В. В. Рыжиков, “Медленные сходимости эргодических средних”, Матем. заметки, 113:5 (2023), 742–746; Math. Notes, 113:5 (2023), 704

В работе рассматриваются эргодические автоморфизмы

$T$ стандартного вероятностного пространства

$(X,\mu)$ ,

$\mu(X)=1$ ; такие автоморфизмы мы также называем преобразованиями. Для функции

$f\in L_1(X,\mu)$ ее эргодические средние сходятся относительно

$L_1$ -нормы к константе

$\int f$ :

Кренгелем [1] был обнаружен интересный эффект отсутствия оценок для скорости сходимости в эргодических теоремах. Мы дадим доказательство результата Кренгеля о сходимостях по норме (теорема 1) на основе теоремы Альперна. Отвечая на вопрос Подвигина из [2], покажем, что для последовательности

$\psi(N)\to +0$ и всякого

$a\in (0,1)$ найдется множество меры

$a$ и эргодический автоморфизм

$T$ такие, что скорость сходимости временных средних для индикатора этого множества медленнее

$\psi(N)$ . Теорема Кренгеля [1] универсальна в том смысле, что для всякого эргодического автоморфизма и

$\psi(N)\to +0$ она гарантирует существование соответствующего множества меры

$1/2$ с эффектом медленной сходимости временных средних.

2. Медленная сходимость по норме. Теорема Альперна

Ниже будет дано доказательство, использующее обобщение леммы Рохлина–Халмоша, предложенное Альперном [3] (см. также [4]). Башней высоты

$h$ для автоморфизма

$T$ называется набор непересекающихся множеств вида

$T^iB$ ,

$0\leqslant i<h$ , или их объединение

$\coprod_{i=0}^{h-1}T^iB$ ,

$\mu(B)>0$ .

Доказательство теоремы 1. Положим для определенности

$a_j=2^{-j}$ . Выбираем натуральные числа

$h(j)$ так, чтобы при

$j\to\infty$ выполнялись условия

$\begin{equation*} \frac{2^{-j-1}}{\psi(h(j))} \to\infty, \qquad \frac{\psi(h(j))}{\varepsilon_jh(j)}\to\infty, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \varepsilon_j=\sum_{i>j}\frac{a_i}{h(i)}\,. \end{equation*} \notag$

Отметим, что последовательность

$h(j)$ можно выбирать так, чтобы

$\begin{equation*} \frac{a_j}{h(j)}>2\varepsilon_j. \end{equation*} \notag$

Обозначим через $a$ постоянную функцию $a(x)=\mu(X_1)=1/2$ , положим $f=\chi_{X_1}$ и

$\begin{equation*} U_j=\coprod_{i\leqslant j} X_i, \qquad C_j=\coprod_{i>j} X_i. \end{equation*} \notag$

Заметим, что функция $f_{h(j)}$ на $C_j$ равна 0, кроме множества меры, не большей, чем $\varepsilon_jh(j)$ . Из сказанного вытекает, что

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \|f_{h(j)}\chi_{C_j}\| \leqslant \varepsilon_jh(j), \\ \int_{C_j}|f_{h(j)}-a|\,d\mu >\frac{\mu(C_j)}{2}- \varepsilon_jh(j)> 2^{-j-2}\gg \psi(h(j)), \\ \frac{\|f_{h(j)}-a\|}{\psi(h(j))} \to\infty. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Теорема доказана.

3. Медленная сходимость почти всюду

Следующее утверждение отвечает на один из вопросов работы [2].

Доказательство. Пусть

$X=\coprod_j A_j$ ,

$\mu(A_j)>0$ ,

$j=0,1,2,\dots$ . Положим

$\begin{equation*} c=\mu(A_0), \qquad c_j=\frac{c}{1-\sum_{i>j}\mu(A_i)}\,,\quad j=1,2,\dots \end{equation*} \notag$

(

$c_j$ – среднее значение функции

$f=\chi_{A_0}$ на множестве

$A_0\cup A_1\cup \cdots\cup A_j$ ).

Пусть задано преобразование $T_0$ такое, что $T_0A_j=A_j$ для всех $j$ , причем ограничения $T_0$ на множества $A_j$ являются эргодическими. Приступим к поиску $T$ . Фиксируем последовательность $\varepsilon_j\to +0$ такую, что $\varepsilon_j$ мало по сравнению с числом $(c_j-c)$ .

Шаг 1. Рассмотрим автоморфизм $T_1$ , который отличается от $T_0$ на множестве $\Delta_1$ маленькой меры, $\Delta_1\subset A_0\cup A_1$ и автоморфизм $T_1$ эргодичен на объединении $U_1=A_0\cup A_1$ . Существование такого $T_1$ для сколь угодно малой меры множества $\Delta_1$ очевидным образом вытекает, например, из теоремы 2. Действительно, изменяя апериодическое преобразование (нас сейчас интересует только апериодическая часть на $U_1$ ) на самых последних этажах башен, мы можем получить изоморфную копию любого другого апериодического преобразования, в частности, копии всех эргодических на $U_1$ . Но нам будет достаточно какого-нибудь $T_1$ . Отметим, что малость меры множества, на котором мы меняем преобразование, обеспечивается большой высотой башен.

Так как автоморфизм $T_1$ эргодичен на $U_1=A_0\cup A_1$ , для $f=\chi_{A_0}$ в силу теоремы Биркгофа временные средние $f_{N}(T_1,x)$ сходятся к пространственному среднему $c_1$ п.в. на $U_1$ , а эта сходимость влечет за собой сходимость по мере. Таким образом, для любого $\varepsilon_1>0$ для всех достаточно больших $N_1$ выполнено

$\begin{equation*} \mu\bigl(x\in U_1\colon |f_{N_1}(T_1,x)-c_1|<\varepsilon_1\bigr)> \mu(U_1)-\varepsilon_1. \end{equation*} \notag$

Зафиксируем такое число $N_1$ при условии, что $\psi(N_1)< c_1-c$ (сейчас это неравенство не играет принципиальной роли – мы просто готовимся к описанию дальнейших шагов).

Шаг 2. Рассмотрим автоморфизм $T_2$ , который отличается от $T_1$ на множестве $\Delta_2$ (очень) маленькой меры, $\Delta_2\subset A_1\cup A_2$ , и автоморфизм $T_2$ эргодичен на объединении $U_2=A_0\cup A_1 \cup A_2$ . (Изменяя $T_1$ , мы можем обеспечить дизъюнктность множеств $\Delta_2$ и $\Delta_1$ .) Множество $\Delta_2$ мы выбираем столь малой меры, что при замене $T_1$ на $T_2$ по-прежнему выполняется

$\begin{equation*} \mu\bigl(x\in U_1\colon |f_{N_1}(T_2,x)-c_1|<\varepsilon_1\bigr)> \mu(U_1)-\varepsilon_1. \end{equation*} \notag$

Из теоремы Биркгофа имеем: для любого $\varepsilon_2>0$ для всех достаточно больших $N_2$

$\begin{equation*} \mu\bigl(x\in U_2\colon |f_{N_2}(T_2,x)-c_2|<\varepsilon_2\bigr)> \mu(U_2)-\varepsilon_2. \end{equation*} \notag$

Зафиксируем такое число

$N_2$ при условии, что

$\begin{equation*} \psi(N_2)< \frac{c_2-c}{2}\,. \end{equation*} \notag$

Шаг $j+1$ . Рассмотрим автоморфизм $T_{j+1}$ , который отличается от $T_j$ на множестве $\Delta_{j+1}$ . Выполнены условия: $\Delta_{j+1}\subset A_j\cup A_{j+1}$ , $\Delta_{j+1}$ не пересекается с $\Delta_i$ при $i\leqslant j$ , а автоморфизм $T_{j+1}$ эргодичен на объединении $U_{j+1}=A_0\cup A_1\cup\dots \cup A_{j+1}$ . Множество $\Delta_{j+1}$ выбирается настолько малым, что для всех $i\leqslant j$ выполняется

$\begin{equation*} \mu\bigl(x\in U_i\colon |f_{N_i}(T_{j+1},x)-c_i|<\varepsilon_i\bigr)>\mu(U_i)- \varepsilon_i. \end{equation*} \notag$

В силу теоремы Биркгофа для любого $\varepsilon_{j+1}>0$ и для всех достаточно больших $N_{j+1}$ имеем

$\begin{equation*} \mu\bigl(x\in U_{j+1}\colon |f_{N_{j+1}}(T_{j+1},x)-c_{j+1}|< \varepsilon_{j+1}\bigr)>\mu(U_{j+1})-\varepsilon_{j+1}. \end{equation*} \notag$

Зафиксируем такое число

$N_{j+1}$ при условии, что

$\begin{equation} \psi(N_{j+1})< \frac {c_{j+1}-c} {j+1}\,. \end{equation} \tag{1}$

Автоморфизмы $T_j$ очевидным образом сходятся к автоморфизму $T$ , для которого сохраняются все неравенства с той лишь оговоркой, что строгие неравенства формально надо заменить на нестрогие: для всех $i$ имеем

$\begin{equation} \mu\bigl(x\in U_i\colon |f_{N_i}(T,x)-c_i|\leqslant\varepsilon_i\bigr)\geqslant \mu(U_i)-\varepsilon_i. \end{equation} \tag{2}$

Принимая во внимание $\mu(U_j)\to 1$ , $\varepsilon_j\to 0$ , с учетом (1), (2) для автоморфизма $T$ , множества $A=A_0$ ( $c=\mu(A)$ ) для почти всех $x$ мы получаем