Р. Е. Жиемуратов, “О размерности пространства слабо аддитивных функционалов”, Матем. заметки, 113:3 (2023), 347–359; Math. Notes, 113:3 (2023), 345

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js

Математические заметки

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математические заметки, 2023, том 113, выпуск 3, страницы 347–359
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13540 (Mi mzm13540)

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

О размерности пространства слабо аддитивных функционалов

Р. Е. Жиемуратов

Нукусский государственный педагогический институт имени Ажинияза

PDF полного текста (517 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13540

Аннотация: В работе установлены важные, востребованные свойства слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов. Приведены разные интерпретации слабо аддитивного, сохраняющего порядок, нормированного функционала, и доказана его непрерывность как функции, зависящей от множества, лежащего на заданном компакте. Используя эти результаты, построен пример, показывающий, что пространство

$O(X)$ слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов не вкладывается ни в какое пространство конечной (даже счетной) алгебраической размерности, как только компакт

$X$ содержит более одной точки.
Библиография: 21 название.

Ключевые слова: пространств слабо аддитивных функционалов, функтор слабо аддитивных функционалов, размерность.

Поступило: 11.04.2022

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 3, Pages 345–355
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030045

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 515.12

1. Введение

Как известно, слабо аддитивные, сохраняющие порядок функционалы стали в 1990-х годах важным инструментом для оценки рисков в управлении банками, компаниями ценных бумаг, инвестиционными фондами и другими финансовыми учреждениями при распределении активов и оценке эффективности. Слабо аддитивный, сохраняющий порядок функционал, связанный с заданным уровнем доверия для капитала предприятия, является верхним пределом возможных потерь в последующий определенный период времени. Частным случаем слабо аддитивного, сохраняющего порядок, нормированного функционала является идемпотентные вероятностные меры. Идемпотентные меры уже получили далеко продвинутые практические применения (см. работы [1]–[7] и литературу в них). Другим примером слабо аддитивного, сохраняющего порядок, нормированного функционала является вероятностная мера (см., например, [8] и литературу в ней). Пространства $I(X)$ идемпотентных вероятностных мер и $P(X)$ вероятностных мер обладают рядом прикладных свойств; например они оба гомеоморфны $(n-1)$ -мерному симплексу, если $X$ – $n$ -точечный компакт. Однако, задача затрудняется для случая пространства $O(X)$ слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов даже в случае, когда $X$ состоит из двух точек.

Так как понятие слабо аддитивного, сохраняющего порядок, нормированного функционала появилось из-за практических задач экономики, возникает вопрос об описании этого объекта. Данная работа посвящена этой проблеме. В работе установлены важные, востребованные свойства слабо аддитивных, сохраняющих порядок функционалов. Приведены разные интерпретации слабо аддитивного функционала, и доказана его непрерывность как функции, зависящей от множества, лежащего на заданном компакте. Используя эти результаты, построен пример, показывающий, что пространство $O(X)$ слабо аддитивных функционалов не вкладывается ни в какое пространство конечной (даже счетной) алгебраической размерности, как только компакт $X$ содержит более одной точки.

Отметим, что работы [9]–[13] посвящены установлению свойств множества слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов. В [14] были рассмотрены более специфические свойства пространства слабо аддитивных функционалов.

2. Слабо аддитивные функционалы

В работе под компактом подразумевается компактное хаусдорфово пространство, под отображением – непрерывное отображение.

Пусть $X$ – компакт, $C(X)$ – алгебра непрерывных функций $\varphi\colon X\to \mathbb{R}$ , с обычными алгебраическими операциями и $\sup$ -нормой. Для каждого $c\in \mathbb{R}$ через $c_{X}$ обозначим постоянную функцию, т.е. функцию, определяемую равенством $c_{X}(x)=c$ , $x\in X$ . Пусть $\varphi,\psi\in C(X)$ . Будем писать $\varphi\leqslant \psi$ тогда и только тогда, когда $\varphi(x)\leqslant \psi(x)$ для всех $x\in X$ .

Определение 1 [11]. Функционал $\mu\colon C(X)\to \mathbb{R}$ называется:

1) слабо аддитивным, если $\mu(\varphi+c_{X})=\mu(\varphi)+c$ для любых $\varphi\in C(X)$ и $c\in \mathbb{R}$ ;
2) сохраняющим порядок, если для любой пары функций $\varphi,\psi\in C(X)$ , неравенство $\varphi\leqslant \psi$ влечет $\mu(\varphi) \leqslant \mu(\psi)$ ;
3) нормированным, если $\mu(1_{X})=1$ .

Для компакта $X$ через $O(X)$ обозначим множество всех функционалов, обладающих свойствами 1)–3). Ясно, что имеет место включение $O(X) \subset \mathbb{R}^{C(X)}$ . Множество $O(X)$ снабжается топологией поточечной сходимости. Эта топология совпадает с топологией, индуцированной из тихоновского произведения $\mathbb{R}^{C(X)}$ . Следовательно, топологическое пространство $O(X)$ является тихоновским пространством. Базу окрестностей функционала $\mu\in O(X)$ относительно этой топологии образуют множества вида

$\begin{equation*} \langle\mu;\varphi_{1},\dots,\varphi_{n};\varepsilon\rangle= \bigl\{\nu\in O(X)\colon |\nu(\varphi_{i})-\mu(\varphi_{i})|<\varepsilon,\, i=1,\dots,n\bigr\}, \end{equation*} \notag$

где

$\varphi_{i}\in C(X)$ ,

$i=1,\dots,n$ , и

$\varepsilon>0$ .

Для компакта $X$ топологическое пространство $O(X)$ является компактом [11]. Более того, операция $O$ перехода из компакта $X$ в компакт $O(X)$ является ковариантным функтором в категории компактов и их непрерывных отображений. При этом для непрерывного отображения $f\colon X\to Y$ компактов, отображение $O(f)$ : $O(X)\to O(Y)$ определяется по правилу

$\begin{equation} O(f)(\mu)(\varphi)=\mu(\varphi\circ f),\qquad \varphi\in C(X). \end{equation} \tag{2.1}$

Функтор $O$ слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов в категории компактов и их непрерывных отображений не сохраняет прообразы, т.е. не является нормальным.

В дальнейшем слабо аддитивный, сохраняющий порядок, нормированный функционал для краткости назовем слабо аддитивным функционалом.

Приведем наиболее важные свойства слабо аддитивных функционалов, пространства и функтора слабо аддитивных функционалов, установленные Т. Радулом в работах [10], [11].

Предложение 1. Каждый слабо аддитивный функционал $\mu\colon C(X)\to \mathbb{R}$ непрерывен.

Так как функтор $O$ слабо аддитивных функционалов действует в категории компактов и их непрерывных отображений, из условия 2 определения нормального функтора сразу извлекается следующее утверждение.

Следствие 1. Функтор $O$ слабо аддитивных функционалов, действующий в категории компактов и их непрерывных отображений, сохраняет метризуемость компактов.

Напомним, что подмножество $L$ называется $A$ -подпространством пространства $C(X)$ , если $0_{X}\in L$ и из $\varphi\in L$ вытекает, что $\varphi+c_{X}\in L$ для каждого $c\in \mathbb{R}$ .

Лемма 1 (вариант теоремы Хана–Банаха). Пусть $L$ – $A$ -подпространство пространства $C(X)$ . Тогда для всякого слабо аддитивного функционала $\nu\colon L\to \mathbb{R}$ существует слабо аддитивный функционал $\widetilde{\nu}\colon C(X)\to \mathbb{R}$ такой, что $\widetilde{\nu}|_{L}=L$ .

Говорят, что слабо аддитивный функционал $\mu\in O(X)$ сосредоточен на замкнутом множестве компакта $X$ , если $\mu\in O(A)$ .

Лемма 2. Слабо аддитивный функционал $\mu$ сосредоточен на замкнутом подмножестве $A$ компакта $X$ тогда и только тогда, когда $\mu(\varphi)=\mu(\psi)$ для всякой пары функций $\varphi,\psi \in C(X)$ такой, что $\varphi|_{A}=\psi|_{A}$ .

Мы в разделе 3 предлагаем другое эквивалентное определение сосредоточенности слабо аддитивного функционала (см. следствие 5).

Наименьшее (относительно включения) замкнутое подмножество компакта $X$ , на котором сосредоточен слабо аддитивный функционал $\mu\colon C(X)\to \mathbb{R}$ , называется его носителем и обозначается $\operatorname{supp}\mu$ . По определению

$\begin{equation*} \operatorname{supp}\mu=\bigcap\bigl\{A\subset X\colon \overline{A}=A,\, \mu\in O(A)\bigr\}. \end{equation*} \notag$

Здесь и далее запись $\overline{A}$ означает замыкание множества $A$ , а равенство $\overline{A}=A$ означает, что $A$ – замкнутое множество в $X$ .

Для компакта $X$ и натурального числа $n$ определим [15] следующее множество:

$\begin{equation*} O_{n}(X)=\bigl\{\mu\in O(X)\colon |\operatorname{supp}\mu|\leqslant n\bigr\}. \end{equation*} \notag$

Здесь и далее, запись

$|A|$ означает мощность множества

$A$ .

Предложение 2. Множество $O_{n}(X)$ замкнуто в $O(X)$ , а следовательно, компакт.

Положим

$\begin{equation*} O_{\omega}(X)=\bigcup_{n=1}^{\infty} O_{n}(X). \end{equation*} \notag$

Предложение 3. Множество $O_{\omega}(X)$ всюду плотно в $O(X)$ .

Элементы множества $O_{\omega}(X)$ называются [16] слабо аддитивными функционалами с конечным носителем.

Легко установить, что имеет место

Предложение 4. Конструкция $O_{n}$ при $n\geqslant 3$ является ковариантным функтором, действующим в категории $\mathfrak{Comp}$ . При этом отображение $f\colon X\to Y$ переходит в отображение $O_{n}(f)=O(f)|_{O_{n}(X)}$ .

Более того, функтор $O_{n}$ удовлетворяет всем условиям нормальности, кроме сохранения прообразов.

Прежде чем излагать следующий пример, показывающий, что функторы $O_{n}$ не сохраняют прообразы, приведем понятие меры Дирака. Для точки $x$ компакта $X$ функционал $\delta_{x}\colon C(X)\to \mathbb{R}$ , определяемый равенством $\delta_{x}(\varphi)=\varphi(x)$ , $\varphi\in C(X)$ , называется мерой Дирака. Как легко видеть, каждая мера Дирака $\delta_{x}$ является слабо аддитивным функционалом, сосредоточенным на одноточечном множестве $\{x\}$ , $x\in X$ . Ясно, что $\operatorname{supp}\delta_{x}=\{x\}$ .

Теперь построим пример, показывающий, что при $n\geqslant 3$ функтор $O_{n}$ не сохраняет прообразы.

Примеры 1. Пусть $X=\{x_{1},x_{2},x_{3}\}$ и $Y=\{y_{1},y_{2}\}$ – конечные компакты (все точки $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $y_{1}$ , $y_{2}$ различны). Отображение $f\colon X\to Y$ построим следующим образом: $f(x_{1})=y_{1}$ , $f(x_{2})=f(x_{3})=y_{2}$ . Рассмотрим слабо аддитивный функционал $\delta_{y_{2}}\in O(Y)$ , сосредоточенный на множестве $\{y_{2}\}$ . Функционал $\mu\in O(X)$ определим по формуле

$\begin{equation*} \mu=\max\bigl\{\min\{\delta_{x_{1}},\delta_{x_{2}}\}, \min\{\delta_{x_{1}},\delta_{x_{3}}\},\min\{\delta_{x_{2}}, \delta_{x_{3}}\}\bigr\}. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\operatorname{supp}\mu \subset X$ , и следовательно,

$\mu\in O(X)$ . Возьмем произвольную функцию

$\psi\in C(X)$ . Имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, O(f)(\mu)(\psi)&=\mu(\psi\circ f) \\ &=\max\bigl\{\min\{\delta_{x_{1}},\delta_{x_{2}}\}, \min\{\delta_{x_{1}},\delta_{x_{3}}\}, \min\{\delta_{x_{2}},\delta_{x_{3}}\}\bigr\}(\psi\circ f) \\ &=\max\bigl\{\min\{\psi\circ f(x_{1}),\psi\circ f(x_{2})\}, \min\{\psi\circ f(x_{1}),\psi\circ f(x_{3})\}, \\ &\qquad\hphantom{=\max\bigl\{}\min\{\psi\circ f(x_{2}),\psi\circ f(x_{3})\}\bigr\} \\ &=\max\bigl\{\min\{\psi(y_{1}),\psi(y_{2})\}, \min\{\psi(y_{1}),\psi(y_{2})\}, \min\{\psi(y_{2}),\psi(y_{2})\}\bigr\} \\ &=\max\bigl\{\min\{\psi(y_{1}),\psi(y_{2})\},\psi(y_{2})\bigr\}= \psi(y_{2})=\delta_{y_{2}}(\psi), \end{aligned} \end{equation*} \notag$

т.е.

$O(f)(\mu)(\psi)=\delta_{y_{2}}(\psi)$ . Имеем

$\mu\in O(f)^{-1}(\delta_{y_{2}})$ . С другой стороны,

$\begin{equation*} \mu\notin O(f^{-1}(y_{2}))=O(\{x_{2},x_{3}\}), \end{equation*} \notag$

поскольку

$\operatorname{supp}\mu=\{x_{1},x_{2},x_{3}\} \not\subset \{x_{2},x_{3}\}$ . Отсюда будет вытекать, что

$\begin{equation*} O(f)^{-1}(\delta_{y_{2}})\ne O(f^{-1}(y_{2})). \end{equation*} \notag$

Таким образом, при всех

$n\geqslant 3$ существует отображение

$f$ компактов такое, что

$O_{n}(f)^{-1} \ne O_{n}(f^{-1})$ .

3. Элементарные свойства слабо аддитивных функционалов

Хотя следующие факты для неотрицательных линейных функционалов выполняются очевидным образом, их варианты для слабо аддитивного случая требуют аккуратного доказательства.

Напомним, что подмножество $B$ частично упорядоченного линейного пространства $L$ называется $A$ -подпространством [17], если $0_{L}\in B$ , и из $u\in B$ вытекает, что $(u+c\cdot 1_{L})\in B$ , где $c\in \mathbb{R}$ , $0_{L}$ – нуль и $1_{L}$ – единица пространства $L$ .

Легко видеть, что множество $C(X)$ является $A$ -подпространством пространства $B(X)$ ограниченных функций $\varphi\colon X\to \mathbb{R}$ , снабженного $\sup$ -нормой. Поэтому, согласно варианту теоремы Хана–Банаха [9] всякий слабо аддитивный функционал $\mu$ : $C(X)\to \mathbb{R}$ допускает непрерывное продолжение $\widetilde{\mu}\colon B(X)\to \mathbb{R}$ на $B(X)$ . Отметим, что слабо аддитивный вариант теоремы Хана–Банаха не утверждает единственность [12] продолжения $\widetilde{\mu}$ заданного функционала $\mu$ . Тем не менее, имеет место следующее

Предложение 5. Пусть $\mu\colon C(X)\to \mathbb{R}$ – слабо аддитивный функционал. Для каждого продолжения $\widetilde{\mu}\colon C(X)\to \mathbb{R}$ функционала $\mu$ и для всякой $\psi\in B(X)$ имеют место неравенства

$\begin{equation*} \sup\bigl\{\mu(\varphi)\colon \varphi\in C(X),\, \varphi\leqslant \psi\bigr\} \leqslant \widetilde{\mu}(\psi) \leqslant \inf\bigl\{\mu(\varphi)\colon \varphi\in C(X),\, \varphi\geqslant \psi\bigr\}. \end{equation*} \notag$

В частности, для любого подмножества

$A\subset X$ имеем

$\begin{equation} \sup\bigl\{\mu(\varphi)\colon \varphi\in C(X),\, \varphi\leqslant \chi_{A}\bigr\} \leqslant \widetilde{\mu}(\chi_{A}) \leqslant \inf\bigl\{\mu(\varphi)\colon \varphi\in C(X),\, \varphi\geqslant \chi_{A}\bigr\}. \end{equation} \tag{3.1}$

Доказательство вытекает из сохранения порядка продолжения $\widetilde{\mu}$ .

Для компакта $X$ определим следующее множество:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \chi(X)=C(X)&\cup \bigl\{\alpha\chi_{A}+c_{X}\colon \alpha,\, c\in \mathbb{R}, \\ &\qquad A-\text{открытое или замкнутое в } X \text{ множество}\bigr\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Каждый слабо аддитивный функционал $\mu\colon C(X)\to \mathbb{R}$ доопределим на множество $\chi(X)$ следующим образом. Для открытого подмножества $U$ , а также для замкнутого подмножества $F$ компакта $X$ и вещественных чисел $\alpha$ и $c$ положим

$\begin{equation} \mu(\alpha\chi_{U}+c_{X}) =\begin{cases} \sup\bigl\{\mu(\varphi)\colon \varphi\in C(X)\colon 0_{X}\leqslant \varphi \leqslant \alpha\chi_{U}\bigr\}+c, & \text{если }\alpha> 0, \\ \inf\bigl\{\mu(\varphi)\colon \varphi\in C(X)\colon 0_{X}\geqslant\varphi\geqslant \alpha\chi_{U}\bigr\}+c, & \text{если }\alpha< 0, \end{cases} \end{equation} \tag{3.2}$

$\begin{equation} \mu(\alpha\chi_{F}+c_{X}) =\begin{cases} \inf\bigl\{\mu(\varphi)\colon \varphi\in C(X)\colon \alpha\chi_{F}\leqslant \varphi \leqslant 1_{X}\bigr\}+c, & \text{если }\alpha> 0, \\ \sup\bigl\{\mu(\varphi)\colon \varphi\in C(X)\colon \alpha\chi_{F}\geqslant \varphi\geqslant -1_{X}\bigr\}+c, & \text{если }\alpha< 0. \end{cases} \end{equation} \tag{3.3}$

Ясно, что из (3.1) вытекает корректность формул (3.2) и (3.3), а также единственность такого продолжения функционала $\mu$ на $\chi(X)$ .

Из определений (3.2) и (3.3) вытекает следующие свойства слабо аддитивных функционалов типа “непрерывности” на множестве $\chi(X)$ .

Предложение 6. Пусть $Z_{\alpha}$ , $\alpha\in \mathfrak{U}$ , – замкнутые в компакте $X$ множества такие, что $\bigcap_{\alpha\in \mathfrak{U}}Z_{\alpha}=K$ . Тогда

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{2} \mu(\lambda \chi_{K})&=\inf\bigl\{\mu(\lambda\chi_{Z_{\alpha}})\colon \alpha\in \mathfrak{U}\bigr\},&\qquad \lambda&>0, \\ \mu(\lambda \chi_{K})&=\sup\bigl\{\mu(\lambda\chi_{Z_{\alpha}})\colon \alpha\in \mathfrak{U}\bigr\},&\qquad \lambda&<0. \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

Предложение 7. Пусть $V_{\alpha}$ , $\alpha\in \mathfrak{U}$ , – открытые в компакте $X$ множества такие, что $\bigcup_{\alpha\in \mathfrak{U}}V_{\alpha}=U$ . Тогда

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{2} \mu(\lambda\chi_{U})&=\sup\bigl\{\mu(\lambda\chi_{V_{\alpha}})\colon \alpha\in \mathfrak{U}\bigr\},&\qquad \lambda&>0, \\ \mu(\lambda\chi_{U})&=\inf\bigl\{\mu(\lambda\chi_{V_{\alpha}})\colon \alpha\in \mathfrak{U}\bigr\},&\qquad \lambda&<0. \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

Доказательство. Докажем первое равенство предложения 6. Остальные случаи устанавливаются аналогично. Не ограничивая общности, можно считать, что $Z_{\alpha} \supset Z_{\alpha^{\prime}}$ при $\alpha^{\prime}>\alpha$ т.е. замкнутые множества $Z_{\alpha}$ , $\alpha\in \mathfrak{U}$ , составляют убывающую сеть (иначе, полагая $F_{\alpha}=\bigcap_{\alpha < \alpha'}Z_{\alpha}$ , получили бы убывающую сеть $F_{\alpha}$ , такую, что $\bigcap_{\alpha\in \mathfrak{U}}F_{\alpha}=K$ ). Поскольку $\chi_{\bigcap_{\alpha\in \mathfrak{U}}Z_{\alpha}}= \inf_{\alpha\in \mathfrak{U}}\chi_{Z_{\alpha}}$ , в силу непрерывности $\mu$ имеем

$\begin{equation*} \mu(\lambda\chi_{K})= \mu(\lambda\chi_{\bigcap_{\alpha\in \mathfrak{U}}Z_{\alpha}})= \mu(\inf_{\alpha\in \mathfrak{U}}\lambda\chi_{Z_{\alpha}})= \inf\bigl\{\mu(\lambda\chi_{Z_{\alpha}})\colon \alpha\in\mathfrak{U}\bigr\}. \end{equation*} \notag$

Предложения 6 и 7 доказаны.

Предложение 8. Пусть $A$ – произвольное подмножество компакта $X$ , $\mu\in O(X)$ . Тогда для каждого продолжения $\widetilde{\mu}$ следующие условия эквивалентны:

$\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A})=0$ для всех $\alpha\in \mathbb{R}$ ;
$\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{X\setminus A})=\alpha$ для всех $\alpha\in \mathbb{R}$ ;
$\widetilde{\mu}(\varphi\chi_{A})=0$ для всех $\varphi\in C(X)$ ;
$\widetilde{\mu}(n\chi_{A})=0$ для всех целых $n$ .

Доказательство. $\Leftrightarrow$ . Если $\widetilde{\mu}(\alpha\chi_A)=0$ для всех $\alpha\in \mathbb{R}$ , то имеем

$\begin{equation*} \widetilde{\mu}(\alpha\chi_{X\setminus A})= \widetilde{\mu}(\alpha_{X}-\alpha\chi_{A})= \alpha+\widetilde{\mu}(-\alpha\chi_{A})=\alpha, \end{equation*} \notag$

и, если

$\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{X\setminus A})=\alpha$ для любого

$\alpha\in\mathbb{R}$ , то имеем

$\begin{equation*} \widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A})=\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A}- \alpha_{X})+\alpha=\widetilde{\mu}(-\alpha\chi_{X\setminus A})+ \alpha=-\alpha+\alpha=0. \end{equation*} \notag$

(i) $\Rightarrow$ (iii). Пусть $\varphi\in C(X)$ – произвольная функция. Введем следующие обозначения: $\alpha=\min\{\varphi(x)\colon x\in X\}$ , $\beta=\max\{\varphi(x)\colon x\in X\}$ . Имеем

$\begin{equation*} 0=\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A}) \leqslant \widetilde{\mu}(\varphi\chi_{A}) \leqslant \widetilde{\mu}(\beta\chi_{A})=0, \end{equation*} \notag$

т.е.

$\widetilde{\mu}(\varphi\chi_{A})=0$ .

(iii) $\Rightarrow$ (iv). Достаточно положить $\varphi \equiv n$ .

(iv) $\Rightarrow$ (i). Для произвольного $\alpha\in \mathbb{R}$ имеем

$\begin{equation*} 0=\widetilde{\mu}([\alpha]\chi_{A}) \leqslant \widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A}) \leqslant \widetilde{\mu}(([\alpha]+1)\chi_{A})=0, \end{equation*} \notag$

т.е.

$\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A})=0$ . Здесь

$[\alpha]$ – целая часть числа

$\alpha$ . Предложение 8 доказано.

Предложение 9. Пусть $A$ – произвольное подмножество компакта $X$ , $\widetilde{\mu}$ – продолжение функционала $\mu\in O(X)$ и $\varphi\in C(X)$ – произвольная функция такая, что либо $\varphi\geqslant 0$ , либо $\varphi\leqslant 0$ . Тогда если $\mu(\varphi\chi_{A})=0$ , то $\mu(\varphi\chi_{B})=0$ для всякого подмножества $B\subset A$ . В частности, если $\mu(\alpha\chi_{A})=0$ , то $\mu(\alpha\chi_{B})=0$ для всякого подмножества $B\subset A$ , где $\alpha$ – произвольное число.

Доказательство. Пусть $\varphi\geqslant 0$ . Тогда $0_{X} \leqslant \chi_{B} \leqslant \chi_{A}$ . Следовательно, $0\leqslant \mu(\chi_{B}) \leqslant \mu(\chi_{A})=0$ , т.е. $\mu(\chi_{B})=0$ . Аналогично получим равенство $\mu(\chi_{B})=0$ для случая $\varphi\leqslant 0$ . Полагая $\varphi\equiv\alpha$ , $\alpha\in \mathbb{R}$ , обнаружим, что $\mu(\alpha\chi_{B})=0$ . Предложение 9 доказано.

Замечание 1. Условие $\varphi\geqslant 0$ или $\varphi\leqslant 0$ в предложении 9 существенно. Действительно, пусть $X=[0;1]$ – пространство с естественной топологией. Если взять функцию $\varphi(x)=x-1/2$ , то для функционала $\mu=\min\{\delta_{x}\colon x\in X\}$ на $C(X)$ и его (единственного) продолжения $\widetilde{\mu}=\mu$ на $B(X)$ имеем

$\begin{equation*} \widetilde{\mu}(\varphi\chi_{[1/2;4/5]})=0 < \frac{1}{6}= \widetilde{\mu}(\varphi\chi_{[2/3;3/4]}), \end{equation*} \notag$

хотя

$[1/2;4/5] \supset [2/3;3/4]$ .

Следствие 2. Пусть $A$ – произвольное подмножество компакта $X$ , $\widetilde{\mu}$ – продолжение функционала $\mu\in O(X)$ , $\alpha\in \mathbb{R}$ . Тогда если $\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A})=\alpha$ , то $\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{B})=\alpha$ для всякого множества $B \subset X$ , содержащего $A$ .

Доказательство вытекает из предложений 8 и 9.

Предложение 10. Пусть $A$ – произвольное подмножество $X$ . Пусть для каждого продолжения $\widetilde{\mu}\colon B(X)\to \mathbb{R}$ и для каждого $\alpha\in \mathbb{R}$ справедливо равенство $\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A})=\alpha$ . Тогда $\operatorname{supp}\mu\subset \overline{A}$ .

Доказательство. Предположим, что $\operatorname{supp}\mu \cap (X\setminus \overline{A}) \ne \varnothing$ . Определим следующие функционалы:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \mu_{1}&=\inf\bigl\{\delta_{x}\colon x\in \operatorname{supp}\mu \cap (X\setminus \overline{A})\bigr\}, \\ \mu_{2}&=\sup\bigl\{\delta_{x}\colon x\in \operatorname{supp}\mu \cap (X\setminus \overline{A})\bigr\}, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

которые являются слабо аддитивными, сохраняющими порядок и нормированными функционалами на

$B(X)$ . Поэтому для любого

$\alpha\in \mathbb{R}$ имеем

$\begin{equation*} \alpha=\mu_{1}(\alpha\chi_{\operatorname{supp}\mu \cap (X\setminus \overline{A})}) \leqslant \widetilde{\mu}(\alpha\chi_{\operatorname{supp}\mu \cap (X\setminus \overline{A})}) \leqslant \mu_{2}(\alpha\chi_{\operatorname{supp}\mu \cap (X\setminus \overline{A})})=\alpha. \end{equation*} \notag$

Возьмем произвольное положительное (или отрицательное)

$\alpha\in \mathbb{R}$ . Тогда

$\begin{equation*} \widetilde{\mu}(\alpha\chi_{\operatorname{supp}\mu \cap (X\setminus \overline{A})})=\alpha > 0 \end{equation*} \notag$

(или

$\alpha < 0$ ). С другой стороны, из предложений 8 и 9 вытекает, что

$\begin{equation*} \widetilde{\mu}(\alpha\chi_{\operatorname{supp}\mu \cap (X\setminus \overline{A})})=0. \end{equation*} \notag$

Получили противоречие. Предложение 10 доказано.

Предложение 10 допускает следующее усиление.

Предложение 11. Пусть $A$ – произвольное замкнутое подмножество компакта $X$ , $\widetilde{\mu}$ – некоторое продолжение $\mu\in O(X)$ . Включение $\operatorname{supp}\mu \subset A$ справедливо тогда и только тогда, когда $\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A})=\alpha$ для всех $\alpha\in \mathbb{R}$ .

Доказательство. В силу предложения 10 достаточно установить, что из включения $\operatorname{supp}\mu \subset A$ вытекает справедливость равенства $\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A})=\alpha$ . Для этой цели рассмотрим на $B(X)$ следующие слабо аддитивные, сохраняющие порядок, нормированные функционалы:

$\begin{equation*} \mu_{1}=\min\bigl\{\delta_{x}\colon x\in \operatorname{supp}\mu\bigr\},\qquad \mu_{2}=\max\bigl\{\delta_{x}\colon x\in \operatorname{supp}\mu\bigr\}. \end{equation*} \notag$

Имеем

$\mu_{1}\leqslant \widetilde{\mu} \leqslant \mu_{2}$ . Следовательно,

$\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{\operatorname{supp}\mu})=\alpha$ . Теперь, применяя следствие 2, будем иметь равенство

$\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A})=\alpha$ . Предложение 11 доказано.

Следствие 3. Пусть $X$ – компакт, $\widetilde{\mu}$ – некоторое продолжение функционала $\mu\in O(X)$ , и $A\subset X$ – некоторое множество. Если $\widetilde{\mu}(\varphi\chi_{A})=\varphi$ для всякой функции $\varphi\in C(X)$ , то справедливо включение $\operatorname{supp}\mu \subset \overline{A}$ .

Доказательство. Если условия предложения выполнены, то в силу предложения 8 имеем $\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A})=\alpha$ для всякого $\alpha$ . Поэтому из предложения 11 следует, что $\operatorname{supp}\mu \subset \overline{A}$ . Следствие 3 доказано.

Имеет место обратное утверждение.

Предложение 12. Пусть $X$ – компакт, $\mu\in O(X)$ и $A\subset X$ – некоторое множество. Если имеет место включение $\operatorname{supp} \mu \subset A$ , то $\widetilde{\mu}(\varphi\chi_{A})=\mu(\varphi)$ для всякой функции $\varphi\in C(X)$ .

Доказательство. Пусть $\mu\in O(X)$ и $i_{\operatorname{supp} \mu}\colon \operatorname{supp}\mu\to X$ – тождественное вложение. По определению носителя имеем $\mu\in O(\operatorname{supp}\mu)$ . Пусть $\widetilde{\mu}\colon B(\operatorname{supp}\mu)\to \mathbb{R}$ – продолжение $\mu$ . Так как $\varphi=\varphi \circ i_{\operatorname{supp}\mu}$ для каждой $\varphi\in C(\operatorname{supp}\mu)$ , имеем $\widetilde{\mu}(\varphi)=\widetilde{\mu}(\varphi \circ i_{\operatorname{supp}\mu})= O(i_{\operatorname{supp} \mu})(\widetilde{\mu})(\varphi)$ , т.е. $O(i_{\operatorname{supp}\mu})(\widetilde{\mu})=\widetilde{\mu}$ . Следовательно, для всякой ограниченной на $X$ и непрерывной на $\operatorname{supp}\mu$ функции $h$ имеют место равенства

$\begin{equation*} \mu(h|_{\operatorname{supp}\mu})= \widetilde{\mu}(h|_{\operatorname{supp}\mu})= \widetilde{ \mu}(h \circ i_{\operatorname{supp} \mu})= O(i_{\operatorname{supp}\mu})(\widetilde{\mu})(h)= \widetilde{\mu}(h). \end{equation*} \notag$

Таким образом, для всякого продолжения

$\widetilde{\mu}$ и для всяких

$\varphi\in C(X)$ ,

$\psi\in B(X)$ , таких, что

$\varphi|_{\operatorname{supp}\mu}=\psi|_{\operatorname{supp}\mu}$ , имеет место

$\widetilde{\mu}(\psi)=\mu(\varphi)$ . Отсюда, в частности, вытекает, что если

$\operatorname{supp}\mu \subset A$ , то для всякой функции

$\varphi\in C(X)$ имеем

$\varphi\chi_{A} \in B(X)$ , и

$\varphi\chi_{A}|_{\operatorname{supp} \mu}= \varphi|_{\operatorname{supp} \mu}$ ; следовательно,

$\widetilde{\mu}(\varphi\chi_{A}|_{\operatorname{supp} \mu})= \mu(\varphi)$ . Предложение 12 доказано.

Теперь, объединяя результаты, установленные в предложениях 8–12 и в следствиях 2, 3, можем сформулировать следующую теорему.

Теорема 1. Пусть $A$ – произвольное подмножество компакта $X$ , $\mu\in O(X)$ . Тогда для каждого продолжения $\widetilde{\mu}$ эквивалентны следующие равенства:

$\widetilde{\mu}(n\chi_{A})=0$ для всех целых $n$ ;
$\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A})=0$ для всех $\alpha\in \mathbb{R}$ ;
$\widetilde{\mu}(\varphi\chi_{A})=0$ для всех $\varphi\in C(X)$ ;
$\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{X\setminus A})=\alpha$ для всех $\alpha\in \mathbb{R}$ ;
$\widetilde{\mu}(\varphi\chi_{X\setminus A})=\mu(\varphi)$ для всех $\varphi\in C(X)$ ;
$\operatorname{supp}\widetilde{\mu}\subset X\setminus A$ .

Из теоремы 1 вытекает ряд важных утверждений.

Следствие 4 [9]. Для любого слабо аддитивного функционала $\mu\in O(X)$ и для всякой функции $\varphi\in C(X)$ имеем $\mu(\varphi)=\mu(\varphi|_{\operatorname{supp}\mu})$ .

Следующее утверждение является более естественным определением сосредоточенности слабо аддитивного функционала на замкнутом подмножестве компакта.

Следствие 5 [18]. Слабо аддитивный функционал $\mu$ сосредоточен на замкнутом подмножестве $A$ компакта $X$ тогда и только тогда, когда $\mu(\varphi)=0$ для всякой функции $\varphi\in C(X)$ такой, что $\varphi(x)=0$ при $x\in A$ .

Следствие 6 [19]. Для компакта $X$ и натурального числа $n$ имеем

$\begin{equation*} O_{n}(X)=\bigcup_{\substack{Y\subset X,\\ |Y| \leqslant n}}O(Y). \end{equation*} \notag$

Следующее утверждение вытекает из теоремы 1 и условия 7 определения нормального функтора, и является частным случаем следствия 6. Стоит отметить, что оно носит самостоятельный характер.

Следствие 7 [20]. Для каждого компакта $X$ имеем

$\begin{equation*} O_{1}(X)=\bigcup_{x\in X}O(\{x\})=\bigcup_{x\in X}\{\delta_{x}\}= \{\delta_{x}\colon x\in X\}=\delta(X) \cong X. \end{equation*} \notag$

Иными словами, отображение

$\delta\colon X\to O(X)$ , определенное равенством

$\delta(x)=\delta_{x}$ ,

$x\in X$ , является топологическим вложением компакта

$X$ в

$O(X)$ .

4. Пространство слабо аддитивных функционалов не лежит в пространстве с конечной алгебраической размерности

Пусть $X$ – компакт, $\mu\in O(X)$ – функционал такой, что $|\operatorname{supp}\mu|=n$ , $n\geqslant 1$ . Предположим, что $\operatorname{supp}\mu=\{x_{1},\dots,x_{n}\}$ . Тогда в силу предложения 12 для любой $\varphi\in C(X)$ имеет место $\mu(\varphi)= \widetilde{\mu}(\varphi\chi_{\operatorname{supp}\mu})$ . С другой стороны, если отождествить $\mu$ с его образом при тождественном вложении $O(\operatorname{supp}\mu)$ в $O(X)$ , то имеем $\mu(\varphi|_{\operatorname{supp} \mu})= \widetilde{\mu}(\varphi\chi_{\operatorname{supp} \mu})$ . Из этих последних двух равенств получим, что $\mu(\varphi|_{\operatorname{supp} \mu})=\mu(\varphi)$ . Следовательно, имея в виду равенство

$\begin{equation} \varphi|_{\operatorname{supp}\mu}= (\varphi(x_{1}),\dots,\varphi(x_{n})), \end{equation} \tag{4.1}$

получим

$\begin{equation} \mu(\varphi)=\mu(\varphi(x_{1}),\dots,\varphi(x_{n}))= \mu(\delta_{x_{1}}(\varphi),\dots,\delta_{x_{n}}(\varphi))= \mu(\delta_{x_{1}},\dots,\delta_{x_{n}})(\varphi). \end{equation} \tag{4.2}$

Таким образом, функционал $\mu$ может быть интерпретирован двояко.

1. При фиксированном упорядоченном наборе $\{x_{1},\dots,x_{n}\}$ точек из $X$ , как функционал $\mu(\delta_{x_{1}},\dots,\delta_{x_{n}})(\cdot)\colon C(X) \to \mathbb{R}$ , определяемый по правилу

$\begin{equation} \mu(\delta_{x_{1}},\dots,\delta_{x_{n}})(\varphi)= \mu(\varphi(x_{1}),\dots,\varphi(x_{n})),\qquad \varphi\in C(X). \end{equation} \tag{4.3}$

2. При фиксированной функции $\varphi\in C(X)$ , как функция $\mu\circ\delta(\,\cdot\,,\dots,\,\cdot\,)(\varphi)$ : $X^{n} \to \mathbb{R}$ , определяемая по формуле

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \mu\circ\delta(x_{1},\dots,x_{n})(\varphi)= \mu(\delta_{x_{1}},\dots,\delta_{x_{n}})(\varphi)= \mu(\varphi(x_{1}),\dots,\varphi(x_{n})), \\ (x_{1},\dots,x_{n})\in X^{n}, \end{gathered} \end{equation} \tag{4.4}$

где

$X^{n}$ –

$n$ -я степень компакта

$X$ при топологическом произведении.

Первый случай не требует пояснений. Поясним второй случай. Пусть $(y_{1},\dots, y_{n})\in X^{n}$ – произвольный упорядоченный набор. Определим гомеоморфизм

$\begin{equation*} g\colon \{x_{1},\dots,x_{n}\}\to \{y_{1},\dots,y_{n}\} \end{equation*} \notag$

по правилу

$g(x_{i})=y_{i}$ ,

$i=1,\dots,n$ . Тогда равенством

$\begin{equation} O(g)(\mu)(\varphi)=\mu(\varphi\circ g)(\varphi), \qquad \mu\in O(\{x_{1},\dots,x_{n}\}), \quad \varphi\in C(\{y_{1},\dots,y_{n}\}), \end{equation} \tag{4.5}$

можно определить отображение

$O(g)\colon O(\{x_{1},\dots,x_{n}\})\to O(\{y_{1},\dots,y_{n}\})$ . Из (4.1) и (4.2) получим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, O(g)(\mu)(\varphi)&=O(g)(\mu)(\varphi(y_{1}),\dots,\varphi(y_{n}))= O(g)(\mu)(\delta_{y_{1}}(\varphi),\dots,\delta_{y_{n}}(\varphi)) \\ &=O(g)(\mu)(\delta_{y_{1}},\dots,\delta_{y_{n}})(\varphi)= O(g)(\mu) \circ\delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

С другой стороны, из (4.1), (4.2) и (4.5) будем иметь

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, O(g)(\mu)(\varphi)&=\mu(\varphi\circ g)= \mu(\varphi(g(x_{1})),\dots,\varphi(g(x_{n}))) \\ &=\mu(\varphi(y_{1}),\dots,\varphi(y_{n}))= \mu(\delta_{y_{1}},\dots,\delta_{y_{n}})(\varphi)= \mu\circ\delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Из последних двух равенств вытекает, что

$\begin{equation*} O(g)(\mu)\circ\delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi)= \mu\circ\delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi). \end{equation*} \notag$

Таким образом, во втором случае множество (более точно, упорядоченный набор

$(\,\cdot_{1},\dots,\, \cdot_{n})$ ), на котором рассматриваются значения (фиксированной) функции

$\varphi\in C(X)$ , меняется, но правило

$\mu$ вычисления функции, зависящей от

$n$ действительных чисел (именно, от значений

$\varphi(\,\cdot_{1}),\dots,\varphi(\,\cdot_{n})$ ), не меняется. Иными словами, во втором случае закон

$\mu$ представляет собой действие над мерами Дирака.

Из предложения 1 вытекает, что функционал $\mu$ , рассматриваемый в первом случае, т.е. определенный по правилу (4.3), является непрерывным. Следующее утверждение показывает, что функция $\mu$ , рассматриваемая во втором случае, т.е. определенная по правилу (4.4), также является непрерывной.

Теорема 2. Пусть $\varphi\in C(X)$ . Тогда функция $\mu\circ\delta(\,\cdot_{1},\dots,\,\cdot_{n})(\varphi)\colon X^{n}\to \mathbb{R}$ , определенная равенством (4.4), является непрерывной.

Доказательство. В силу следствия 7 компакт $X$ можно считать подпространством пространства $O(X)$ .

Пусть $(y_{1},\dots,y_{n})\in X^{n}$ – набор такой, что $\delta_{y_{i}}\in \langle\delta_{x_{i}};\varphi; \varepsilon\rangle$ , $i=1,\dots,n$ , $\varepsilon > 0$ . Существует функция $\psi\in C(X)$ такая, что

$\begin{equation} \psi(y_{i})=\varphi(x_{i}) \end{equation} \tag{4.6}$

для всех

$i=1,\dots,n$ . Действительно, пусть

$\zeta\colon \{y_{1},\dots,y_{n}\}\to \{x_{1},\dots,x_{n}\}$ – гомеоморфизм, определенный по правилу

$\zeta(y_{i})=x_{i}$ . Положим

$\psi'(y_{i})=\varphi\circ\zeta(y_{i})$ . Теперь произвольное продолжение функции

$\psi'$ на

$X$ удовлетворяет равенство (4.6). Отсюда следует

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \mu\circ\delta(y_{1},\dots,y_{n})(\psi)&= \mu(\psi(y_{1}),\dots,\psi(y_{n})) \\ &=\mu(\varphi(x_{1}),\dots,\varphi(x_{n}))= \mu\circ\delta(x_{1},\dots,x_{n})(\varphi), \end{aligned} \end{equation*} \notag$

т.е.

$\begin{equation} \mu\circ\delta(y_{1},\dots,y_{n})(\psi)= \mu\circ\delta(x_{1},\dots,x_{n})(\varphi). \end{equation} \tag{4.7}$

С другой стороны, в силу $\delta_{y_{i}}\in\langle\delta_{x_{i}};\varphi;\varepsilon\rangle$ имеем

$\begin{equation*} |\varphi(x_{i})-\varphi(y_{i})| < \varepsilon. \end{equation*} \notag$

Согласно (4.6) последнее неравенство равносильно неравенству

$\begin{equation*} |\psi(y_{i})-\varphi(y_{i})| < \varepsilon, \end{equation*} \notag$

откуда последовательно получим

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, -\varepsilon < \psi(y_{i})-\varphi(y_{i}) < \varepsilon, \\ \varphi(y_{i})-\varepsilon<\psi(y_{i})<\varphi(y_{i})+\varepsilon. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Из последнего неравенства вытекает, что

$\varphi-\varepsilon < \psi < \varphi+\varepsilon$ на множестве

$\{y_{1},\dots,y_{n}\}$ . Поэтому для сохраняющего порядок функционала

$\mu$ , сосредоточенного на множестве

$\{y_{1},\dots,y_{n}\}$ , будем иметь

$\begin{equation*} \mu\circ \delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi)-\varepsilon < \mu\circ \delta(y_{1},\dots,y_{n})(\psi) < \mu\circ \delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi)+\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Используя равенство (4.7), получим

$\begin{equation*} \mu\circ \delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi)-\varepsilon < \mu\circ \delta(x_{1},\dots,x_{n})(\varphi) < \mu\circ \delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi)+\varepsilon. \end{equation*} \notag$

т.е.

$\begin{equation*} |\mu\circ \delta(x_{1},\dots,x_{n})(\varphi)- \mu\circ \delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi)| < \varepsilon. \end{equation*} \notag$

Теорема 2 доказана.

Следующий пример анонсирован в [21].

Примеры 2. Пусть $X=\{0,1\}$ – двухточечное пространство с дискретной топологией. Тогда $C(X)=\mathbb{R}^2$ . Всякий функционал $\mu\colon C(X)\to \mathbb{R}$ , определенный по формуле

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \nonumber \mu(\varphi)&=\alpha_1\varphi(0)+\alpha_2\varphi(1)+ \alpha_3\max\bigl\{\varphi(0)+\lambda_1,\,\varphi(1)+\lambda_2\bigr\} \\ &\qquad+\alpha_4\min\bigl\{\varphi(0)+\lambda_3,\,\varphi(1)+\lambda_4\bigr\}+ \alpha(\varphi)f(\varphi(1)-\varphi(0)) \end{aligned} \end{equation} \tag{4.8}$

является слабо аддитивным функционалом (т.е. слабо аддитивным, сохраняющим порядок, нормированным функционалом, или что одно и то же самое, мерой денежного риска), где

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \alpha_i\geqslant 0,\quad i=1,2,3,4, \qquad\text{со свойством}\quad \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=1, \\ \lambda_1,\lambda_2\in [-\infty,0],\qquad\text{со свойством}\quad \max\{\lambda_1,\lambda_2\}=0, \\ \lambda_3,\lambda_4\in [0,+\infty], \qquad\text{со свойством}\quad \min\{\lambda_3,\lambda_4\}=0, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

а коэффициент

$\alpha(\varphi)$ определен по правилу

$\begin{equation*} \alpha(\varphi)= \begin{cases} \min\{\alpha_1,\alpha_2\}, & \text{если}\ \alpha_3=\alpha_4=0, \\ \min\bigl\{\alpha_1 \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \alpha_3 \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \alpha_4,\alpha_2\bigr\}, & \text{если}\ \varphi(0) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \lambda_1 \geqslant \varphi(1) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \lambda_2 \text{ и } \varphi(0) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \lambda_3 \leqslant \varphi(1) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \lambda_4, \\ \min\bigl\{\alpha_1 \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \alpha_3,\alpha_2 \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \alpha_4\bigr\}, & \text{если}\ \varphi(0) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \lambda_1 \geqslant \varphi(1) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \lambda_2 \text{ и } \varphi(0) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \lambda_3 > \varphi(1) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \lambda_4, \\ \min\bigl\{\alpha_1 \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \alpha_4,\alpha_2 \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \alpha_3\bigr\}, & \text{если}\ \varphi(0) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \lambda_1 < \varphi(1) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \lambda_2 \text{ и } \varphi(0) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \lambda_3 \geqslant \varphi(1) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \lambda_4, \\ \min\bigl\{\alpha_1,\alpha_2 \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \alpha_3 \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \alpha_4\bigr\}, & \text{если}\ \varphi(0) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \lambda_1 < \varphi(1) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \lambda_2 \text{ и } \varphi(0) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \lambda_3 > \varphi(1) \mspace{-1mu} + \mspace{-1mu} \lambda_4, \end{cases} \end{equation*} \notag$

и наконец,

$f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ – непрерывная, неубывающая функция, обладающая свойствами

$(1^*)$ $f(0)=0$ ,
$(2^*)$ $t \leqslant f(t) \leqslant 0$ и $f$ вогнута (выпукла вниз) при $t \leqslant 0$ ,
$(3^*)$ $0 \leqslant f(t) \leqslant t$ и $f$ выпукла (выпукла верх) при $t \geqslant 0$ .

Замечание 2. Так как среди функций $f$ , рассматриваемых в (4.8) и удовлетворяющих условиям $(1^*)$ – $(3^*)$ , существует несчетная система линейно независимых, отсюда вытекает, что пространство $O(X)$ слабо аддитивных функционалов не вкладывается ни в какое пространство конечной (даже счетной) алгебраической размерности, как только компакт $X$ содержит более одной точки. Например, функция

$\begin{equation*} \mu_{s}(\varphi(0),\varphi(1))=\frac{1}{2}(\varphi(0)+ \varphi(1)+\operatorname{arctg}(\varphi(0)-\varphi(1))^{s}) \end{equation*} \notag$

при

$s\in \mathbb{R}$ ,

$s>1$ , удовлетворяет всем требованиям примера 2.

Для трехточечного дискретного пространства $\{0,1,2\}$ множество $\bigl\{\mu_{s}(\varphi(0),\varphi(1), \varphi(2))\colon s\in \mathbb{R},\, s>1\bigr\}$ состоит из несчетной системы линейно независимых функций

$\begin{equation*} \mu_{s}(\varphi(0),\varphi(1),\varphi(2))=\frac{1}{3}\bigl(\varphi(0)+ \varphi(1)+\varphi(2)+(|\varphi(0)-\varphi(2)|^{s}+|\varphi(1)- \varphi(2)|^{s})^{1/s}\bigr). \end{equation*} \notag$

Отметим, что пространство $P(X)$ всех вероятностных мер (т.е. неотрицательных, линейных, нормированных функционалов $\mu\colon C(X)\to \mathbb{R}$ ), а также пространство $I(X)$ всех идемпотентных вероятностных мер (т.е. $\max$ - $\operatorname{plus}$ -аддитивных, $\max$ - $\operatorname{plus}$ -однородных, нормированных функционалов $\mu\colon C(X)\to \mathbb{R}$ ), снабженные топологией поточечной сходимости, являются замкнутыми подпространствами компакта $O(X)$ . При этом каждая (идемпотентная) вероятностная мера с конечным носителем представляется единственным образом в виде ( $\max$ - $\operatorname{plus}$ -)аффинной комбинации мер Дирака, сосредоточенных в точках носителя этой меры. При этом пространства $P(X)$ и $I(X)$ для $n$ -точечного $X$ гомеоморфны $(n-1)$ -мерному симплексу. В частности, $P(\{0,1\})$ есть отрезок, соединяющий точки $\delta_{0}$ и $\delta_{1}$ . А пространство $I(\{0,1\})$ представляет собой $\max$ - $\operatorname{plus}$ -отрезок, соединяющий точки $\delta_{0}\equiv 0\odot\delta_{0}\oplus (-\infty)\odot\delta_{1}$ и $\delta_{1}\equiv(-\infty)\odot\delta_{0}\oplus 0\odot\delta_{1}$ . Иными словами, пространства $P(\{0,1\})$ и $I(\{0,1\})$ могут быть вложены в одномерное пространство.

Так как для каждого компакта $X$ пространства $P(X)$ вероятностных мер и $I(X)$ идемпотентных вероятностных мер являются подпространствами пространства слабо аддитивных функционалов $O(X)$ , то пример 2 показывает, что насколько шире пространство $O(X)$ по сравнению с пространствами $P(X)$ и $I(X)$ .



СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Kh. F. Kholturayev, “Geometrical properties of the space of idempotent probability measures”, Appl. Gen. Topol., 22:2 (2021), 399–415
2.	A. A. Zaitov, “On a metric on the space of idempotent probability measures”, Appl. Gen. Topol., 21:1 (2020), 35–51
3.	А. А. Заитов, А. Я. Ишметов, “Гомотопические свойства пространства $I_{f}(X)$ идемпотентных вероятностных мер”, Матем. заметки, 106:4 (2019), 531–542
4.	В. Н. Колокольцов, “Идемпотентные структуры в оптимизации (Москва, 31 августа – 6 сентября 1998 г.). Т. 4. Оптимальное управление”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз., 65, ВИНИТИ, М., 1999, 118–174
5.	В. Н. Колокольцов, В. П. Маслов, “Идемпотентный анализ как аппарат теории управления. I”, Функц. анализ и его прил., 23:1 (1989), 1–14
6.	В. Н. Колокольцов, В. П. Маслов, “Идемпотентный анализ как аппарат теории управления и оптимального синтеза. 2”, Функц. анализ и его прил., 23:4 (1989), 53–62
7.	Г. Л. Литвинов, В. П. Маслов, Г. Б. Шпиз, “Идемпотентный функциональный анализ. Алгебраический подход”, Матем. заметки, 69:5 (2001), 758–797
8.	А. А. Заитов, “Геометрические и топологические свойства подпространства $P_{f}(X)$ вероятностных мер”, Изв. вузов. Матем., 2019, № 10, 28–37
9.	S. Albeverio, Sh. A. Ayupov, A. A. Zaitov, “On certain properties of the spaces of order-preserving functionals”, Topology Appl., 155:16 (2008), 1792–1799
10.	T. N. Radul, “On the functor of order-preserving functionals”, Comment. Math. Univ. Carolin., 39:3 (1998), 609–615
11.	T. N. Radul, “Topology of the spaces of order-preserving functionals”, Bull. Polish Acad. Sci. Math., 47:1 (1999), 53–60
12.	A. A. Zaitov, “Order-preserving variants of the basic principles of functional analysis”, Fund. J. of Math. and Appl., 2:1 (2019), 10–17
13.	А. А. Заитов, “О функторе слабо аддитивных $\tau$ -гладких функционалов”, Геометрия и топология, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз., 197, ВИНИТИ РАН, М., 2021, 36–45
14.	Р. Е. Жиемуратов, А. А. Заитов, “О вещественной полноте пространства слабо аддитивных $\sigma$ -гладких функционалов”, Владикавк. матем. журн., 11:1 (2009), 22–28
15.	A. A. Zaitov, “The functor of order-preserving functionals of finite degree”, J. Math. Sci. (N.Y.), 133:5 (2006), 1602–1603
16.	A. A. Zaitov, “Open mapping theorem for order-preserving positive-homogeneity functionals”, Math. Notes, 88:5–6 (2010), 21–26
17.	A. A. Zaitov, “On categorical properties of the functor of order-preserving functionals. (English summary) Methods Funct. Anal. Topology 9 (2003), no. 4, 357-364.”, Methods Funct. Anal. Topology, 9:4 (2003), 357–364
18.	Sh. A. Ayupov, A. A. Zaitov, “Functor of order-preserving $\tau$ -smooth functionals and maps”, Ukrainian Math. J., 61:9 (2009), 1380–1386
19.	A. A. Zaitov, “On monad of order-preserving functionals”, Methods Funct. Anal. Topology, 11:3 (2005), 306–308
20.	A. A. Zaitov, “Some categorical properties of the functors $O_\tau$ and $O_R$ of weakly additive functionals”, Math. Notes, 79:5–6 (2006), 632–642
21.	A. A. Zaitov, “On dimension of the space of monetary risk measures”, National University of Uzbekistan, Samarkand State University, Holon Institute of Technology Joint conference “STEMM: Science+Technology+Education+Mathematics+Medicine”, 2019

Образец цитирования: Р. Е. Жиемуратов, “О размерности пространства слабо аддитивных функционалов”, Матем. заметки, 113:3 (2023), 347–359; Math. Notes, 113:3 (2023), 345–355

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Jie23}

\by Р.~Е.~Жиемуратов

\paper О~размерности пространства слабо аддитивных функционалов

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 113

\issue 3

\pages 347--359

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13540}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13540}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582557}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2023

\vol 113

\issue 3

\pages 345--355

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623030045}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85160364358}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/mzm13540

https://doi.org/10.4213/mzm13540

https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i3/p347

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

Ш. А. Аюпов, Н. К. Мамадалиев, “О свойствах типа тесноты пространства слабо аддитивных функционалов”, Некоммутативный анализ и квантовая информатика, Сборник статей. К 80-летию академика Александра Семеновича Холево, Труды МИАН, 324, МИАН, М., 2024, 24–38 ; Sh. A. Ayupov, N. K. Mamadaliev, “On Tightness-Type Properties of the Space of Weakly Additive Functionals”, Proc. Steklov Inst. Math., 324 (2024), 18–32

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	185
PDF полного текста:	22
HTML русской версии:	134
Список литературы:	39
Первая страница:	7

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Введение

2. Слабо аддитивные функционалы

3. Элементарные свойства слабо аддитивных функционалов

4. Пространство слабо аддитивных функционалов не лежит в пространстве с конечной алгебраической размерности

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ