинной, если для любых векторов x,y∈K и чисел α,β>0 таких, что α+β=1, верно следующее равенство: Аффинная функция, равная нулю в нуле, называется линейной.Замечание 1. Аффинная функция выпукла и вогнута. Линейная комбинация аффинной и постоянной функции является аффинной. Сумма выпуклой (соответственно вогнутой) и аффинной – выпуклая (соответственно вогнутая) функция. Будем предполагать также, что выпуклая (соответственно вогнутая) функция непрерывна на любом интервале [a,b]⊂K, где она принимает конечные значения. Топология на этом интервале порождается естественным линейным изоморфизмом φ:[0,1]→[a,b], φ(λ):=λa+(1−λ)b, интервала (0,1)⊂R на (a,b). Далее в этом пункте будем предполагать, что выпуклые функции непрерывны на любом отрезке из A. Теорема 1. Пусть K – конус, {fi:K→¯R}ni=1 – непостоянные вогнутые функции, M⊂A⊂K – выпуклые множества, множество M не пересекается с непустым множеством V:={x∈A∣fi(x)>ci>0,i=1,…,n}. Тогда существуют неотрицательные числа {αi}ni=1, ∑ni=1αi=1, такие, что вогнутый функционал f:=∑ni=1αifi разделяет множества M и V. Доказательство. Выбирая вместо {fi}ni=1 функционалы {fi/ci}ni=1, можно считать, что ci=1, i=1,…,n. Поскольку функционал f остается разделяющим при умножении на положительную константу, то и для новых функционалов можно считать, что их сумма равна 1.
Далее для построения требуемого вогнутого функционала будем использовать принцип математической индукции. База индукции. Для n=1 положим f=f1. Нетрудно проверить, что функционал f1 по условию теоремы разделяет множества V:={x∈A∣f1(x)>1} и M (в этом случае α1=1). Шаг индукции. Пусть утверждение теоремы верно для n=k, т.е. существуют неотрицательные числа {αi}ki=1, ∑ki=1αi=1, такие, что вогнутый функционал φ1:=∑ki=1αifi разделяет множества M и Vk:={x∈A∣fi(x)>1,i=1,…,k}. Пусть теперь множества не пересекаются. Положим Если V0=∅, то в силу предположения индукции существуют неотрицательные числа {αi}ki=1, ∑ki=1αi=1, такие, что функционал ∑ki=1αifi разделяет множества M и Vk:={x∈A∣fi(x)>1,i=1,…,k}⊃V. Поэтому далее рассмотрим случай V0≠∅.Положим тогда V0∩W0=∅ и по предположению индукции найдутся неотрицательные числа {βi}ki=1, ∑ki=1βi=1, такие, что вогнутый функционал g1:=∑ki=1βifi разделяет множества V0 и W0, т.е. g1>1 на V0 и g1⩽1 на W0. Положим для всех α∈[0,1] При увеличении α значения функционала gα увеличиваются (уменьшаются) в каждой точке множеств V0 (W0). Поэтому семейство выпуклых множеств соответственно при возрастании параметра α убывает в множестве W0 (вплоть до пустого множества), и возрастает от пустого множества до V0. ПустьТак как пересечение множеств \bigl\{x\in A\mid g^\alpha(x)>1\bigr\} и M выпукло и равно W^\alpha\cup V^\alpha для всех \alpha\in [0,1], то 0\leqslant \alpha^*\leqslant\alpha_*. Иначе бы нашлись число \alpha\in (\alpha_*,\alpha^*) и точки x_1\in W_0\subset M и x_2\in V_0\subset M такие, что g^\alpha(x_1),g^\alpha(x_2)>1, и, следовательно, все точки отрезка [x_1,x_2] содержались бы в \bigl\{x\in A\mid g^\alpha(x)>1\bigr\}\cap M=W^\alpha\sqcup V^\alpha, чего не может быть в силу непрерывности вогнутого функционала g^\alpha на интервале [x_1,x_2] и связности этого отрезка. Пусть \alpha_0 – любое число из отрезка [\alpha^*,\alpha_*], тогда g^{\alpha_0}(x)\leqslant 1 для всех x\in V_0. Действительно, если бы существовала точка x_0\in V_0 такая, что g^{\alpha_0}(x_0)> 1, то из непрерывности функции g^\alpha по \alpha в точке x_0, нашлось бы число \delta>0, для которого g^{\alpha}(x_0)> 1 для любого \alpha\in[{\alpha_0}-\delta,{\alpha_0}], чего не может быть по определению числа \alpha_*. Аналогично показывается, что g^{\alpha_0}(x)\leqslant 1 для всех x\in W_0. Поскольку функционал g^{\alpha_0}>1 в каждой точке из V, он разделяет множество V и M. При этом
\begin{equation*}
g^{\alpha_0}=\sum_{i=1}^{k+1}\beta'_if_i, \qquad\text{где}\quad \beta'_i=\alpha_0\beta_i, \ \ i=1,\dots,k, \quad \beta'_{k+1}=1-\alpha_0.
\end{equation*}
\notag
Нетрудно проверить, что \sum_{i=1}^{k+1}\beta'_i=1 и \beta'_i\geqslant 0, i=1,\dots,k+1.
Таким образом, из принципа математической индукции вытекает утверждение теоремы. Теорема доказана. Замечание 2. Из доказательства теоремы (см. четвертый абзац в описании шага индукции) видно, что вместо выпуклости множеств M и A достаточно предполагать, что для всех чисел \mathcal{A}:=\{\alpha_i\}_{i=1}^{n}, \sum_{i=1}^{n}\alpha_i=1 , пересечение
\begin{equation*}
U_{\mathcal{A}}:=\biggl\{x\in A\Bigm| f_{\mathcal{A}}(x):=\sum_{i=1}^{n}\alpha_if_i(x)>1\biggr\} \quad\text{и}\quad M
\end{equation*}
\notag
связно относительно топологии, порожденной семейством \{U_{\mathcal{A}}\} как предбазой. При указанных условиях также верно неравенство 0\leqslant \alpha^*\leqslant\alpha_*. Остальные рассуждения п. 2^\circ остаются без изменения. Замечание 3. Поскольку функции f_i(x)-c_i, i=1,\dots,n, являются также вогнутыми функциями, то теорему 1 можно переформулировать следующим образом. Пусть K – конус, \{f_i\}_{i=1}^{n} – непостоянные вогнутые функции, M\subset A\subset K – выпуклые множества, множество M не пересекается с непустым множеством Тогда существуют неотрицательные числа-коэффициенты \{\alpha_i\}_{i=1}^{n}, \sum_{i=1}^{n}\alpha_i=1 , такие, что вогнутый функционал f:=\sum_{i=1}^{n}\alpha_if_i разделяет множества M и V, т.е. не пересекаются.Аналогично доказательству теоремы 1 доказывается следующее утверждение. Теорема 2. Пусть K – конус, A\subset K – выпуклое множество, \{f_i\}_{i=1}^{n} – непостоянные вогнутые функции, f_0\colon K\to \overline{\mathbb{R}} – выпуклая функция, множество непусто и не пересекается с непустым множеством
\begin{equation*}
V:=\bigl\{x\in A\mid f_i(x)\geqslant 0,\,i=1,\dots,n\bigr\},
\end{equation*}
\notag
и пусть существует y_0\in A: f_i(y_0)>0, i=1,\dots,n. Тогда найдутся неотрицательные числа-коэффициенты \{\alpha_i\}_{i=1}^{n}, \sum_{i=1}^{n}\alpha_i=1 , такие, что вогнутый функционал f:=\sum_{i=1}^{n}\alpha_if_i разделяет множества M и V. Доказательство. Будем также использовать принцип математической индукции.
База индукции полностью повторяет базу индукции из теоремы 1. Шаг индукции. Пусть утверждение теоремы верно для n=k, т.е. существуют неотрицательные числа \{\alpha_i\}_{i=1}^{k}, \sum_{i=1}^{k}\alpha_i=1 , такие, что вогнутый функционал \varphi_1:=\sum_{i=1}^{k}\alpha_if_i разделяет множества M и V^k:=\bigl\{x\in A\mid f_i(x)\geqslant 0,\,i=1,\dots,k\bigr\}. Пусть теперь множества V:=\bigl\{x\in A\mid f_i(x)\geqslant 0,\,i=1,\dots,k+1\bigr\} и M не пересекаются. Далее рассуждения полностью повторяют рассуждения доказательства теоремы 1. Положим и построим вогнутый функционал g_1:=\sum_{i=1}^{k}\beta_if_i, разделяющий множества V_0 и W_0, т.е. g_1\geqslant 0 на V_0 и g_1<0 на W_0. Аналогично определим и семейство выпуклых множеств
\begin{equation*}
W^\alpha:=\bigl\{x\in A\mid g^\alpha(x)\geqslant 0\bigr\} \cap W_0, \qquad V^\alpha:=\bigl\{x\in A\mid g^\alpha(x)\geqslant 0\bigr\} \cap V_0.
\end{equation*}
\notag
Аналогично доказывается, что \bigl\{x\in A\mid g^\alpha(x)\geqslant 0\bigr\}\cap M выпукло и равно W^\alpha\cup V^\alpha для всех \alpha\in [0,1], а также что 0\leqslant \alpha^*\leqslant\alpha_*.
Возьмем произвольное число \alpha_0 из отрезка [\alpha^*,\alpha_*], тогда если g^{\alpha_0}(x)\geqslant 0 для некоторого x\in V_0, то найдется точка y\in [y_0,x)\cap V_0, для которой из условий y_0\in A: f_i(y_0)>0, i=1,\dots,n, вытекает, что f_i(y)>0, i=1,\dots,n, а следовательно, g^{\alpha_0}(y)> 0. Из непрерывности функции g^\alpha по \alpha в точке y нашлось бы число \delta> 0, для которого g^{\alpha}(y)> 0 для любого \alpha\in[{\alpha_0}-\delta,{\alpha_0}], чего не должно быть по определению числа \alpha_*. Поэтому g^{\alpha_0}(x)< 0 для всех x\in V_0. Аналогично показывается, что g^{\alpha_0}(x)<0 для всех x\in W_0. Поскольку функционал g^{\alpha_0}\geqslant 0 в каждой точке из V, он разделяет множество V и M. Далее рассуждения повторяют доказательство предыдущей теоремы. Теорема доказана. Следствие 1. Пусть K – конус, \{f_i\}_{i=1}^{n} – непостоянные вогнутые функции, A\subset K – выпуклое множество и существует y_0\in A такое, что f_i(y_0)>0, i=1,\dots,n, f_0\colon K\to \overline{\mathbb{R}} – выпуклая функция, для которой существует точка x_0\in V:=\bigl\{x\in A\mid \ f_j(x)\geqslant 0,\ j=1,\dots,n\bigr\} такая, что
\begin{equation*}
f_0(x_0)=\inf\bigl\{f_0(x)\mid x\in A\colon f_j(x)\geqslant 0,\ j=1,\dots,n\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Тогда существуют неотрицательные числа \{\alpha_i\}_{i=1}^{n}: \sum_{i=1}^{n}\alpha_i=1 , для которых
\begin{equation*}
f_0(x_0)=\inf\biggl\{f_0(x)\Bigm| x\in A\colon f(x):=\sum_{j=1}^{n}\alpha_j f_j(x)\geqslant 0,\ j=1,\dots,n\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Верно и обратное, т.е. если x_0\in V и существуют неотрицательные числа \{\alpha_i\}_{i=1}^{n}, \sum_{i=1}^{n}\alpha_i=1 , для которых то Доказательство. Пусть
\begin{equation*}
c_0:=f_0(x_0)=\inf\bigl\{f_0(x)\mid x\in A\colon f_j(x)\geqslant 0,\ j=1,\dots,n\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
В силу теоремы 2 существуют неотрицательные числа \{\alpha_i\}_{i=1}^{n}, \sum_{i=1}^{n}\alpha_i=1 , такие, что вогнутый функционал f:=\sum_{i=1}^{n}\alpha_if_i разделяет множества
\begin{equation*}
M:=\bigl\{x\in A\mid f_0(x)<c_0 \bigr\} \qquad\text{и}\qquad V:=\bigl\{x\in A\mid f_i(x)\geqslant 0,\,i=1,\dots,n\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда, учитывая, что точка x_0 является допустимой, т.е. x_0\in V, мы получим, что x_0\in A и f(x_0)\geqslant 0, и c_0=f_0(x_0)=\inf\bigl\{f_0(x)\mid x\in A\colon f(x) \geqslant 0 \bigr\}.
Обратно. Так как все точки множества V содержатся в множестве \bigl\{ x\in A\mid f(x) \geqslant 0 \bigr\}, то
\begin{equation*}
\inf\bigl\{f_0(x)\mid x\in V\bigr\}\geqslant\inf\bigl\{f_0(x)\mid x\in A\colon f(x) \geqslant 0 \bigr\}=f_0(x_0), \qquad x_0\in V,
\end{equation*}
\notag
то f_0(x_0)=\inf\bigl\{f_0(x)\mid x\in V\bigr\}.
Следствие доказано. Замечание 4. Для тех индексов j, для которых \alpha_j=0, соответствующие неравенства f_j(x)\geqslant 0 в определении множества V можно исключить, тем самым расширив это множество. При этом утверждение второй части следствия 1 останется по-прежнему верным. Замечание 5. Пусть f_0\colon K\to \mathbb{R} – выпуклая конечнозначная функция. Для тех индексов j, для которых f_j\colon K\to \mathbb{R} – вогнутая конечнозначная функция и f_j(x_0)> 0, соответствующее число \alpha_j можно положить равным нулю и неравенство f_j(x)\geqslant 0 в определении множества V можно исключить. При этом точка x_0 будет точкой минимума для нового множества V и утверждение следствия 1 останется по-прежнему верным. Доказательство. Предположим, что точка x_0 не является точкой минимума f_0 на множестве
\begin{equation*}
V_j:=\bigl\{x\in A\mid \ f_i(x)\geqslant 0,\ i\neq j,\ 1\leqslant i\leqslant n\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Тогда найдется точка y\in V_j такая, что f_0(x_0)>f_0(y). Рассмотрим конус
\begin{equation*}
K_0:=\bigl\{x=\lambda x_0+\mu y\in K\mid \lambda,\mu\geqslant 0\bigr\},
\end{equation*}
\notag
и соответственно выпуклые множества
\begin{equation*}
A_0:=A\cap K_0, \qquad V_j^0:=V_j\cap K_0, \qquad V^0:=V\cap K_0.
\end{equation*}
\notag
Учитывая, что сужения f_0 и f_j на K_0 непрерывны, мы получим, что точка x_0 – глобальный минимум f_0 на V^0 и локальный минимум f_0 на выпуклом множестве V^0_j. Так как для выпуклых множеств локальный минимум совпадает с глобальным, мы получим противоречие с условием, что f_0(x_0)>f_0(y). Отсюда следует утверждение замечания. Таким образом, замечания 4 и 5 описывают ситуацию, при которой имеют место условия дополняющей нежесткости: \alpha_jf_j(x_0)=0. На конусе K рассмотрим несимметричную полунорму \|\cdot|, т.е. однородную выпуклую функцию \|\cdot|\colon K\to \overline{\mathbb{R}}_+. На конусе \mathcal{V}=\mathcal{V}(K) всех выпуклых подмножеств конуса K мы рассмотрим одностороннее хаусдорфово расстояние
\begin{equation*}
d(M,N):=\sup_{x\in N}\inf_{y\in M}\|y-x|, \qquad M,N\in \mathcal{V},
\end{equation*}
\notag
и хаусдорфово расстояние Отметим, что функции h(\cdot,N)\colon \mathcal{V}\to \overline{\mathbb{R}}_+ и d(\cdot,N)\colon \mathcal{V}\to \overline{\mathbb{R}}_+ являются выпуклыми. Пример 1. Пусть A – произвольное непустое выпуклое подмножество в конусе \mathcal{V}, и \varphi_j(M):=h(M,N_j)(=d(M,N_j)) для произвольных M\in \mathcal{V} и некоторых N_j\in \mathcal{V}, где j=0,\dots,n. Положим f_j(\cdot):=c_j-\varphi_j(\cdot) для некоторых чисел c_j\in \mathbb{R}_+, j=1,\dots,n, и V:=\bigl\{M\in A\mid f_j(M)\geqslant 0,\ j=1,\dots,n\bigr\}, и M^0\in A: f_j(M^0)>0, j=1,\dots,n. Пусть также f_0(\cdot):=\varphi_0(\cdot), а M_0\in V – точка минимума функционала f_0 на множестве V. Тогда существуют неотрицательные числа \{\alpha_i\}_{i=1}^{n}, \sum_{i=1}^{n}\alpha_i=1 , для которых
\begin{equation*}
f_0(M_0)=\inf\biggl\{f_0(M)\Bigm| M\in A\colon f(M):=\sum_{j=1}^{n}\alpha_j f_j(M)\geqslant 0,\ j=1,\dots,n\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Верно и обратное, т.е. если M_0\in V и существуют неотрицательные числа \{\alpha_i\}_{i=1}^{n}, \sum_{i=1}^{n}\alpha_i=1 , для которых то Отметим, что данный пример включает в себя случай, когда выпуклое множество (класс выпуклых подмножеств K) A, на самом деле, неизвестно. Известна лишь информация о нем, точнее, известно, что A содержится в множествах
\begin{equation*}
A_j:=\bigl\{M\in \mathcal{V}\mid f_j(M)\geqslant 0\bigr\}, \qquad j=1,\dots,n.
\end{equation*}
\notag
И нам надо найти минимум (приближенно) функционала f_0 на этом неизвестном множестве A. Так, что рассмотренный в примере вариант теоремы Куна–Таккера, позволяет нам, заменив множество A на множество \bigcap_{j=1}^{n}A_j, строить численный алгоритм решения такой некорректной задачи. Конечно, конкретный численный алгоритм требует различных дополнительных ограничений на класс A.
3. Теоремы типа Куна–Таккера для монотонно линейных множеств в C(Q)Нам понадобятся следующие обозначения. Для произвольного множества M в некотором линейном нормированном пространстве X через \varrho(y,M) обозначим расстояние до множества M, т.е. величину Через P_Mx обозначим множество всех ближайших точек из M для x\in X, т.е. множество Отображение P_M называют метрической проекцией на множество M. Через
\begin{equation*}
B(x,r)=\bigl\{y\in X\mid \|y-x\|\leqslant r\bigr\} \qquad\text{и}\qquad S(x,r)=\bigl\{y\in X\mid \|y-x\|= r\bigr\}
\end{equation*}
\notag
обозначим соответственно шар и сферу с центром x радиуса r\geqslant 0. В случае x=0 и r=1 будем вместо указанных обозначений писать B и S соответственно. Через \mathring{B}(x,r) обозначим открытый шар в линейном нормированном пространстве (X,\|\cdot\|) с центром x радиуса r, т.е. множество \bigl\{y\in X\mid \|y-x\|< r\bigr\}. Напомним определение сегмента [\![ x,y]\!] и промежутка в линейном нормированном пространстве X:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\![ x,y]\!] &:= \bigl\{z\in X\mid \min \bigl\{\varphi(x),\varphi(y)\bigr\} \leqslant \varphi(z)\leqslant \max \bigl\{\varphi(x),\varphi(y)\bigr\} \ \forall\, \varphi \in \operatorname{ext} S^*\bigr\} \\ &= \bigl\{z\mid \varphi (z) \in [\varphi (x),\varphi (y)] \ \forall\, \varphi \in \operatorname{ext} S^*\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Здесь через \operatorname{ext} S^* мы обозначаем множество всех экстремальных функционалов единичной сферы S^* сопряженного пространства X^*. На самом деле, если взять произвольное подмножество \mathcal{A} \subset \operatorname{ext} S^* такое, что \mathcal{A} \cup (-\mathcal{A})=\operatorname{ext} S^*, то
\begin{equation*}
[\![ x,y]\!] = \bigl\{z\in X\mid f(z)\in [f(x),f(y)]\ \forall\, f\in \mathcal{A}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Например, для X=C(Q) удобно в качестве \mathcal{A} выбирать функционалы, сопоставляющие функции \varphi \in C(Q) ее значения в точках t\in Q. В этом случае для любых \varphi , \psi \in C(Q)
\begin{equation*}
[\![\varphi ,\psi ]\!] = \bigl\{ g\in C(Q)\mid g(t) \in [\varphi (t),\psi(t)]\ \forall\, t\in Q\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Множество \Pi\subset X называется промежутком, если для всех x,y\in \Pi верно включение [\![ x,y]\!] \subset \Pi. Можно показать, что непустое пересечение промежутков есть промежуток, а также промежуток умноженный на число – промежуток. Пустое множество можно по определению считать промежутком. Простым примером промежутка является шар в пространстве C(Q) или соответственно в пространстве X, а также всякое множество
\begin{equation*}
\bigl\{f\in C(Q)\mid f(t)\in [\alpha_t,\beta_t]\subset \overline{\mathbb{R}},\ t\in E\bigr\}
\end{equation*}
\notag
для любого подмножества E\subset Q. В частности, если F\colon \mathbb{R}\to \overline{\mathbb{R}} – вогнутая функция, то множество
\begin{equation*}
I_{F,c}:=\bigl\{f\in C(Q)\mid F(f(t))>\, (\geqslant)c\in \overline{\mathbb{R}} ,\ t\in E\bigr\}
\end{equation*}
\notag
также является промежутком. Поскольку пересечение промежутков представляет собой промежуток, то следующее множество, определяемое набором вогнутых функций \bigl\{F_\alpha\colon \mathbb{R}\to \overline{\mathbb{R}}\bigr\}_{\alpha},
\begin{equation*}
\bigcap_\alpha I_{F_\alpha,c}=\Bigl\{f\in C(Q)\Bigm| \inf_\alpha F_\alpha(f(t))>(\geqslant)c\in \overline{\mathbb{R}},\ t\in Q\Bigr\},
\end{equation*}
\notag
также является промежутком. Определение 3. Путь p\colon [0,1]\to X (непрерывное отображение) в линейном нормированном пространстве (X,\|\cdot\|) называется монотонным, если для любого функционала x^*\in\operatorname{ext}S^* функция x^*(p(t)) является монотонной. Геометрически это означает, что поверхности уровня этого функционала (т.е. соответствующие гиперплоскости) след этого пути пересекают в одной точке или по следу некоторого его подпути. Таким образом, прообразы (отображения p) пересечения с соответствующими гиперплоскостями являются отрезками (возможно вырожденными). Множество M называется монотонно линейно связным, если любые две точки этого множества можно соединить монотонным путем, след которого лежит в M. Нетрудно видеть, что любое выпуклое множество является монотонно линейно связным множеством, а пересечение монотонно линейно связного множества и промежутка является монотонно линейным связным множеством. Подробно с различными свойствами монотонно линейных связных множеств можно ознакомиться в работе [8]. Предложение 1. Пусть X=C(Q) – пространство непрерывных функций x: Q\to \mathbb{R} на компакте Q с равномерной нормой Рассмотрим конечный набор непустых компактов \{E_j\}_{j=1}^n\subset Q и соответствующий ему набор вогнутых функционалов \bigl\{f_j(x):=\min_{t\in E_j}F_j(x(t))\bigr\}, где F_j\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, j=1,\dots,n, – вогнутая функция. Пусть A\subset C(Q) – монотонно линейно связанное множество такое, что существует точка a\in A: f_j(a)>0, j=1,\dots,n, и
\begin{equation*}
0\leqslant r=\|x_0\|=\inf\bigl\{\|x\|\mid x\in A\colon f_j(x)\geqslant 0,\ j=1,\dots,n\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Тогда существует набор неотрицательных чисел \{\alpha_i\}_{i=1}^{k} такой, что \sum_{i=1}^{k}\alpha_i=1 , для которых
\begin{equation*}
r=\|x_0\|=\inf\biggl\{\|x\|\Bigm| x\in A\colon \sum_{j=1}^{n}\alpha_j f_j(x)\geqslant 0,\ j=1,\dots,n\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Верно и обратное, т.е. если x_0\in V:=\bigl\{ x\in A\mid\ f_j(x)\geqslant 0,\ j=1,\dots,n \bigr\} и существуют неотрицательные числа-коэффициенты \{\alpha_i\}_{i=1}^{n}: \sum_{i=1}^{n}\alpha_i=1 , для которых то Доказательство. Случай r=0 тривиален. Поэтому будем считать, что r>0. Отметим, что если V\cap \mathring{B}(0,r)\neq\varnothing, то имеет непустое пересечение с \mathring{B}(0,r), что вытекает из непрерывности функционалов f_j, j=1,\dots,n, и f_0(\cdot):=\|\cdot\|. Для построения требуемого вогнутого функционала \sum_{j=1}^{n}\alpha_j f_j(x) будем использовать принцип математической индукции.
База индукции. Для n=1 положим f=f_1. Нетрудно проверить, что он по условию предложения разделяет множества V:=\bigl\{x\in A\mid f_1(x)\geqslant 0\bigr\} и \mathring{B}(0,r). Шаг индукции. Пусть утверждение предложения верно для n=k, т.е. существуют неотрицательные числа \{\alpha_i\}_{i=1}^{k}, \sum_{i=1}^{k}\alpha_i=1 , такие, что вогнутый функционал \varphi_1:=\sum_{i=1}^{k}\alpha_if_i разделяет множества
\begin{equation*}
\mathring{B}(0,r) \quad\text{и}\quad V^k:=\bigl\{x\in A\mid f_i(x)\geqslant 0,\,i=1,\dots,k\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Пусть теперь множества
\begin{equation*}
V:=\bigl\{x\in A\mid f_i(x)\geqslant 0,\,i=1,\dots,k+1\bigr\} \quad\text{и}\quad \mathring{B}(0,r)
\end{equation*}
\notag
не пересекаются. Положим Если V_0\cap \mathring{B}(0,r)=\varnothing, то в силу предположения индукции существуют неотрицательные числа \{\alpha_i\}_{i=1}^{k}, \sum_{i=1}^{k}\alpha_i=1 , такие, что функционал \sum_{i=1}^{k}\alpha_if_i разделяет множества
\begin{equation*}
\mathring{B}(0,r) \quad\text{и}\quad V^k:=\bigl\{x\in A\mid f_i(x)\geqslant 0,\,i=1,\dots,k\bigr\}\supset V\ni x_0.
\end{equation*}
\notag
Поэтому далее рассмотрим случай V_0\cap \mathring{B}(0,r)\neq\varnothing.
Положим W_0:=\bigl\{x\in A\mid f_{k+1}(x)>0\bigr\} , тогда V_0\cap W_0\cap \mathring{B}(0,r)=\varnothing и по предположению индукции найдутся неотрицательные числа \{\beta_i\}_{i=1}^{k}, \sum_{i=1}^{k}\beta_i=1 , такие, что вогнутый функционал g_1:=\sum_{i=1}^{k}\beta_if_i разделяет множества V_0\cap \mathring{B}(0,r) и W_0\cap \mathring{B}(0,r). Отметим, что поскольку множества V_0\cap \mathring{B}(0,r) и W_0\cap \mathring{B}(0,r) не пересекаются, то выполнено следующее свойство:
\begin{equation}
\text{не существует двух точек}\quad a\in V_0\cap \mathring{B}(0,r) \quad\text{и}\quad b\in W_0\cap \mathring{B}(0,r).
\end{equation}
\tag{3.1}
Действительно, в противном случае существовал бы монотонный путь \gamma(t)\in C([0,1],X), соединяющий точки a и b, след которого лежит в монотонно линейно связном множестве A\cap \mathring{B}(0,r), и поэтому нашлась бы точка t_0\in [0,1] такая, что \gamma(t_0)\in \mathring{B}(0,r)\cap\overline{ V_0}\cap \overline{W_0}. Последнее противоречит тому, что точка x_0 – ближайшая для нуля во множестве V. Положим для всех \alpha\in [0,1] При увеличении \alpha значения функционала g^\alpha увеличивается (соответственно уменьшается) в каждой точке множеств V_0 (соответственно W_0). Поэтому семейство множеств W^\alpha:=\bigl\{x\in A\mid g^\alpha(x)>0\bigr\} \cap W_0 и V^\alpha:=\bigl\{x\in A\mid g^\alpha(x)>0\bigr\} \cap V_0 соответственно при возрастании параметра \alpha убывает в множестве W_0 (вплоть до пустого множества), и возрастает от пустого множества до V_0. Пусть
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha^*&:=\sup\bigl\{\alpha\in [0,1]\mid \exists\, x\in W_0\colon g^\alpha(x)>0\bigr\}, \\ \alpha_*&:=\inf\bigl\{\alpha\in [0,1]\mid \exists\, x\in V_0\colon g^\alpha(x)>0\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
В силу свойства 3.1 верно неравенство 0\leqslant \alpha^*\leqslant\alpha_*. Пусть \alpha_0 – любое число из отрезка [\alpha^*,\alpha_*], тогда g^{\alpha_0}(x)< 0 для всех x\in V_0\cup W_0. Поскольку функционал g^{\alpha_0}\geqslant 0 в каждой точке из V, он разделяет множество V и \mathring{B}(0,r). При этом
\begin{equation*}
g^{\alpha_0}=\sum_{i=1}^{k+1}\beta'_if_i, \qquad\text{где}\quad \beta'_i=\alpha_0\beta_i, \quad i=1,\dots,k, \quad \beta'_{k+1}=1-\alpha_0.
\end{equation*}
\notag
Нетрудно проверить, что \sum_{i=1}^{k+1}\beta'_i=1 и \beta'_i\geqslant 0, i=1,\dots,k+1. Поэтому
\begin{equation*}
r=\|x_0\|=\inf\biggl\{\|x\|\Bigm| x\in A\colon \sum_{j=1}^{n}\alpha_j f_j(x)\geqslant 0,\ j=1,\dots,n\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Обратное утверждение доказывается так же, как в следствии 1. Предложение доказано. Поскольку вогнутость, выпуклость, монотонно линейная связность и свойство быть промежутком сохраняется при параллельном переносе, то из предложения 1 непосредственно вытекает следующее утверждение. Следствие 2. Для произвольного конечного набора непустых компактов \{E_j\}_{j=1}^n\subset Q, соответствующего ему набора вогнутых функционалов \bigl\{f_j(x):=\min_{t\in E_j}F_j(x(t))\bigr\}, где F_j\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, j=1,\dots,n, – вогнутая функция, и любого монотонно линейно связанного множества A\subset C(Q) такого, что существует точка a\in A, f_j(a)>0, j=1,\dots,n, и для произвольной функции y\in C(Q), для которой
\begin{equation*}
0\leqslant r=\|x_0-y\|=\inf\bigl\{\|x-y\|\mid x\in A\colon f_j(x)\geqslant 0,\ j=1,\dots,n\bigr\},
\end{equation*}
\notag
существует такой набор неотрицательных чисел \{\alpha_i\}_{i=1}^{k}, \sum_{i=1}^{k}\alpha_i=1 , что
\begin{equation*}
r=\|x_0-y\|=\inf\biggl\{\|x-y\|\Bigm| x\in A\colon \sum_{j=1}^{n}\alpha_j f_j(x)\geqslant 0,\ j=1,\dots,n\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Верно и обратное, т.е. если x_0\in V:=\bigl\{ x\in A\mid\ f_j(x)\geqslant 0 \bigr\} и существуют неотрицательные числа-коэффициенты \{\alpha_i\}_{i=1}^{n}, \sum_{i=1}^{n}\alpha_i=1 , для которых тоЗамечание 6. Для тех индексов j, для которых \alpha_j=0, соответствующие неравенства f_j(x)\geqslant 0 в определении множества V можно исключить, тем самым расширив это множество. При этом утверждение второй части следствия 2 останется по-прежнему верным (после слов “Верно и обратное”). Пример 2. Для выпуклого множества U\subset C(Q)\times C(Q) рассмотрим следующий класс обобщенных дробно-рациональных функций:
\begin{equation*}
{R}_U:=\biggl\{r=\frac{v}{w}\in C(Q) \Bigm|(u, w)\in U,\ w>0\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
В работе [12] было показано, что множество {R}_U является монотонно линейно связным. Поэтому в качестве множества M из следствия 2 можно взять множество обобщенных дробно-рациональных функций {R}_U. В качестве вогнутых функционалов \{f_j\}_{j=1}^{n} можно рассмотреть, например, функционалы вида где t_j\in Q, x\in C(Q), a_j,b_j\in \mathbb{R}, c_j\geqslant 0, b_j>0, j=1,\dots,n. Получится некоторая задача дробно-рационального приближения со специальными ограничениями в виде неравенств f_j(x)\geqslant 0, j=1,\dots,n. Отметим, что V:=\bigl\{x\in {R}_U\colon f_j(x)\geqslant 0,\ j=1,\dots,n\bigr\} из примера 2 является унимодальным множеством (см. [12]), т.е. локальный минимум функции расстояния до множества V является глобальным. Потому аналогично замечанию 5 верно следующее утверждение. Замечание 7. Для тех индексов j, для которых f_j(x_0)> 0, соответствующее число \alpha_j можно положить нулем и неравенство f_j(x)\geqslant 0 в определении множества V можно исключить. При этом точка x_0 будет точкой минимума \|\cdot-y\| для нового множества V и утверждение следствия 2 останется по-прежнему верным. Замечание 8. Утверждения, аналогичные предложению 1 и следствию 2, выполнены и в произвольных линейных нормированных пространствах X, где в качестве A\subset X рассматривается линейно монотонное подмножество X, а в качестве функционалов f_j(x) – функционалы \min_{x^*\in E_j}F_j(x^*(x)), где F_j\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} – вогнутая функция и E_j\subset\operatorname{ext}S^*, j=1,\dots,n. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tsa23}
Эта публикация цитируется в следующих 5 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|