| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О несвободных действиях коммутирующих инволюций на многообразиях Д. В. Гугнин Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050188 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеДанная работа посвящена специальному случаю разветвленных накрытий многообразий. А именно, разветвленным накрытиям, происходящим из эффективных действий коммутирующих инволюций $\tau_1,\tau_2, \dots, \tau_m$ ($=$ конечных булевых групп) на многообразиях с условием, что пространство орбит этого действия также есть многообразие. В работе автора [1] было построено действие $k-1$ коммутирующих инволюций на произведении $k$ штук сфер произвольных размерностей $S^{m_1}\times S^{m_2} \times \dots \times S^{m_k}$ с факторпространством, гомеоморфным сфере $S^{m_1+\dots+m_k}$. Возник естественный вопрос, можно ли уменьшить число инволюций $k-1$, как угодно действующих на многообразиях данного семейства, с сохранением сферы в качестве факторпространства. Из нашей теоремы 1 вытекает, что ответ на этот вопрос отрицательный: число коммутирующих инволюций $k-1$ в этой конструкции не может быть уменьшено (иначе факторпространство не будет даже рациональной гомологической сферой). Чернавским в работе 1964 года [2] были получены фундаментальные результаты, положившие начало теории разветвленных накрытий многообразий размерности большей двух. Следуя этой работе, дадим следующее Определение 1. Непрерывное сюръективное отображение связных топологических многообразий $f\colon X^N \to Y^N$, $N\ge 3$, называется конечнолистным разветвленным накрытием, если оно открыто-замкнуто и конечнократно, т.е. у каждой точки $y\in Y^N$ полный прообраз $f^{-1}(y)$ состоит из конечного числа точек. Несложно проверить, что если на связном топологическом многообразии $X^N$ эффективно действует конечная группа $G$ и факторпространство $Y^N=X^N/G$ также есть топологическое многообразие, то каноническая проекция $f\colon X^N \to Y^N$ является конечнолистным разветвленным накрытием. При этом множество орбит мощности $n=|G|$ открыто и всюду плотно в $Y^N$ (поэтому данное разветвленное накрытие называется $n$-листным). Последнее утверждение вытекает из замечательной теоремы Чернавского [2] о вполне непрерывных конечнократных разбиениях топологических многообразий. Приведем классическую оценку Берстейна–Эдмондса 1978 года [3]: для произвольного $n$-листного разветвленного накрытия ориентируемых замкнутых связных многообразий $f\colon X^N \to Y^N$ выполнено $n\ge {L(X)}/{L(Y)}$. Здесь через $L(Z)$ мы обозначаем рациональную когомологическую длину топологического пространства $Z$, т.е. максимальное количество $L(Z)=L$ однородных классов рациональных когомологий положительных степеней $a_1, a_2, \dots, a_L\in H^{*\ge 1}(Z;\mathbb{Q})$ с ненулевым произведением $a_1a_2\dotsb a_L \ne 0$. В частности, для $N$-мерного тора $T^N$ степень $n$ произвольного разветвленного накрытия $f\colon T^N \to S^N$ будет не меньше $N=L(T^N)/L(S^N)$. Однако даже для $N= 5$ до сих пор не построено 5-листное разветвленное накрытие $T^5 \to S^5$. Некоторое усиление оценки Берстейна–Эдмондса для разветвленных накрытий многообразий было получено автором в 2018 г. [4]. В рамках тематики разветвленных накрытий нами получены результаты, мотивированные проблемой описания многообразий, несущих структуру $n$-значных топологических групп. Понятие и аксиоматика $n$-значных (топологических) групп были даны В. М. Бухштабером в начале 1990-х годов. Начиная с середины 1990-х годов теория $n$-значных групп получила развитие в работах Бухштабера–Риса, а также ряда других математиков (см. два обзора [5], [6]). Для нас ключевым примером 2-значной топологической группы является 2-мерная сфера $S^2$, которая 2-листно разветвленно накрывается тором $T^2$ (это был самый первый пример 2-значной топологической группы, открытый Бухштабером в 1990 г.). Одним из главных источников $n$-значных топологических групп является следующая конструкция. Пусть дана компактная связная группа Ли $X^m$ и конечная группа $G$, состоящая из $n$ элементов и являющаяся подгруппой группы автоморфизмов $\mathrm{Aut}(X^m)$. Тогда пространство орбит $X^m/G$ есть так называемая косетная $n$-значная топологическая группа. Самым интересным является случай, когда пространство обрит $X^m/G$ есть топологическое многообразие. Классичекая теорема Жордана утверждает, что конечных подгрупп $G$ в группе $\mathrm{GL_m}(\mathbb{Z})$ (т.е. в группе автоморфизмов абелевой группы Ли $T^m$) с точностью до сопряжения конечное число. Мы ставим следующую задачу. Проблема 1. Найти все конечные подгруппы $G\subset \mathrm{GL_m}(\mathbb{Z})$, для которых пространство орбит $T^m/G$ есть топологическое многообразие, и описать все такие многообразия. В работе автора [1] для любого $m$ была предъявлена подгруппа $\mathbb{Z}_2^{m-1}\subset \mathrm{GL_m}(\mathbb{Z})$, для которой пространство орбит $T^m/\mathbb{Z}_2^{m-1}$ есть сфера $S^m$. Один из главных результатов настоящей работы, теорема 2, – это конструкция для любого нечетного $m\ge 3$ подгруппы $\mathbb{Z}_2^{m-1}\subset \mathrm{GL_m}(\mathbb{Z})$, с пространством орбит $T^m/\mathbb{Z}_2^{m-1}$, гомеоморфным $\mathbb{R}P^m$. 2. Основные результатыТеорема 1. Пусть дано произвольное эффективное сохраняющее ориентацию действие $m$ штук коммутирующих инволюций $\tau_1, \tau_2, \dots, \tau_m$ на связном ориентируемом замкнутом топологическом многообразии $X$ размерности $N\ge 3$. Обозначим через $Y$ факторпространство $X/\mathbb{Z}_{2}^{m}$. Тогда для рациональных чеховских когомологий $\check{H}^*(Y;\mathbb{Q})$ и соответствующей когомологической длины $L(Y)$ выполнена оценка Доказательство. Поскольку $X$ есть $\mathrm{ENR}$ пространство, то его сингулярные когомологии $H^*(X)$ (с любыми коэффициентами) канонически изоморфны его чеховским когомологиям $\check{H}^*(X)$. Однако факторпространство $Y=X/\mathbb{Z}_{2}^{m}$ является a priori только конечномерным метризуемым компактом, и, возможно, имеет плохую локальную структуру.
Приведем классическую теорему о трансфере для действий конечных групп на паракомпактах и их чеховских когомологий (см. [7; гл. 3, теорема 7.2]). Факторпространство произвольного паракомпакта $X$ по действию произвольной конечной группы $G$ также является паракомпактом. Это следует из замечательной теоремы Майкла о том, что образ паракомпакта при замкнутом отображении также есть паракомпакт. Предложение 1. Пусть дан паракомпакт $X$ с действием конечной группы $G$, и $f\colon X \to X/G$ – каноническая проекция. Тогда для Чеховских когомологий с рациональными коэффициентами выполнен изоморфизм $f^*\colon \check{H}^*(X/G;\mathbb{Q}) \cong \check{H}^*(X;\mathbb{Q})^{G}$, где $\check{H}^*(X;\mathbb{Q})$ – подалгебра $G$-инвариантных когомологий. В силу данной теоремы о трансфере мы имеем изоморфизм чеховских когомологий
$$
\begin{equation*}
\check{H}^*(Y;\mathbb{Q}) \cong \check{H}^*(X;\mathbb{Q})^{\mathbb{Z}_{2}^m} =H^*(X;\mathbb{Q})^{\mathbb{Z}_{2}^m}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом алгебра $H^*(X;\mathbb{Q})^{\mathbb{Z}_{2}^m}$ всегда есть алгебра с двойственностью Пуанкаре, поскольку все инволюции $\tau_i$, $1\le i\le m$, сохраняют ориентацию многообразия $X$. Обозначим для удобства $A^j:=H^j(X;\mathbb{Q})$, $0\le j \le N$,
$$
\begin{equation*}
A^*=H^*(X;\mathbb{Q})=\mathbb{Q}\langle1 \rangle \oplus A^1 \oplus A^2 \oplus \dots \oplus A^{N-1} \oplus \mathbb{Q}\langle \gamma \rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma$ – фундаментальный когомологический класс многообразия $X$. Сделаем небольшое отступление. Пусть $V$ – конечномерное векторное пространство над полем нулевой характеристики $\mathbb{K}$. Пусть также дано линейное действие коммутирующих инволюций $\tau_i$, $1\le i \le m$, на $V$. Для любой одной линейной инволюции $\tau\colon V\to V$, пространство $V$ распадается в прямую сумму собственных подпространств $V=V_{1}\oplus V_{-1}$. Это следует из того факта, что минимальный многочлен оператора $\tau$ есть либо $t^2-1=(t-1)(t+1)$ (либо $t-1$, либо $t+1$). А корни минимального многочлена совпадают с корнями характеристического многочлена (в расширении поля). При этом если все корни характеристического многочлена оператора лежат в самом поле, то он приводится к жордановой нормальной форме (ЖНФ) уже над данным полем (а не над его расширением). Соответственно, любой инволютивный линейный оператор $\tau$ над любым полем нулевой характеристики приводится к ЖНФ, которая, очевидно, представляет собой диагональную матрицу с $\pm1$ на диагонали. Если есть вторая инволюция $\sigma\colon V \to V$, коммутирующая с $\tau$, то оба подпространства $V_{\pm 1}$ инвариантны относительно $\sigma$. Это следует из того факта, что для любых коммутирующих линейных операторов $A,B\colon V\to V$ и любого собственного значения $\lambda$ оператора $A$ подпространство $\mathrm{Ker}(A-\lambda \mathrm{Id})$ инвариантно относительно $B$. И, следовательно, оба эти подпространства сами распадаются в соответствующие прямые суммы $V_{+1}=V_{+1,+1}\oplus V_{+1,-1}$ и $V_{-1}=V_{-1,+1}\oplus V_{-1,-1}$. Итерируя этот процесс, легко показать, что существует разложение всего пространства $V$ в прямую сумму $2^m$ соответствующих собственных подпространств
$$
\begin{equation*}
V=\bigoplus_{\varepsilon\in \{ 1,-1 \}^{m}} V_{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя данное рассуждение к каждому векторному пространству $A^s$, $1\le s\le N-1$, мы получаем разложения в прямые суммы
$$
\begin{equation}
A^{s}=\bigoplus_{\varepsilon\in \{ 1,-1 \}^{m}} A^s_{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_m}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Если $L(X)=1$, т.е. все пространства $A^s$, $1\le s \le N-1$, нулевые, то, очевидно, $L(Y)=1$ и проверяемое неравенство $L(Y)\ge L(X)/(m+1)$ тривиально выполнено. Пусть $L(X) \ge 2$. Обозначим $L(X)=L$. Тогда существуют однородные классы когомологий $a_1\in A^{s_1}$, $a_2\in A^{s_2}$, $\dots$, $a_L\in A^{s_L}$ такие, что $a_1a_2\dotsb a_L=\gamma$. Используя разложение (1) для каждого $a_i$, $1\le i \le L$, несложно понять, что мы можем добиться того, что в равенстве каждый элемент $a_i$, $1\le i \le L$, лежит в своем $A^{s_i}_{\varepsilon^{i}_1, \varepsilon^{i}_2, \dots, \varepsilon^{i}_m}$.Пусть $L=(m+1)p+r$, $0\le r \le m$. Наша задача – доказать, что $L(Y)\ge p$ в случае $r=0$, и $L(Y)\ge p+1$ в случае $r\ge 1$. Предположим сначала, что $r=0$. Разобьем ненулевое произведение $a_1a_2\dotsb a_L$ в произведение $p$ групп символов, каждая из которых состоит из произведения ровно $m+1$ сомножителя:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &a_1a_2\dotsb a_{(m+1)p} \\ &\qquad =(a_1a_2\dotsb a_{m+1})(a_{m+1+1}a_{m+1+2}\dotsb a_{m+1+ m+1})\dotsb (a_{(p-1)(m+1)+1} \dotsb a_{(m+1)p}) . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Рассмотрим ненулевое произведение $a_1a_2\dotsb a_{m+1}$. Имеем равенства
$$
\begin{equation*}
\tau_j(a_i)={\varepsilon^{i}_{j}} a_i, \qquad 1\le i\le m+1, \quad 1\le j \le m, \quad \varepsilon^{*}_{*}\in \{+1, -1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Иными словами, у нас есть $m$-мерное векторное пространство $W_{m}=\{+1,-1\}^{m}$ над полем из двух элементов, представленное в мультипликативной записи, в котором лежат $m+1$ векторов $\varepsilon^{i}=(\varepsilon^{i}_{1}, \varepsilon^{i}_{2}, \dots, \varepsilon^{i}_{m})$, $1\le i \le m+1$. В силу соображения размерности существует непустой поднабор векторов $\varepsilon^{i_1}, \varepsilon^{i_2}, \dots, \varepsilon^{i_k}$, произведение которых $\varepsilon^{i_1}\varepsilon^{i_2}\dotsb\varepsilon^{i_k}$ равно нейтральному элементу $(+1, +1, \dots, +1)$. Это означает в точности, что ненулевой элемент $b_1:=a_{i_1}a_{i_2}\dotsb a_{i_{k}}$ неподвижен относительно действия всех инволюций $\tau_1, \tau_2,\dots, \tau_m$ и, значит, лежит в подалгебре инвариантов $A^{\mathbb{Z}_{2}^m}$. Проведя это же рассуждение для всех остальных произведений длины $m+1$, входящих в формулу (3), мы получим $p$ ненулевых элементов $b_1, b_2, \dots, b_p$ из подалгебры инвариантов $A^{\mathbb{Z}_{2}^m}$ таких, что их произведение $b_1b_2\dotsb b_p$ делит ненулевой элемент $a_1a_2\dotsb a_{(m+1)p}$ и, значит, не равно нулю. Таким образом, мы доказали искомую оценку $L(Y) \ge p$. Пусть теперь $r\ge 1$. Рассуждая так же, как и в случае $r=0$, мы получим $p$ ненулевых элементов $b_1, b_2, \dots, b_p$ из подалгебры инвариантов $A^{\mathbb{Z}_{2}^m}$ таких, что их произведение не равно нулю и при этом градуировка $\deg(b_1 b_2 \dotsb b_p)$ строго меньше $N$. Но поскольку подалгебра инвариантов $A^{\mathbb{Z}_{2}^m}$ есть алгебра с двойственностью Пуанкаре (что верно для любой конечной группы $G$, действующей с сохранением фундаментального класса на алгебре с двойственностью Пуанкаре), то существует элемент $b_{p+1}\in A^{\mathbb{Z}_{2}^m}$ такой, что $b_1 b_2 \dotsb b_p b_{p+1}=\gamma$. Следовательно, опять выполнена искомая оценка $L(Y)\ge p+1$. Теорема полностью доказана. Замечание 1. Общая оценка Берстейна–Эдмондса 1978 года [3], выполненная для произвольного разветвленного накрытия ориентируемых многообразий, примененная в условиях теоремы 1, дает всего лишь $L(Y)\ge {L(X)}/{2^m}$. При этом методы доказательств этой общей оценки в [3] (а также ее обобщения в работе [4]) намного сложнее, чем наш метод доказательства частного случая действий коммутирующих инволюций. Можно провести такую аналогию: представления произвольных конечных групп намного сложнее представлений конечных булевых групп. Теорема 2. Для любого нечетного $m\ge 3$ существуют $m-1$ коммутирующих инволюций, действующих автоморфизмами абелевой группы Ли $T^m$, для которых факторпространство гомеоморфно $\mathbb{R}P^{m}$. В частности, для любого нечетного $m\ge 3$ многообразие $\mathbb{R}P^{m}$ допускает структуру косетной $2^{m-1}$-значной абелевой топологической группы. Доказательство. Рассмотрим конструкцию работы [1] в случае произведения $m$ окружностей, т.е. компактного тора $T^m$. Для любой точки
$$
\begin{equation*}
(x,y)=\bigl((x_1,y_1), (x_2,y_2), \dots, (x_m,y_m)\bigr) \in T^m, \qquad x_i^2+y_i^2=1, \quad 1\le i \le m,
\end{equation*}
\notag
$$
определим действие группы $\mathbb{Z}_2^{m}=\{+1,-1\}^{m}$ по следующему правилу:
$$
\begin{equation*}
(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_m) (x,y) := \bigl((x_1,\varepsilon_1y_1), (x_2,\varepsilon_2y_2), \dots, (x_m,\varepsilon_my_m)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Для подгруппы $\mathbb{Z}_2^{m-1}\subset \mathbb{Z}_2^{m}$, состоящей из наборов $\pm 1$ с четным числом $-1$, факторпространство $T^m/\mathbb{Z}_2^{m-1}$ будет $m$-мерной сферой $S^m$ [1; теорема 2]. При этом каноническая проекция на факторпространство $\chi\colon T^m \to S^m$ может быть записана в явном виде: Заметим, что предъявленное действие группы $\mathbb{Z}_2^{m-1}$ на торе $T^m$ есть действие автоморфизмами компактной абелевой группы Ли. Следовательно, факторпространство по этому действию $S^m$ есть пример косетной $2^{m-1}$-значной абелевой топологической группы.
Предположим теперь, что число $m$ нечетно. Обозначим рассматриваемый нами тор $T^m$ через $A$ (это связная компактная абелева группа Ли). Рассмотрим следующий элемент второго порядка Через $B$ обозначим факторгруппу $A/\{0,b\}$. Это будет снова связная компактная абелева группа Ли, т.е. также тор $T^m$. Очевидно, что наше действие $\mathbb{Z}_2^{m-1}$ автоморфизмами на группе $A$ оставляет элемент $b$ на месте. Следовательно, это действие индуцирует также некоторое действие автоморфизмами на факторгруппе $B$.Легко видеть, что отображение факторизации $A \to B$, являющееся настоящим 2-листным накрытием, склеивает точку $(x,y)\in A$ с точкой $(-x,-y)\in A$. В силу явной формулы (4) получаем $\chi(-x,-y)=- \chi(x,y)$. Следовательно, мы имеем некоторое действие группы $\mathbb{Z}_2^{m-1}$ автоморфизмами на $m$-мерном торе $B$, для которого факторпространство гомеоморфно $\mathbb{R}P^{m}$. Теорема полностью доказана. Теорема 3. Для любого нечетного $m\ge 3$ существует проективное действие $m-1$ коммутирующих инволюций на $\mathbb{R}P^m$ с факторпространством, гомеоморфным $S^m$. Доказательство. Фиксируем произвольное нечетное $m\ge 3$. Рассмотрим стандартную сферу $S^m=\{x_1^2+\dots+x_m^2+x_{m+1}^2=1\}\subset \mathbb{R}^{m+1}$. Определим на ней действие $m+1$ коммутирующих инволюций В полученной группе $\mathbb{Z}_2^{m+1}$, действующей на нашей сфере, выберем подгруппу $\mathbb{Z}_2^m$ индекса 2 сохраняющих ориентацию сферы элементов группы $\mathbb{Z}_2^{m+1}$. Поскольку число $m$ нечетно, антиподальная инволюция $x\mapsto -x$ входит в полученную группу $\mathbb{Z}_2^m$. Соответственно, на факторпространстве $S^m/(x\sim -x)=\mathbb{R}P^m$ действует проективно группа $\mathbb{Z}_2^{m-1}$ с тем же самым факторпространством.
Несложно убедиться, что это факторпространство гомеоморфно сфере. Действительно, в качестве открытой фундаментальной области для этого действия на сфере $S^m$ можно взять
$$
\begin{equation*}
K^m := \bigl\{(x_1,x_2,\dots, x_{m+1}) \in S^m \mid x_1>0,\, x_2>0,\, \dots,\, x_m>0\bigr \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что замыкание состоит из двух сферических прямоугольных симплексов, склеенных по общей гиперграни, и является замкнутой фундаментальной областью для нашего действия. При этом, чтобы получить искомое факторпространство, нужно всего лишь на границе отождествить точки $(x_1, \dots, x_m, \pm x_{m+1})$. А это означает, что мы фактически склеиваем две копии замкнутого $m$-мерного симплекса по тождественному гомеоморфизму границы. Следовательно, искомое факторпространство гомеоморфно $m$-сфере. Теорема полностью доказана. Вопрос 1. Верно ли, что число $m-1$ коммутирующих инволюций в теореме 3 не уменьшаемо? Автор крайне признателен чл.-корр. РАН профессору В. М. Бухштаберу за многочисленные полезные обсуждения. Автор также благодарен рецензенту за конструктивную критику, способствовавшую улучшению текста статьи. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gug23}
Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_04@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|