Н. Ф. Абузярова, “Возмущения целочисленной последовательности – нулевые множества делителей в некоторых пространствах целых функций”, Матем. заметки, 113:5 (2023), 633–645; Math. Notes, 113:5 (2023), 613

Processing math: 100%

Математические заметки

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математические заметки, 2023, том 113, выпуск 5, страницы 633–645
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13576 (Mi mzm13576)

Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)

Возмущения целочисленной последовательности – нулевые множества делителей в некоторых пространствах целых функций

Н. Ф. Абузярова^ab

^a Башкирский государственный университет, г. Уфа
^b Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, г. Уфа

PDF полного текста (617 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (3)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13576

Аннотация: Рассматриваются весовые пространства целых функций – образы при преобразовании Фурье–Лапласа пространств ультрараспределений минимального типа и норамального типа на вещественной прямой. Изучаются делители этих пространств. А именно, выясняются условия на возмущающую последовательность, при которых целочисленная последовательность, возмущенная ею, будет нулевым множеством целой функции – делителя одного из указанных пространств.
Библиография: 20 названий.

Ключевые слова: ультрараспределение, нулевое множество, целая функция, теорема деления, преобразование Фурье–Лапласа, оператор свертки.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	22-21-00026
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 22-21-00026), https://rscf.ru/project/22-21-00026/.

Поступило: 05.05.2022
Исправленный вариант: 19.09.2022

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages 613–623
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050012

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 517.547.2+517.538.2+517.984.26

1. Введение

Пусть $\omega \colon \mathbb R\to \mathbb R$ – канонический вес, т.е. четная неотрицательная, неубывающая на $[0,\infty)$ функция такая, что $\omega (1)=0$ , функция $f (\xi):=\omega (e^{\xi})$ выпукла на $[0,\infty)$ , и

$\begin{equation} \ln x =o(\omega (x)), \quad\omega (2x)=O(\omega (x)), \qquad x\to\infty, \end{equation} \tag{1.1}$

$\begin{equation} \int_{1}^{\infty}\frac{\omega (x)}{x^2}\,\mathrm{d}x<\infty . \end{equation} \tag{1.2}$

Из (1.2), в частности, следует, что

$\omega (x)=o(x)$ ,

$x\to\infty$ .

Для любых $a>0$ , $r> 0$ определим банахово пространство целых функций

$\begin{equation} P_{a,r}=\biggl\{ \varphi\in H(\mathbb C)\colon \| \varphi\|_{a,r}=\sup_{z\in\mathbb C} \frac{|\varphi (z)|}{\operatorname{exp}(a|\operatorname{Im} z|+r\omega (|z|))}<\infty\biggr\}. \end{equation} \tag{1.3}$

Положим

$\begin{equation} P_{(\omega)}=\bigcup_{r>0}\bigcup_{a>0} P_{a,r}, \qquad P_{(\omega),1}=\bigcup_{0<r<1}\bigcup_{a>0} P_{a,r} \end{equation} \tag{1.4}$

и наделим каждое из пространств,

$P_{(\omega)}$ и

$P_{(\omega),1}$ , соответствующей топологией индуктивного предела банаховых пространств

$P_{a,r}$ .

Введем еще пространство $P_{(\ln )}$ , определяемое точно так же, как $P_{(\omega)}$ , но с заменой веса $\omega$ на вес $\ln (1+|x|)$ .

Локально-выпуклые пространства $P_{(\omega)}$ , $P_{(\ln )}$ и $P_{(\omega),1}$ относятся к классу пространств типа $(LN^*)$ (см., например, [1]). Кроме того, $P_{(\omega)}$ и $P_{(\ln )}$ – топологические алгебры относительно операций сложения и умножения функций. $P_{(\ln )}$ называют алгеброй Шварца. Пространство $P_{(\omega),1}$ , не будучи замкнутым относительно операции перемножения функций, обладает структурой топологического модуля над кольцом многочленов $\mathbb C[z]$ . Для него известно описание множества всех мультипликаторов, т.е. всех функций $\psi$ , для которых $\psi\cdot P_{(\omega),1}\subset P_{(\omega),1}$ . А именно, это множество есть $\bigcap_{r>0}\bigcup_{a>0} P_{a,r}$ (см. [2; теорема 1]).

Будем использовать обозначение $\mathcal P$ для всех трех введенных пространств в случае, когда не важно, о каком из них идет речь. Также обозначим символом $\mathcal M (\mathcal P)$ множество всех мультипликаторов пространства $\mathcal P$ . Ясно, что $\mathcal M (\mathcal P)=\mathcal P$ , если $\mathcal P=P_{(\omega)}$ или $P_{(\ln )}$ .

Говорят, что функция $\varphi\in\mathcal M (\mathcal P)$ есть делитель пространства $\mathcal P$ , если верна импликация:

$\begin{equation} \Phi\in\mathcal P, \quad \frac{\Phi}{\varphi}\in H(\mathbb C) \qquad\Longrightarrow \qquad \frac{\Phi}{\varphi}\in \mathcal P. \end{equation} \tag{1.5}$

Напомним, что каждое из пространств $P_{(\omega)}$ , $P_{(\ln )}$ и $P_{(\omega),1}$ является аналитической реализацией посредством преобразования Фурье–Лапласа $\mathcal F$ соответствующего пространства (ультра)распределений:

$\bullet$ $P_{(\omega)}=\mathcal F(\mathcal E'_{(\omega)})$ , где $\mathcal E'_{(\omega)}$ – пространство ультрараспределений, сильное сопряженное к пространству ультрадифференцируемых функций Берлинга–Бьорка минимального типа на прямой (см. [3]–[5]);
$\bullet$ $P_{(\ln )}=\mathcal F(\mathcal E')$ , где $\mathcal E'$ – пространство Шварца распределений с компактным носителем на прямой, сильное сопряженное к пространству $\mathcal E=C^{\infty} (\mathbb R)$ (см. [6; теорема 7.3.1]);
$\bullet$ $P_{(\omega),1} =\mathcal F (\mathcal E'_{(\omega), 1})$ , где $\mathcal E'_{(\omega),1}$ – пространство ультрараспределений, сильное сопряженное к пространству ультрадифференцируемых функций Берлинга нормального типа на прямой (см. [7; теорема 1]).

Для функции $\varphi\in\mathcal P$ положим $S=\mathcal F^{-1} (\varphi)$ и рассмотрим оператор свертки, порожденный функционалом $S$ и действующий в соответствующем пространстве ультрадифференцируемых или бесконечно дифференцируемых функций. Обозначим этот оператор $T_S$ .

Теорема A. Мультипликатор $\varphi$ пространства $\mathcal P$ является делителем этого пространства тогда и только тогда, когда оператор $T_S$ сюръективен (см. [8; теоремы 1, 2.2], [3; теорема 2.6, следствие 2.7], [2; теоремы 2, 3]).

Для каждого из пространств $P_{(\ln )}$ , $P_{(\omega)}$ , $P_{(\omega),1}$ имеется аналитический критерий того, что его мультипликатор $\varphi$ является и делителем в нем. Этот критерий доказан в работах [8; теоремы 1, 2.2] (для пространства $P_{(\ln )}$ ), [3; теорема 2.6] (для пространства $P_{(\omega)}$ ) и [2; теорема 2] (для пространства $P_{(\omega),1}$ ).

Теорема B. Функция $\varphi\in\mathcal M (\mathcal P)$ является делителем пространства $\mathcal P$ тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию $(E)$ .

Условие $(E)$ приведем отдельно для каждого из пространств $P_{(\ln )}$ , $P_{(\omega)}$ , $P_{(\omega),1}$ .

Для функции $\varphi\in P_{(\ln )}$ выполнено условие $(E)$ , если

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \exists\, A>0 \colon \qquad \forall\, x\in\mathbb R \quad\exists\, x'\in\mathbb R\colon \\ |x'-x|\leqslant A\ln (|x|+1), \qquad |x'|>|x| \qquad\text{и}\qquad \ln |\varphi(x')|\geqslant -A\ln (|x'|+1). \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Для функции $\varphi\in P_{(\omega)}$ выполнено условие $(E)$ , если

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \exists\, A>0 \colon \qquad \forall\, x\in\mathbb R \quad \exists\, x'\in\mathbb R\colon \\ |x'-x| \leqslant A\omega (|x|), \qquad |x'|>|x| \qquad \text{и}\qquad \ln |\varphi(x')|\geqslant -A\omega (|x'|). \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Для функции $\varphi\in P_{(\omega),1}$ выполнено условие $(E)$ , если

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \forall\,\varepsilon>0 \quad \forall\,\delta>0 \quad \exists\, x_0>0 \colon \qquad \forall\, x\in\mathbb R, \quad |x|\geqslant x_0 \qquad \exists\, x'\in\mathbb R\colon \\ |x'-x|\leqslant \delta\omega (|x|), \qquad|x'|>|x| \qquad\text{и}\qquad \ln |\varphi(x')|\geqslant -\varepsilon\omega (|x'|). \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Известно, что если $\varphi =\mathcal F(S)$ – делитель пространства $\mathcal P$ , то каждый элемент из ядра оператора свертки $T_S$ представляется в виде ряда (со скобками) по системе экспоненциальных одночленов, содержащихся в $\operatorname{ker} T_S$ (см. [3], [8], [9]). При этом последовательность показателей, по которой строится экспоненциально-полиномиальный базис в $\operatorname{ker} T_S$ , с точностью до множителя $(-\mathrm{i})$ , совпадает с нулевым множеством функции $\varphi$ .

Сказанное выше мотивирует к изучению нулевых множеств делителей пространства $\mathcal P$ . Для случая $\mathcal P=P_{(\ln )}$ такие исследования были проведены нами в работах [10]–[13]. В частности, в [10] нами было выяснено, при каких условиях на возмущающую функцию $l$ последовательность $\{k+l(|k|)\}$ , $k\in\mathbb Z$ , представляет собой нулевое множество делителя пространства $P_{(\ln )}$ . (Очевидно, что функция $\sin\pi z$ , нулевое множество которой есть $\mathbb Z$ , является делителем каждого из пространств $P_{(\ln )}$ , $P_{(\omega)}$ или $P_{(\omega),1}$ .)

В настоящей заметке мы изучаем аналогичный вопрос о нулевых множествах делителей пространств $P_{(\omega)}$ и $P_{(\omega),1}$ , представляющих собой возмущения целочисленной последовательности.

Отметим еще, что в работах [14]–[18] изучался вопрос об условиях на возмущения, при которых возмущенная целочисленная последовательность представляет собой нулевое множество целой функции типа синуса. Функции типа синуса играют ту же роль, что и делители пространства $\mathcal P$ , в вопросах замкнутости, базисности экспоненциальных систем в пространстве $L^2$ , а также задаче об интерполяции в пространстве Пэли–Винера.

2. Вспомогательные сведения

Пусть функция $l\colon [0,+\infty)\to \mathbb R$ удовлетворяет условиям

$\begin{equation} \varlimsup_{t\to\infty} \frac{\ln |l(t)|}{\ln t}=\alpha <1, \end{equation} \tag{2.1}$

$\begin{equation} l(t')-l(t'')=o(t'-t''), \qquad t', t''\to\infty . \end{equation} \tag{2.2}$

Положим

$\begin{equation} \lambda(t)=t+l(|t|), \qquad t\in\mathbb R, \end{equation} \tag{2.3}$

$\begin{equation} \lambda_k=\lambda (k), \qquad k=\pm1,\pm2,\dotsc\,. \end{equation} \tag{2.4}$

Для

$z\in\mathbb C$ ,

$t\geqslant 0$ и последовательности

$\Lambda =\{\lambda_k\}$ обозначим, как обычно, символом

$n(z,t)$ число точек

$\lambda_k$ в круге

$|w-z|\leqslant t$ , символами

$n^+(0,t)$ ,

$n^- (0,t)$ – число точек

$\lambda_k$ в промежутках

$[0,t]$ и

$[-t,0]$ , соответственно.

Нам понадобится ряд свойств функции $\lambda$ , последовательности (2.4) и считающих функций $n^+(0,t)$ , $n^- (0,t)$ , $n(0,t)$ .

Лемма 1. Пусть функция $l\colon [0,+\infty)\to\mathbb R$ удовлетворяет условиям (2.1), (2.2). Тогда

найдется $t_0 >0$ такое, что функция $\lambda (t) =t+l(|t|)$ строго возрастает при $t\geqslant t_0$ и при $t\leqslant -t_0$ , и, следовательно, при всех $t$ , $|t|\geqslant t_0$ определена обратная функция $\lambda^{-1} (t)$ , причем
$\begin{equation} \lambda^{-1} (t)=t-l(|t|)+o(l(|t|)), \qquad |t|\to\infty; \end{equation} \tag{2.5}$
если же вместо (2.1), (2.2) выполнено условие
$\begin{equation} l(t)-l(s)= O(t^\alpha-s^{\alpha}), \quad t,s\to\infty, \qquad \textit{при некотором}\ \ \alpha\in (0,1), \end{equation} \tag{2.6}$
то справедливо следующее уточнение соотношения (2.5):
$\begin{equation} \lambda^{-1} (t)=t-l(|t|)+O(|t|^{\alpha-1}l(|t|)), \qquad |t|\to\infty; \end{equation} \tag{2.7}$
точки последовательности $\Lambda$ разделены: существует число $d_0>0$ такое, что
$\begin{equation*} |\lambda_n-\lambda_m|\geqslant d_0, \qquad m,n\in\mathbb Z', \quad m\neq n, \end{equation*} \notag$
где, как обычно, $\mathbb Z ' = \mathbb Z\setminus\{ 0\}$ ;
3) существует конечный предел
$\begin{equation*} \lim_{R\to\infty} \sum_{|\lambda_k|<R}\frac{1}{\lambda_k}; \end{equation*} \notag$
при всех $t>t_0$ будет $n^+(0,t) =[\lambda^{-1} (t)]$ , $n^-(0,t) =-[\lambda^{-1} (-t)]$ , где $[a]$ – целая часть числа $a\in\mathbb R$ ;
$n(0,t) =O(t)$ , $t\to\infty$ ;
$n(0,t+1)-n(0,t) = o(t)$ , $t\to\infty$ .

Доказательство. Для функции

$l$ , удовлетворяющей вместо системы условий (2.1), (2.2) более сильному условию (2.6) утверждения 1)–6) леммы 1 были доказаны нами в [10; лемма 1]. Анализируя приведенное в [10] доказательство, легко убедиться в том, что при замене требования (2.6) системой условий (2.1), (2.2), остается справедливым соотношение (2.5). В свою очередь, доказательство утверждений 2)–6) леммы 1 в [10] опирается только на условие (2.1) и соотношение (2.5).

Замечание 1. Если функция $l$ удовлетворяет (2.1), (2.2), а функция $\lambda$ определяется по ней формулой (2.3), то, как видно из доказательства леммы 1 в [10], имеет место следующее соотношение для обратной функции

$\begin{equation} \lambda^{-1} (t)=t-l(|t|)+\frac{L(t,s)l(t)}{1+L(t,s)}, \qquad |t|\geqslant t_0, \end{equation} \tag{2.8}$

где

$s=\lambda^{-1}(t)$ ,

$L(t,s)=(l(s)-l(t))/(s-t)$ .

В работе [19] Фаворовым доказана следующая лемма.

Лемма A. Пусть последовательность $A=\{ a_j\}\subset \mathbb C\setminus\{ 0\}$ удовлетворяет условиям

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \exists\, \lim_{R\to\infty }\sum_{|a_j|<R} a_j^{-1}, \\ n_A(0,t) =O(t), \qquad t\to\infty, \\ n_A(0,t+1)-n_A(0,t) =o(t), \qquad t\to\infty, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

где

$n_A(z,t)$ – число точек

$a_j$ в круге

$|w-z|\leqslant t$ . Тогда формула

$\begin{equation*} g (z)=\lim_{R\to\infty }\prod_{|a_j|\leqslant R}\biggl( 1-\frac{z}{a_j}\biggr) \end{equation*} \notag$

корректно определяет целую функцию экспоненциального типа и для всех

$z\in\mathbb C$ имеет место представление

$\begin{equation*} \ln |g (z)| =\int_0^{\infty} \frac{n_A(0,t)-n_A(z,t)}{t}\,\mathrm{d} t. \end{equation*} \notag$

Пусть функция $l$ удовлетворяет (2.1), (2.2), а функция $\lambda$ и последовательность $\{\lambda_k\}$ определены формулами (2.3), (2.4), соответственно. Тогда, в силу леммы 1 и леммы A формула

$\begin{equation} \varphi (z) =\lim_{R\to\infty}\prod_{|\lambda_k|<R} \biggl( 1-\frac{z}{\lambda_k}\biggr) , \end{equation} \tag{2.9}$

корректно определяет целую функцию экспоненциального типа, и для всех

$z\in\mathbb C$ имеет место представление

$\begin{equation} \ln |\varphi (z)| =\int_0^{\infty} \frac{n(0,t)-n(z,t)}{t}\,\mathrm{d} t. \end{equation} \tag{2.10}$

Замечание 2. Как и в замечании 1 работы [10], изменим функцию $l$ на конечном отрезке $[0,t_0]$ так, чтобы функция $\lambda$ стала непрерывной и строго возрастающей на всей вещественной оси, $\lambda (0)=0$ , и измененная функция $l$ являлась бы функцией ограниченной вариации на $[0,t_0]$ (а значит, в силу (2.2), на любом конечном отрезке $[a,b]\subset [0,+\infty)$ ). Такое изменение $l$ приведет к изменению не более, чем конечного числа точек последовательности $\{\lambda_k\}$ , и следовательно, к изменению асимптотики функции $\ln |\varphi|$ на величину порядка $O(\ln |z|)$ при $|z|\to\infty$ .

Положим

$\begin{equation*} d_1 = \min \biggl\{ \lambda_1, -\lambda_{-1}, \frac{d_0}2\biggr\} . \end{equation*} \notag$

В работе [10; лемма 2] нами было устанавлено, что считающие функции

$\begin{equation*} n(0,t) =[\lambda^{-1} (t)]-[\lambda^{-1} (-t)], \qquad n(x,t) =[\lambda^{-1} (x+t)]-[\lambda^{-1} (x-t)] \end{equation*} \notag$

в представлении (2.10) можно заменить (асимптотически) на выражения

$\begin{equation*} (\lambda^{-1} (t)-\lambda^{-1} (-t)), \qquad (\lambda^{-1} (x+t)-\lambda^{-1} (x-t)), \end{equation*} \notag$

соответственно. Приведем точную формулировку.

Лемма 2. Пусть функция $l$ удовлетворяет условию (2.6). Тогда для произвольного фиксированного $\delta_0\in (0,d_1)$ справедливо асимптотическое соотношение

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\int_{0}^{\infty} \frac{n(0,t)-n(x,t)}{t}\,\mathrm{d} t-\int_{\delta_0}^{\infty} \frac{\lambda^{-1} (t)-\lambda^{-1} (-t)}{t}\,\mathrm{d} t \\ &\qquad\qquad +\int_{\delta_0}^{\infty} \frac{\lambda^{-1} (x+t)-\lambda^{-1} (x-t)}{t}\,\mathrm{d} t =O(\ln |x|) \end{aligned} \end{equation} \tag{2.11}$

при

$|x|\to\infty$ , и

$|x-\lambda_k|\geqslant \delta_0$

$\forall\, k\in \mathbb Z'$ .

В дальнейшем нам понадобится замечание 2 из работы [10]:

Замечание 3. Пусть точка $z=x+\mathrm{i}y$ лежит на окружности $|z-\lambda_k|=\delta_0$ для некоторого $k\in\mathbb Z'$ , число $\delta_0$ такое же, как в лемме 2. Тогда, очевидно,

$\begin{equation*} \ln |\varphi (z)| =\int_0^{\infty} \frac{n(0,t)-n(z,t)}{t}\,\mathrm{d} t =\int_{\delta_0}^{\infty} \frac{n(0,t)-n(x,t^*)}{t} \,\mathrm{d} t, \end{equation*} \notag$

где

$t^* =\sqrt{t^2-y^2}$ ,

$y\in [0,\delta_0]$ .

Аналогично тому, как было доказано соотношение (2.11), выводится, что

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag & \int_{0}^{\infty} \frac{n(0,t)-n(z,t)}{t}\,\mathrm{d} t-\int_{\delta_0}^{\infty} \frac{\lambda^{-1} (t)-\lambda^{-1} (-t)}{t}\,\mathrm{d} t \\ &\qquad\qquad +\int_{\delta_0}^{\infty} \frac{\lambda^{-1} (x+t^*)-\lambda^{-1} (x-t^*)}{t}\,\mathrm{d} t =O(\ln |z|) , \end{aligned} \end{equation} \tag{2.12}$

когда

$z\to\infty$ ,

$z\in E$ , где

$\begin{equation} E=\bigl\{z\colon |z-\lambda_k|=\delta_0, \ k\in\mathbb Z'\bigr\}\cup \bigl\{z=x\in\mathbb R\colon |x-\lambda_k|\geqslant \delta_0 \ \forall\, k\in \mathbb Z'\bigr\} . \end{equation} \tag{2.13}$

3. Основной результат

3.1. Теоремы об асимптотике $\ln |\varphi (z)|$

Пусть $\nu\colon \mathbb R\to\mathbb R$ – канонический вес. Напомним, что канонический вес $\nu$ называется строгим, если для некоторого $K>1$

$\begin{equation} \varlimsup_{t\to\infty}\frac{\nu (Kt) }{\nu (t)}<K \end{equation} \tag{3.1}$

(см. [5; 1.3.5]).

Всюду далее функции $l\colon [0,+\infty)\to \mathbb R$ , $\lambda$ и последовательность $\{\lambda_k\}_{k\in\mathbb Z'}$ те же, что и в разделе 2; в частности, $l$ удовлетворяет (2.6).

Теорема 1. Предположим, что существуют дифференцируемая функция

$\begin{equation*} \mu \colon [0,+\infty )\to \mathbb R \end{equation*} \notag$

и строгий вес

$\nu$ со свойствами

$\begin{equation} \mu' (t)=O\biggl(\frac{\mu(t)}{t}\biggr), \qquad t\to\infty , \end{equation} \tag{3.2}$

$\begin{equation} \int^{\infty}\frac{\nu (t)l(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t<\infty . \end{equation} \tag{3.3}$

При этом

$\begin{equation} l(t)-l(s)=O(\mu(t)-\mu (s)), \qquad t, s\to\infty , \end{equation} \tag{3.4}$

$\begin{equation} \mu (t)=O(\nu(t)), \qquad t\to\infty. \end{equation} \tag{3.5}$

Тогда для функции

$\varphi$ , определенной формулой (2.9), верно соотношение

$\begin{equation} \ln |\varphi (z)|= O(\nu (|z|)); \end{equation} \tag{3.6}$

когда

$|z|\to\infty$ ,

$z\in E$ , множество

$E$ определяется формулой (2.13).

Доказательство. С учетом того, что

$\nu$ – канонический вес, из леммы 2 и замечания 3 следует, что соотношение (3.6) эквивалентно оценке

$\begin{equation} \int_{\delta_0}^{\infty} \frac{(\lambda^{-1} (x+t^*)-\lambda^{-1} (x-t^*)) -(\lambda^{-1} (t)-\lambda^{-1} (-t))}{t}\,\mathrm{d} t =O(\nu (|x|) ) \end{equation} \tag{3.7}$

при

$|z|\to\infty$ ,

$z=x+\mathrm{i}y\in E$ , где, как и выше,

$t^* =\sqrt{t^2-y^2}$ ,

$y\in [0,\delta_0]$ .

Представим интеграл из левой части (3.7) в виде суммы:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \notag &\int_{\delta_0}^{\infty} \frac{(\lambda^{-1} (x+t^*)-\lambda^{-1} (x-t^*)) -(\lambda^{-1} (t)-\lambda^{-1} (-t))}{t}\,\mathrm{d} t =I_1+I_2+I_3 \\ &\qquad =\biggl(\int_{\delta_0}^{|x|/2}+\int_{|x|/2}^{2|x|} +\int_{2|x|}^{\infty}\biggr) \frac{(\lambda^{-1} (x+t^*)-\lambda^{-1} (x-t^*))-(\lambda^{-1} (t)-\lambda^{-1} (-t))}{t} \,\mathrm{d} t. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.8}$

Оценки для слагаемых

$I_1$ ,

$I_2$ ,

$I_3$ проведем при

$x>0$ (случай

$x<0$ рассматривается аналогично). Принимая во внимание соотношения (2.7), (3.2), (3.4), (3.5), для слагаемого

$I_1$ при

$x\to\infty$ получим

$\begin{equation} I_1= \int_{\delta_0}^{x/2}\frac{2(t^*-t)-(l(x+t^*)-l(x-t^*))}{t}\,\mathrm{d}t + O(1) = O(\nu( x)) . \end{equation} \tag{3.9}$

Оценим слагаемое $I_3$ . Для этого разобьем его на сумму двух интегралов:

$\begin{equation*} I_3 =I_{31}+I_{32 }, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} I_{31}=\int_{2x}^{\infty} \frac{2(t^*-t)-(l(t^*+x)-l(t^* -x))}{t}\,\mathrm{d}t , \qquad I_{32}=I_3-I_{31}. \end{equation*} \notag$

Из соотношения (2.8) и условий (3.2)–(3.5) выводится оценка

$\begin{equation} I_{32} = O(1), \qquad x\to \infty. \end{equation} \tag{3.10}$

Используя (3.2), (3.4), (3.5) и принимая во внимание определение

$t^*$ , получаем

$\begin{equation} I_{31}= O\biggl( \int_{2x}^{\infty}\frac{\nu (t)x}{t^2}\,\mathrm{d}t\biggr) +O(1) = O\biggl( \int_{2}^{\infty}\frac{\nu (\tau x)}{\tau^2}\,\mathrm{d}\tau\biggr) +O(1)= O(\nu (x)), \qquad x\to \infty. \end{equation} \tag{3.11}$

Последнее равенство в (3.11) следует из условия строгости веса

$\nu$ (см. [5; 1.3.5 (2)]).

Из (3.10), (3.11) выводим оценку

$\begin{equation} I_{3} =O(\nu (x)), \qquad x\to\infty. \end{equation} \tag{3.12}$

Для интеграла $I_{2}$ напишем представление

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, I_2 &=I_{21} +I_{22}+I_{23} \\ &=\biggl( \int_{x/2}^{x-1}+\int_{x-1}^{x+1}+\int_{x+1}^{2x}\biggr) \frac{(\lambda^{-1} (x+t^*)-\lambda^{-1} (x-t^*))-(\lambda^{-1} (t) -\lambda^{-1} (-t))}{t}\,\mathrm{d} t . \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Нетрудно убедиться в том, что

$\begin{equation} I_{22}=O(\nu (x)), \qquad x\to\infty . \end{equation} \tag{3.13}$

Для $I_{21}$ , учитывая (2.7), а затем (3.2) и (3.4), (3.5), получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, I_{21} &= \int_{x/2}^{x-1}\frac{(\lambda^{-1} (x+t^*)-\lambda^{-1} (x-t^*)) -(\lambda^{-1} (t)-\lambda^{-1} (-t))}{t}\,\mathrm{d} t \\ &=\int_{x/2}^{x-1}\frac{2(t^*-t)-(l(x+t^*)-l(x-t^* ))}{t}\,\mathrm{d}t +O(\nu(x)) \\ &=-\int_{x/2}^{x-1}\frac{l(x+t^*)-l(x)}{t}\,\mathrm{d}t-\int_{x/2}^{x-1} \frac{l(x)-l(x-t^*)}{t}\,\mathrm{d}t +O(\nu(x)) \\ &=-\int_{x/2}^{x-1}\frac{l(x)-l(x-t^*)}{t}\,\mathrm{d}t +O(\nu( x)), \qquad x\to\infty . \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Далее,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \int_{x/2}^{x-1}\frac{l(x)-l(x-t^*)}{t}\,\mathrm{d}t &=\int_{x/2}^{x-1}\frac{l(x)-l(x-t)}{t}\,\mathrm{d}t +\int_{x/2}^{x-1}\frac{l(x-t)-l(x-t^*)}{t}\,\mathrm{d}t \\ &=\int_{1/2}^{1-1/x}\frac{l(x)-l((1-\tau )x)}{\tau}\,\mathrm{d}\tau + O(1) , \end{aligned} \end{equation*} \notag$

когда

$x\to\infty$ . Полагая

$x=e^s$ ,

$\delta=1-\tau$ и используя условия (3.2), (3.4), (3.5), последний интеграл оценим следующим образом:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \biggl| \int_{1/2}^{1-1/x}\frac{l(x)-l((1-\tau )x)}{\tau}\,\mathrm{d}\tau \biggr| &=\biggl| \int_{1/x}^{1/2}\frac{l(e^s)-l((e^{s+\ln \delta })}{1-\delta} \,\mathrm{d} \delta \biggr| \\ &\leqslant \mathrm{const}\int_{1/x}^{1/2} \frac{\mu (e^{s^*}) e^{s^*} \cdot (-\ln \delta)}{e^{s^*}(1-\delta)} \,\mathrm{d} \delta=O(\nu( x)) , \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$s^*\in [s+\ln \delta,s]$ . Окончательно получаем

$\begin{equation} I_{21} =O(\nu ( x)), \qquad x\to\infty. \end{equation} \tag{3.14}$

Аналогично доказывается, что

$\begin{equation} I_{23} =O(\nu ( x)), \qquad x\to\infty. \end{equation} \tag{3.15}$

Из оценок (3.13)–(3.15) следует, что

$\begin{equation} I_{2} =O(\nu ( x)), \qquad x\to\infty. \end{equation} \tag{3.16}$

В свою очередь, из соотношений (3.9), (3.12), (3.16) вытекает оценка (3.7), а значит, и оценка (3.6).

Замечание 4. Отметим, что функция $\mu$ , фигурирующая в формулировке теоремы 1, не обязательно является строгим весом, и наоборот, строгий вес $\nu$ не обязательно удовлетворяет соотношению (3.2). Это обосновывает наличие в условии теоремы 1 промежуточного веса $\mu$ .

Замечание 5. Для справедливости (3.3) (при условии, что выполнены соотношения (3.4), (3.5)), достаточно, например, чтобы порядок функции $\nu$ был меньше 1/2, т.е.

$\begin{equation*} \varlimsup_{x\to+\infty}\frac{\ln \nu (x)}{\ln x}<\frac12. \end{equation*} \notag$

С другой стороны, теорема 1 справедлива при замене условия (3.3) следующим более слабым требованием:

$\begin{equation} \int_{x^{1/\beta}}^{\infty}\frac{\nu (t)l(t)}{t^2}=O(\omega (x)), \qquad x\to\infty , \end{equation} \tag{3.17}$

где

$\begin{equation*} \beta=\varlimsup_{t\to\infty}\frac{\ln |\nu (t)|}{\ln t}; \end{equation*} \notag$

здесь

$\beta<1$ , так как

$\nu$ – строгий вес. Действительно, в силу (2.8), (3.2), (3.4), (3.5), иммем

$\begin{equation*} I_{32}=O\biggl(\int_{2x}^{\infty}\frac{\nu (t)l(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t\biggr)= \biggl(\int_{2x}^{x^{1/\beta}} +\int_{x^{1/\beta}}^{\infty}\biggr) \frac{\nu (t)l(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t. \end{equation*} \notag$

При этом, из (3.4), (3.5) следует, что

$\begin{equation*} \int_{2x}^{x^{1/\beta}}\frac{\nu (t)l(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t = O\biggl(\int_{2x}^{x^{1/\beta}}\frac{\nu^2 (t)}{t^2}\,\mathrm{d}t\biggr), \qquad x\to\infty . \end{equation*} \notag$

Для оценки последнего интеграла воспользуемся тем, что согласно [5; п. 1.3.5 (2)] строгость веса

$\nu$ эквивалентна соотношению

$\begin{equation*} \lim_{\tau\to\infty}\varlimsup_{x\to\infty}\frac{\nu (\tau x)}{\tau\nu (x)} =0. \end{equation*} \notag$

Имеем

$\begin{equation*} \int_{2x}^{x^{1/\beta}}\frac{\nu^2 (t)}{t^2}\,\mathrm{d}t = O\biggl(\frac{\nu (x)}{x}\int_{2}^{x^{1/\beta}-1}\frac{\tau^{\beta}x^{\beta}}{\tau} \,\mathrm{d}\tau\biggr)=O(\nu (x)), \qquad x\to\infty . \end{equation*} \notag$

Из этой оценки и (3.17) следует (3.10).

Напомним, что выпуклая функция $f\colon [0,\infty)\to\mathbb R$ такая, что

$\begin{equation} \lim_{\xi\to\infty} f'(\xi)=\infty, \end{equation} \tag{3.18}$

удовлетворяет

$\Delta_2$ -условию, если для любого

$c>1$ найдутся

$\xi_0>0$ и

$C>0$ такие, что

$f(c\xi)\leqslant Cf(\xi )$ при всех

$\xi\geqslant\xi_0$ (см. [20; гл. I, § 4]).

Следствие 1. Предположим, что функция $l\colon [0,+\infty)\to \mathbb R$ , будучи измененной на конечном отрезке $[0,l_0]$ (если это необходимо), удовлетворяет условию: $f(\xi):=l(e^{\xi})$ – выпуклая функция и для нее выполнены (3.18) и $\Delta_2$ -условие. Тогда для функции $\varphi$ , определенной формулой (2.9), верно соотношение

$\begin{equation} \ln |\varphi (z)|= O(l (|z|)); \end{equation} \tag{3.19}$

когда

$|z|\to\infty$ ,

$z\in E$ , множество

$E$ определяется формулой (2.13).

Доказательство. Согласно [20; теорема 4.1] выполнение

$\Delta_2$ -условия для функции

$f$ равносильно тому, что

$\begin{equation} \varlimsup_{\xi\to\infty}\frac{f'(\xi)\xi}{f(\xi)}<\infty . \end{equation} \tag{3.20}$

Из (3.18) и (3.20) нетрудно вывести, что

$\begin{equation} f(\xi+1)=O(f(\xi)), \qquad \xi\to\infty, \end{equation} \tag{3.21}$

$\begin{equation} \xi=o(f(\xi)), \qquad\xi\to\infty, \end{equation} \tag{3.22}$

$\begin{equation} \varlimsup_{\xi\to\infty}\frac{\ln f(\xi)}{\ln \xi}<\infty , \end{equation} \tag{3.23}$

тем более

$\int_{0}^{\infty} (f(\xi)/e^{\xi})\,\mathrm{d}\xi<\infty$ .

Следовательно, $l$ – канонический вес с асимптотикой $O(\ln ^p |x|)$ , когда $|x|\to\infty$ , при некотором $p>1$ (см. [5; 1.3.3 (2)]. К тому же, этот вес строгий, так как для $K>1$ в силу $\Delta_2$ -условия для $f(\xi)=l(e^{\xi})$ и (3.20) имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, l(Kx)&=f(\xi+\ln K)=f(\xi)+f'(\widetilde{\xi}) \ln K\leqslant f (\xi)\biggl( 1+\frac{\mathrm{const}\ln K}{\xi}\biggr) \\ &= l(x)\biggl( 1+\frac{\mathrm{const}\ln K}{\ln x}\biggr)\leqslant (K-\delta) l(x), \qquad \widetilde{\xi}\in [\xi, \xi+\ln K], \end{aligned} \end{equation*} \notag$

для всех

$x\geqslant x_{\delta}$ при достаточно малом

$\delta >0$ . Замечая еще, что

$l$ удовлетворяет (3.2), (3.3) и применяя теорему 1 с

$\nu=\mu=l$ , получим требуемое утверждение.

Замечание 6. Доказанное следствие, кроме того, предоставляет примеры функций $l$ , для которых выполнены условия теоремы 1. В силу (3.23) функция $l$ должна иметь рост $O( \ln ^{p} |x|)$ для некоторого $p>1$ и быть строгим весом. Нетрудно проверить, что условиям следствия 1 удовлетворяет функция $\ln ^p (|x|+1)$ при $p>1$ .

Отметим также, что имеются функции $l$ , растущие быстрее любой степени $\ln |x|$ , для которых справедливо утверждение теоремы 1. Например, это функции

$\begin{equation*} l(x)=x^{\rho}, \qquad l(x)=x^{\rho}\ln^{-p} (1+|x|), \end{equation*} \notag$

где

$\rho\in (0,1/2)$ ,

$p>0$ .

В следующем утверждении мы показываем, что, вообще говоря, условие строгости веса $\nu$ в теореме 1 существенно для весов, растущих быстрее любой степени $\ln |x|$ .

Теорема 2. Пусть $l\colon [0,\infty)\to\mathbb R$ – канонический вес и вогнутая функция, удовлетворяющая условиям

$\begin{equation} \int^{\infty}\frac{l^2 (t)}{t^2}\,\mathrm{d}t<\infty, \end{equation} \tag{3.24}$

$\begin{equation} \lim_{M\to\infty}\varliminf_{t\to\infty}\frac{l (Mt)}{l (t)}>1. \end{equation} \tag{3.25}$

Для функции $\varphi$ , определенной формулой (2.9), соотношение

$\begin{equation} \ln |\varphi (z)|= O(l (|z|)), \qquad |z|\to\infty, \quad z\in E, \end{equation} \tag{3.26}$

имеет место тогда и только тогда, когда вес

$l$ строгий.

Доказательство. Достаточность вытекает из теоремы 1.

Докажем необходимость. Как и в теореме 1, соотношение (3.26) эквивалентно соотношению (3.7) с $\nu=l$ . Рассмотрим слагаемые представления (3.8) при $x>0$ . Видим, что в силу условий на вес $l$ (канонический вес, вогнутая функция, соотношение (3.24)), остаются справедливыми оценки (3.9), (3.10) и (3.16) с $\nu=l$ . Поэтому для $z\in E\cap (0,\infty)$ будет

$\begin{equation} \ln |\varphi (x)| =-I_{31}+ O(l (x)), \qquad x\to\infty, \end{equation} \tag{3.27}$

где

$\begin{equation*} I_{31}=-\int_{2x}^{\infty} \frac{l (t+x)-l (t -x)}{t}\,\mathrm{d}t . \end{equation*} \notag$

Учитывая вогнутость функции $l$ и соотношение (3.25), имеем для достаточно малого $\delta>0$ и достаточно большого $M>1$ , что

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, -I_{31} &\geqslant \int_{2x}^{\infty} \frac{2xl'(t+x)}{t}\,\mathrm{d}t\geqslant \int_{2x}^{\infty} \frac{2x(l (M(t+x)-l (t +x))}{M(t+x)t}\,\mathrm{d}t \\ &> \frac{2\delta}{M}\int_{2}^{\infty} \frac{l((A+1)x)}{A^2}\,\mathrm{d} A. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Если вес

$l$ не является строгим, то в силу критерия из [5; 1.3.5 (1)] будет

$\begin{equation*} \varlimsup_{x\to\infty}\frac{1}{l (x)} \int_{2}^{\infty} \frac{l ((A+1)x)}{A^2}\,\mathrm{d} A=\infty. \end{equation*} \notag$

Поэтому

$\begin{equation*} \varlimsup_{x\to\infty}\frac{-I_{31}}{l (x)} =\infty, \end{equation*} \notag$

и, следовательно, оценка (3.6) не выполняется на множестве

$E\cap (0,\infty)$ . Полученное противоречие завершает доказательство.

3.2. Делители пространств $P_{(\omega)}$ и $P_{(\omega),1}$ , нулевые множества которых – сдвиги целочисленной последовательности

Применяя результаты, полученные в предыдущем пункте, выведем утверждения о делителях в пространствах $P_{(\omega)}$ и $P_{(\omega),1}$ .

Теорема 3. Предположим, что функция $l\colon [0,+\infty)\to \mathbb R$ удовлетворяет условию (2.6), а также, что существуют дифференцируемая функция $\mu \colon [0,+\infty )\to \mathbb R$ и строгий вес $\nu$ , со свойствами

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \mu' (t)=O\biggl(\frac{\mu(t)}{t}\biggr), \qquad t\to\infty , \\ \int^{\infty}\frac{\nu (t)l(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t<\infty ; \end{gathered} \end{equation*} \notag$

при этом

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, l(t)-l(s)=O(\mu(t)-\mu (s)), \qquad t, s\to\infty , \\ \mu (t)=O(\nu(t)), \qquad t\to\infty. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Пусть

$\varphi$ – функция, определенная формулой (2.9) по последовательности

$\begin{equation} \lambda_k =k+l (|k|), \qquad k=\pm 1,\pm2,\dotsc\,. \end{equation} \tag{3.28}$

Тогда для любого канонического веса

$\omega$ , такого, что

$\begin{equation*} \nu (x)= O(\omega(x)) \quad \bigl(\nu (x)= o(\omega(x))\bigr), \qquad x\to\infty, \end{equation*} \notag$

функция

$\varphi$ – делитель пространства

$P_{(\omega)}$ (соответственно

$P_{(\omega),1}$ ).

Теорема 3 есть результат применения теоремы B и теоремы 1. Частным случаем теоремы 3 является следующее утверждение.

Следствие 2. Предположим, что функция $l\colon [0,+\infty)\to \mathbb R$ , будучи измененной на конечном отрезке $[0,l_0]$ (если это необходимо), удовлетворяет условию: $f(\xi):=l(e^{\xi})$ – выпуклая функция, для которой выполнены (3.18) и $\Delta_2$ -условие. Тогда функция $\varphi$ , определенная формулой (2.9) по последовательности (3.28), есть делитель пространства $P_{(\omega)}$ ( $P_{(\omega),1}$ ) для любого канонического веса $\omega$ , такого, что $l (x)= O(\omega(x))$ (соответственно $l (x)= o(\omega(x))$ ) при $x\to\infty$ .

Из теоремы 2 вытекает

Теорема 4. Пусть $l\colon [0,\infty)\to\mathbb R$ – вогнутый канонический вес, для которого

$\begin{equation*} \int^{\infty}\frac{l^2 (t)}{t^2}\,\mathrm{d}t<\infty, \qquad \lim_{M\to\infty}\varliminf_{t\to\infty}\frac{l (Mt)}{l (t)}>1. \end{equation*} \notag$

Для того, чтобы функция

$\varphi$ , определенная формулой (2.9) по последовательности (3.28), была делителем пространства

$P_{(\omega)}$ для любого канонического веса

$\omega$ , удовлетворяющего условию

$l(x)=O(\omega (x))$ при

$x\to\infty$ , необходимо и достаточно, чтобы вес

$l$ был строгим.

Автор выражает признательность рецензенту за полезные замечания и исправления.



СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Ж. Себастьян-и-Сильва, “О некоторых классах ЛВП, важных в приложениях”, Математика. Сб. переводов иностранных статей, 1:1 (1957), 60–77
2.	А. В. Абанин, Д. А. Абанина, “Теорема деления в некоторых весовых пространствах целых функций”, Владикавк. матем. журн., 12:3 (2010), 3–20
3.	R. Meise, B. A. Taylor, D. Vogt, “Equivalence of slowly decreasing conditions and local Fourier expansions”, Indiana Univ. Math. J., 36:4 (1987), 729–756
4.	G. Björck, “Linear partial differential operators and generalized distributions”, Ark. Mat., 6 (1965), 351–407
5.	А. В. Абанин, Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения, Наука, М., 2007
6.	Л. Хёрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 1, Теория распределений и анализ Фурье, Мир, М., 1986
7.	А. В. Абанин, И. А. Филипьев, “Аналитическая реализация пространств, сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций”, Сиб. матем. журн., 47:3 (2006), 485–500
8.	L. Ehrenpreis, “Solution of some problems of division. IV. Invertible and elliptic operators”, Amer. J. Math., 57:1 (1960), 522–588
9.	Д. А. Абанина, “Экспоненциально-полиномиальный базис в пространстве решений однородного уравнения свертки на классах ультрадифференцируемых функций”, Владикавк. матем. журн., 13:4 (2011), 3–17
10.	Н. Ф. Абузярова, “О сдвигах целочисленной последовательности, порождающих функции, обратимые по Эренпрайсу”, Исследования по линейным операторам и теории функций. 47, Зап. научн. сем. ПОМИ, 480, ПОМИ, СПб., 2019, 5–25
11.	N. F. Abuzyarova, “On conditions of invertibility in the sense of Ehrenpreis in the Schwartz algebra”, Lobachevskii J. Math., 42:6 (2021), 1141–1153
12.	Н. Ф. Абузярова, “Сохранение классов целых функций, выделяемых ограничениями на рост вдоль вещественной оси, при возмущениях их нулей”, Алгебра и анализ, 33:4 (2021), 1–31
13.	N. F. Abuzyarova, “On properties of functions invertible in the sense of Ehrenpreis in the Schwartz algebra”, Eurasian Math. J., 13:1 (2022), 9–18
14.	R. A. E. C. Paley, N. Wiener, Fourier Transforms in the Complex Domain, Amer. Math. Soc., New York, 1934
15.	А. И. Хейфиц, “Характеристика нулей некоторых специальных классов целых функций конечной степени”, Теория функций, функц. анал. и их прил., 9 (1969), 3–13
16.	Б. Я. Левин, И. В. Островский, “О малых возмущениях множества корней функций типа синуса”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 43:1 (1979), 87–110
17.	А. М. Седлецкий, “Асимптотика нулей вырожденной гипергеометрической функции”, Матем. заметки, 82:2 (2007), 262–271
18.	А. А. Юхименко, “Об одном классе функций типа синуса”, Матем. заметки, 83:6 (2008), 941–954
19.	С. Ю. Фаворов, “Множества нулей целых функций экспоненциального типа с дополнительными условиями на вещественной прямой”, Алгебра и анализ, 20:1 (2008), 138–145
20.	М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий, Выпуклые функции и пространства Орлича, ГИФМЛ, М., 1958

Образец цитирования: Н. Ф. Абузярова, “Возмущения целочисленной последовательности – нулевые множества делителей в некоторых пространствах целых функций”, Матем. заметки, 113:5 (2023), 633–645; Math. Notes, 113:5 (2023), 613–623

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Abu23}

\by Н.~Ф.~Абузярова

\paper Возмущения целочисленной последовательности~-- нулевые множества делителей

в~некоторых пространствах целых функций

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 113

\issue 5

\pages 633--645

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13576}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13576}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4602423}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2023

\vol 113

\issue 5

\pages 613--623

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623050012}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85162667110}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/mzm13576

https://doi.org/10.4213/mzm13576

https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i5/p633

Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:

N. F. Abuzyarova, “Preservation of Classes of Entire Functions under Pure Imaginary Perturbations of Their Zero Sets”, Lobachevskii J Math, 45:6 (2024), 2651
Н. Ф. Абузярова, Д. В. Семенова, “О делителях в некоторых весовых алгебрах целых функций”, Владикавк. матем. журн., 26:4 (2024), 5–20
N. F. Abuzyarova, Z. Yu. Fazullin, “On properties of zero sets of divisors in weighted spaces of entire functions”, Lobachevskii J Math, 44:6 (2023), 2192

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	188
PDF полного текста:	16
HTML русской версии:	99
Список литературы:	44
Первая страница:	14

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Введение

2. Вспомогательные сведения

3. Основной результат

3.1. Теоремы об асимптотике ln|φ(z)|\ln |\varphi (z)|

3.2. Делители пространств P(ω)P_{(\omega)} и P(ω),1P_{(\omega),1}, нулевые множества которых – сдвиги целочисленной последовательности

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

3.1. Теоремы об асимптотике $\ln |\varphi (z)|$

3.2. Делители пространств $P_{(\omega)}$ и $P_{(\omega),1}$ , нулевые множества которых – сдвиги целочисленной последовательности